【數(shù)學(xué)】高中數(shù)學(xué)33個(gè)易失分點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)33個(gè)易失分點(diǎn)

1遺忘空集致誤

由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=。時(shí)也滿足BGAo解含有參數(shù)的集合問題時(shí)，

要特別注意當(dāng)參數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)所給的集合可能是空集這種情況。

2忽視集合元素的三性致誤

集合中的元素具有確定性、無序性、互異性，集合元素的三性中互異性對(duì)解題的影響最大，

特別是帶有字母參數(shù)的集合，實(shí)際上就隱含著對(duì)字母參數(shù)的一些要求。

3混淆命題的否定與否命題

命題的“否定”與命題的“否命題”是兩個(gè)不同的概念，命題p的否定是否定命題所作的判斷，

而'否命題”是對(duì)“若p,則q”形式的命題而言，既要否定條件也要否定結(jié)論。

4充分條件、必要條件顛倒致誤

對(duì)于兩個(gè)條件A,B,如果A=B成立，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；如果

B=A成立，則A是B的必要條件，B是A的充分條件；如果AQB，則A,B互為充分必

要條件。解題時(shí)最容易出錯(cuò)的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問題時(shí)一定要根

據(jù)充分條件和必要條件的概念作出準(zhǔn)確的判斷。

5"或”“且”“非’理解不準(zhǔn)致誤

命題pvq真op真或q真，命題pvq假op假且q假（概括為一真即真）；命題pAq真真

且q真，命題pAq假op假或q假(概括為一假即假)；㈱p真op假，p假=p真(概括為

一真一假)。求參數(shù)取值范圍的題目，也可以把“或”“且”“非”與集合的“并”“交“'補(bǔ)”對(duì)應(yīng)起來進(jìn)

行理解，通過集合的運(yùn)算求解。

6函數(shù)的單調(diào)區(qū)間理解不準(zhǔn)致誤

在研究函數(shù)問題時(shí)要時(shí)時(shí)刻刻想到“函數(shù)的圖像”，學(xué)會(huì)從函數(shù)圖像上去分析問題、尋找解決

問題的方法。對(duì)于函數(shù)的幾個(gè)不同的單調(diào)遞增(減)區(qū)間，切忌使用并集，只要指明這幾個(gè)區(qū)

間是該函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即可。

7判斷函數(shù)奇偶性忽略定義域致誤

判斷函數(shù)的奇偶性，首先要考慮函數(shù)的定義域，一個(gè)函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個(gè)函數(shù)

的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果不具備這個(gè)條件，函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)。

8函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)致誤

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖像是一條連續(xù)的曲線，并且有f(a)f(b)<0,那么，函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，但%a)f(b)>0時(shí),不能否定函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)。函

數(shù)的零點(diǎn)有“變號(hào)零點(diǎn)”和“不變號(hào)零點(diǎn)”，對(duì)于“不變號(hào)零點(diǎn)”函數(shù)的零點(diǎn)定理是“無能為力”的，

在解決函數(shù)的零點(diǎn)問題時(shí)要注意這個(gè)問題。

9三角函數(shù)的單調(diào)性判斷致誤

對(duì)于函數(shù)y=Asin(3x+cp)的單調(diào)性，當(dāng)3>0時(shí)，由于內(nèi)層函數(shù)u=wx+<p是單調(diào)遞增的，所以

該函數(shù)的單調(diào)性和y=sinx的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)y=sinx的單調(diào)區(qū)間解決；但

當(dāng)u)<0時(shí)，內(nèi)層函數(shù)u=3x+<p是單調(diào)遞減的，此時(shí)該函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)y=sinx的單調(diào)性

相反，就不能再按照函數(shù)y=sinx的單調(diào)性解決，一般是根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性將內(nèi)層函數(shù)

的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后再加以解決。對(duì)于帶有絕對(duì)值的三角函數(shù)應(yīng)該根據(jù)圖像，從直觀上進(jìn)行判

斷。

10忽視零向量致誤

零向量是向量中最特殊的向量，規(guī)定零向量的長(zhǎng)度為0,其方向是任意的，零向量與任意向

量都共線。它在向量中的位置正如實(shí)數(shù)中0的位置一樣，但有了它容易引起一些混淆，稍

微考慮不到就會(huì)出錯(cuò)，考生應(yīng)給予足夠的重視。

11向量夾角范圍不清致誤

解題時(shí)要全面考慮問題。數(shù)學(xué)試題中往往隱含著一些容易被考生所忽視的因素，能不能在解

題時(shí)把這些因素考慮到，是解題成功的關(guān)鍵，如當(dāng)ab<0時(shí)，a與b的夾角不一定為鈍角，

要注意0=TT的情況。

12an與Sn關(guān)系不清致誤

在數(shù)列問題中數(shù)列的通項(xiàng)an與其前n項(xiàng)和Sn之間存在下列關(guān)系an=S11n=1,Sn-Sn-1,

n>2o這個(gè)關(guān)系對(duì)任意數(shù)列都是成立的，但要注意的是這個(gè)關(guān)系式是分段的，在n=1和n>2

時(shí)這個(gè)關(guān)系式具有完全不同的表現(xiàn)形式，這也是解題中經(jīng)常出錯(cuò)的一個(gè)地方，在使用這個(gè)關(guān)

系式時(shí)要牢牢記住其“分段”的特點(diǎn)。

13對(duì)數(shù)列的定義、性質(zhì)理解錯(cuò)誤

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和在公差不為零時(shí)是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)；一般地，有結(jié)論“若

數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c(a,b,ceR)，則數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列的充要條件是c=0";

在等差數(shù)列中，Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(meN*)是等差數(shù)列。

14數(shù)列中的最值錯(cuò)誤

數(shù)列問題中其通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，要善于從函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)

識(shí)和理解數(shù)列問題。數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是高考的命題重點(diǎn)，解題時(shí)要注

意把n=1和n>2分開討論，再看能不能統(tǒng)一。在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點(diǎn)

要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近而定。

15錯(cuò)位相減求和項(xiàng)處理不當(dāng)致誤

錯(cuò)位相減求和法的適用條件:數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積所組成的，

求其前n項(xiàng)和?；痉椒ㄊ窃O(shè)這個(gè)和式為Sn,在這個(gè)和式兩端同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比得

到另一個(gè)和式，這兩個(gè)和式錯(cuò)一位相減，就把問題轉(zhuǎn)化為以求一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和或

前n-1項(xiàng)和為主的求和問題.這里最容易出現(xiàn)問題的就是錯(cuò)位相減后對(duì)剩余項(xiàng)的處理。

16不等式性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)致誤

在使用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推理論證時(shí)一定要準(zhǔn)確，特別是不等式兩端同時(shí)乘以或同時(shí)除

以一個(gè)數(shù)式、兩個(gè)不等式相乘、一個(gè)不等式兩端同時(shí)n次方時(shí)，一定要注意使其能夠這樣

做的條件，如果忽視了不等式性質(zhì)成立的前提條件就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

17忽視基本不等式應(yīng)用條件致誤

利用基本不等式a+b22ab以及變式abva+b22等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必注意a,b為正數(shù)(或

a,b非負(fù))，ab或a+b其中之一應(yīng)是定值，特別要注意等號(hào)成立的條件。對(duì)形如y=ax+bx(a,

b>0)的函數(shù)，在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，一定要注意ax,bx的符號(hào)，必要時(shí)要進(jìn)行

分類討論，另外要注意自變量x的取值范圍，在此范圍內(nèi)等號(hào)能否取到。

18不等式恒成立問題致誤

解決不等式恒成立問題的常規(guī)求法是：借助相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解，其中的主要方法有數(shù)形

結(jié)合法、變量分離法、主元法。通過最值產(chǎn)生結(jié)論。應(yīng)注意恒成立與存在性問題的區(qū)別，如

對(duì)任意xe[a,b]都有f(x任g(x)成立,即f(x)-g(x)40的恒成立問題，但對(duì)存在xe[a,b],使

f(x)Vg(x)成立，則為存在性問題，即f(x)min<g(x)max,應(yīng)特別注意兩函數(shù)中的最大值與最

小值的關(guān)系。

19忽視三視圖中的實(shí)、虛線致誤

三視圖是根據(jù)正投影原理進(jìn)行繪制，嚴(yán)格按照“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的規(guī)則去畫，若相

鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的原分界線且分界線和可視輪廓線都用實(shí)線畫出，

不可見的輪廓線用虛線畫出，這一點(diǎn)很容易疏忽。

20面積體積計(jì)算轉(zhuǎn)化不靈活致誤

面積、體積的計(jì)算既需要學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，又要用到一些重要的思想方法，是高考考

查的重要題型.因此要熟練掌握以下幾種常用的思想方法。(1)還臺(tái)為錐的思想：這是處理臺(tái)

體時(shí)常用的思想方法。(2)割補(bǔ)法：求不規(guī)則圖形面積或幾何體體積時(shí)常用。(3)等積變換法：

充分利用三棱錐的任意一個(gè)面都可作為底面的特點(diǎn)，靈活求解三棱錐的體積。(4)截面法:

尤其是關(guān)于旋轉(zhuǎn)體及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合問題，常畫出軸截面進(jìn)行分析求解。

21隨意推廣平面幾何中結(jié)論致誤

平面幾何中有些概念和性質(zhì)，推廣到空間中不一定成立.例如“過直線外一點(diǎn)只能作一條直線

與已知直線垂直”“垂直于同一條直線的兩條直線平行”等性質(zhì)在空間中就不成立。

22對(duì)折疊與展開問題認(rèn)識(shí)不清致誤

折疊與展開是立體幾何中的常用思想方法，此類問題注意折疊或展開過程中平面圖形與空間

圖形中的變量與不變量，不僅要注意哪些變了，哪些沒變，還要注意位置關(guān)系的變化

23點(diǎn)、線、面位置關(guān)系不清致誤

關(guān)于空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷類試題是高考全面考查考生對(duì)空間位置關(guān)系的判定

和性質(zhì)掌握程度的理想題型，歷來受到命題者的青睞，解決這類問題的基本思路有兩個(gè)：一

是逐個(gè)尋找反例作出否定的判斷或逐個(gè)進(jìn)行邏輯證明作出肯定的判斷二是結(jié)合長(zhǎng)方體模型

或?qū)嶋H空間位置（如課桌、教室）作出判斷，但要注意定理應(yīng)用準(zhǔn)確、考慮問題全面細(xì)致。

24忽視斜率不存在致誤

在解決兩直線平行的相關(guān)問題時(shí)，若利用I1||l2<=>k1=k2來求解，則要注意其前提條件是兩

直線不重合且斜率存在。如果忽略k1,k2不存在的情況，就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)解。這類問題也可以

利用如下的結(jié)論求解，即直線11:A1x+B1y+C1=0與I2:A2x+B2y+C2=0平行的必要條件

是A1B2-A2B1=0,在求出具體數(shù)值后代入檢驗(yàn)，看看兩條直線是不是重合從而確定問題的

答案。對(duì)于解決兩直線垂直的相關(guān)問題時(shí)也有類似的情況。利用I1±l2?k1k2=-1時(shí)，要注

意其前提條件是k1與k2必須同時(shí)存在。利用直線11A1x+B1y+C1=0與I2A2x+B2y+C2=0

垂直的充要條件是A1A2+B1B2=0,就可以避免討論。

25忽視零截距致誤

解決有關(guān)直線的截距問題時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是求解時(shí)一定不要忽略截距為零這種特殊情況；

二是要明確截距為零的直線不能寫成截距式。因此解決這類問題時(shí)要進(jìn)行分類討論，不要漏

掉截距為零時(shí)的情況。

26忽視圓錐曲線定義中條件致誤

利用橢圓、雙曲線的定義解題時(shí)，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件。如在雙曲線的

定義中，有兩點(diǎn)是缺一不可的：其一，絕對(duì)值；其二，2a<|F1F2|。如果不滿足第一個(gè)條件，

動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距寓之差為常數(shù)，而不是差的絕對(duì)值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一

支。

27誤判直線與圓錐曲線位置關(guān)系

過定點(diǎn)的直線與雙曲線的位置關(guān)系問題，基本的解決思路有兩個(gè)：一是利用一元二次方程的

判別式來確定，但一定要注意，利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為零，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為零

時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行（或重合），也就是直線與雙曲線最多只有一個(gè)交點(diǎn)；二是利

用數(shù)形結(jié)合的思想，畫出圖形，根據(jù)圖形判斷直線和雙曲線各種位置關(guān)系。在直線與圓錐曲

線的位置關(guān)系中，拋物線和雙曲線都有特殊情況，在解題時(shí)要注意，不要忘記其特殊性。

28兩個(gè)計(jì)數(shù)原理不清致誤

分步加法計(jì)數(shù)原理與分類乘法計(jì)數(shù)原理是解決排列組合問題最基本的原理，故理解“分類用

加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提，在解題時(shí)，要分析計(jì)數(shù)對(duì)象的本質(zhì)特征與形成

過程，按照事件的結(jié)果來分類，按照事件的發(fā)生過程來分步，然后應(yīng)用兩個(gè)基本原理解決.

對(duì)于較復(fù)雜的問題既要用到分類加法計(jì)數(shù)原理，又要用到分步乘法計(jì)數(shù)原理，一般是先分類，

每一類中再分步，注意分類、分步時(shí)要不重復(fù)、不遺漏，對(duì)于“至少、至多”型問題除了可以

用分類方法處理外，還可以用間接法處理。

29排列、組合不分致誤

為了簡(jiǎn)化問題和表達(dá)方便，解題時(shí)應(yīng)將具有實(shí)際意義的排列組合問題符號(hào)化、數(shù)學(xué)化，建立

適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，再?yīng)用相關(guān)知識(shí)解決.建立模型的關(guān)鍵是判斷所求問題是排列問題還是組合問

題，其依據(jù)主要是看元素的組成有沒有順序性，有順序性的是排列問題，無順序性的是組合

問題。

30混淆項(xiàng)系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)致誤

在二項(xiàng)式(a+b)n的展開式中，其通項(xiàng)T