河南省洛陽第一高級中學(xué)第一附屬初級中學(xué)2023-2024學(xué)年七年級下學(xué)期競賽班選拔數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2023-2024學(xué)年河南省洛陽第一高級中學(xué)第一附中七年級（下）競賽班選拔數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共6小題，總分18分）1．（3分）設(shè)n（n≥2）個(gè)正整數(shù)a1，a2，a3…an，任意改變它們的順序后，記作b1，b2，b3…bn，若P＝（a1﹣b1）（a2﹣b2）（a3﹣b3）…（an﹣bn），則（）A．P一定是奇數(shù) B．P一定是偶數(shù) C．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，P是偶數(shù) D．當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，P是奇數(shù)2．（3分）已知青銅含有80%的銅，4%的鋅和16%的錫，而黃銅是銅和鋅的合金，其中含有74%的銅，16%的鋅和10%的錫（）A．13：7 B．15：8 C．16：9 D．17：103．（3分）某裁縫做一件童裝，一條褲子，一件上衣，他一天共能做2件童裝，3條褲子，則他做2件上衣，10條褲子，需（）天．A．3 B．2 C．5 D．44．（3分）已知一塊小立方體木塊，每個(gè)面上涂有不同顏色．如果要在木塊面上分別刻上1、2、3、4、5、6個(gè)小點(diǎn)．且1點(diǎn)與6點(diǎn)、2點(diǎn)與5點(diǎn)、3點(diǎn)與4點(diǎn)分別刻在對面，則不同的刻點(diǎn)種數(shù)有（）A．64種 B．48種 C．36種 D．18種5．（3分）將一張正方形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、AF為折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對應(yīng)點(diǎn)分別為B′、D′，則∠EAF的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．56° D．37°6．（3分）如圖，AD∥BC，∠D＝∠ABC，連接AE交BC的延長線于點(diǎn)H．點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點(diǎn)G，則∠BEG的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°二、填空題（每小題3分，共9小題，總分27分）7．（3分）小美步行上樓的習(xí)慣是每次都只跨一級臺階或兩級臺階，若她要從地面（0級）步行到第9級種不同的上樓梯的方式．8．（3分）a，b，c，d為互不相等的有理數(shù)，且c＝3，則|a﹣d|＝．9．（3分）已知△ABC的三邊長a，b，c都是整數(shù)，且滿足|b+c﹣1.5a+1|與（b+3c﹣11）2的值互為相反數(shù)，那么該三角形的周長等于．10．（3分）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求x+2y+3z的最大值與最小值的差．11．（3分）如圖中，一共能數(shù)出個(gè)長方形．12．（3分）在三個(gè)圓A，B，C中分別有13，17，同時(shí)在圓A和B中有4個(gè)點(diǎn)，同時(shí)在圓A和C中有7個(gè)點(diǎn)，同時(shí)在三個(gè)圓中有2個(gè)點(diǎn)．則在三個(gè)圓中共有個(gè)點(diǎn)．13．（3分）如圖，把三角形ABC的AB邊延長到D，使BD為AB的3倍，使CE為BC的2倍，把CA邊延長到F，則△ABC的面積為．14．（3分）如圖，已知∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOB＝α，若以O(shè)A，OC，OD，則∠AOB＝．15．（3分）從變電站到五羊醫(yī)院的輸電線路有一處發(fā)生故障，外表看不出，需派人爬到電線桿頂檢查．每次檢查都可以發(fā)現(xiàn)故障出現(xiàn)在線路哪一端．如果輸電線路中共有240根電線桿．為加速查出在哪兩根相鄰電線桿之間，則在最佳方案中，最多次便可以確保查明故障所在．三、解答題（共5小題，總分55分）16．（16分）計(jì)算下列各式：（1）；（2）．17．（9分）兩個(gè)1999位整數(shù)相乘：×，求乘積的各位數(shù)字之和是多少？18．（10分）在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”“﹣”號，如果可以使其代數(shù)和為n，就稱數(shù)n是“可被表出的數(shù)”，就稱數(shù)n是“不可被表出的數(shù)”（如1是可被表出的數(shù)，這是因?yàn)?1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9是1的一種可被表出的方法）．（1）求證：7是可被表出的數(shù)，而8是不可被表出的數(shù)；（2）求25可被表出的不同方法種數(shù)．19．（9分）某人騎自行車從甲地到乙地，先以12km/h的速度下山，再以9km/h的速度通過平路到達(dá)乙地；他返回時(shí)，先以8km/h的速度通過平路，用了1.5h．求甲、乙兩地之間的距離．20．（11分）A、B兩地相距13.5千米，甲、乙兩人分別從A，B同時(shí)出發(fā)，B間往返一次，甲比乙先回到出發(fā)地，第二次在D地迎面相遇，從出發(fā)到兩人第二次相遇經(jīng)過的時(shí)間為3小時(shí)20分鐘，求甲、乙兩人的速度．參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共6小題，總分18分）1．（3分）設(shè)n（n≥2）個(gè)正整數(shù)a1，a2，a3…an，任意改變它們的順序后，記作b1，b2，b3…bn，若P＝（a1﹣b1）（a2﹣b2）（a3﹣b3）…（an﹣bn），則（）A．P一定是奇數(shù) B．P一定是偶數(shù) C．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，P是偶數(shù) D．當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，P是奇數(shù)【解答】解：無論n是奇數(shù)偶數(shù)，可以假設(shè)an＝bn，P＝0為偶數(shù)，A、D不能選，現(xiàn)在在B和C中選擇，要讓P為奇數(shù)，也就是每個(gè)因式都是一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的差，因?yàn)閎1，b8…bn都是an變來的，所以原來如果是x個(gè)奇數(shù)與n﹣x個(gè)偶數(shù)的話，奇數(shù)與偶數(shù)的數(shù)目必須也是一樣的，n＝2x為偶數(shù)，也就是說，P若為奇數(shù)，可以推出，P必須為偶數(shù)．所以B錯，C正確．故選：C．2．（3分）已知青銅含有80%的銅，4%的鋅和16%的錫，而黃銅是銅和鋅的合金，其中含有74%的銅，16%的鋅和10%的錫（）A．13：7 B．15：8 C．16：9 D．17：10【解答】解：設(shè)黃銅含有銅的百分比是x，鋅的百分比是y，由題意得：16%z＝10%，80%×）x＝74%+（1﹣，解得：z＝，x＝64%，∴黃銅中銅和鋅的比為64%：36%＝16：2，故選：C．3．（3分）某裁縫做一件童裝，一條褲子，一件上衣，他一天共能做2件童裝，3條褲子，則他做2件上衣，10條褲子，需（）天．A．3 B．2 C．5 D．4【解答】解：設(shè)做一件童裝，一條褲子，2t，再設(shè)2件上衣，14件童裝需x天x（2t+3×2t+5×3t）＝（14t+10×2t+8×3t），整理得20xt＝40t，解得x＝2．本題選B．4．（3分）已知一塊小立方體木塊，每個(gè)面上涂有不同顏色．如果要在木塊面上分別刻上1、2、3、4、5、6個(gè)小點(diǎn)．且1點(diǎn)與6點(diǎn)、2點(diǎn)與5點(diǎn)、3點(diǎn)與4點(diǎn)分別刻在對面，則不同的刻點(diǎn)種數(shù)有（）A．64種 B．48種 C．36種 D．18種【解答】解：三對點(diǎn)選擇三個(gè)對面則有6種不同選擇，對于每一種選擇，使對面的數(shù)字互換則可有如下幾種：①一組對面的數(shù)字互換，此時(shí)有三種選擇；②兩組對面的數(shù)字互換，此時(shí)有三種選擇；③三組對面的數(shù)字互換，此時(shí)有一種選擇；綜上可得不同的刻點(diǎn)種數(shù)有：6+7×（3+3+7）＝48種．故選：B．5．（3分）將一張正方形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、AF為折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對應(yīng)點(diǎn)分別為B′、D′，則∠EAF的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．56° D．37°【解答】解：設(shè)∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根據(jù)折疊可知：∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，∵∠B′AD′＝16°，∴∠DAF＝16°+β，∠BAE＝16°+α，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∴16°+β+β+16°+16°+α+α＝90°，∴α+β＝21°，∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′＝16°+α+β＝16°+21°＝37°．則∠EAF的度數(shù)為37°．故選：D．6．（3分）如圖，AD∥BC，∠D＝∠ABC，連接AE交BC的延長線于點(diǎn)H．點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點(diǎn)G，則∠BEG的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【解答】解：設(shè)FBE＝∠FEB＝α，則∠AFE＝2α，∠FEH的角平分線為EG，設(shè)∠GEH＝∠GEF＝β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∠DEH＝100°，則∠CEH＝∠FAE＝80°，∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，在△AEF中，80°+2α+180°﹣2β＝180°故β﹣α＝40°，而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，故選：B．二、填空題（每小題3分，共9小題，總分27分）7．（3分）小美步行上樓的習(xí)慣是每次都只跨一級臺階或兩級臺階，若她要從地面（0級）步行到第9級55種不同的上樓梯的方式．【解答】解：由題意可知，1級：1種；2級：2種；3級：3+2＝3（種）；6級：2+3＝3（種）；5級：3+6＝8（種）；6級：4+8＝13（種）；7級：8+13＝21（種）；8級：13+21＝34（種）；9級：21+34＝55（種）；故答案為：55．8．（3分）a，b，c，d為互不相等的有理數(shù)，且c＝3，則|a﹣d|＝3．【解答】解：∵a、b、c、d為互不相等的四個(gè)有理數(shù)，|a﹣c|＝|b﹣c|＝1，∴a＝2，b＝7或a＝4，當(dāng)a＝2，b＝4，d＝3或5，又c＝5，∴d＝5，則|a﹣d|＝3，當(dāng)a＝8，b＝2，d＝3或2，又c＝3，∴d＝1，則|a﹣d|＝4，∴|a﹣d|＝3．故答案為：3．9．（3分）已知△ABC的三邊長a，b，c都是整數(shù)，且滿足|b+c﹣1.5a+1|與（b+3c﹣11）2的值互為相反數(shù)，那么該三角形的周長等于9．【解答】解：∵|b+c﹣1.5a+5|與（b+3c﹣11）2的值互為相反數(shù)，∴|b+c﹣3.5a+1|+（b+8c﹣11）2＝0，∴b+c﹣6.5a+1＝8，b+3c﹣11＝0，∴b+c﹣4.5a+1＝b+4c﹣11，∴4c+3a＝24，∵a，c都是整數(shù)，∴a＝6，c＝3，∴b＝2，∴三角形的周長等于＝4+3+2＝3．故答案為：9．10．（3分）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求x+2y+3z的最大值與最小值的差21．【解答】解：|x+1|+|x﹣2|表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示﹣6和2的兩個(gè)點(diǎn)的距離之和，∴|x+1|+|x﹣5|≥3．同理，|y﹣2|+|y+4|≥3，而（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣4|+|z+1|）＝36，∴|x+1|+|x﹣6|＝3，|y﹣2|+|y+5|＝3．∴﹣1≤x≤5，﹣1≤y≤2．∴﹣6≤x+2y+3z≤15．∴x+4y+3z的最大值為15，最小值為﹣6，∴x+8y+3z的最大值與最小值的差為15﹣（﹣6）＝21．故答案為：21．11．（3分）如圖中，一共能數(shù)出63個(gè)長方形．【解答】解：不包括第一行的三個(gè)小正方形時(shí)，可數(shù)出（1+2）（8+2+3+4+5）＝45個(gè)長方形，包括時(shí)，可數(shù)出3×（8+2+3）＝18個(gè)長方形．故答案為：63．12．（3分）在三個(gè)圓A，B，C中分別有13，17，同時(shí)在圓A和B中有4個(gè)點(diǎn)，同時(shí)在圓A和C中有7個(gè)點(diǎn)，同時(shí)在三個(gè)圓中有2個(gè)點(diǎn)．則在三個(gè)圓中共有34個(gè)點(diǎn)．【解答】解：根據(jù)題意作出如圖所示圖形，則在三個(gè)圓中共有34個(gè)點(diǎn)，故答案為：34．13．（3分）如圖，把三角形ABC的AB邊延長到D，使BD為AB的3倍，使CE為BC的2倍，把CA邊延長到F，則△ABC的面積為．【解答】解：如圖，連接AE、BF，∵AF＝CA，∴S△EAF＝S△EAC，S△ABF＝S△ABC，∵CE＝2BC，∴S△EAC＝2S△ABC，S△DCE＝3S△DBC，∴S△EAF＝2S△ABC，∵BD＝3AB，∴S△DBC＝7S△ABC，S△DBF＝3S△ABF，∴S△DCE＝6S△ABC，S△DBF＝8S△ABC，∵S△DEF＝S△ABC+S△ABF+S△DBF+S△DBC+S△DCE+S△EAC+S△EAF，∴S△ABC+S△ABC+3S△ABC+3S△ABC+8S△ABC+2S△ABC+2S△ABC＝7，即18S△ABC＝1，∴，故答案為：．14．（3分）如圖，已知∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOB＝α，若以O(shè)A，OC，OD，則∠AOB＝76°．【解答】解：∵∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOB＝α，∴以O(shè)A為一邊的角有：∠AOC＝α，∠AOD＝2α，∠AOB＝4α，以O(shè)B為一邊的角有：∠BOE＝α，∠BOD＝5α，以O(shè)C為一邊的角有：∠COD＝α，∠COE＝2α，以O(shè)E為一邊的角有：∠EOD＝α，又∵以O(shè)A，OB，OD，∴α+2α+3α+4α+α+2α+6α+α+2α+α＝380°，解得：α＝19°，∴∠AOB＝4α＝6×19°＝76°．故答案為：76°．15．（3分）從變電站到五羊醫(yī)院的輸電線路有一處發(fā)生故障，外表看不出，需派人爬到電線桿頂檢查．每次檢查都可以發(fā)現(xiàn)故障出現(xiàn)在線路哪一端．如果輸電線路中共有240根電線桿．為加速查出在哪兩根相鄰電線桿之間，則在最佳方案中，最多5次便可以確保查明故障所在．【解答】解：240桿子2人爬，可以確定第一個(gè)人以前；第二人以后，還有240個(gè)桿子，共239段線，但是問題是最佳方案的最多多少次，不會是79那段，一定是80那段．80÷3＝26…8，所以取27，27÷3＝9，4÷3＝3，4÷3＝1，所以最多5次便可以確保查明故障所在．故答案為：5．三、解答題（共5小題，總分55分）16．（16分）計(jì)算下列各式：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝++?＝+?＝×＝15×59＝885；（2）原式＝（2+）+?+（）＝6+?+（）＝4×2023＝4046．17．（9分）兩個(gè)1999位整數(shù)相乘：×，求乘積的各位數(shù)字之和是多少？【解答】解：1×1＝8，數(shù)字之和為1，11×11＝121，數(shù)字之和為1+7+1＝2×（8+2）﹣2，111×111＝12321，數(shù)字之和為8+2+3+4+1＝2×（6+2+3）﹣7，依次類推，×乘積的各位數(shù)字之和為：8×（1+2+...+1999）﹣1999＝3×（1+1999）×﹣1999＝3996001．18．（10分）在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”“﹣”號，如果可以使其代數(shù)和為n，就稱數(shù)n是“可被表出的數(shù)”，就稱數(shù)n是“不可被表出的數(shù)”（如1是可被表出的數(shù)，這是因?yàn)?1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9是1的一種可被表出的方法）．（1）求證：7是可被表出的數(shù)，而8是不可被表出的數(shù)；（2）求25可被表出