2020-2021學(xué)年浙江省衢州市衢江區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年浙江省衢州市衢江區(qū)九年級(jí)第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試

卷

一.選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分。請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上將符合題意的正確選

項(xiàng)涂黑，不選、多選、錯(cuò)選均不給分）

1.如圖，把太陽(yáng)與地平線分別抽象成圓和直線，則該圖所呈現(xiàn)的直線與圓之間的位置關(guān)系

是（）

A.相切B.相交C.相離D.相似

2.一個(gè)不透明的布袋中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球,它們除顏色不同以外其他都相同，從布

袋中任意摸出一個(gè)球是白球的概率為（）

A.1B.1C.2D.I

323

3.拋物線y=2（x+1）2-3的對(duì)稱軸是（）

A.直線x=lB.直線x=3C.直線x=-1D.直線x=-3

4.如圖，在半圓。中，若NABC=70°,則/ACC的度數(shù)為（）

C.110°D.130°

5.已知9=掾，則畢的值是（）

32b

A.—B.—C.2D.1

232

6.如圖，在△ABC中，DE//BC,若AO：DB=3：2,DE=6cm,則3c的長(zhǎng)為（）

A.ScmB.10cmC.12cmD.IScm

7.如圖，PA.尸8分別切O。于點(diǎn)A、B,且P4=8,CD切OO于點(diǎn)E,交PA、PB于C、

C.16D.8

8.如圖，取一張長(zhǎng)為a,寬為b的矩形紙片，將它對(duì)折兩次后得到一張小矩形紙片，若要

使小矩形與原矩形相似，則原矩形紙片的邊a、人應(yīng)滿足的條件是（）

第一次對(duì)折第二次對(duì)折

b

A.B.a—\/oPC.a—4bD.a—2b

9.如圖，將aABC放在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上，用一

個(gè)圓面去覆蓋△ABC,能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面半徑是（）

10.汽車在剎車后，由于慣性作用還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停下，我們稱這段距離為

“剎車距離”，剎車距離往往跟行駛速度有關(guān)，在一個(gè)限速35如〃〃的彎道上，甲、乙兩

輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不妙，同時(shí)剎車，最后還是相撞了事發(fā)后，交警現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲

車的剎車距離略超過(guò)12瓶，乙車的剎車距離略超過(guò)10",又知甲、乙兩種車型的剎車距

離s（zw）與車速的關(guān)系大致如下：S甲=r工x2_**_^7*,S乙=X”+由

1001020020

此可以推測(cè)（）

A.甲車超速B,乙車超速

C.兩車都超速D.兩車都未超速

二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）

11.2和8的比例中項(xiàng)是.

12.在創(chuàng)建全國(guó)文明城市活動(dòng)中，衢州市園林部門為了擴(kuò)大市區(qū)的綠化面積，進(jìn)行了大量的

樹木移栽.如表記錄的是在相同條件下移栽某種幼樹的棵數(shù)和成活棵數(shù):

移栽棵樹1005001000500010000

成活棵樹8945891044989000

請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)，現(xiàn)園林部門移栽50000棵這種幼樹，大約能成活棵.

13.如圖，P是。。外一點(diǎn)，過(guò)P引。。的切線PA,PB,若NAP8=50°,則NA08=

14.有一種落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過(guò)改變兩根支撐桿夾角的度數(shù)來(lái)調(diào)整晾衣桿

的高度.圖2是支撐桿的平面示意圖，AB和分別是兩根不同長(zhǎng)度的支撐桿，夾角N

BOD=a.若AO=85c/n,BO=DO=65cnt.可：當(dāng)a=74°時(shí)，較長(zhǎng)支撐桿的端點(diǎn)A離

地面的高度〃約為________cm.（參考數(shù)據(jù)：sin37°—0.6,cos37°20.8,sin53°^0.8,

cos53°^0.6.）

單位：cm

二;…\\8

,J0,

'.,”.?…/

圖1圖2

15.如圖，CC為OO的直徑，COL48于點(diǎn)尸AEJ_BC于點(diǎn)E,且AE經(jīng)過(guò)圓心O.若

04=3.則圖中陰影部分的面積為

D

16.定義：若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)與它的頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形是直角三

角形，則把這種拋物線稱作“和美拋物線”.如圖，一組拋物線的頂點(diǎn)5（1,%），B2

（2,”），&（3,第），…&（〃，y?）（n為正整數(shù)）依次是直線>=當(dāng)+4"上的點(diǎn)，

34

這組拋物線與X軸正半軸的交點(diǎn)依次是4（671,0）,A2（。2,0）,43（43,0）,…A“+|

（a?+i,0）（0<?!<1,n為正整數(shù)）.若這組拋物線中存在和美拋物線，則s

三、解答題（本題有8小題，共66分。請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的相應(yīng)位置寫出解題過(guò)程

17.計(jì)算：727-3tan60°+（-1）2021.

18.為鞏固防疫成果，確保校園平安，全市所有學(xué)校都嚴(yán)格落實(shí)測(cè)體溫進(jìn)校園的防控要求.某

校開設(shè)了A、B、C三個(gè)測(cè)溫通道，某天早晨，該校小亮和小麗兩位同學(xué)將隨機(jī)通過(guò)測(cè)溫

通道進(jìn)入校園.

（1）小亮從A測(cè)溫通道通過(guò)的概率是;

（2）利用畫樹狀圖或列表的方法，求小亮和小麗從同一個(gè)測(cè)溫通道通過(guò)的概率.

19.如圖，直線與。。相切于點(diǎn)C,OA交。。于點(diǎn)。，連結(jié)CD已知00=8=5,

求AC的長(zhǎng).

20.如圖，已知拋物線y=d+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,0）,B（3,0）.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到一條新的拋物線，設(shè)新拋物

線的頂點(diǎn)為C,點(diǎn)D(0,小)在y軸上，以CD為對(duì)角線的正方形CEDF的頂點(diǎn)E、F

恰好都在新拋物線上，試求，"的值.

21.某超市銷售一款“免洗洗手液”，這款“免洗洗手液”的成本價(jià)為每瓶16元，經(jīng)試銷

發(fā)現(xiàn)，該種洗手液每天的銷售單價(jià)與銷售量的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表所示:

銷售單價(jià)(元/1617181920

瓶)

銷售量(瓶)200180160140120

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題:

(1)從表中可以發(fā)現(xiàn)，該洗手液的銷售單價(jià)每增加1元，銷售量減少瓶；

(2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，才能使當(dāng)天銷售這款“免洗洗手液”的利潤(rùn)最大，最大利

潤(rùn)為多少元?

22.閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：sin(a+p)=sinacos|3+cosasinp,tan(a+0)

tanCl+tan8

利用這些公式可以將兩角和的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角函數(shù)值的

1-tanCI.tanB

tan450+tan3001干3電—

和(差)，如tan75°=tan(30°+45°)

l-tan45°tan30°11X愿'3-V3

2+V3.

問(wèn)題解決：根據(jù)以上閱讀材.料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓浇獯鹣铝袉?wèn)題.

(1)求sin75"；

(2)如圖，邊長(zhǎng)為2的正△ABC沿直線滾動(dòng)，設(shè)當(dāng)△A8C滾動(dòng)240。時(shí)，C點(diǎn)的位置在

C,當(dāng)△ABC滾動(dòng)480。時(shí)，A點(diǎn)的位置在A'.

①求tan/CAC'的值；

②試確定NEC'+ZCAA'的度數(shù).

23.如圖①，在矩形ABC。中，AB=4,BC=m（w>l），點(diǎn)E、尸分別在邊AO、AB上，

且AE=1.

（1）當(dāng)機(jī)=3,AF：FB=1：3時(shí)，求證：叢AEFs/\BFC；

（2）當(dāng)機(jī)=3.5時(shí)，用直尺和圓規(guī)在圖②的線段AB上確定所有使△4￡下與以點(diǎn)8、F、

C為頂點(diǎn)的三角形相似的點(diǎn)尸（請(qǐng)保留畫圖痕跡）；

（3）探究：對(duì)于每一個(gè)確定的機(jī)的值，線段4B上存在幾個(gè)點(diǎn)尸，使得△?!￡：戶與以點(diǎn)8、

尸、C為頂點(diǎn)的三角形相似？（直接寫出結(jié)論即可）

24.李老師在上課時(shí)的屏幕上有如下內(nèi)容：

如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)E,CE=1,

MBKH,老師要求同學(xué)們?cè)诰匦畏娇蛑刑砑右粋€(gè)條件和結(jié)論后，編制成一道完

整的題目，并解答.

（1）李老師在方框中添加的內(nèi)容是“BE=3,求A8的長(zhǎng)"，請(qǐng)你解答；

（2）以下是小童和小詩(shī)的對(duì)話：

小童：我加的內(nèi)容是“BE=3,連結(jié)CQ,求C￡>的長(zhǎng)”.

小詩(shī)：我加的內(nèi)容是“sin/CBE=5，連結(jié)0C,求tan/ABO的值”.

請(qǐng)你幫小詩(shī)完成解答：

（3）參考第（1）題中李老師添加的內(nèi)容及第（2）題中的對(duì)話，寫出你想添加的內(nèi)容（可

以添線添字母，但所添內(nèi)容不能與（1）、（2）中的內(nèi)容相同），編制成一道完整的題

目，并解答.

D

參考答案

一.選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分。請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上將符合題意的正確選

項(xiàng)涂黑，不選、多選、錯(cuò)選均不給分）

1.如圖，把太陽(yáng)與地平線分別抽象成圓和直線，則該圖所呈現(xiàn)的直線與圓之間的位置關(guān)系

是（）

A.相切B.相交C.相離D.相似

【分析】根據(jù)相離的概念：一條直線和圓沒有公共點(diǎn)稱為直線和圓相離，由此即可作出

判斷.

解：..?太陽(yáng)與地平線沒有公共點(diǎn)，

該圖所呈現(xiàn)的直線與圓之間的位置關(guān)系是相離.

故選：C.

2.一個(gè)不透明的布袋中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，它們除顏色不同以外其他都相同，從布

袋中任意摸出一個(gè)球是白球的概率為（）

119

A.—B.—C.—D.1

323

【分析】一共有3個(gè)球，摸到每個(gè)球的可能性是均等的，其中白球有1個(gè)，因此可求出

摸出1球是白球的概率.

解：一共有3個(gè)球，其中白球有1個(gè)，

因此摸出一球是白球的概率為晟，

故選：A.

3.拋物線y=2（x+1）2-3的對(duì)稱軸是（）

A.直線x=lB.直線x=3C,直線x=-lD.直線x=-3

【分析】由拋物線解析式可求得答案.

解：

'：y=2(x+1)2-3,

???對(duì)稱軸為直線1=-1,

故選：C.

4.如圖，在半圓0中，若N4BC=70°,則N4DC的度數(shù)為（）

A.70°B.140°C.110°D.130°

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出NADC+N3=180。，再代入求出答案即可.

解：YA、B、C、。四點(diǎn)共圓，

AZADC+ZB=180°,

VZABC=70°，

：.ZADC=\S0°-ZABC=\\0°,

故選：C.

5.己知9=掾，則平的值是（）

32b

391

A.—B.—C.2D.—

232

【分析】直接利用已知得出。=乎，進(jìn)而代入化簡(jiǎn)得出答案.

解：?吟專

?.?Cl_3-b,

2

31

?a-b_7Tb-b_Tfb_1

一b一b"萬(wàn)

故選：D.

6.如圖，在△ABC中，DE//BC,若A。：DB=3：2,DE=6cm,則BC的長(zhǎng)為（）

A.8cmB.10cmC.\2cmD.18c/?

【分析】由平行線的性質(zhì)可得/AOE=N8,NAED=NC,故△AOES^ABC,利用相

似三角形的性質(zhì)即可求解.

解：'JDE//BC,

：.ZADE=ZB,ZAED=ZC,

:AADESMABC,

.ADDE

??二,

ABBC

*：AD：08=3：2,DE=6cm,

：.AD：BC=3：5,

.6工

??—T

BC5

解得BC=10(cm).

故選：B.

7.如圖，PA,PB分別切。0于點(diǎn)A、B,且尸4=8,CD切。0于點(diǎn)E,交PA、PB于C、

［分析］由PA、PB分別切。。于點(diǎn)A、B,CD切。。于點(diǎn)E,可得△PC。的周長(zhǎng)=PA+PB,

繼而求得答案.

解：?；尸4、PB分別切。。于點(diǎn)A、B,

：.PA=PB=S,

：CD切。。于點(diǎn)E,

J.CA^CE,DB=DE,

：.叢PCDfl<JJSJ-^=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=16.

故選：C.

8.如圖，取一張長(zhǎng)為a,寬為人的矩形紙片，將它對(duì)折兩次后得到一張小矩形紙片，若要

使小矩形與原矩形相似，則原矩形紙片的邊。、人應(yīng)滿足的條件是（）

第一次對(duì)折第二次對(duì)折

b

A.a=2^/2^B.a=y[2^C.a=4bD.a=2b

【分析】根據(jù)相似四邊形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可.

解：；小矩形與原矩形相似，原矩形紙片的邊長(zhǎng)為a、b,

.'.屏=4從，

：.a=2b（負(fù)數(shù)舍去），

故選：D.

9.如圖，將aABC放在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上，用一

個(gè)圓面去覆蓋△ABC,能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面半徑是（）

A.5/5B.C.2D.

【分析】根據(jù)題意得出△4BC的外接圓的圓心位置，進(jìn)而利用勾股定理得出能夠完全覆

蓋這個(gè)三角形的最小圓面的半徑.

解：如圖所示：點(diǎn)0為aABC外接圓圓心，則A0為外接圓半徑，

故能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面的半徑是：娓.

故選：A.

10.汽車在剎車后，由于慣性作用還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停下，我們稱這段距離為

“剎車距離”，剎車距離往往跟行駛速度有關(guān)，在一個(gè)限速35E?/〃的彎道上，甲、乙兩

輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不妙，同時(shí)剎車，最后還是相撞了事發(fā)后，交警現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲

車的剎車距離略超過(guò)12%,乙車的剎車距離略超過(guò)10口,又知甲、乙兩種車型的剎車距

121_121小

離s（〃?）與車速x（km/h）的關(guān)系大致如下：S甲=-----Y+----X,Sc乙--------V+----T?由

1001020020

此可以推測(cè)（）

A.甲車超速B.乙車超速

C.兩車都超速D.兩車都未超速

【分析】根據(jù)題意分別求出甲、乙的車速進(jìn)而得出相撞的原因.

【解答】解???甲車的剎車距離為12m,

-^-x1+—x=\2,

10010

即/+10x-1200=0,

解得：制=30X2=-40（不合題意舍去），

所以甲車的速度為30切?//?,不超過(guò)限速,

而乙車的剎車距離為10zn,

則有點(diǎn)、卻二10,

20020

即J^+IOX-2000=0,

解得：幻=40,及=-50（不合題意舍去），

所以乙車的速度為4052//?,超過(guò)了限速35kmih的規(guī)定.

故選：B.

二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）

11.2和8的比例中項(xiàng)是±4.

【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，h=b：c,設(shè)其比例中項(xiàng)是x,則其比例中項(xiàng)可求.

解：設(shè)其比例中項(xiàng)是X,

.,.f=2X8,

；.x=±4.

故答案為±4.

12.在創(chuàng)建全國(guó)文明城市活動(dòng)中，衢州市園林部門為了擴(kuò)大市區(qū)的綠化面積，進(jìn)行了大量的

樹木移栽.如表記錄的是在相同條件下移栽某種幼樹的棵數(shù)和成活棵數(shù)：

移栽棵樹1005001000500010000

成活棵樹8945891044989000

請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)，現(xiàn)園林部門移栽50000棵這種幼樹，大約能成活4500棵.

【分析】首先計(jì)算出成活率，然后代入計(jì)算即可.

解：設(shè)能成活x棵，根據(jù)題意得：

x_9000

5000-10000)

解得：JC=4500.

故大約能成活4500棵.

故答案為：4500.

13.如圖，P是OO外一點(diǎn)，過(guò)尸引。0的切線PA、PB,若NAPB=5O°,則130

度.

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到/月4。=/28。=90。，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可得

到答案.

解：...PA、PB是。0的切線，

AZPAO=ZPBO=90a,

ZAPB=50°,

；./AOB=360°-/APB-/PAO-/PBO=130°,

故答案為：130.

14.有一種落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過(guò)改變兩根支撐桿夾角的度數(shù)來(lái)調(diào)整晾衣桿

的高度.圖2是支撐桿的平面示意圖，和C。分別是兩根不同長(zhǎng)度的支撐桿，夾角/

BOD=a.若AO=85cm,8O=OO=65cvn.問(wèn)：當(dāng)a=74°時(shí)，較長(zhǎng)支撐桿的端點(diǎn)4離

地面的高度人約為120cm.(參考數(shù)據(jù)：sin37°-0.6,cos37°^0.8,sin53°-0.8,

cos53°^0.6.)

—T—r?西位：cm

%

*“7

f1V

f——/

*

【分析】過(guò)。作OELBD,過(guò)A作AFJ_8C,可得OE〃A尸，利用等腰三角形的三線合

一得到0E為角平分線，進(jìn)而求出同位角的度數(shù)，在直角三角形AFB中，利用銳角三角

函數(shù)定義求出h即可.

解：過(guò)。作OE_LB。，過(guò)A作AFJ_BZ),可得OE//AFf

'：BO=DO,

；.OE平分NBOO,

AZBOE=—ZBO￡>=—X74°=37°,

22

:./FAB=4BOE=37°,

在RtZXABF中，AB=85+65=150c〃?，

：.h=AF=AB-cosZFAB=\50X0.S=12(）（力?，

故答案為：120

單?位：cm

丁一丁不

["夕二衿-1：'1

!.A

::1:

?

B

FDE

圖1圖2

15.如圖，CD為。。的直徑，SLAB于點(diǎn)F,AELBC于點(diǎn)E,且AE經(jīng)過(guò)圓心0.若

OA=3.則圖中陰影部分的面積為3.里.

4

ZA=30°,ZABC=60°,得到NAO3=120。，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得

到答案.

解：連接。8,

???。，45于點(diǎn)/，AELBC于點(diǎn)E,

AZAFO=ZCEO=9O0,

???4A0F=/C0E,

:.ZA=ZC,

???OB=OA,

???NA=NAB。，/C=NOBC,

???NABO=NCBO,

：.ZABC=2ZAf

：.ZA=30°,ZABC=60°,

AZAOF=60°,

AZAOB=nO°,

???0A=3,

12

.??。尸=』。=9,

22

.?.AF=yOF=^^,

：.AB=2AF=3y[3,

2

???圖中陰影部分的面積=SWBOA-SMOB^^—3.-1X3V3x2=3n-也,

3602v24

故答案為：3n-t巨.

B

D

16.定義：若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)與它的頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形是直角三

角形，則把這種拋物線稱作“和美拋物線”.如圖，一組拋物線的頂點(diǎn)5（1,%），B2

（2,”），Bi（3,>3）,（〃，y?）（?為正整數(shù)）依次是直線"上的點(diǎn)，

這組拋物線與％軸正半軸的交點(diǎn)依次是A]（4],0）,A1（42,0）,Ai（a3,0）,…A〃+i

（a?+i,0）（0<?!<1,〃為正整數(shù)）.若這組拋物線中存在和美拋物線，則。產(chǎn)之或

一12一

11

【分析】由拋物線的對(duì)稱性可知，所砂構(gòu)成的直角三角形必是以拋物線頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)

的等腰三角形，所以此等腰三角形斜邊上的高等于斜邊的一半，又OV0V1,所以等腰

直角三角形斜邊的長(zhǎng)小于2,所以等腰直角三角形斜邊的高一定小于1,即拋物線的定點(diǎn)

縱坐標(biāo)必定小于1,據(jù)此對(duì)上一步結(jié)論分析可得滿足美麗拋物線對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，再確定拋物

線與x軸的交點(diǎn)值與對(duì)稱軸的距離，從而可求得的的值.

解：直線/：y=5x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0,則〃=2，

344

直線I：y-

由拋物線的對(duì)稱性知：拋物線的頂點(diǎn)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形必為等腰直角

三角形；

，該等腰三角形的高等于斜邊的一半

V0<ai<l

,該等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)小于2,斜邊上的高小于1（即拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)小于1）

117

?.?當(dāng)x=l時(shí)，％=《xi+}=±<l,

3412

當(dāng)x=2時(shí)，y2=AX2+l=ll<l,

11R

當(dāng)％=3時(shí)，y3=—X3+—=—>1；

344

?,.美麗拋物線的頂點(diǎn)只有S、&

①若Bi為頂點(diǎn)，由Bi（1,卡），則d=1-看=卡

②若&為頂點(diǎn)，由星（2,點(diǎn)），則d=l-[（2-音）-1]=/綜上所述，”的值為余

或圣時(shí)，存在美麗拋物線.

12

故答案為：或

三、解答題（本題有8小題，共66分。請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的相應(yīng)位置寫出解題過(guò)程

17.計(jì)算：727-3tan600+(-1)2021

【分析】直接利用二次根式的乘法以及有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則、特殊角的三角函數(shù)值分

別化簡(jiǎn)，再利用實(shí)數(shù)加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.

解：原式=3?-3Xb-1

=3正-3技1

=-1.

18.為鞏固防疫成果，確保校園平安，全市所有學(xué)校都嚴(yán)格落實(shí)測(cè)體溫進(jìn)校園的防控要求.某

校開設(shè)了A、B、C三個(gè)測(cè)溫通道，某天早晨，該校小亮和小麗兩位同學(xué)將隨機(jī)通過(guò)測(cè)溫

通道進(jìn)入校園.

（1）小亮從A測(cè)溫通道通過(guò)的概率是《；

-3-

（2）利用畫樹狀圖或列表的方法，求小亮和小麗從同一個(gè)測(cè)溫通道通過(guò)的概率.

【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案;

（2）先列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算可

得.

解：（1）小亮從A測(cè)溫通道通過(guò)的概率是羨，

故答案為：名

（2）列表如下：

ABC

AA,AB,AC,A

BA,BB,BC,B

CA,CB,CC,C

由表可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小麗從同一個(gè)測(cè)溫通道通過(guò)的有3種可

能，

所以小亮和小麗從同一個(gè)測(cè)溫通道通過(guò)的概率為l=義.

93

19.如圖，直線AB與相切于點(diǎn)C,04交。。于點(diǎn)￡?,連結(jié)CD已知。0=8=5,

求AC的長(zhǎng).

【分析】連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NACO=90°,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到0C

=5,N4OC=60°,由直角三角形的性質(zhì)即可得到答案.

解：連接。C,

?.?直線AB與相切于點(diǎn)C,

AZACO=90°,

'：OD=OC,0D=CD=5,

.?.△OOC是等邊三角形，

：.0C=5,/AOC=60°,

:.AC=?C=5&.

20.如圖，已知拋物線＞=/+加+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(3,0).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到一條新的拋物線，設(shè)新拋物

線的頂點(diǎn)為C,點(diǎn)D(0,m)在y軸上，以CD為對(duì)角線的正方形CEDF的頂點(diǎn)E、F

恰好都在新拋物線上，試求〃1的值.

【分析】(1)用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)平移的規(guī)律得出平移后的拋物線的解析式，即可求得C(0,0),根據(jù)正方形

的性質(zhì)即可求得呆，F(xiàn)(Xn,夕)，代入解析式即可求得機(jī)的值.

解：(1)?.?拋物線y=f+加;+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(-1,0),B(3,0).

.(l-b+c=0

19+3b+c=0

解得歸2,

1c=-3

...拋物線的解析式為-2x-3；

(2)\'y=x2-lx-3=(x-1)2-4,

將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到y(tǒng)=(x-1+1)2-4+4,即)，=

X2,

：.C(0,0),

?.?點(diǎn)。(0,m)在)，軸上，以C。為對(duì)角線的正方形CED尸的頂點(diǎn)E、尸恰好都在新拋

物線上，

：.CD=m,Ef〃x軸，且E、尸關(guān)于y軸對(duì)稱，

'.E(--m,—m),F(,—m,—m),

2222

24

解得〃?l=2,7/12=0(舍去)，

：.m的值為2.

21.某超市銷售一款“免洗洗手液”，這款“免洗洗手液”的成本價(jià)為每瓶16元，經(jīng)試銷

發(fā)現(xiàn)，該種洗手液每天的銷售單價(jià)與銷售量的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表所示：

銷售單價(jià)(元/1617181920

瓶）

銷售量（瓶）200180160140120

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：

（1）從表中可以發(fā)現(xiàn)，該洗手液的銷售單價(jià)每增加1元，銷售量減少20瓶:

（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，才能使當(dāng)天銷售這款“免洗洗手液”的利潤(rùn)最大，最大利

潤(rùn)為多少元？

【分析】（1）由表格可得答案；

（2）設(shè)每天的銷售利潤(rùn)為w元，根據(jù)利潤(rùn)等于每天的銷售量乘以每瓶的利潤(rùn)，列出卬

關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，將其寫成頂點(diǎn)式，按照二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

解：（1）該洗手液的銷售單價(jià)每增加1元，銷售量減少20瓶，

故答案為：20；

（2）設(shè)每天的銷售利潤(rùn)為w元，則有：

w=[200-20（x-16）J（x-16）=-20f+840氏-8320=-20（x-21）2+500,

■:a=-20<0,

二次函數(shù)圖象開口向下，

.?.當(dāng)x=21時(shí)，w有最大值，最大值為500元.

答：當(dāng)銷售單價(jià)為21元時(shí)，銷售這款“免洗洗手液”每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為

500元.

22.閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：sin（a+p）=sinacosp+cosasinp,tan（a+p）

=tan￡+tan^_利用這些公式可以將兩角和的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角函數(shù)值的

1-tanCltanP

1守3^3.

和(差)，如tan75°=tan(30°+45°)=tan450+tan30

l-tan45°tan30°V33-/3

l-i'T

2+V3-

問(wèn)題解決：根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓浇獯鹣铝袉?wèn)題.

(1)求sin75°；

（2）如圖，邊長(zhǎng)為2的正AABC沿直線滾動(dòng)，設(shè)當(dāng)△ABC滾動(dòng)240。時(shí)，C點(diǎn)的位置在

C,當(dāng)△ABC滾動(dòng)480°時(shí)，A點(diǎn)的位置在4'.

①求tan/CAC'的值；

②試確定ZC4C'+ZCAA'的度數(shù).

B—C5,A'

【分析】(1)把75°轉(zhuǎn)化為30°+45°,再套入公式即可；

(2)①過(guò)C'作C'EL于E,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得C'E和4E的長(zhǎng)，再根據(jù)

正切的定義可得答案;

②根據(jù)①的思路得到tanZCA4)的值，再利用tan(a+p)tana+tanB代入可得答

1-tanCI.tanB

案.

解：(1)sin750=sin(30°+45°)

=sin30°,cos45°+cos30°*sin45°

千烏樂(lè)孚

2222

""4；

(2)①過(guò)U作CE_U于E,

ZXABC是等邊三角形且邊長(zhǎng)為2,

：.C'E=?,AE=2+2+l=5,

：.tanZCAC=2^=返；

AE5

②過(guò)A'作4'F_U于尸,

?；AABC是等邊三角形且邊長(zhǎng)為2,

：.A'F=M，A尸=2+2+2+2+l=9,

../cA'F如

..tanZCAA=------=--.

AF9

設(shè)NC4C'=a,ZCAA'=p,

返也

.(tanCI+tanP59V3

tan(a+p)=------------^-=---產(chǎn)-----L=4—,

l-tan^*tanpv3\33

1廿丁

，a+B=30°,

AZCAC+CAA'=30°.

23.如圖①，在矩形ABC。中，A8=4,BC=m(機(jī)＞1),點(diǎn)E、尸分別在邊A。、ABk,

且AE=1.

(1)當(dāng)，w=3,AF：FB=\：3時(shí)，求證：△AEFS/\BFC；

(2)當(dāng)機(jī)=3.5時(shí)，用直尺和圓規(guī)在圖②的線段AB上確定所有使△4石尸與以點(diǎn)8、尸、

C為頂點(diǎn)的三角形相似的點(diǎn)F(請(qǐng)保留畫圖痕跡)；

(3)探究：對(duì)于每一個(gè)確定的機(jī)的值，線段AB上存在幾個(gè)點(diǎn)F,使得△AEF與以點(diǎn)B、

尸、C為頂點(diǎn)的三角形相似？(直接寫出結(jié)論即可)

圖①

【分析】(1)證明△BFC都是等腰直角三角形，可得結(jié)論.

(2)加=3.5時(shí)，線段AB±AAEF與△BCF的相似點(diǎn)尸有3個(gè).構(gòu)造等腰直角三角形

或利用輔助圓解決問(wèn)題即可.

(3)分相似點(diǎn)為1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)三種情形，討論求解即可.

【解答】(1)證明：如圖①中,

圖①

?.?四邊形A8C。是矩形,

AZA=ZB=90",

?：AE=\,BC=3,AB=4,AF：FB=1：3,

：.AF=l,BF=3,

：.AE=AF,BF=BC,

：./\AEF,△BFC都是等腰直角三角形,

:.XAEFSMBFC.

(2)解：機(jī)=3.5時(shí)，線段AB上△4后尸與ABC尸的相似點(diǎn)尸有3個(gè)，理由如下：

延長(zhǎng)。4,作點(diǎn)E關(guān)于A8的對(duì)稱點(diǎn)E',連接CE',交AB于點(diǎn)尸1；連接CE,以CE

為直徑作圓交AB于點(diǎn)尸2、如圖：

E'

???點(diǎn)E關(guān)于AB