2017-2018學(xué)年上海市楊浦區(qū)高一（下）學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2017-2018學(xué)年上海市楊浦區(qū)高一第二學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、填空題(本大題共10小題，每題4分，共40分)

TT

1.半徑為2,圓心角為一的扇形的面積為

4

2.已知P(4,-3)是角a終邊上一點(diǎn)，則sina=.

n71

3.右cos(——a)=cosa,貝|tana=.

2-------

4.函數(shù)》=1211￥的定義域?yàn)?

5.若△ABC的三邊長為2,3,4,則△ABC的最大角的余弦值為.

6.函數(shù)y=—J廠X,GW1)的反函數(shù)為.

7.設(shè)log23=a,貝!Jlog64=.

TC4rl[a

8.設(shè)ae[—,n],sina=尸，貝Ucos—=

252-------

1TT

9.方程sinx=w，xE[-^^用的解為

10.設(shè)/(x)=2sin(a)x—冬)，xeR,實(shí)數(shù)xi,%2滿足：對于任意疣R,不等式/(?)W

27r

f(x)Wf(X2)都成立，若|xi-的最小值為一，則正實(shí)數(shù)3=

3

二、選擇題(本大題共4小題，每題4分，共16分)

11.設(shè)OCR,“sin8=0”是“sin26=0”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件

12.下列函數(shù)是奇函數(shù)，且值域?yàn)閷?shí)數(shù)集R的是()

A.y:=/g=B.y=:/g|x|C.y~~tan2xD.y~~3sin2%

13.已知cos^=[,且sin0<O,則tan。的值為()

A.-24B.±24C.-24D.上

ZD-//7

14.函數(shù)y=2sinx的圖象經(jīng)由下列變換可以得到函數(shù)y=2sin⑵+電的圖象的是()

JT

A.先將圖象向左平移一，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?/p>

3

7T

B.先將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，再將所得圖象向左平移一

3

77

C.先將圖象向左平移一，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍

3

7T

D.先將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將所得圖象向左平移一

3

三、解答題(本大題滿分44分)

15.解方程：log2(x2+x)=log2(x+1)+2.

16.已知ae(―,n)，tana+cota=一當(dāng).

43

(1)求tana的值；

Ti

⑵化簡并求s勿a+sg-a)的值.

sinfji-a)-cosa

17.已知函數(shù)/(x)=sin2x+2cos2x-1,xGR,其中集合。為函數(shù)的定義域.

(1)求函數(shù)無)的最小正周期；

(2)用五點(diǎn)法作出函數(shù)/(x)一個(gè)周期內(nèi)的圖象.

18.某小區(qū)規(guī)劃時(shí)，計(jì)劃在周邊建造一片扇形綠地，如圖所示已知扇形綠地的半徑為50米，

圓心角/2。3=條從綠地的圓弧邊界上不同于A,8的一點(diǎn)P處出發(fā)鋪設(shè)兩條道路PO

與PC(均為直線段)，其中PC平行于綠地的邊界08.記/POC=0(其中0V。〈掾).

(1)當(dāng)時(shí)，求所需鋪設(shè)的道路長：

(2)若規(guī)劃中，綠地邊界的OC段也需鋪設(shè)道路，且道路的鋪設(shè)費(fèi)用均為每米100元，當(dāng)

。變化時(shí)，求鋪路所需費(fèi)用的最大值(精確到1元).

3—T

19.設(shè)/(x)=lg(---),其中常數(shù)aW-3.

a+x

(1)當(dāng)4=0時(shí)，求不等式/(X)>0的解；

(2)若函數(shù)/G)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，求實(shí)數(shù)。的值：

(3)當(dāng)〃=0時(shí)，求/(x)在區(qū)間［1,2］上的最大值與最小值的差.

2017-2018學(xué)年上海市楊浦區(qū)高一第二學(xué)期期末數(shù)學(xué)試

卷

參考答案

一、填空題(本大題共10小題，每題4分，共40分)

77TT

1.半徑為2,圓心角為一的扇形的面積為一.

4-2―

【分析】設(shè)扇形的圓心角大小為a(rad),半徑為廣，則扇形的面積為S=號(hào)盧a,由此得解.

TT

解：?.,r=2,a=4，

SS=2產(chǎn)。=|x22x今=冬

TT

故答案為：:

2

【點(diǎn)評】本題主要考查了扇形的面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知尸(4,-3)是角a終邊上一點(diǎn)，則sina=——.

【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sina的值.

解：VP(4,-3)是角a終邊上一點(diǎn)，則冗=4,y=-3,r=\OP\=V16T9=5,

????sina=y————3=-=3一■=,?

V55

故答案為：-1.

【點(diǎn)評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

71

3.右Hcos(——a)=cosa,貝|tana=1.

2--------

【分析】利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求解即可.

n

角牛：cos(-―a)=cosa,

2

可得sina=cosa,

所以tana=l.

故答案為：1.

【點(diǎn)評】本題考查誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

77"

4.函數(shù)y=tanx的定義域?yàn)閇xlxW衍i+?,依Z;.

【分析】根據(jù)正切函數(shù)y=tanr的定義，寫出定義域即可.

解：根據(jù)正切函數(shù)y=tanx的定義知,

TT

其定義域?yàn)椋海鹸|x￥hr+2，kez].

故答案為：｛%|%。kn+2，kEZ｝.

【點(diǎn)評】本題考查了正切函數(shù)的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

5.若△A3C的三邊長為2,3,4,則AABC的最大角的余弦值為

【分析】直接利用三角形的三邊關(guān)系式和余弦定理求出結(jié)果.

解：根據(jù)大邊對大角得到：

設(shè)〃=2,b=3,c=4,

所以：30=涼+1202="

2ab4

故答案為：-/

【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角形的三邊關(guān)系式及余弦定理的應(yīng)用.

6.函數(shù)y=一“一％,GW1)的反函數(shù)為、=l-N(xW0).

【分析】根據(jù)反函數(shù)的定義即可求出.

解：y=—V1—Xf(xWl),

則y2=l-x,

.*.x=l-y2,yWO,

二函數(shù)y=--%,(%W1)的反函數(shù)為y=l-N,(xWO),

故答案為：y=l-x2,(xWO)

【點(diǎn)評】本題考查了反函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題

2

7.設(shè)log23=m貝!jlog64=____

-1+a-

【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式即可得出.

解:Vlog23=tz,

=21g2=2=2=2

??log64Ig2+lg3l+Zog?l+a,

ig2

2

故答案為：---?

1+a

【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4

設(shè)7T

aL-?,aV5

8.G[25則cos—

25'

oc

【分析】由已知求得cosa,再由二倍角的余弦求解cos一.

2

714

角牛：???。日5，n],sina=1，

cosa=—V1—sin2a二一1，

由cosa=2cos2—1,

4日a1+cosa1

付cos7=——2——=5*

71a7171

VaG[?n],-],

,COSa點(diǎn)（含）或加盧

2-52-5

故答案為：包.

5

【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及倍角公式的應(yīng)用，

是基礎(chǔ)題.

9.方程sinx=K，xG[—77,n]的解為%=arcsin—或==冗-arcsin-

3幺33—

【分析】利用反三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的單調(diào)性與求值即可得出.

解：?方程sinx=\XG[-5,H],

1、1

.??x=arcsin-或x=n-arcsin-.

33

、1、1

故答案為：arcsin-或x=n-arcsin-.

33

【點(diǎn)評】本題考查了反三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的單調(diào)性與求值，考查了推理能力與計(jì)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.設(shè)/（%）=2sin（o）x-咨），xeR,實(shí)數(shù)xi,也滿足：對于任意x￡R,不等式/（為）W

27r3

/（X）q（X2）都成立，若山-刈的最小值為三，則正實(shí)數(shù)0）=_5—

【分析】由題意，對于任意XER,不等式/（xi）W/（x）W/（X2）都成立，可令/（XI）是

277127r

最低點(diǎn)的值，那么/（X2）時(shí)最高點(diǎn)的值，由-&|的最小值為'，即±7=',可得T,

323

即可求解3.

解：由題意，對于任意尤eR,不等式/（?）W/（x）W/（尤2）都成立,

可令/（尤1）是最低點(diǎn)的值，那么/（無2）時(shí)最高點(diǎn)的值，

由|xi-X2|的最小值為一，

3

口11271

即一T=—，

23

可得T=箏

那么：3=2TTX言，

3=

3

故答案為：—.

2

【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用.屬于基礎(chǔ)題.

二、選擇題（本大題共4小題，每題4分，共16分）

11.設(shè)gR,"sine=O”是“sin20=O”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件

【分析】由sinB=O求得sin2B=0,由sin26=。求得sin6=0或±1,再結(jié)合充分必要條件

的判定方法判斷.

解：由sin9=0,得0=Mt,依Z,則2。=2而，依Z,

sin20=0；

由sin20=O,得2。=配，依Z,則1=竽,依Z,

sin0=O或±1.

“sin8=0”是“sin20=0”的充分非必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)值的求法，考查充分必要條件的判定方法，是基礎(chǔ)題.

12.下列函數(shù)是奇函數(shù)，且值域?yàn)閷?shí)數(shù)集R的是（）

A.y—lgxB.y—lg\x\C.y=tan2xD.y=3sin2x

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和值域的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.

解：A.y=lgx的定義域?yàn)椋?,+8）,定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù),

不滿足條件.

B.y=/g|x|是偶函數(shù)，不滿足條件.

C.y=tan2尤是奇函數(shù)，且函數(shù)的值域是R,滿足條件.

D.y=3sin2x是奇函數(shù)，函數(shù)的值域是[-3,3],不滿足條件.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)奇偶性和值域性質(zhì)的判斷，結(jié)合常見函數(shù)的進(jìn)行和值域的性質(zhì)是

解決本題的關(guān)鍵.

13.已知如人會(huì)且sin9<0,則tan。的值為()

A.-24B.±24C.-24D,上

—//7

【分析】利用二倍角公式求得cosd再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sine,從而求得

tan0的值.

解：已知cos^=且sinBCO,.'.cos0=2cos2^-l=2x(^)2-1=

故sin6=-Vl-cos20=一||，tan0==一9，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.函數(shù)y=2sin%的圖象經(jīng)由下列變換可以得到函數(shù)y=2sin⑵+卷的圖象的是()

77

A.先將圖象向左平移一，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?/p>

3

7T

B.先將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄賹⑺脠D象向左平移一

3

77

C.先將圖象向左平移一，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍

3

7T

D.先將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將所得圖象向左平移一

3

【分析】由題意利用函數(shù)、=Asin(3x+(p)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.

7TTT

解：先將函數(shù)y=2sinx的圖象向左平移一，可得函數(shù)y=2sin(x+可)的圖象，

3J

再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，可得函?shù)y=2sin(2x+|)的圖象，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)y=Asin(ou+(p)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題(本大題滿分44分)

15.解方程：log2(N+x)=log2(x+1)+2.

【分析】運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得log2(x2+x)=log2(4x+4),可得X2+X=4X+4,求得方

程的根，檢驗(yàn)對數(shù)的真數(shù)是否大于0,即可得到所求解.

解：10g2(X2+X)=10g2(X+1)+2,

即為log2(x2+x)=log2(4x+4),

可得12+X=4%+4,

即x2-3x-4=0,

解得％=4或1=-1,

當(dāng)x=4時(shí)，滿足x+l>0,N+%>。成立；

當(dāng)x=-1時(shí)，x+l=0不成立.

則原方程的解為％=4.

【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)方程的解法，注意轉(zhuǎn)化思想和檢驗(yàn)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

16.已知ae(―,IT)，tana+cota=一畢.

4D

(1)求tana的值；

7T

⑵化簡并求S：+SgF)的值.

sinfji-a)-cosa

【分析】(1)化余切為正切，求解關(guān)于tana的方程得答案；

(2)利用誘導(dǎo)公式變形，化弦為切求解.

角星：(1)由tana+cota=-亍，得tana+-----1--=(),

3tana3

3tan2a+10tana+3=0,

解得：tana=3或tana=-

??仁,3兀

?OtG(----，Tt)9

4

tana=-

，_、sina+sin(--cr)sina+cosatana+1一鼻+11

⑵----------2-------=---------------------=---------------=-4—=

sin(n-a)-cosasina-cosatana-1---12

【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，

是基礎(chǔ)題.

17.已知函數(shù)/(x)=sin2x+2cos2x-1,x￡R,其中集合。為函數(shù)的定義域.

(1)求函數(shù)無)的最小正周期；

(2)用五點(diǎn)法作出函數(shù)/(x)一個(gè)周期內(nèi)的圖象.

【分析】（1）利用二倍角和輔助角公式化簡，即可求解最小正周期;

（2）列表，作圖即可.

7T

解：(1)函數(shù)/(%)=sin2x+2cos2x-I=sin2x+cos2x=V2sin(2%+彳).

函數(shù)/(X)的最小正周期7=竽=兀；

■JT

(2)由(1)可知/(x)=V2sin(2X+4).

五點(diǎn)列表，

7T7T3九571771

-8

8888

2x+*071n3712ir

22

y0V20-V20

作圖:

【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)畫三角函數(shù)的圖象的

基本步驟畫出圖形，是基礎(chǔ)題.

18.某小區(qū)規(guī)劃時(shí)，計(jì)劃在周邊建造一片扇形綠地，如圖所示已知扇形綠地的半徑為50米，

圓心角乙4。8=I，從綠地的圓弧邊界上不同于A,B的一點(diǎn)P處出發(fā)鋪設(shè)兩條道路PO

與PC（均為直線段）,其中PC平行于綠地的邊界08.記/POC=9（其中0V8〈4）.

（1）當(dāng)寸，求所需鋪設(shè)的道路長：

（2）若規(guī)劃中，綠地邊界的OC段也需鋪設(shè)道路，且道路的鋪設(shè)費(fèi)用均為每米100元，當(dāng)

0變化時(shí)，求鋪路所需費(fèi)用的最大值（精確到1元）.

0

B

【分析】（1）在△POC中，運(yùn)用正弦定理即可得到所求道路長；

（2）在△POC中，運(yùn)用正弦定理求得PC,OC,由條件可得鋪路所需費(fèi)用為/（0）=

100[50+粵lsin6+粵fsin-0）],運(yùn)用兩角和差正弦公式和正弦函數(shù)的值域，可

得所求最大值.

解：（1）在△POC中，0=^,ZCPO=^-^=^,

41541Z

則NPCO=nT=等,

OPPC

由正弦定理可得.27r=

50x^50^/6

可得PC=

V3

~2

所需鋪設(shè)的道路長為50+咚!〃7,

(2)在△POC中，可得

OPPCOCIOOA/3n

-

孤f=礪=sin^-e)=二'°<e〈可

可得尸C=當(dāng)如sin。，OC=1。產(chǎn)in-0),

則鋪路所需費(fèi)用為/(e)=100[50+當(dāng)@sinB+竺磬sin(--0)]

=5OOO