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文檔簡介
貴州省遵義市正安一中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.若等差數(shù)列的前5項之和,且,則()A.12 B.13 C.14 D.152.若三棱錐中,,,,且,,,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.3.已知點(diǎn)、、在圓上運(yùn)動,且,若點(diǎn)的坐標(biāo)為,的最大值為()A. B. C. D.4.已知圓,直線.設(shè)圓O上到直線l的距離等于2的點(diǎn)的個數(shù)為k,則()A.1 B.2 C.3 D.45.設(shè)均為正數(shù),且,,.則()A. B. C. D.6.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若2Sn=an+1﹣1(n∈N*),則首項a1為()A.1 B.2 C.3 D.47.圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為()A. B. C. D.8.若直線與直線平行,則實(shí)數(shù)A.0 B.1 C. D.9.設(shè)為銳角,,若與共線,則角()A.15° B.30° C.45° D.60°10.在中,分別為角的對邊),則的形狀是()A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.一個扇形的半徑是,弧長是,則圓心角的弧度數(shù)為________.12.若數(shù)列滿足(),且,,__.13.已知點(diǎn)和點(diǎn),點(diǎn)在軸上,若的值最小,則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.14.已知,且關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根,則與的夾角的取值范圍是______.15.函數(shù)的值域為__________.16.已知無窮等比數(shù)列的所有項的和為,則首項的取值范圍為_____________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知數(shù)列滿足,.(1)證明:是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前n項和.18.某建筑公司用8000萬元購得一塊空地,計劃在該地塊上建造一棟至少12層、每層4000平方米的樓房.經(jīng)初步估計得知,如果將樓房建為x(x≥12)層,則每平方米的平均建筑費(fèi)用為Q(x)=3000+50x(單位:元).(1)求樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用f(x)的解析式.(2)為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少,該樓房應(yīng)建為多少層?每平方米的平均綜合費(fèi)用最小值是多少?(注:平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用,平均購地費(fèi)用=)19.在中,角對應(yīng)的邊分別是,且.(1)求的周長;(2)求的值.20.已知公差不為的等差數(shù)列滿足.若,,成等比數(shù)列.(1)求的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.21.我市某商場銷售小飾品,已知小飾品的進(jìn)價是每件3元,且日均銷售量件與銷售單價元可以用這一函數(shù)模型近似刻畫.當(dāng)銷售單價為4元時,日均銷售量為400件,當(dāng)銷售單價為8元時,日均銷售量為240件.試求出該小飾品的日均銷售利潤的最大值及此時的銷售單價.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】試題分析:由題意得,,又,則,又,所以等差數(shù)列的公差為,所以.考點(diǎn):等差數(shù)列的通項公式.2、B【解析】
將棱錐補(bǔ)成長方體,根據(jù)長方體的外接球的求解方法法得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意得到棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,可以以三條側(cè)棱為長方體的楞,該三棱錐補(bǔ)成長方體,兩者的外接球是同一個,外接球的球心是長方體的體對角線的中點(diǎn)處。設(shè)球的半徑為R,則表面積為故答案為:B.【點(diǎn)睛】本題考查了球與幾何體的問題,是高考中的重點(diǎn)問題,要有一定的空間想象能力,這樣才能找準(zhǔn)關(guān)系,得到結(jié)果,一般外接球需要求球心和半徑,首先應(yīng)確定球心的位置,借助于外接球的性質(zhì),球心到各頂點(diǎn)距離相等,這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心,過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多邊形的頂點(diǎn)的距離相等,然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線(這兩個多邊形需有公共點(diǎn)),這樣兩條直線的交點(diǎn),就是其外接球的球心,再根據(jù)半徑,頂點(diǎn)到底面中心的距離,球心到底面中心的距離,構(gòu)成勾股定理求解,有時也可利用補(bǔ)體法得到半徑,例:三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐,可以補(bǔ)成長方體,它們是同一個外接球.3、C【解析】
由題意可知為圓的一條直徑,由平面向量加法的平行四邊形法則可得(為坐標(biāo)原點(diǎn)),然后利用平面向量模的三角不等式以及圓的幾何性質(zhì)可得出的最大值.【詳解】如下圖所示:,為圓的一條直徑,由平面向量加法的平行四邊形法則可得(為坐標(biāo)原點(diǎn)),由平面向量模的三角不等式可得,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時,等號成立,因此,的最大值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的最值問題,涉及平面向量模的三角不等式以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題.4、B【解析】
找出圓O的圓心坐標(biāo)與半徑r,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心O到直線l的距離d,根據(jù)d與r的大小關(guān)系及r-d的值,即可作出判斷.【詳解】由圓的方程得到圓心O(0,0),半徑,∵圓心O到直線l的距離,且r?d=?1<2,∴圓O上到直線l的距離等于2的點(diǎn)的個數(shù)為2,即k=2.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,利用圓心到直線的距離公式求出圓心O到直線l的距離d,根據(jù)d與r的大小關(guān)系可判斷直線與圓的位置,考查計算和幾何應(yīng)用能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】試題分析:在同一坐標(biāo)系中分別畫出,,的圖象,與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,從圖象可以看出.考點(diǎn):指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用.【方法點(diǎn)睛】一般一個方程中含有兩個以上的函數(shù)類型,就要考慮用數(shù)形結(jié)合求解,在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn),函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的解.6、A【解析】
等比數(shù)列的公比設(shè)為,分別令,結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式,解方程可得所求首項.【詳解】等比數(shù)列的公比設(shè)為,由,令,可得,,兩式相減可得,即,又所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用,等比數(shù)列的定義和通項公式,考查方程思想和運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式直接確定出圓心和半徑.【詳解】因為圓的方程為:,所以圓心為,半徑,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查給定圓的方程判斷圓心和半徑,難度較易.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,其中圓心是,半徑是.8、B【解析】
根據(jù)兩直線的平行關(guān)系,列出方程,即可求解實(shí)數(shù)的值,得到答案.【詳解】由題意,當(dāng)時,顯然兩條直線不平行,所以;由兩條直線平行可得:,解得,當(dāng)時,直線方程分別為:,,顯然平行,符合題意;當(dāng)時,直線方程分別為,,很顯然兩條直線重合,不合題意,舍去,所以,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系的應(yīng)用,其中解答中熟記兩直線平行的條件,準(zhǔn)去計算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】由題意,,又為銳角,∴.故選B.10、A【解析】
根據(jù)正弦定理得到,化簡得到,得到,得到答案.【詳解】,則,即,即,,故,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理判斷三角形形狀,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、2【解析】
直接根據(jù)弧長公式,可得.【詳解】因為,所以,解得【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長公式的應(yīng)用.12、1【解析】
由數(shù)列滿足,即,得到數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的極限的求法,即可求解.【詳解】由題意,數(shù)列滿足,即,又由,,所以數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成首項為1,公比為,偶數(shù)項構(gòu)成首項為,公比為的等比數(shù)列,當(dāng)為奇數(shù)時,可得,當(dāng)為偶數(shù)時,可得.所以.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的定義,以及無窮等比數(shù)列的極限的計算,其中解答中得出數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】
作出圖形,作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn),由對稱性可知,結(jié)合圖形可知,當(dāng)、、三點(diǎn)共線時,取最小值,并求出直線的方程,與軸方程聯(lián)立,即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】如下圖所示,作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn),由對稱性可知,則,當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時,的值最小,直線的斜率為,直線的方程為,即,聯(lián)立,解得,因此,點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用折線段長的最小值求點(diǎn)的坐標(biāo),涉及兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱性的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題.14、【解析】
先由得出,再根據(jù)即可求出與的夾角的取值范圍.【詳解】因為關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根,所以,即,設(shè)與的夾角為,所以,因為,所以,即與的夾角的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的夾角公式的應(yīng)用等,屬基礎(chǔ)題.15、【解析】
本題首先可通過三角恒等變換將函數(shù)化簡為,然后根據(jù)的取值范圍即可得出函數(shù)的值域.【詳解】因為,所以.【點(diǎn)睛】本題考查通過三角恒等變換以及三角函數(shù)性質(zhì)求值域,考查二倍角公式以及兩角和的正弦公式,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.16、【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意得出或,根據(jù)無窮等比數(shù)列的和得出與所滿足的關(guān)系式,由此可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意得出或,由于無窮等比數(shù)列的所有項的和為,則,.當(dāng)時,則,此時,;當(dāng)時,則,此時,.因此,首項的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用無窮等比數(shù)列的和求首項的取值范圍,解題的關(guān)鍵就是結(jié)合題意得出首項和公比的關(guān)系式,利用不等式的性質(zhì)或函數(shù)的單調(diào)性來求解,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】
(1)由題設(shè),化簡得,即可證得數(shù)列為等比數(shù)列.(2)由(1),根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,求得,利用等比數(shù)列的前n項和公式,即可求得數(shù)列的前n項和.【詳解】(1)由題意,數(shù)列滿足,所以又因為,所以,即,所以是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1),根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,可得,即,所以,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的定義,以及等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式的應(yīng)用,其中解答中熟記等比數(shù)列的定義,以及等比數(shù)列的通項公式和前n項和的公式,準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2)該樓房應(yīng)建為20層,每平方米的平均綜合費(fèi)用最小值為5000元.【解析】【試題分析】先建立樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用函數(shù),再應(yīng)基本不等式求其最小值及取得極小值時:解:設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號取到.所以,當(dāng)時,最小值為5000元.19、(1)(2)【解析】
(1)由余弦定理求得,從而得周長;(2)由余弦定理求得,由平方關(guān)系得,同理得,然后由兩角差的余弦公式得結(jié)論.【詳解】解:(1)在中,,由余弦定理,得,即,∴的周長為(2)由,得,由,得,于是.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理和兩角差的余弦公式,考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系式,屬于基礎(chǔ)題.20、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)對比中項的性質(zhì)即可得出一個式子,再帶入等差數(shù)列的通項公式即可求出公差.(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,利用分組求和即可解決.【詳解】(1)因為成等比數(shù)列,所以,所以,即,因為,所以,所以;(2)因為,所以,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等
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