2023年新教材高考數學單元過關檢測七立體幾何與空間向量含解析

單元過關檢測七立體幾何與空間向量

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.[2022?山東濰坊模擬]在空間中，下列命題是真命題的是（）

A.經過三個點有且只有一個平面

B.平行于同一平面的兩直線相互平行

C.如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等

D.如果兩個相交平面垂直于同一個平面，那么它們的交線也垂直于這個平面

2.[2022?遼寧沈陽模擬]已知圓錐的表面積為3",它的側面展開圖是一個半圓，則

此圓錐的體積為（）

A.木式B.當

C,當貝D.小

O

3.[2022?湖南雅禮中學月考]已知勿，〃是兩條不同的直線，明￡是兩個不同的平

面，則下列判斷正確的是（）

A.若。_L￡,歸*/?c￡,則直線加與〃一定平行

B.若/〃J_。則直線/〃與〃可能相交、平行或異面

C.若加_1_。，n//a,則直線而與〃一定垂直

D.若歸。，/?c￡,a"B、則直線勿與〃一定平行

4.

如圖，總是正方體力“45G〃的棱G〃上的一點（不與端點重合），若物〃平面5四,

則（）

A.薇〃而.AGLBD,

C.4￡=2%D.DE=EG

5.[2022?廣東汕頭模擬]在四面體/-靦中，/員L底面BCD,AB=BD=RCB=CD=1,

則四面體4質的外接球的表面積是（）

A.nB.2n

C.3nD.4n

6.

[2022?河北滄州模擬]如圖，已知AB,切分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且四，微

若該圓柱的側面積是其上底面面積的24倍，則13與平面6切所成的角為（）

nJI

A-TB-T

n5n

C.-D.-yy

7.

如圖，在正方體力時■484〃中，則以下結論錯誤的是（）

A.劭〃平面CBD

B.平面CB、D\

C.AGLBD

D.異面直線力〃與所成的角為45°

8.如圖，在△力比'中，A4BC=4,/胡￡30°,〃為力C的中點，將△力做沿切折起

到△加的位置，使得二面角為60°,則三棱錐尸隧'的體積為（）

A.2小B.4

C.4D.2

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.[2022?湖北黃岡中學月考]若a、￡是兩個相交平面，則在下列命題中，正確的是

)

A.若直線m±a，則在平面￡內,一定不存在與直線加平行的直線

B.若直線mla,則在平面月內,一定存在無數條直線與直線勿垂直

C.若直線〃匚a，則在平面￡內,一定存在與直線〃異面的直線

I).若直線"匚a,則在平面月內,一定存在與直線0垂直的直線

10.[2022?福建漳州模擬]已知a,。是兩個不同的平面，a,6是兩條不同的直線,

則下列結論正確的是（）

A.若?！ā?au。，憶￡,則a"b

B.若6〃%心￡,aD￡=a,WJa//b

C.若aua,Ac￡,aLb,則a_L￡

D.若a//a,6J_B,a//b,貝I]a_L￡

11.[2022?山東日照模擬]已知棱長為1的正方體力版一4644,過對角線做作平面

a交棱于點E,交棱CC、于■點F,以下結論正確的是（）

A.四邊形⑸叨￡,不一定是平行四邊形

B.平面。分正方體所得兩部分的體積相等

C.平面a與平面頌可以垂直

D.四邊形E1面積的最大值為啦

12.[2021?新高考I卷]在正三棱柱力比1-4旦G中，48=44=1,點一滿足尻/應'+

〃麗，其中Ae[0,1],〃G[0,1],則（）

A.當4=1時，△48/的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐尸一4%的體積為定值

C.當時，有且僅有一個點只使得4/L的

D.當時，有且僅有一個點只使得48,平面4區(qū)產

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.

13.[2022?湖北荊州模擬]某圓柱的側面展開圖是面積為4Ji?的正方形，則該圓柱一

個底面的面積為.

14.如圖所示的是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中，棱所在的直線

與棱所在的直線是異面直線且互相垂直.

15.[2022?北京101中學月考]如圖，在三棱柱的43G中，側棱〃1」底面49G底

面是以/力比為直角的等腰三角形，4C=2,BB\=3,〃是4G的中點，點廠在線段M上，

當AF=時，”平面BxDF.

16.[2022?山東濟寧模擬]農歷五月初五是中國的傳統(tǒng)節(jié)日一一端午節(jié)，民間有吃粽子

的習俗，粽子又稱“粽?！?，故稱“角黍”.同學們在勞動課上模擬制作“粽子”，如圖⑴

的平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形組成的，將它沿虛線折起來，可以得

到如圖(2)的粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為；若該六面體內有一球，則

該球的體積的最大值為.

四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)[2022?山東濰坊四中月考]如圖所示，斜三棱柱1船46G中，點，為4G

上的中點.

(1)求證：66〃平面月臺如

匕

(2)設三棱錐4一/心〃的體積為八,三棱柱的體積為V2,求行.

18.(12分)[2022?北京三中月考]如圖，在正方體16。48G〃中，6為血的中點.

(1)求證：做〃平面力位

(2)求直線力〃與平面4位所成角的正弦值.

19.

(12分)[2022?廣東湛江模擬]如圖，在四棱錐中，底面力靦為矩形，處，底

面480),為=46=2,點￡是棱功的中點.

(1)證明：平面/組平面改

(2)若比'=3,求二面角小綏〃的余弦值.

20.(12分)[2021?新高考?I卷]如圖，在三棱錐A-BCD中,平面/劭1.平面BCD,AB=

AD,。為切的中點.

(1)證明：OA1CD；

⑵若力是邊長為1的等邊三角形，點在棱/。上，DE=2EA,且二面角?小〃的

大小為45°,求三棱錐48(力的體積.

21.(12分)[2022?河北唐山模擬]在四棱錐月月閱9中，AB//CD,ABLAD,AB=1,AD

=隹CD=2,PD1.BC,ACLPB.

(1)證明：勿，平面16(力；

(2)若二面角小如的余弦值為隼

,求直線處與平面A力所成角的正弦值.

22.(12分)[2022?山東荷澤模擬]如圖①所示，平面五邊形/況況1中，四邊形/靦為

直角梯形，N8=90°豆ADHBC,若AD=2BC=2,AB=木,應是以力〃為斜邊的等腰直

角三角形，現將△/龐沿/〃折起，連接旗，成得如圖②的幾何體.

圖①圖②

⑴若點."是放的中點，求證：CI/〃平面/陽

(2)若P2,在棱座上是否存在點E使得二面角￡43尸的大小為60°?若存在,

求出點的位置；若不存在，請說明理由.

單元過關檢測七立體幾何與空間向量

1.答案：D

解析：當三點在一條直線上時，可以確定無數個平面，故A錯誤：平行于同一平面的兩

直線可能相交，故B錯誤；由等角定理可知，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩

個角相等或互補，故C錯誤；如果兩個相交平面a,￡垂直于同一個平面/，且an￡=

1,則在平面a、燈內分別存在直線如，〃垂直于平面Y，由線面垂直的性質可知"〃w,再

由線面平行的判定定理得必〃￡,由線面平行的性質得出/?〃/,則故D正確.

2.答案：C

解析：設圓錐的底面半徑為r,圓錐的母線長為，，

由Ji1=2nr,得l=2r,

又S—Jtr+“r?2r=3n產=3n,

所以/=1,解得r=l；

所以圓錐的高為方=J7二？=后7=4，

所以圓錐的體積為Hrh=\nX12X^3=^JI.

3.答案：C

解析：

如圖所示，在正方體中

對于A：若a工8,nua,nuB,不妨取面力頗為平面a,面/比4為平面￡,若

取m為BC,〃為45,則直線0與〃異面，故A錯誤;

對于B：若m±a,nLB,不妨取面/靦為平面a,面4期4為平面B,則

直線勿與"垂直，不可能平行，故B錯誤;

對于C：若優(yōu)La,n//a,因為過〃作平面￡Ca=/,則/〃。因為R_La,

所以/，/,又/〃〃，所以0，〃.故C正確;

對于D：若底a,/2C￡,a〃￡,不妨取面力版為平面a,面45G4為平面￡,

則兩個平面內的直線勿與〃可能平行，也可能異面.故D錯誤.

4.答案：D

解析：

如圖，設5CC8G可得面寬;。n面5g第

?..儆〃平面ME,根據線面平行的性質可得D\B〃E0,

???。為5c的中點，

:.E為G”中點,

：.IXE=E￡.

5.答案：D

解析：如圖，在四面體小靦中，46_L底面閱9,AB=BgeCB=CA\,可得切

+BG=B"所以/統(tǒng)力=90°,

補形為長方體，則過一個頂點的三條棱長分別為1,1,啦，則長方體的對角線長為

,+仔+S?=2,

則三棱錐4-6切的外接球的半徑為1,其表面積為4nX「=4“.

6.答案：C

解析：

如圖，設頗為圓柱下底面內與切垂直的直徑，記EFCCD=H,連接4/,BH,

由對稱性可知：AllVCD,BHVCD,AHCBH=H,C?_L平面/H/,

設4%胡，垂足為機則"?_UMCDHBH=H,二4吐平面成力，

直線48在平面BCD內的射影為BII,：.NABH為四與平面及力所成的角，

V2n?HF*BF=2鄧w?游，.?.朋=/即：.2ABH=4BHF*,二/8與平面BCD

所成的角為

7.答案：B

解析：在正方體砒山G〃中，BD〃BD,8eu平面刎平面必〃，所以被〃

平面CBM,A正確；AD//AxIX,且44_L平面DCGDi,所以"_L平面DCCR,又平面DCCM

與平面外〃不平行，所以49與平面CB"不平行，B不正確；4G在底面4A力上的射影4G

BDVAC,所以“UMC正確；根據正方體的性質可得4〃〃8G所以異面直線與笫所

成的角即為直線BC與啰所成的角，由/以為=45°,所以異面直線AD與座所成的角為

45°,D正確.

8.答案：A

解析：

由力歸公4,/胡a30°,由旋轉前后對應邊，對應角相等可得：

BD=2,AD=CD=PD=2y^,又二面角月協(xié)61為60°,即/如0=60°,

故冗為等邊三角形，作切中點￡,連接抬,可得臉切，又BDLCD,BDVPD,所

以以U平面PCD,所以BDVPE,即9平面BCD,結合幾何關系可得PE=3,故外戚=

三?三?BD*CD，%=：X2X2#X3=2#.

9.答案：BD

解析：令平面ari平面￡=直線1,

對于A選項：當平面平面￡時，在平面￡內作直線〃_L/,則〃_L。，而卬，a,

則〃〃勿,A錯誤；

對于B選項：mLa,則mil,則平面￡內與/平行的所有直線都與直線而垂直，B

正確；

對于C選項：因直線。，則如與/重合時，即歸￡,￡內的所有直線都與加共面，

C錯誤；

對于D選項：當初L￡時，結論成立，直線皿與￡不垂直時，作與直線而垂直的平面

Y，則丫必與￡相交，所得交線與加垂直，D正確.

10.答案：BD

解析：由a,6為兩條不同的直線，。，￡為兩個不同的平面，知：對于A,若?！ā?

aua,仁8,則a與6平行或異面，故A錯誤；對于B,若6〃。，仁￡,anP—a,

由線面平行的性質定理可得a〃方，故B正確；對于C,若aua,kB,aA.b,無法得到

。與尸垂直，根據面面垂直的判定定理，需要a垂直平面。內兩條相交直線，故C錯誤；

對于D,若Z?_L￡,a〃8則a_L￡,又a〃a,所以a_L￡,故D正確.

11.答案：BCD

解析：對于選項A,因為平面/能4〃平面平面期Z出。平面4郎平面

四￡0平面CCMD=DxF,

所以陽/BF,同理可證〃￡〃跖，所以四邊形明亞?是平行四邊形，故A錯誤；

對于選項B,由正方體的對稱性可知，平面a分正方體所得兩部分的體積相等，故B

正確；

對于選項C,在正方體48G9—484〃中，有ACLBD,微，

又BDCBB\=B,所以4A平面做〃，當昆尸分別為棱44,制的中點時，

AC//EF,則用＜1平面做。，又因為必t平面跖?￡

所以平面毋4心平面協(xié)〃，故C正確；

對于選項D,四邊形喇。在平面ABCD內的投影是正方形ABCD,

當￡與4重合，尸與G重合時，四邊形m%F的面積有最大值，

此時S=D、E,/?1=*,故D正確.

12.答案:BD

解析：易知，點尸在矩形8CG區(qū)內部（含邊界）.

對于A,當4=1時，BP=BC+uBB^BC-VnCC?即此時Pd線段S,△陽尸周長不

是定值，故A錯誤；

對于B,當〃=1時，徐=/I瓦:+麗=麗+4局,故此時P點軌跡為線段而84〃州,

笈G〃平面46C,則有尸到平面4%的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確；

對于C,當八=/寸，BP=^BC+取8GAG中點分別為。，〃,則歷上質+，誦/,

所以夕點軌跡為線段QH,不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，4俾，0,11,

尸（0,0,〃），4。，0),則誦=(—乎,0,〃-1),加=(0,〃)，A^P-BP—

〃（〃-1）=0,所以〃=0或〃=1.故"0均滿足，故C錯誤;

對于D,當時，前=入京中洞,取陰，CG中點為弘N.~BP=BM+AMN,所以P

點軌跡為線段就設40,加1）,因為力（乎，o,o）,所以崩=（一坐，％,。，彘=

（一W，4，-1）,所以）=0=%=—<，此時尸與/V重合，故D正確.故選BD.

\ZZJ4//乙

13.答案：“

解析：因為圓柱的側面展開圖是面積為4/的正方形，所以該正方形的邊長為2n,

又圓柱的底面圓的周長為其展開圖正方形的邊長，所以圓柱的底面圓半徑為1,

故該圓柱一個底面的面積為S=n~=Jt?/=口.

14.

答案：CG、DH、EH、FG

解析：如圖，結合圖象繪出正方體，

結合正方體性質易知，

棱龍、DH、EIL而所在的直線與棱16所在的直線是異面直線且互相垂直.

15.答案：1或2

解析：由已知得合〃，平面4CG4,又。七平面“G4,所以

若CEL平面ByDF,則必有CFLDF,

22

設4^=X（（KA<3）,則小=/+4,刎=1+（3—入）2,<7/=1+3=10,

所以由行+刎=切得V+4+l+（3—x）2=10,解得x=l或2,

所以當或2時，”平面8ZK

16.答案：平需

解析：

該六面體是由兩個全等的正四面體組合而成，正四面體的棱長為1,如圖，在棱長為1

的正四面體$48c中，

取6c的中點D,連結SD,49,作S6LL平面ABC,垂足。在ADh,

則/IQSg坐,加為9=坐,Sg"\/加一M=幸,

ZJbv6

則該六面體的體積為/=2%*2X4xJxIX當■><*=*■.

6ZZo0

當該六面體內有一球，且該球的體積取最大值時，

球心為0,且該球與眼相切，過球心。作施工助，則施就是球的半徑，

亞X必廠

因為S0X0ASDX0E,所以球的半徑0E=」廠6-=坐,

')SWD<39

2

所以該球的體積為杯?.

17.

解析：(1)證明：連接48交力笈于點0,連接陽，則在平行四邊形力做4中，點。為

45的中點，

又點4為4G的中點，所以以〃制，

又必u平面484，8Gq平面仍“，所以犯〃平面484.

(2)V}-VA-A\B\D\-,j;VA-A\B\6=7VABC-A\B\C}—\v2,所以

266分6

18.解析：(1)如圖所示:

連接BD與交于點0,連接0E.因為0,￡為中點，所以OE//BDx,又OEu平面ACE,

皮相平面汆若，所以能〃平面4儂

(2)建立如圖所示的空間直角坐標系，

令4?=2,所以4(0,0,0),2(0,2,0),以2,2,0),￡(0,2,1),

AD=(0,2,0),AC=(2,2,0),AE=(0,2,1),

設平面月四的一個法向量為〃=(x,y,Z),

n,AC=0\2x+2y=0

所以彳,，令/=-1,x=l,z=2,

L?而=0(2y+z=0

所以27=(1,—1,2),

—?

所以直線AD與平面ACE所成角的正弦值sin0=cos(AD,ri)=~~—J-

\n\?\AD\

_T_乖

~-12+22?2-6?

19.解析：⑴證明：因為為_L底面4%為，8Cu平面4BCD,所以6CL必.

四邊形4?必為矩形，所以8d區(qū)因為必。47=4所以8GL平面用8.

從而BCVAE,因為PA=AB=2,點￡是棱陽的中點，所以AEVPB.

因為PBCBC=B,所以4?JL平面月完:

又因為4fc平面所以平面/見平面改

(2)以力為坐標原點，分別以力6,的方向為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐

標系4xyZf

如圖所示，依題意可得如0,0,0),如2,0,0),以2,3,0),2(0,3,0),￡(l,0,D,EC=

(1,3,-1),岸⑵3,0),虎=牡0,0).

EC>22=0小+3必一?=0,

設平面4萬的法向量為〃=(小，％,Zi),由,,得

2汨+3'=0

JC-z?=0

不妨令小=3,可得〃=(3,-2,—3).

EC,m=0及+3姓-Z2=0

設平面物的法向量為⑷=(及，%Z2),由，，得

,2及=0

、DC,〃=0

不妨令再=1,可得卬=(0,1,3).

n?m\y[55

易知二面角4cX1，為銳角，Icos(n,而=n2Z7I~10

所以二面角小上〃的余弦值為嚕.

20.解析：⑴證明：因為。為川中點，所以40，以

因為平面ABDC平面BCD=BD,平面力及ZL平面BCD,AOc.平面ABD,

因此40,平面BCD,

因為CDa平面BCD,所以

(2)作如于凡作￡歸_8。于材，連陽,

因為4￡L平面BCD,所以4璉劭,AOLCD,

所以向L或，EFLCD,BDCCD=D,因此咫1平面及力，BPEFLBC,

因為FMVBC,FMCEF=F,所以6UL平面EFM,即BCVME,

則/凰F為二面角￡跖〃的平面角，NEMF.,

因為BO=OD,為正三角形，所以力為直角三角形.

因為BD=2CD,所以向Q；/=/l+；）=|,

2

從而EF=RM=w，所以力gl.

因為/〃_1平面BCD,

所以y=~^AO?5kzo=1X1X5X1X，5=$.

21.解析：⑴由tan//Z?=乎，tanN4cp=坐,得/的B=N4CD,

JI

所以/的C+N4?=N〃4C+N〃?=-7，B[JACVBD,又ACLPB,PBCBgB,

則有4UL平面如ft又Pg平面PBD,所以4C_L加,

又PDLBC,ACHBC=C,所以如，平面/aft

（2）如圖所示，以〃為原點，DA,DC,應的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間

直角坐標系P-xyz,沒DP=h,

則。（0,0,0）,A雨0,0）,B即,1,0）,6（0,2,0）,尸（0,0,力）,