2022-2023學(xué)年湖南省湘潭市成考專升本數(shù)學(xué)(理)自考真題(含答案)

2022-2023學(xué)年湖南省湘潭市成考專升本數(shù)

學(xué)（理）自考真題（含答案）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

1.已知f（x）是偶函數(shù)，且其圖像與x軸有4個交點，則方程f（x）=0的所

有實根之和為（）

A.4B.2C.lD.0

log510-log；2=

\/O

A.8B.OC.lD.5

3.函數(shù)y=lg（x2—3x+2）的定義域為（）

A.A.{x|x<1或x>2}B.{x|l<x<2}C.{x|x<1}D.{x|x>2}

4.在/vWC中.已旬AB=%.AC-2.BC=l?《lsinA等于（）

A.A.O

B.l

「裊

c.1

D.

5.設(shè)集合乂={乂￡1<|近-1},集合N={￡R|Z壬3},則集合MnN=（）

A.{X￡RB—3<X<-1}C.{Z￡RD.Z<-1}E.{XeRF.X>—3}G.(p

6.函數(shù)，y=lg(2x-l)的定義域為()

A.A.RB.{x|x>1}C.{x|x>2}D.{x|x>0}

已知正方形48cb.以4,C為焦點，且過8點的橢圓的離心率為()

(A)&(B)立/

7?孝(D)紿1

下列函數(shù)中，為奇函數(shù)的是()

(A)y=(B)ysx1-2

8(c)y=(i)⑼川叫十)

9.璃敢yu方-在—l處的導(dǎo)數(shù)為A.5B.2C.3D.4

I。7.函數(shù)y=Io%I了|GeR且工/0)為()

A.奇函數(shù)，在(-8,0)上是減函數(shù)

B.奇函數(shù)，在(-*0)上是增函數(shù)

C.偶函數(shù)，在(0,+8)上是減函數(shù)

D.偶函數(shù)，在(0,+8)上是增函數(shù)

11.某學(xué)生從7門課程中選修4門，其中甲、乙、丙三門課程至少選修

兩門，則不同的選課方案共有()

A.4種B.18種C.22種D.26種

12.已知橢圓的長軸長為8,則它的一個焦點到短軸一個端點的距離為

()

A.A.8B.6C.4D.2

13.設(shè)a、b都是單位向量，下列命題正確的是()

A.a=bB.若a//b,則a=bC.a2=b2D.axb=l

用0.1,2,3這四個數(shù)字,組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有()

(A)24個(8)184-

14.(612個(D)10個

15.設(shè)P={x|x2-x+3<0},Q={x|x(x-1)>2},則PAQ等于()

A.A.{x|x>3}

B.{x|-l<x<2}

C.{x|2<x<3)

D.{x|l<x<2}

16.從2、3、5三個數(shù)中，任取兩個數(shù)，可組成()個真分?jǐn)?shù)

A.2B.3C.4D.5

(15)橢圓*=l與圓++/=2的公共點個數(shù)是

17.(A)4(B)2(D)?

18.若直線mx+y-l=O與直線4x+2y+l=0平行，則m=（）

A.-lB.OC.2D.1

19.函數(shù)y=2sin（7r/4-x）sin（兀/4+x）的最大值是（）

A.1

B.2

C.a

20.已知平面%0、7兩兩垂直，它們?nèi)龡l交線的公共點為O,過O弓I-條

射線OP,若OP與三條交線中的兩條所成的角都是60。，則OP與第三

條交線所成的角為0

A.30°B.45。C.60°D.不確定

21.

正三棱錐底面邊長為m,側(cè)棱與底面成60。角，那么棱錐的外接圓錐的

全面積為()

A.7rm2B.*

22.圓C與圓(x—l)2+y2=l關(guān)于直線x+y=0對稱，則圓C的方程是

()

A.A.（x+I）2+y2=1

B.x2+y2=1

C.x2+(y+I)2=1

D.x2+(y-I)2=1

已知焦點在T軸上的確BB￡+￥=I的焦距等于2,則該桶wi上任一點p到兩焦點的距

23.窩之和為()

()

A.A.8

B.B.2v;

C.4

D.D.2R

24.在△W(：中.若MM=+8=30。,8c=4,則48m

A.A.24

B.6萬

C.2

D.6

25.

第11題設(shè)0<a<l/2,則()

A.loga(l-a)>l

B.cos(l+a)<cos(l-a)

C.a』<(1/2尸

D.(l-a)10<a10

若a,6是兩個相交平面，點4不在a內(nèi),也不在6內(nèi)，則過4且與a和8都平行的

直線（）

（A）只有一條（B）只有兩條

26（C）只有四條（D）有無數(shù)條

27.設(shè)甲：x=l：乙：x2+2x-3=0（）

A.A.甲是乙的必要桑件但不窟乙的充分條件

B.甲是乙的充分條件但不是乙的必要條件

C.甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

D.甲是乙的充分必要條件

28.已知圓(x+2)2+(y-3)2=l的圓心與一拋物線的頂點重合，則此拋物線

的方程為()

A.A.y=(x+2)2—3B.y=(x+2)2+3C.y=(x-2)2—3D.y=(x-2)2+3

29.設(shè)f(x)=ax(a>0,且a#l),貝(Jx>0時，0<f(x)<l成立的充分必要條件

是()

A.A.a>1

B.0<a<1

C.；…?

D.l<a<2

過點(2,-2)且與雙曲線X1-2/=2有公共漸近線的雙曲線方程是)

(A)-龍+》=1(B)2*~4^=1

(C)-5"+y1=1(D)-y+=1或5-?；=1

30.24--4

二、填空題（20題）

2

31.擲一枚硬幣時，正面向上的概率為萬，擲這枚硬幣4次，則恰有2

次正面向上的概率是__________________o

32/5i+|^g月》=

33.化荷,花+OP'w\MP=

巳知tana-cola=1,那么tan，?cot2a=.tan3a-cotJa=

34.

36.已知正三棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的

余弦值等于

37'數(shù)(i+i'+i'Xl-i)的實部為

38.（18）向證明b互相垂直，且lai=1,則0?（0+5）=,

39.若/（工）=./一”工+1有負(fù)值，則a的取值范圍是.

40.

若5條魚的平均質(zhì)量為0.8kg,其中3條的質(zhì)量分別為0.75kg,0.83kg和

0.78kg,則其余2條的平均質(zhì)量為kg.

41.函數(shù)y=x、6x+10的圖像的單調(diào)遞增區(qū)間為（考前押題2）

42.拋物線y2=6x上一點A到焦點的距離為3,則點A的坐標(biāo)為-----

43.

為了檢查一批零件的長度，從中抽取10件,量得它們的長度如下（單位：

mm）:22.3622.3522.3322.3522.3722.3422.3822.3622.32

22.35則樣本的平均數(shù)（結(jié)果保留到小數(shù)點第二位）為這組

數(shù)據(jù)的方差為

以的焦點為原點,而以的原點為焦點的雙曲皴的標(biāo)位方程為

O）=I9118

44.一.

2"+1>0

45.不等式的解集為l—2z

46.設(shè)離散型隨機變量x的分布列為

X^2-102

P0.2010.40.3

則期望值E(X)=

47.經(jīng)驗表明，某種藥物的固定劑量會使心率增加，現(xiàn)有8個病人服用

同一劑量的這種藥，心率增加的次數(shù)分別為131514108121311,則該

樣本的樣本方差為

48.

某射手有3發(fā)子彈，射擊一次，命中率是0.8,如果命中就停止射擊,

否則一直射到子彈用完為止，那么這個射手用子彈數(shù)的期望值是

49.直線3x+4y-12=0與z軸、y軸分別交于A,B兩點，O為坐標(biāo)原

點，則aOAB的周長為

50.過圓x2+Y2=25上一點M(-3,4)作該圓的切線，則此切線方程為

三、簡答題(10題)

51.

(本小題滿分13分)

2sin0cos0+—

設(shè)函數(shù)/(&)=T".，e[0,豹

sin?+coM2

(1)求/(");

(2)求/⑼的最小值.

52.（本小題滿分12分）

已知51，吊是橢闞志+Q=I的兩個焦點,P為橢圓上一點,且Z.K"入=30。,求

△PF\Fa的面積.

53.

（本小題滿分12分）

已知等比數(shù)列｛an｝的各項都是正數(shù)，al=2,前3項和為14.

（1）求｛an｝的通項公式；

（2）設(shè)bn=log2an,求數(shù)列｛bn｝的前20項的和.

54.

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（x）sTnx,求（1）/（*）的單兩區(qū)間；（2）｛x）在區(qū)間［:,2］上的最小值,

55.

（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列ta.|中,5=9,a3+?,=0,

（I）求數(shù)列｛a」的通項公式?

（2）當(dāng)n為何值時,數(shù)列力.|的前n頁和S.取得最大值，并求出該最大值.

56.（本小題滿分12分）

如果將進貨單價為8元的商品按每件10元售出肘，每天可銷售100件。

現(xiàn)采取提高售出價，減少進貨量的辦法增加每天的利潤，已知這種商品

每件漲價1元，其銷售數(shù)量就減少1。件，問將售出價定為多少時，賺

得的利潤最大？

57.

（本小題滿分13分）

巳知函數(shù)/"）=H-2后.

（I）求函數(shù)y="*）的單調(diào)區(qū)間,并指出它在各單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)；

（2）求函數(shù)y=〃幻在區(qū)間［0.4］上的$大值和最小值.

58.（本小題滿分12分）

分別求曲線y=-3x2+2x+4上滿足下列條件的點

⑴過這些點的切線與x軸平行；

⑵過這些點的切線與直線y=x平行.

59.（本小題滿分12分）

#△A8C中"48=8J6,B=45°.C=60。.求4aBe

60.(本小題滿分12分)

設(shè)一次函數(shù)f(x)滿足條件2/(l)+3f(2)=3且2/(-l)-f(0)=-1,求f(x)的

解析式.

四、解答題(10題)

61.已知數(shù)列⑶｝的前n項和Sn=n(2n+1)

⑴求該數(shù)列的通項公式；

(II)判斷39是該數(shù)列的第幾項

62.某城有東西方向的街道七條，相鄰兩街的距離為b,南北方向的街道

八條，相鄰兩街的距離為a,形成-個矩形.

(I)從A到D的最短途徑有多少條？

(11)從人經(jīng)8和?到口的最短途徑有多少條？

63.如圖：在三棱柱P-ABC中，側(cè)面PAC_L底面ABC,

PA=BC=a,PC=AB=2a,ZAPC=60°,D為AC的中點

⑴求證：PA±AB

⑵求二面角P-BD-A的大小

⑶求點A到平面PBD的距離

64.

已知數(shù)列和數(shù)列體），且5=8也=%6.數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,求數(shù)列

QQ的通項公式a..

65.在邊長為a的正方形中作一矩形，使矩形的頂點分別在正方形的四

條邊上，而它的邊與正方形的對角線平行，問如何作法才能使這個矩

形的面積最大？

66.已知正圓錐的底面半徑是1cm母線為3cm,P為底面圓周上一點，

由P繞過圓錐回到P點的最短路徑如圖所示，由頂點V到這條路線的

最小距離是多少？

P

已知等比數(shù)列I。」的各項都是正數(shù),=2,前3項和為14.

(1)求2」的通項公式；

(2)設(shè)兒=log?。..求數(shù)列B.1的前20項的和.

67.

68.

zMBC的三邊分別為ad.c,巳知&+M10.且cosC是方程2y3才2=0的根.

(I)求/(：的正弦值；

(II＞求△八枚'的周長N小時的三邊a,從＜的邊長.

69.從一批含有13只正品，2只次品的產(chǎn)品中，不放回地抽取3次，每

次抽取1只，用自表示抽到次品的次數(shù).

(I)求g的分布列；

(II)求g的期望ER)

已知函數(shù)〃x)=(x+a)e'+32,且/'((>)=o.

(I)求a；

'II)求/(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明它在各區(qū)間的單調(diào)性:

(W)證明對任恿xcR,都有/(x)H-L

70.

五、單選題(2題)

71.若/8=1喻工,則F列不等式成立的是()

A.A.f(l/4)>f(l/3)>f(2)

B.f(2)>f(l/3)>f(l/4)

C.f(l/4)>f(2)>f(l/3)

D.f(l/3)>f(2)>f(l/4)

72.已知在平行六面體ABCD-A，BO中，AB=5,AD=3,AA,=6,Z

BAD=ZBAA,=ZDAA,=60°,AC'=

A.

B.133

C.70

D.63

六、單選題(1題)

73屈數(shù)f(x)=tan(2x+3)的最小正周期是()。

n

A.2

B.27r

C.77r

D.47r

參考答案

l.D設(shè)f(X)=O的實根為Xl,X2,X3,X4「?'f(X)為偶函數(shù)，，X1,X2,X3,X4,兩兩成

對出現(xiàn)(如圖)，Xl=-X3,X2=-X4,Xl+X2+X3+X4=0.

該小題主要考查的知識點為對數(shù)函數(shù).【考試指導(dǎo)】

log510—log$2=logs當(dāng)==1.

3.A

由x2-3x+2>0,解得xVl或x>2.（答案為A）

4.D

由余弦定理有coZ、+AC二&;阪i±2：二;&

陰爾抬足埋向COS2AB?AC2X73X22'

A="f,則sinAfin（答案為D）

5.A

6.D

7.C

8.A

9.D

DI*看，I=4

*wl?

10.C

11.C

某學(xué)生從7門課程中選修4門，箕中甲、乙.丙三門源程至少選修兩門.

則不同的選課方案共有qq+qc;=18+4=22.（答案為0

12.C

13.C單位向量：長度為1的向量（沒有定方向）.選項A,a=b錯誤，???

a,b的長度相等，但方向不一定相同.選項B,若a//b則a=b錯，???a,b方

向可相反，則a//b選項C,單位向量的長度是相等的.選項D,

axb=|a|x|b|cos（a,b>=lxlcos（a,b>=cos〈a,b>,的夾角不知，錯.

14.B

15.C

16.B

從2、3、5中任取兩個數(shù)，大數(shù)做分母，小數(shù)做分子，兩個數(shù)組成的

分?jǐn)?shù)是真分?jǐn)?shù)形式只有一種，所以所求真分?jǐn)?shù)的個數(shù)為0=3種

17.D

18.C兩直線平行斜率相等，故有-m=-2,即m=2.

19.A*.*y=2sin（7r/4-x）sin（7r/4+x）=2cos|7T/2-（7r/4-x）］sin（7r/4+x）=2cos

（7r/4+x）sin（7r/4+x）=sin（7r/2+2x）=cos2x,ymax=I.

20.B將a、入丫看成是長方體中有公共點的三個面，OP看成是長方體

的對角線.

21.C

22.C

圓（x-l）2+y2=l的圓心（1,0）關(guān)于直線x+y=O的對稱點為（0,-

1）.圓C的方程為x2+（y+l）2=l.（答案為C）

23.B

由題意可知a*nm.〃=4.2c=2?則s4=1.解得<?=??=5,

則該橢圓上任一點P到兩焦點的距木之和為船=2展.（答案為B）

24.D

25.B

26.A

27.B

28.B

29.B

30.C

31.

3

8

本題考查了貝努利試驗的知識點。恰有2次正面向上的概率是P=

32.答案：2應(yīng)i

i+yV8i一看灰i=

*X3⑶+/x2〃i--1x5>/2i=272i.

33.

34

34.

35.

36.

（20）【參考答案】

n

設(shè)三極錐為P-ABC，。為底面正三角形ABC的中心，則"_L面48c.z.P（：O即為例校與底

面所成珀.

設(shè)48=1,則PC=2,OC=4,所以

3

【解題指要】本題考查三棱錐的知識及線面角的求法.

正三棱錐的底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面正三角形的中

心，這是解題中應(yīng)使

用的條件.

求線面角通常的方法是利用線面角的定義，求斜線和斜線在平面內(nèi)的射

影所成角的大小.

37.

38,（18）1

39.

{aIa<.2或a：>2)

M因為/=二一a，r行負(fù)值.

所以A-(-af-4X1X1>'J.

解之用a<-2a>-2.

【分析】本蜀學(xué)查對二次函敕的圖象與，tL盾、

次不等式的解本的安捱.

40.

【答案】0.82

【解析】該小題主要考查的知識點為平均數(shù).

【考試指導(dǎo)】5條魚的總重為5X0.8=4(kg),剩余2條魚的總重為4-0.75-

0.83-0.78=1.64(kg),則其平均重量為1.64/2=0.82(kg).

41.答案：［3,+oc)解析：

2

由y=x-6JT+10

=r2-6x+9+l=(j-3)2+l

故圖像開口向上,頂點坐標(biāo)為(3.1)，

18題答案圖

因此函數(shù)在［3.+8)上單調(diào)增.

(?3)

42.

43.

44.

y-^-=l.解析:橢圓的Bl點七斥加上苒.0）.盥京土標(biāo)刈14:5.0），即（*萬,0）.則對十該雙

■線.有??萬.，?萬。?6被以南膻的方?力牛手?1

45.

.【答案】《工|）

2才+1、C5+>0

［石>0=*〈①或

I-2x>0

2x+1<0

②

!"2x<0

①的解集為一②的解集為0.

（￡?

<x|—|-<x<-1-)U0=(工|一十0<9)

46.

47.

48.

49.

50.

51.

1+2ain0coB0+—

由題已知4。)=—益a—產(chǎn)

&ind?cow

(sinHcosd)'+--

_&

sin0+coS

令t=sin。+CCM^,得

?X：?—

<e）=T'…>石-戛F石.彌

=『+而

由此可求得4看）=而4。）最小值為網(wǎng)

52.

由已知，橫眼的長軸長2a=20

設(shè)IPFJ=m,IPF/=n,由橢圓的定義知即+“=20①

又J=100-64=36工=6,所以F,(-6.0),吊(6,0)且萬產(chǎn)/=12

在△PK3中,由余弦定理得m!+n5-2/nnco630°=121

m：.『■方mn:144②

m242/nn+n2=400,③

③-②,得(2+vT)mn=256.E=256(2-6)

因此的面枳為:mnHin30°=64(2-⑶

53.

⑴設(shè)等比數(shù)列a；的公比為g,則2+2g+2q%14,

即g、q-6=0.

所以%=2,g=-3(舍去).

通項公式為。?=2*.

(2)&.=log2a.=logjl*=H,

設(shè)720=4+&+…?匕

=1+2?…+20

*20x(20+1)=210.

2

(I)函數(shù)的定義域為(0,+8).

/(X)=1-令/(")=0,得X=I.

可見,在區(qū)間(0.1)上/(工)<0;在區(qū)間(I.+8)上J(x)>0.

則〃x)在區(qū)間(01)上為城函數(shù);在區(qū)間(1.+8)上為增函數(shù).

(2)由(I)知，當(dāng)x=l時?x)取極小值,其值為70)=1-Ini=

又〃，)=y-lny=y+ln2if(2)=2-ln2.

54由于1n<瓜2<In”?

因0(x)在區(qū)間：S.2)上的最小值是1.

55.

(I)設(shè)等比數(shù)列l(wèi)a.I的公差為乙由已知+%=0,得2%+9d=0.

又已知%=9,所以d=-2.

得數(shù)列Ia1的通項公式為a.=9-2(n-1).即a.=11-20

的前n項和S.=+(9+ll-2n)=-nJ+IOn=-(n-5)’+25.

則當(dāng)n=5時.S.取得鍛大值為25.

56.

利潤=梢售總價-進貨總價

設(shè)每件提價了元(MNO),利潤為y元,則每天售出(100-10*)件,銷售總價

為(10+外?(100-10工)元

進貨總價為8(100-10?)元(0WXW10)

依題意有:y?(10+x)?(100-IOx)-8(100-10*)

=(2+x)(100-10x)

=-10/+go,+200

y*=-20x+80,令y，=0得x=4

所以當(dāng)*=4即售出價定為14元一件時,■得利祠■大，最大利潤為雙元

57.

(1)外/)=1-+令八工)=0,解得x=L當(dāng)xw(0,l)./(*)<0；

當(dāng)Xw(1.+8)/⑺>0.

故函數(shù)人工)在(0.1)是減函數(shù).在(1，+8)是增函數(shù)一

(2)當(dāng)*=1時J(x)取得極小值,

又/(0)=0/D=T，<4)=0.

故函數(shù)人*)在區(qū)間［0,4］上的最大值為0.最小值為-L

58.

(1)設(shè)所求點為

y*x-6xI=-6x?+2

由于h軸所在直線的斜率為。,則-6%+2=0,與4

因此為=-3.(1?/+2q+4=號.

又點g號不在x軸上，故為所求.

(2)設(shè)所求為點(與,%).

由(l),y'i=-6*0+2-

由于廣彳的斜率為1,則-6廝+2=1,%=/.

因此>。=-3?=+2?1■+4=%

又點(看吊不在直線…上'故為所求.

59.

由巳知可得4=75。，

又向75。=wn(450+30°)=sin45°cos30°+??45o8in30o—..........4分

在△4%：中,由正弦定理得

ACBC8而...8分

o-o_，

8in45sjn758in60°

所以4c=l6.8C=83+8?……12分

60.

設(shè)/U)的解析式為/(幻

2(Q+6)+3(2a+b)=3

依題意得解方程組，糊a=*.b=

,2(一a?b)—b=-1.-I-

〃M)=今*一/

22

61.(1)當(dāng)n>2時，an=Sz-Sn-i=2a+n-2(n-l)-(n-l)=4n-1

當(dāng)n=l時，ai=3,滿足公式an=4n-L所以數(shù)列｛an｝的通項公式為

an=4n-l

(II)設(shè)39是數(shù)列｛an｝的第a項,4n-l=39,解得n=10,即39是該數(shù)列

的第10項

62.

([)每一條1?短途葆有6gM及7段a.

因此從A到D的最短途徑共7^轟-1716條.

(□＞同理?從A到8再到C.*后到。的殿如途校共

從A到B有意*條?

從b到C有導(dǎo)信:條最TjX2jxl!x2?X2]

從C到D花為翳j1條,

63.解析：(I)在△PAC中，由已知利用余弦定理得因為平面PAC_L

平面ABC,

AC=/PA2+PC2-2PA?PC?cos60°=

Ga，NPAC=￡,

所以PA_L平面ABC,所以PA_LAB.

(II)作AE_LBD于E連PE,PA_LBD所以.BD_L平面PAE,則PE

JLBD,所以NPEA是二面角P—BD—A的平面角因為RtAAED相

似RtABCD所以AE/BC=AD/BD

=PA=aTZT

；.tanNPEA一挺一7^3~

~a

即/PEA=arctan

(HI)過A作AH_LPE于H.BDlAHdlKD)

證知).所以AH，平面PBD,

由射影定理可得

人口PA?AEv/30

AH=~PE---------\0~a-

64.

由數(shù)列(仇)是公比為2的等比數(shù)列.得d=6,?L,即0?-6-5-6)?2'

~6-8-6=2.；?6-6-2?2"-'.a.=6+2'.

65.ABCD是邊長為a的正方形，EFGH是要作的矩形

設(shè)HD=x,(0<x<a)則AH=a-x由已知EH〃

BD,HG//AC,所以aAEH與aDHG都是等腰三角形

于是HG--72x^HE='j2（.a~~Jc）.

用y表示矩形的面枳，

V0<x<a，

a.a!

...當(dāng)工=^時

可知正方形各邊中點連得的矩形（即正方形）的

面積最大.其值為號?

66.圓錐的曲面沿著母線剪開，展開成一個平面（如下圖）

其半徑VP=3,弧長=2兀*1=2兀的扇形因為圓錐的底面半徑為1,于是

圍繞圓錐的最短路

線對應(yīng)于扇形內(nèi)是P,到P：的最短距離就是

弦RP?.

由V到這條路線的最短距離是圖中的纖段

h=AV,

依據(jù)弧長公式2芥=2外3,

得0=三