甘肅省蘭州市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第六次檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

甘肅省蘭州市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第六次檢測數(shù)學(xué)試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)的虛部為（）A．—1 B．—3 C．1 D．22．函數(shù)的圖象大致是()A． B．C． D．3．已知集合，，則A． B．C． D．4．拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A．2+1 B．22+3 C．5．某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均數(shù)據(jù),繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯誤的是()A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)B．全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個D．從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢6．設(shè)復(fù)數(shù)，則=（）A．1 B． C． D．7．若，滿足約束條件，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知在中，角的對邊分別為，若函數(shù)存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．9．如圖，中，點(diǎn)D在BC上，，將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐，分別記，與平面ADC所成角為，，則，的大小關(guān)系是（）A． B．C．，兩種情況都存在 D．存在某一位置使得10．設(shè)點(diǎn)，，不共線，則“”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件11．已知命題：使成立．則為（）A．均成立 B．均成立C．使成立 D．使成立12．已知平面，，直線滿足，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫（單位：℃）依次為8，，，0，2，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_______.14．某校高三年級共有名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測驗(yàn)（滿分分），已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績均不低于分，將這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分組如下：，，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是________（填序號）．①；②這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在分以下的人數(shù)為；③這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)約為；④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為．15．已知向量滿足，且，則_________．16．連續(xù)擲兩次骰子，分別得到的點(diǎn)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率為______________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若時不等式成立，求的取值范圍.18．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．（1）若不等式f（x）﹣|x|≥4x的解集為{x|x≤1}，求實(shí)數(shù)a的值；（2）證明：f（x）．19．（12分）如圖，在四棱錐中底面是菱形，，是邊長為的正三角形，，為線段的中點(diǎn)．求證：平面平面；是否存在滿足的點(diǎn)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).（Ⅰ）棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面？若存在，寫出的長并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.（Ⅱ）求二面角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，判斷是否是函數(shù)的極值點(diǎn)，并說明理由；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.22．（10分）已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）已知，若對于任意恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡計算，得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計算，虛部的概念，屬于簡單題.2、B【解析】

根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計算函數(shù)定義域,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性,對應(yīng)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè)，，則的定義域?yàn)?，當(dāng)，，單增，當(dāng)，，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡化了運(yùn)算,同學(xué)們還可以用特殊值法等方法進(jìn)行判斷.3、D【解析】

因?yàn)?，，所以，，故選D．4、A【解析】

先由題和拋物線的性質(zhì)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心率.【詳解】由題意知，拋物線焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)F'(-1,0)，雙曲線半焦距c=1，設(shè)點(diǎn)Q(-1,y)ΔFPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，即PF所以PQ⊥拋物線的準(zhǔn)線，從而PF⊥x軸，所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.5、D【解析】

根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知：在A中，各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關(guān)，故A正確；在B中，全年中，2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大，故B正確；在C中，全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5個，故C正確；在D中，從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，故D錯誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了折線圖，意在考查學(xué)生的理解能力.6、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，代入化簡即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)，則故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與化簡求值，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點(diǎn)，相應(yīng)坐標(biāo)代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域，如圖所示：由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，取得最小值－5；經(jīng)過點(diǎn)時，取得最大值5，故.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)線性規(guī)劃求范圍，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由有不等的兩實(shí)根，即可得不等關(guān)系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵．9、A【解析】

根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得、角，分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得答案．【詳解】由題可得過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過作的垂線，垂足為，則易得，．設(shè)，則有，，，可得，．，，；，；，，，．綜上可得，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．10、C【解析】

利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點(diǎn)，，不共線，則“”；故“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】試題分析：原命題為特稱命題，故其否定為全稱命題，即．考點(diǎn)：全稱命題.12、A【解析】

，是相交平面，直線平面，則“”“”，反之，直線滿足，則或//或平面，即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：已知直線平面，則“”“”，反之，直線滿足，則或//或平面，“”是“”的充分不必要條件．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了線面和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出這組數(shù)據(jù)的方差，由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．【詳解】解：某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫（單位：依次為8，，，0，2，平均數(shù)為：，該組數(shù)據(jù)的方差為：，該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法，考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14、②③【解析】

由頻率分布直方圖可知，解得，故①不正確；這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在分以下的人數(shù)為，故②正確；設(shè)這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為，則，解得，故③正確；④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為，故④不正確．綜上，說法正確的序號是②③．15、【解析】

由數(shù)量積的運(yùn)算律求得，再由數(shù)量積的定義可得結(jié)論．【詳解】由題意，∴，即，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求向量的夾角，掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題關(guān)鍵．16、【解析】

連續(xù)擲兩次骰子共有種結(jié)果，列出滿足條件的結(jié)果有11種，利用古典概型即得解【詳解】由題意知，連續(xù)擲兩次骰子共有種結(jié)果，而滿足條件的結(jié)果為：共有11種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式，可得所求概率．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】分析：(1)將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點(diǎn)分段將解析式化為，然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式的解集為；(2)根據(jù)題中所給的，其中一個絕對值符號可以去掉，不等式可以化為時，分情況討論即可求得結(jié)果.詳解：（1）當(dāng)時，，即故不等式的解集為．（2）當(dāng)時成立等價于當(dāng)時成立．若，則當(dāng)時；若，的解集為，所以，故．綜上，的取值范圍為．點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)絕對值不等式的解法，以及含參的絕對值的式子在某個區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，需要會用零點(diǎn)分段法將其化為分段函數(shù)，從而將不等式轉(zhuǎn)化為多個不等式組來解決，關(guān)于第二問求參數(shù)的取值范圍時，可以應(yīng)用題中所給的自變量的范圍，去掉一個絕對值符號，之后進(jìn)行分類討論，求得結(jié)果.18、（1）a＝1；（2）見解析【解析】

（1）由題意可得|x﹣a|≥4x，分類討論去掉絕對值，分別求得x的范圍即可求出a的值．（2）由條件利用絕對值三角不等式，基本不等式證得f（x）≥2．．【詳解】（1）由f（x）﹣|x|≥4x，可得|x﹣a|≥4x，（a＞0），當(dāng)x≥a時，x﹣a≥4x，解得x，這與x≥a＞0矛盾，故不成立，當(dāng)x＜a時，a﹣x≥4x，解得x，又不等式的解集是{x|x≤1}，故1，解得a＝1．（2）證明：f（x）＝|x﹣a|+|x||x﹣a﹣（x）|＝|a|，∵a＞0，∴|a|＝a22，當(dāng)且僅當(dāng)a時取等號，故f（x）．【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值三角不等式，基本不等式，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．19、證明見解析；2.【解析】

利用面面垂直的判定定理證明即可；由，知，所以可得出，因此，的充要條件是，繼而得出的值.【詳解】解：證明：因?yàn)槭钦切?，為線段的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槭橇庑?，所以．因?yàn)?，所以是正三角形，所以，而，所以平面．又，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?，知．所以，，．因此，的充要條件是，所以，．即存在滿足的點(diǎn)，使得，此時．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面與平面垂直的判定、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識；考查化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，屬于難題．20、（Ⅰ）存在點(diǎn)滿足題意，且，證明詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）可考慮采用補(bǔ)形法，取的中點(diǎn)為，連接，可結(jié)合等腰三角形性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)，先證平面，即，若能證明，則可得證，可通過我們反推出點(diǎn)對應(yīng)位置應(yīng)在處，進(jìn)而得證；（Ⅱ）采用建系法，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩平面對應(yīng)法向量，再結(jié)合向量夾角公式即可求解；【詳解】（Ⅰ）存在點(diǎn)滿足題意，且.證明如下：取的中點(diǎn)為，連接.則，所以平面.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.在直三棱柱中，平面平面，且交線為，所以平面，所以.在平面內(nèi)，，，所以，從而可得.又因?yàn)?，所以平?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（Ⅱ）如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.易知，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，則有取，得.同理可求得平面的法向量為.則.由圖可知二面角為銳角，所以其余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題21、（1）是函數(shù)的極大值點(diǎn)，理由詳見解析；（2）1.【解析】

（1）將直接代入，對求導(dǎo)得，由于函數(shù)單調(diào)性不好判斷，故而構(gòu)造函數(shù)，繼續(xù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)在左右兩邊的正負(fù)情況，最后得出，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；（2）利用題目已有條件得，再證明時，不等式恒成立，即證，從而可知整數(shù)的最小值為1.【詳解】解:（1）當(dāng)時，.令，則當(dāng)時，.即在內(nèi)為減函數(shù)，且∴當(dāng)時，;當(dāng)時，.∴在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).綜上，是函數(shù)的極大值點(diǎn).（2）由題意，得，即.現(xiàn)證明當(dāng)時，不等式成立，即.即證令則∴當(dāng)時，;當(dāng)時，.∴在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，的最大值為.∴當(dāng)時，.即當(dāng)時，不等式成立.綜上，整數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的極值，最值，判斷