人教版初中（九年級(jí)）數(shù)學(xué)：銳角三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

榆林第六中學(xué)高啟鵬一、銳角三角函數(shù)中考考點(diǎn)歸納有(1)圖表記憶法三角角函數(shù)三角值函數(shù)1-231(2)規(guī)律記憶法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2,分小程序搜索：天浩提優(yōu)資料超全學(xué)習(xí)資料庫(kù)1(3)口訣記憶法二，切比三，分根號(hào)不能刪.”前三句中的1,2,3;3,2,1;3,9,27,分別是30°,45°,60°角的正弦、余弦、正切值中分根號(hào)內(nèi)的值.弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母為2,正切丟掉.,這種方法有趣、簡(jiǎn)單、易記.小程序搜索：天浩提優(yōu)資料超全學(xué)習(xí)資料庫(kù)2已知和解法三角形類(lèi)型已知條件解法步驟兩邊兩直角邊(如a,b)求∠A;求∠A;BB6QAbC一邊一角一直角邊和—銳角銳角，鄰邊(如∠A,銳角，對(duì)邊(如∠A,斜邊，銳角(如c,∠A)b=c·cosA考點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(高頻考點(diǎn))仰角、俯角、坡度(坡比)、坡角、方向角在視線與水平線所成的銳角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角。坡度(坡比)、坡角坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示；坡面與水平線的夾角a叫坡角方向角指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的銳角叫做方向角.注意：東北方向指北偏東45°方向，東南方向指南偏東45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向.我們一般畫(huà)圖的方位為上北下南，左西右小程序搜索：天浩提優(yōu)資料超全學(xué)習(xí)資料庫(kù)3小程序搜索：天浩提優(yōu)資料知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-試題試卷-課件教察-電課本資料下載仰角水平線俯角視線鉛垂線!C北東北方向北偏西60°東西45°東西40°南偏西40°南南偏東25°南偏西40°南二、銳角三角函數(shù)常見(jiàn)考法(一)、銳角三角函數(shù)以選擇題的形式出現(xiàn).例1、(2016·陜西)已知拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，將這條拋物線的頂點(diǎn)記為C,連接AC、BC,則tan∠CAB的值為()算.【解答】解：令y=0,則-x2-2x+3=0,解得x=-3或1,不妨設(shè)A(-3,0),B(1,0),∴頂點(diǎn)C(-1,4),小程序搜索：天浩提優(yōu)資料超全學(xué)習(xí)資料庫(kù)49(二)、銳角三角函數(shù)以填空題的形式出現(xiàn)例2、(2016·陜西)請(qǐng)從以下兩個(gè)小題中任選一個(gè)作答，若多選，則按第一題計(jì)分.A.一個(gè)多邊形的一個(gè)外角為45°,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是8.B.運(yùn)用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算：3√17sin73°52′≈11.9.(結(jié)果精確到0.1)【考點(diǎn)】計(jì)算器—三角函數(shù)；近似數(shù)和有效數(shù)字；計(jì)算器—數(shù)的開(kāi)方；多邊形內(nèi)角與外角.【解析】(1)根據(jù)多邊形內(nèi)角和為360°進(jìn)行計(jì)算即可；(2)先分別求得3√17和sin73°52′的近似值，再相乘求得計(jì)算結(jié)果.∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為：360°÷45°=8故答案為：8,11.9例3、(2015·陜西)如圖，有一滑梯AB,其水平寬度AC為5.3米，鉛直高度【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題.5小程序搜索：天浩提優(yōu)資料超全學(xué)習(xí)資料庫(kù)5小程序搜索：天浩提優(yōu)資料知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-試題試卷-課件教察-電課本資料下載故答案為：27.8°.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坡度坡角的知識(shí)，解題時(shí)注意坡角的正切值等于鉛直高度與水平寬度的比值，難度不大.(結(jié)果精確到0.01)【考點(diǎn)】計(jì)算器—三角函數(shù)；計(jì)算器—數(shù)的開(kāi)方.故答案是：10.02.點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△A′BD′,此時(shí)A′D'與CD交于點(diǎn)小程序搜索：天浩提優(yōu)資料超全學(xué)習(xí)資料庫(kù)6【分析】利用正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A'D=A′E,進(jìn)而利用勾股定理得出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得即可.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理、銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，得出A′D的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.(三)、銳角三角函數(shù)定義以解答題的形式出現(xiàn)例6、(12分)(2015·陜西)如圖，在每一個(gè)四邊形ABCD中，均有AD//BCCD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12.(2)如圖②,點(diǎn)N是四邊形ABCD邊AD上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)你求出△BNC周長(zhǎng)小程序搜索：天浩提優(yōu)資料超全學(xué)習(xí)資料庫(kù)7(3)如圖③,在四邊形ABCD的邊AD上，是否存在一點(diǎn)P,使得cos∠BPC的值最小?若存在，求出此時(shí)cos∠BPC的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖①圖②圖③【考點(diǎn)】四邊形綜合題..【專(zhuān)題】綜合題.BE=BC-EC,在直角三角形ABE中，求出AE的長(zhǎng)，即為三角形BMC的高，求(2)如圖②,作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C',連接C′N(xiāo),C′D,C′B交AD于點(diǎn)N',連接CN',則BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′,可得出△BNC周長(zhǎng)的最小值為△BN'C的周長(zhǎng)=BN′+CN′+BC=BC′+BC,求出即可；(3)如圖③所示，存在點(diǎn)P,使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂線PQ的外接圓0,圓0與直線PQ平行，得到圓0與AD相切，根據(jù)PQ=DC,判斷得到PQ大于BQ,可得出圓心0在BC上方，在AD上任的值最小，連接OB,求出即可.(1)如圖①,過(guò)A作AE⊥BC,小程序搜索：天浩提優(yōu)資料超全學(xué)習(xí)資料庫(kù)8在Rt△ABE中，∠ABE=60°,BE=4,(2)如圖②,作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C',連接C'N,C'D,C′B交AD于點(diǎn)N',連接CN',則BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′,∴△BNC周長(zhǎng)的最小值為△BN'C的周長(zhǎng)=BN'+CN′+BC=BC′+BC, (3)如圖③所示，存在點(diǎn)P,使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂線PQ交BC于點(diǎn)Q,交AD于點(diǎn)P,連接BP,CP,作△BPC的外接∴圓0與AD相切于點(diǎn)P9在AD上任取一點(diǎn)P′,連接P′B,P′C,P′B交圓0于點(diǎn)M,連接MC,99圖①圖②【點(diǎn)評(píng)】此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識(shí)有：勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，圓的切線的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.例7、(10分)(2014年陜西省)已知拋物線C:y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-3,0)和B(0,3)兩點(diǎn)，將這條拋物線的頂點(diǎn)記為M,它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)記為N.小程序搜索：天浩提優(yōu)資料超全學(xué)習(xí)資料庫(kù)10(1)求拋物線C的表達(dá)式；(2)求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)將拋物線C平移到C',拋物線C'的頂點(diǎn)記為M',它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)記為N'.如果以點(diǎn)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應(yīng)將拋物線C怎樣平移?為什么?【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；平行四邊形的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1)直接把A(-3,0)和B(0,3)兩點(diǎn)代入拋物線y=-(2)根據(jù)(1)中拋物線的解析式可得出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)根據(jù)平行四邊形的定義，可知有四種情形符合條件，如解答圖所示.需要分類(lèi)討論.(2)∵由(1)知拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3,小程序搜索：天浩提優(yōu)資料超全學(xué)習(xí)資料庫(kù)11(3)由題意，以點(diǎn)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊MN的對(duì)邊只能i)當(dāng)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的平行四邊形是□MNN′M′時(shí)，將拋物線C向左或向右平移4個(gè)單位可得符合條件的拋物線C′;ii)當(dāng)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的平行四邊形是□MNM′N(xiāo)′時(shí)，將拋物線C先向左或向右平移4個(gè)單位，再向下平移8個(gè)單位，可得符合條件的拋物線∴上述的四種平移，均可得到符合條件的拋物線C′.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).第(3)問(wèn)需要分類(lèi)討論，避免漏解.例8、(12分)(2014·陜西)問(wèn)題探究小程序搜索：天浩提優(yōu)資料超全學(xué)習(xí)資料庫(kù)12(1)如圖①,在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,如果BC邊上存在點(diǎn)P,使△APD(2)如圖②,在△ABC中，∠ABC=60°,BC=12,AD是BC邊上的高，E、F分問(wèn)題解決(3)有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE,山莊保衛(wèi)人員想在線60°,就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,問(wèn)在線段CD上是否存在點(diǎn)M,使∠定理；三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系；特殊角的三角函數(shù)值.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1)由于△PAD是等腰三角形，底邊不定，需三種情況討三角形全等、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)即可解決問(wèn)題.小程序搜索：天浩提優(yōu)資料超全學(xué)習(xí)資料庫(kù)13(2)以EF為直徑作⊙0,易證⊙0與BC相切，從而得到符合條件的點(diǎn)Q唯一，然后通過(guò)添加輔助線，借助于正方形、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)即可求出BQ(3)要滿足∠AMB=60°,可構(gòu)造以AB為邊的等邊三角形的外接圓，該圓與線段CD的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)，然后借助于等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，就可算出符合條件的DM長(zhǎng).【解答】解：(1)①作AD的垂直平分線交BC于點(diǎn)P,如圖①,則PA=PD.∵四邊形ABCD是矩形，為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)P′,如圖①,.∴△P’AD是等腰三角形.小程序搜索：天浩提優(yōu)資料超全學(xué)習(xí)資料庫(kù)∴△P”AD是等腰三角形.●●EF=6.以EF為直徑作⊙0,過(guò)點(diǎn)0作0Q⊥BC,垂足為Q,連接EQ、FQ,如圖②.∴⊙0與BC相切，切點(diǎn)為Q.∵E0//GQ,EG//0Q,∠EGQ=90°,0E=0Q,∴四邊形OEGQ是正方形.∴GQ=EO=3,EG=0Q=3.∵∠B=60°,∠EGB=90°,EG=3,(3)在線段CD上存在點(diǎn)M,使∠AMB=60°.理由如下：以AB為邊，在AB的右側(cè)作等邊三角形ABG,設(shè)GP與AK交于點(diǎn)0,以點(diǎn)0為圓心，0A為半徑作Q0過(guò)點(diǎn)0作OH⊥CD,垂足為H,如圖③.∵AB=270,小程序搜索：天浩提優(yōu)資料超全學(xué)習(xí)資料庫(kù)∴⊙0與CD相交，設(shè)交點(diǎn)為M,連接MA、MB,如圖③.∴∠AMB=∠AGB=60°,0M=0A=9O√3.若點(diǎn)M在點(diǎn)H的左邊，則∴點(diǎn)M不在線段CD上，應(yīng)舍去.∴點(diǎn)M在線段CD上.綜上所述：在線段CD上存在唯一的點(diǎn)M,使∠AMB=60°,此時(shí)DM的長(zhǎng)為(400-45√3-30√2)米.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，考查了操作、探究等能力，綜合性非常強(qiáng).而構(gòu)造等邊三角形及其外接圓是解決本題的關(guān)鍵.三、三角函數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)解析三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，三角函數(shù)是學(xué)生在初中階段第一次接觸角函數(shù)，這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度，下面就三角函數(shù)教學(xué)中容易出現(xiàn)的幾種“錯(cuò)誤”進(jìn)行分析：1.對(duì)應(yīng)關(guān)系混淆小程序搜索：天浩提優(yōu)資料超全學(xué)習(xí)資料庫(kù)18【1】如圖9,先進(jìn)村準(zhǔn)備在坡角為a距離為a米，那么這兩樹(shù)在坡面上的距離AB為()o.米作平行水平面的直線和垂直于水平面的直線相交于點(diǎn)C。則△ABC是直角三角形，且∠C=90°,錯(cuò)因分析：部分學(xué)生在解答本題時(shí)沒(méi)有分清銳角a的正弦、余弦是哪個(gè)邊與斜邊AB的比，造成錯(cuò)選，也有學(xué)生在變式時(shí)錯(cuò)2.專(zhuān)用名詞不清圖10【2】如圖10,斜坡AC的坡度(坡比)為1:√3,AC=10米.坡頂有一旗桿BC,解析坡度是表示斜坡的鉛直距離與水平距離的比，所以過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E,CE為鉛直距離，AE為水平距離，即CE:AE=1:√5?！?∴<BE=√AB2-AE2=11(m),∴B錯(cuò)因分析：本題要注意斜坡的坡度是坡角的正切值，弄清坡角與坡度的區(qū)別與聯(lián)系；其他實(shí)際問(wèn)題中還要注意仰角、角、方位角等概念。小程序搜索：天浩提優(yōu)資料超全學(xué)習(xí)資料庫(kù)