2020-2021學(xué)年浙江省寧波市余姚市八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2020-2021學(xué)年浙江省寧波市余姚市八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分,在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）

1.（3分）（2021春?余姚市期末）下列四個生活安全警示圖標(biāo)，其中是中心對稱圖形的是（

)

C會4

2.（3分）（2020?從化區(qū)一模）函數(shù)中y=自變量x的取值范圍是（）

A.x..2B.x>2C.x卡2D.x.,—2

3.（3分）（2021春?余姚市期末）在DABCD中，ZA:ZB=2:1,則NC的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.100°D.120°

4.（3分）（2020秋?羅湖區(qū)校級期末）用配方法解一元二次方程二-4%-9=0,可變形為（

）

A.（x-2）2=9B.（x-2）2=13C.（x+2）2=9D.（x+2）2=13

5.（3分）（2021春?余姚市期末）一組數(shù)據(jù)1,1,1,3,4,7,12,若加入一個整數(shù)a,

一定不會發(fā)生變化的統(tǒng)計量是（）

A.眾數(shù)B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差

6.（3分）（2021春?余姚市期末）下列說法正確的是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形

B.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

C.一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

D.對角線相等的平行四邊形是矩形

7.（3分）（2021春?余姚市期末）如圖，矩形內(nèi)兩個相鄰正方形的面積分別為9和3,則陰

影部分的面積為（）

A.8-3^B.9-373C.36-3D.3^-2

8.（3分）（2021春?余姚市期末）已知a,6是實數(shù)，定義：aXb=ab+a+b.若加是常

數(shù)，則關(guān)于x的方程：尤※（〃認）=-1,下列說法正確的是（）

A.方程一定有實數(shù)根

B.當(dāng)加取某些值時，方程沒有實數(shù)根

C.方程一定有兩個實數(shù)根

D.方程一定有兩個不相等的實數(shù)根

9.（3分）（2021春?余姚市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AAOB的頂點3在無軸

正半軸上，頂點A在第一象限內(nèi)，AO=AB,P,Q分別是Q4,他的中點，函數(shù)

>=幺（％>0,無>0）的圖象過點P,連接0Q,若&“2=3,則左的值為（）

X

10.（3分）（2021春?余姚市期末）如圖，正方形ABCD中，AC,5D相交于點O,E為

線段30上一動點（不包括O,3兩點），DFLCE于點.F,過點A作AG_LD產(chǎn)于點G,

交BD于點、H,連結(jié)AE,CH,則下列結(jié)論：?ZADG=ZDCF；?DG=EF-③存在點

E,使得EF=GF；④四邊形是菱形.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（每小題4分，共24分）

11.（4分）（2021?大慶）7（-2）2=.

12.（4分）（2021春?余姚市期末）用反證法證明：“在AABC中，若則NBwNC”，

則應(yīng)假設(shè)—.

13.（4分）（2021春?余姚市期末）某種商品原價每件售價為400元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，

每件售價為288元，設(shè)平均每次降價的百分率為x,則可列方程為一.

14.（4分）（2021春?余姚市期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,將矩形沿EF

翻折，使點C與點A重合，點3落在8處，折痕與DC,AB分別交于點E,F,則DE的

長為—,

15.（4分）（2021春?余姚市期末）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)

的點稱為“整點”，已知點A,3在反比例函數(shù)y=d的圖象上，若點A,3都是整點，點O

X

是坐標(biāo)原點，且AABO是等腰三角形，則AB的長為—.

16.（4分）（2022?長沙一模）如圖，在口ABCD中，AE_L3C于點E,N是EC的中點，M

是的中點，已知&1M=6,BC=4,則MV的長為.

D

三、解答題(第17、18,19題各6分，第20、21題各8分，第22、23題各10分，第24題12

分，共66分)

17.(6分)(2021春?余姚市期末)計算:

(1)y/3xy/6+J^;

(2)(A/5-1)2+(^+2)(75-2).

18.(6分)(2021春?余姚市期末)解方程：

(1)(2x-l)2=16；

(2)2X2+8X-1=0.

19.(6分)(2021春?余姚市期末)我們把小正方形的頂點叫做格點，每個頂點都在格點的

四邊形叫做格點四邊形.如圖，在所給的8x6方格紙中，點A,3均為格點，請畫出符合

要求的格點四邊形.

(1)在圖1中畫出一個以鉆為邊的矩形；

(2)在圖2中畫出一個以至為對角線的菱形.

圖1圖2

20.(8分)(2021春?余姚市期末)已知反比例函數(shù)y=￡b(%/0)的圖象經(jīng)過點A(2,-3).

X

(1)求函數(shù)表達式；

(2)當(dāng)x=Y時，求函數(shù)y的值；

(3)當(dāng)蒼,1且xwO時，直接寫出y的取值范圍.

21.(8分)(2021春?余姚市期末)甲、乙兩名學(xué)生參加數(shù)學(xué)素質(zhì)測試(有四項)，每項測試

成績(單位：分)采用百分制，成績?nèi)绫恚?/p>

學(xué)生數(shù)與代數(shù)空間與圖統(tǒng)計與概綜合與實踐平均成績眾數(shù)中位數(shù)方差

形率

甲9590a85Xb9012.5

乙90C8095X95d37.5

（1）根據(jù)表中信息判斷哪個學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)測試成績更穩(wěn)定？請說明理由.

（2）表格中的數(shù)據(jù)a=；b=;c=；d=;

（3）若數(shù)學(xué)素質(zhì)測試的四個項目的重要程度有所不同，而給予“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、

“統(tǒng)計與概率”、“綜合與實踐”四個項目在綜合成績中所占的比例分別為40%,30%,10%,

20%.計算得到乙的綜合成績?yōu)?1.5分，請你計算甲的綜合成績，并說明誰的綜合成績更

好？

22.（10分）（2021春?余姚市期末）如圖，在DABCD中，E,尸分別是AB,CD上的點，

且=DE,跳1分別交AC于點G,H.

（1）求證DE//BF；

23.（10分）（2021春?余姚市期末）楊梅是我市特產(chǎn)水果之一，素有“初疑一顆值千金”之

美譽！某楊梅園的楊梅除了直接銷售到市區(qū)外，還可以讓市民去園區(qū)采摘.已知楊梅在市區(qū)

和園區(qū)的銷售價格分別是10元/千克和15元/千克，該楊梅園今年六月第一周一共銷售了

■00千克,銷售收入12000元.

（1）該楊梅園今年六月第一周市區(qū)和園區(qū)分別銷售了多少千克楊梅？

（2）為了促銷，該楊梅園決定六月第二周將市區(qū)和園區(qū)銷售價格均降低元，預(yù)計

市區(qū)和園區(qū)的銷量將分別比第一周增加204％和50%,設(shè)銷售總額為w元，求w關(guān)于。的函

數(shù)表達式；（不需要寫出。的取值范圍）

（3）在（2）的條件下，若預(yù)計該楊梅園第二周銷售收入為14520元，求a的值.

24.（12分）（2021春?余姚市期末）如圖1,四邊形ABCD和四邊形CEFG都是菱形，其中

點E在3C的延長線上，點G在。C的延長線上，點”在邊上，連結(jié)AC,AH,HF.已

知AB=2,ZABC=60°,CE=BH.

(1)求證：^ABH^AHEF；

(2)如圖2,當(dāng)H為3C中點時，連結(jié)OF,求正的長；

(3)如圖3,將菱形CEFG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120。，使點E在AC上，點尸在CD上，點G

在3c的延長線上，連結(jié)EH,BF.若EHLBC,請求出班'的長.

2020-2021學(xué)年浙江省寧波市余姚市八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共30分,在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）

1.（3分）（2021春?余姚市期末）下列四個生活安全警示圖標(biāo)，其中是中心對稱圖形的是（

)

B.A

D.A

【考點】中心對稱圖形

【專題】幾何直觀；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)

180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

【解答】解：A.是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

B.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

D.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：A.

【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后

與原圖重合.

2.（3分）（2020?從化區(qū)一模）函數(shù)中y=^/^下自變量》的取值范圍是（）

A.x..2B.x>2C.％w2D.x..—2

【考點】函數(shù)自變量的取值范圍

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解.

【解答】解：由題意得，X—2..0,

解得X..2.

故選：A.

【點評】本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：

（1）當(dāng)函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

（2）當(dāng)函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

（3）當(dāng)函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負.

3.（3分）（2021春?余姚市期末）在口ABCD中，ZA:ZB=2:1,則NC的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.100°D.120°

【考點】平行四邊形的性質(zhì)

【專題】推理能力；多邊形與平行四邊形

【分析】由平行四邊形的對邊平行結(jié)合條件可求得則可求得NC的度數(shù).

【解答】解：?.?四邊形4JCD為平行四邊形，

:.AD//BC,ZA=ZC,

.-.ZA+ZB=180°,

■.■ZA:ZB=2:1,

.-.ZA=120°,

：.zc=ZA=no°,

故選：D.

【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對邊平行、對角相等是解題的

關(guān)鍵.

4.（3分）（2020秋?羅湖區(qū)校級期末）用配方法解一元二次方程式-4%-9=0,可變形為（

）

A.（x-2）2=9B.（尤-2）2=13C.（x+2）2=9D.（x+2）2=13

【考點】A6：解一元二次方程-配方法

【專題】523：一元二次方程及應(yīng)用；66：運算能力

【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即

可得出答案.

【解答】解：?.■尤2-4尤一9=0,

/.x2-4.r=9,

則x?-4x+4=9+4,即（尤一2）2=13,

故選：B.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:

直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解

題的關(guān)鍵.

5.（3分）（2021春?余姚市期末）一組數(shù)據(jù)1,1,1,3,4,7,12,若加入一個整數(shù)a,

一定不會發(fā)生變化的統(tǒng)計量是（）

A.眾數(shù)B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差

【考點】統(tǒng)計量的選擇；算術(shù)平均數(shù)；眾數(shù)；中位數(shù)；方差

【專題】統(tǒng)計的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念

【分析】依據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解：A、原來數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1,加入一個整數(shù)。后眾數(shù)仍為1,符合題意；

B、原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)是絲，加入一個整數(shù)a,平均數(shù)一定變化，不符合題意；

7

C、原來數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3,加入一個整數(shù)。后，如果aw3中位數(shù)一定變化，不符合題意；

￡）、原來數(shù)據(jù)的方差加入一個整數(shù)a后的方差一定發(fā)生了變化，不符合題意；

故選：A.

【點評】本題主要考查的是眾數(shù)、中位數(shù)、方差、平均數(shù)，熟練掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

6.（3分）（2021春?余姚市期末）下列說法正確的是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形

B.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

C.一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

D.對角線相等的平行四邊形是矩形

【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定

【專題】證明題；空間觀念

【分析】根據(jù)菱形、正方形、平行四邊形、矩形的判定，逐個進行驗證，即可得出正確選項.

【解答】解：A、對角線互相垂直平分的平行四邊形時菱形，A不符合題意.

對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，錯誤，故3不符合題意.

C、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，錯誤，故C不符合題意.

。、對角線相等的平行四邊形是矩形，正確，故。符合題意.

故選：D.

【點評】本題是考查菱形、正方形、平行四邊形、矩形的判定.就每一個選項來說都是單一

知識點，是比較基礎(chǔ)的知識，而把四個選項置于一個試題之中，它涉及到四個知識點和四種

圖形的聯(lián)系和區(qū)別，要求學(xué)生的思維必須縝密、全面.

7.（3分）（2021春?余姚市期末）如圖，矩形內(nèi)兩個相鄰正方形的面積分別為9和3,則陰

影部分的面積為（）

93

A.8-3括B.9-373C.36-3D.32

【考點】二次根式的應(yīng)用

【專題】運算能力；二次根式

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方求出兩個正方形的面積，然后根據(jù)陰影部分的面積的和為一個矩

形的面積列式計算即可得解.

【解答】解：?.?兩個相鄰的正方形，面積分別為3和9,

二.兩個正方形的邊長分別為有，3,

陰影部分的面積=75x（3-6）=34-3.

故選：C.

【點評】本題考查了有理數(shù)的乘方，正方形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記概念并求出兩個正方形

的邊長是解題的關(guān)鍵.

8.（3分）（2021春?余姚市期末）已知°,。是實數(shù)，定義：aXb=ab+a+b.若加是常

數(shù)，則關(guān)于x的方程：尤※（〃叱）=-1,下列說法正確的是（）

A.方程一定有實數(shù)根

B.當(dāng)加取某些值時，方程沒有實數(shù)根

C.方程一定有兩個實數(shù)根

D.方程一定有兩個不相等的實數(shù)根

【考點】根的判別式

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；符號意識；運算能力

【分析】根據(jù)定義的公式化簡x※（加x）=-l解題即可.

【解答】解：aXb=ab+a+b,

xX(mx)=x?mx+x+mx=mx1+(m+l)x=—1,

由JWC2+（加+l）x=-1得

mx1+（m+l）x+1=0,

①若m=O,解得：x=—lf

②若根w0,△=/?2—4ac=（m+1）2—4m=（m-1）2..0,

，方程一定有實數(shù)根.

故選：A.

【點評】本題考查了一元二次方程根的判別情況，關(guān)鍵是從定義出發(fā)得出一元二次方程進行

根的判斷.

9.（3分）（2021春?余姚市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AAO5的頂點3在x軸

正半軸上，頂點A在第一象限內(nèi)，AO=AB,P,。分別是Q4,的中點，函數(shù)

＞=與左＞0,尤＞0）的圖象過點P,連接OQ,若&82=3,則左的值為（）

X

【考點】反比例函數(shù)系數(shù)左的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；等腰三角形的性

質(zhì)；三角形中位線定理

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力

【分析】作軸于D,PELx軸于E,根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩

部分即可求得AAOD的面積為6,然后通過證得APOESAAOD,由相似三角形的性質(zhì)即可

求得=（5AA“，然后根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)人的幾何意義即可求得左=3.

【解答】解：作軸于。，PELx軸于E,

■.■AO=AB,

/.OD=BD,

???尸，。分別是。4,A5的中點，

SAAQB-2sA,^\AOQ=2sApOQ=6,

SMOB=12，

SgOD=2SAAOB=6，

?；PE//AD,

/.APOE^AAOZ）,

.S"OE_（。尸）2_J_

??一―OA~4f

.s_19_3

一口"OE—40MOD—2'

k

?.?函數(shù)y=2（左>0,x>0）的圖象過點P,

x

.,SAPOE=gI%I，

.［止3,

;女>0,

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)左的幾何意義：在反比例函數(shù)

y=（圖象中任取一點，過這一個點向X軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積

X

是定值|左|.在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標(biāo)軸作垂線，這一點和垂足以及坐標(biāo)原點

所構(gòu)成的三角形的面積是J左I,且保持不變.也考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

10.（3分）（2021春?余姚市期末）如圖，正方形ABCD中，AC,80相交于點O,E為

線段30上一動點（不包括O,B兩點）,DFLCE于點尸，過點A作AG_LDF于點G,

交BD于點、H,連結(jié)AE,CH,則下列結(jié)論：?ZADG=ZDCF；@DG=EF；③存在點

E,使得EF=GF；④四邊形加⑦是菱形.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；菱形的判定

【專題】推理能力；應(yīng)用意識；綜合題；矩形菱形正方形

【分析】由四邊形ABCD是正方形，DF±CE,可得NADG=90。-ZEDC=NDCF,故①

正確；證明AADGvADCF,可得Z）G=CF,而CF不一定等于￡F,可判定②錯誤；

由CE//AG,得ZECA=NHAC,直線班）為正方形ABCD的對稱軸，可知AH=C”,

ZHAC=ZHCA,從而NEC4=4/C4,OE=OH,即得四邊形AECH對角線互相垂直平

分，四邊形AECH是菱形，故④正確；由HG=GF—EF,且E為線段30上一動點（不包

括O,8兩點），HGwO,可得GF—EFVO,可判定③不正確；

【解答】解：?.?四邊形ABCD是正方形，DF±CE

:.ZADC=90°,ZDFC=9Q°,

:.ZADG=90。—NFDC=NDCF,故①正確；

在AADG和ADCF中，

ZAGD=ZDFC

,ZADG=NDCF,

AD=CD

:./\ADG=ADCF（AAS）,

:.DG=CF,

?.?E為動點,

.?.DE不一定等于DC,

「.GF不一定等于￡F,

:.DG不一定等于EF,故②錯誤；

-.DF±CE,AG±DF,

:.CE//AG,

:.NECA=ZHAC,

?四邊形ABCD是正方形，

直線比＞為正方形ABCD的對稱軸，AC±BD,OA^OC,

:.AH=CH,

:.ZHAC=ZHCA,

.\ZECA=ZHCA,

;.OE=OH,

，四邊形AECH對角線互相垂直平分，

四邊形AECH是菱形，故④正確；

:.CE=AH,

:.HG=AG—AH=AG—CE,

而AADG三ADCF有4G=￡＞尸，DG=CF,

HG=DF—CE=（DG+GF）-（CF+EF）=GF-EF,

,.,E為線段30上一動點（不包括O,3兩點），

:.HG^O,^GF-EF^O,

:.GF^EF,故③不正確；

正確的有①④，

故選：B.

【點評】本題考查正方形的性質(zhì)及應(yīng)用，涉及三角形全等的判定與性質(zhì)、菱形的判定等知識,

解題的關(guān)鍵是證明AADG三ADCF.

二、填空題（每小題4分，共24分）

11.（4分）（2021?大慶）、/（-2/=2.

【考點】二次根式的性質(zhì)與化簡

【專題】二次根式；運算能力

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案.

【解答】解：

故答案為：2.

【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

12.（4分）（2021春?余姚市期末）用反證法證明：“在AABC中，若"wAC,則NBwNC”，

則應(yīng)假設(shè)_ZB=ZC_.

【考點】反證法

【專題】推理能力；反證法

【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答.

【解答】解：用反證法證明：”在AABC中，若則NBwNC”，

應(yīng)假設(shè)NB=NC,

故答案為：ZB=Z.C.

【點評】本題考查的是反證法的應(yīng)用，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②

從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的

結(jié)論正確.

13.（4分）（2021春?余姚市期末）某種商品原價每件售價為400元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，

每件售價為288元，設(shè)平均每次降價的百分率為x,則可列方程為_400（l-x）2=288

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程

【專題】應(yīng)用意識；一元二次方程及應(yīng)用

【分析】設(shè)平均每次降價的百分率為x,利用經(jīng)過連續(xù)兩次降價后的價格=原價x（l-降價

率）②，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：設(shè)平均每次降價的百分率為X,

依題意得：400（1-尤丁=288.

故答案為：400（1-4=288.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方

程是解題的關(guān)鍵.

14.（4分）（2021春?余姚市期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,將矩形沿EF

翻折，使點C與點A重合，點3落在8處，折痕與DC,反分別交于點E,F,則DE的

長為二

【考點】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力；矩形菱形正方形

【分析】設(shè)=則CE=8-x,根據(jù)折疊的性質(zhì)知：CE=8-X.在直角AAED中，利

用勾股定理列出關(guān)于x的方程并解答即可.

【解答】解：如圖，在矩形ABCD中，AB=DC=8,AD=6.

設(shè)=則CE=8-x,

根據(jù)折疊的性質(zhì)知：CE=8-x.

在直角AAED中，由勾股定理得：AD1+DE1=AE1,即6?=（8一M2.

解得x=Z.

4

即止的長為？.

4

故答案是：:.

【點評】本題主要考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，解題時，借用了方程思想，

求得了相關(guān)線段的長度.

15.（4分）（2021春?余姚市期末）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)

的點稱為“整點”，已知點A,3在反比例函數(shù)y=d的圖象上，若點入，3都是整點，點。

X

是坐標(biāo)原點，且AABO是等腰三角形，則的長為_3近或5忘

【考點】勾股定理；反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；等腰三角形的性質(zhì)

【專題】運算能力；反比例函數(shù)及其應(yīng)用；等腰三角形與直角三角形

【分析】根據(jù)題意，寫出反比例函數(shù)y=3的圖象上的所有“整點”，然后根據(jù)等腰三角形

的判定和性質(zhì)判斷A、3的坐標(biāo)，進而利用勾股定理求得/伊.

【解答】解：由題意可得，反比例函數(shù)y」的圖象上所有“整點”的坐標(biāo)為：(-4,-1),(-1,-4)，

x

(-2,-2),(1,4),(4,1),(2,2),

AABO是等腰三角形，

當(dāng)A、3在同一象限，則A(-1,T),耿-1,-1)或41,4),2(4,1),

此時AB=7(4-1)2+(1-4)2=3及；

當(dāng)A、5不在同一象限，則3(4,1)或4與,一1),5(1,4),

此時AB=7(4+1)2+(1+4)2=5&；

綜上，鉆的長為3點或5阪，

故答案為3&和5拒.

【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是明確題意，寫出所有的可能性，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題.

16.(4分)(2022?長沙一模)如圖，在QABCD中，AE_LBC于點E,N是EC的中點，M

是的中點，已知5AAM,=6,BC=4,則MN的長為-.

【考點】四邊形綜合題

【專題】推理填空題；多邊形與平行四邊形；運算能力；推理能力

【分析】取DC的中點M,連接MW交BD于點O,連接ON,NW,證明AMBO二△ATDO,

可得OM=QVT,OB=OD,連接AC,證明A,C,O三點共線，可得QV是AACE1的中

位線，連接DE,根據(jù)勾股定理可得DE的長，再根據(jù)ATN是ACDE的中位線，即可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，取DC的中點連接W交6。于點O,連接ON,NMf,

??,四邊形ABCD是平行四邊形，

..AB//DC,AB=DC,

:.ZMBO=ZMrDO,

?.?M是鉆的中點，AT是DC的中點,

，BM=DM「

在AMBO和中，

ZMBO=AM'DO

</MOB=ZMrOD,

BM=DM'

AMBO=△MfDO{AAS),

:.OM=OM,,OB=OD,

連接AC,

根據(jù)平行四邊形對角線互相平分,

/.A,C,O三點共線，

:.OA=OC,

???N是石。的中點，

「.ON是AACE的中位線，

:.ON//AE,

\AE±BC,

.\ON±BC,

?:ADIIBCIIMM',

:.ON工MM',

??OM=OM',

:.MN=MrN,

連接DE,

/S平行四邊形ABCD=2sA=2x6=12，BC=4，

:.BCAE=n,

/.AE=3,

方法一：在RtAMON中，OM=2,ON=\5,

MN=yJOM2+ON2=J4+2.25=2.5.

方法二：在RtAAED中，AE=3,AD=BC=4,

根據(jù)勾股定理，得DE=5,

???N是EC的中點，AT是DC的中點，

:.M'N=-DE=-.

22

故答案為：

2

【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，三角形中位線

定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明=

三、解答題(第17、18、19題各6分，第20、21題各8分篇22、23題各10分，第24題12

分洪66分)

17.(6分)(2021春?余姚市期末)計算：

(1)&義&+￡；

(2)(75-1)2+(A/5+2)(A/5-2).

【考點】二次根式的混合運算；平方差公式

【專題】二次根式；運算能力

【分析】(1)先根據(jù)二次根式的乘法法則運算，然后化簡后合并即可；

(2)利用完全平方公式和平方差公式計算.

【解答】解：（1）原式=g7?+1

=3點+也

2

70

2

(2)原式=5-24+1+5-4

=7-26.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的除法法則和乘法公式是解決

問題的關(guān)鍵.

18.（6分）（2021春?余姚市期末）解方程：

（1）（2x-l）2=16；

（2）2尤2+8元一1=0.

【考點】解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-直接開平方法

【專題】運算能力；一次方程（組）及應(yīng)用

【分析】（1）方程開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出解即可；

（2）方程利用配方法求出解即可.

【解答】解：⑴（2尤-1）2=16,

開方得：2犬-1=4或2了-1=-4,

解得：xx=2.5,x,=—1.5；

（2）2尤2+8元一1=0,

整理得：X2+4X=-,

2

配方得：X2+4X+4=~,即（X+2）2=2,

22

開方得：x+2=±述，

2

解得：%=一2+巫,X2=-2--.

【點評】此題考查了解一元二次方程-直接開平方法，以及配方法，熟練掌握各自的解法是

解本題的關(guān)鍵.

19.（6分）（2021春?余姚市期末）我們把小正方形的頂點叫做格點，每個頂點都在格點的

四邊形叫做格點四邊形.如圖，在所給的8x6方格紙中，點A,8均為格點，請畫出符合

要求的格點四邊形.

圖1圖2

【考點】作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖；多邊形

【專題】幾何直觀；作圖題

【分析】（1）直接利用網(wǎng)格結(jié)合矩形的性質(zhì)分析得出答案;

（2）直接利用網(wǎng)格結(jié)合菱形的性質(zhì)分析得出答案.

【解答】解：（1）如圖1所示：矩形ABCD即為所求；

（2）如圖2所示：菱形即為所求.

圖1圖2

【點評】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計與作圖，正確掌握菱形與矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

20.（8分）（2021春?余姚市期末）已知反比例函數(shù)y=5左W0）的圖象經(jīng)過點4（2,-3）.

X

（1）求函數(shù)表達式；

（2）當(dāng)x=T時，求函數(shù)y的值；

（3）當(dāng)％,1且XHO時，直接寫出y的取值范圍.

【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；反比例函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解

析式

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；幾何直觀；運算能力

【分析】（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；

（2）把x=Y代入函數(shù)解析式求得相應(yīng)的y值即可；

（3）根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)作答.

【解答】解：（1）?.?反比例函數(shù)y=*（kW0）的圖象經(jīng)過點A（2,—3）,

x

k=2x（—3）=—6,

反比例函數(shù)為>=-9;

X

（2）當(dāng)x=T時，,=_色=__1=3；

x-42

（3）?.,左=一6<0,

雙曲線在二、四象限，

把x=l代入y=_g,求得y=-6,

.,.當(dāng)天,1且x/0時，y>0或y,,-6.

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，反比例函

數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

21.（8分）（2021春?余姚市期末）甲、乙兩名學(xué)生參加數(shù)學(xué)素質(zhì)測試（有四項），每項測試

成績（單位：分）采用百分制，成績?nèi)绫恚?/p>

學(xué)生數(shù)與代數(shù)空間與圖統(tǒng)計與概綜合與實踐平均成績眾數(shù)中位數(shù)方差

形率

甲9590a85Xb9012.5

乙90C8095X95d37.5

（1）根據(jù)表中信息判斷哪個學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)測試成績更穩(wěn)定？請說明理由.

(2)表格中的數(shù)據(jù)a=90；b=;c=；d=

（3）若數(shù)學(xué)素質(zhì)測試的四個項目的重要程度有所不同，而給予“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、

“統(tǒng)計與概率”、“綜合與實踐”四個項目在綜合成績中所占的比例分別為40%,30%,10%,

20%.計算得到乙的綜合成績?yōu)?1.5分，請你計算甲的綜合成績，并說明誰的綜合成績更

好？

【考點】加權(quán)平均數(shù)；方差；眾數(shù)；中位數(shù)

【專題】統(tǒng)計的應(yīng)用；應(yīng)用意識

【分析】（1）方差是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)，它是測算數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的

最重要的方法，利用方差即可求出答案

（2）根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義分別計算可得；

（3）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義列式計算可得.

【解答】解：（1）甲的數(shù)學(xué)素質(zhì)測試成績更穩(wěn)定，因為甲成績的方差小于乙成績的方差；

（2）由表可知，乙的眾數(shù)為95,

c=95,

乙的中位數(shù)為d=90+95=92.5,

2

乙的平均數(shù)為x=）（90+95+80+95）=90,

5=90x4—95—90—85=90,

，甲的眾數(shù)為%=90,

故答案為：90,90,95,92.5；

（3）甲的平均成績?yōu)?5x40%+90x30%+90xl0%+85x20%=91（分），

91<91.5,

所以，乙的綜合成績更好.

【點評】此題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和加權(quán)平均數(shù)、方差，掌握它們的計算公式，正

確計算得出a、6、c、”的值是本題的關(guān)鍵.

22.（10分）（2021春?余姚市期末）如圖，在aABCD中，E,尸分別是AB,CD上的點，

且?1E=CF,DE,所分別交AC于點G,H.

（1）求證DE//BF；

（2）求證：AG=CH.

D

---------------------------M?

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)

【專題】圖形的全等；多邊形與平行四邊形；推理能力

【分析】(1)通過平行四邊形ABCO可得AB=CD,根據(jù)AE=CF得出5石=。尸，根據(jù)“一

組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形班DF是平行四邊形，從而證得

結(jié)論；

(2)通過證明N4EG=NCFH、44C=NDCH根據(jù)“A81”可判定AAEG二ACFH,繼

而得到AG=CH.

【解答】證明：(1)???四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AB//CD,AB=CD,

\AE=CF,

:.BE=DF,

四邊形5的是平行四邊形，

:.DE//BF.

(2)-DE//BF,

:.ZAEG=ZABF,

-AB//CD,

:,ZABF=Z.CFH,ZEAG=ZFCH,

.\ZAEG=ZCFH,

在AAEG和ACFH中，

ZAEG=ZCFH

<AE=AE,

ZEAG=ZFCH

:.^AEG=\CFH,

.\AG=CH.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定，明確平行四

邊形的對邊平行和相等和全等三角形的對應(yīng)邊相等是證明線段相等或平行的重要方法.

23.(10分)(2021春?余姚市期末)楊梅是我市特產(chǎn)水果之一，素有“初疑一顆值千金”之

美譽！某楊梅園的楊梅除了直接銷售到市區(qū)外，還可以讓市民去園區(qū)采摘.已知楊梅在市區(qū)

和園區(qū)的銷售價格分別是10元/千克和15元/千克，該楊梅園今年六月第一周一共銷售了

1000千克，銷售收入12000元.

(1)該楊梅園今年六月第一周市區(qū)和園區(qū)分別銷售了多少千克楊梅？

(2)為了促銷，該楊梅園決定六月第二周將市區(qū)和園區(qū)銷售價格均降低a(a>0)元，預(yù)計

市區(qū)和園區(qū)的銷量將分別比第一周增加20a%和50%,設(shè)銷售總額為卬元，求卬關(guān)于。的函

數(shù)表達式；(不需要寫出a的取值范圍)

(3)在(2)的條件下，若預(yù)計該楊梅園第二周銷售收入為14520元，求a的值.

【考點】二元一次方程組的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；應(yīng)用意識

【分析】(1)設(shè)在市區(qū)銷售了x千克，則在園區(qū)銷售了(1000-x)千克，根據(jù)等量關(guān)系：銷

售收入12000元列出方程求解即可；

(2)根據(jù)銷售總額=市區(qū)銷售收入+園區(qū)銷售收入，可得函數(shù)關(guān)系式；

(3)根據(jù)(2)求得的函數(shù)表達式列出方程求解即可.

【解答】解：(1)設(shè)在市區(qū)銷售了尤千克，則在園區(qū)銷售了(1000-元)千克，則

10%+15(1000-%)=12000,

解得x=600,

1000-x=400(千克).

答：該楊梅園今年六月第一周市區(qū)銷售了600千克，在園區(qū)銷售了400千克.

(2)w=600x(10-a)x(1+20a%)+400x(15-a)x(1+50%)

=6000+1200a—600a—120a2+9000—600a

=-120a2+15000；

(3)由題意得：-420/+15000=14520,

解得：a=+2,

?/a>0.