2023年陜西省延安市黃陵高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.下列說法正確的是（）

A.“若。>1,則/>1”的否命題是“若。>1,則

B.“若am2Vbm2,則a<8”的逆命題為真命題

C.3x0G（0,+oo）,使3%>4%成立

D.“若sinaw—,則a*2”是真命題

26

2.為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測驗(yàn)（指標(biāo)值滿分為100分，

分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述不正確的是（）

A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)

3.甲、乙、丙三人相約晚上在某地會(huì)面，已知這三人都不會(huì)違約且無兩人同時(shí)到達(dá)，則甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的概

率是（）

4.已知復(fù)數(shù)二滿足慟=1,則|z+2Tl的最大值為（)

A.2+3B.1+V5C.2+75D.6

2+4

5.復(fù)數(shù)2=日口士的虛部為（)

i-i1

A.—1B.—3C.1D.2

6.在AABC中，OA+OB+OC^6>通=2而，網(wǎng)=X“，若福恁=9布?配，則實(shí)數(shù)4=（

旦B.昱

A.C.亞D.逅

3232

7.在中，角A、B、C的對邊分別為a,。,c,若atan5=?sin（8+C）.則角3的大小為（）

71兀兀兀

A.—B.一C.-D.一

3624

8.已知a、/則下列是等式sina-sin6=a—2/成立的必要不充分條件的是（）

A.sincr>sin/?B.sinavsin尸

C.cosa>cos/?D.cosa<cosp

9.已知向量a=（l,4）,b=（-2,w）>^\a+b\=\a-b\,則機(jī)=（）

11

A.一一B.-C.-8D.8

22

10.已知直線（：x=my（加。0）與拋物線C：>2=4*交于。（坐標(biāo)原點(diǎn)），從兩點(diǎn)，直線4：x=+m與拋

物線C交于8,0兩點(diǎn).若|3。|=3|。4|,則實(shí)數(shù)"?的值為（）

1111

A.—B?—C.-D.—

4538

11.圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

d—2"■!>0O

正視圖側(cè)視圖俯視圖

13c

A.一"B.—7tC.2乃D.37r

22

12.水平放置的AAbC,用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的VA7TC,其中。'4=0?=2,OC=也,則

△A6C繞48所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（

A.8岳B.16若萬C.(86+3)萬D.(16百+12)〃

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

[x為有理數(shù)

13.數(shù)學(xué)家狄里克雷對數(shù)論，數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.函數(shù)。(幻=,

0”為無理數(shù)

稱為狄里克雷函數(shù).則關(guān)于。(力有以下結(jié)論：

①。(x)的值域?yàn)閇0，小

(2)Vx€/?,￡>(—x)=O(x);

③X/TeH,D(x+T)=D(x)；

④。⑴+Z)(V2)+D(?+-.-+￡>(72020)=45;

其中正確的結(jié)論是(寫出所有正確的結(jié)論的序號)

14.過拋物線C：y2=2px</?>0)的焦點(diǎn)尸且傾斜角為銳角的直線/與C交于A,B兩點(diǎn),過線段AB的中點(diǎn)N

且垂直于/的直線與c的準(zhǔn)線交于點(diǎn)"，若=貝h的斜率為.

15.經(jīng)過橢圓與+丁=1中心的直線與橢圓相交于加、N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在第一象限)，過點(diǎn)/作x軸的垂線，垂足為

點(diǎn)E.設(shè)直線NE與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為P.則cosNNMP的值是.

zXC+2,〃=2左一1,左￡N*-八八c八八

16.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，q=1,4=2,4+2=/…，則滿足2019《鼠《3000的正整

2an,n=2k,KeN

數(shù))的所有取值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知圓C:(x-2)2+(y-3>=4外有一點(diǎn)(4,-1),過點(diǎn)P作直線/.

(1)當(dāng)直線/與圓C相切時(shí)，求直線/的方程；

⑵當(dāng)直線1的傾斜角為135。時(shí)，求直線/被圓C所截得的弦長.

無22

18.(12分)已知橢圓。三+?=1(a>*>0)過點(diǎn)(0,0),且滿足。+。=30.

(I)求橢圓c的方程;

(2)若斜率為』的直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)A,B,點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,1),設(shè)直線K4與M8的斜率分別為心,

2

ki,試問隊(duì)+幻是否為定值？并說明理由.

19.(12分)設(shè)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，且為=2,59=54.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

20.(12分)改革開放4()年，我國經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識也需要不斷

加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識調(diào)查.隨機(jī)抽取

男女駕駛員各50人，進(jìn)行問卷測評，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示在80分以上為交通安全意識強(qiáng).

(1)求。的值，并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識強(qiáng)的概率;

(2)已知交通安全意識強(qiáng)的樣本中男女比例為4:1,完成下列2*2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識與性

別有關(guān);

安全意識強(qiáng)安全意識不強(qiáng)合計(jì)

男性

女性

合計(jì)

(3)用分層抽樣的方式從得分在50分以下的樣本中抽取6人，再從6人中隨機(jī)選取2人對未來一年內(nèi)的交通違章情況

進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求至少有1人得分低于40分的概率.

附：K'=-----、/-------------------其中n=a+b+c+d.

2

P(K>k]0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

1(。>8>0)的短軸長為26,離心率e=；

21.(12分)已知橢圓C:江+片,其右焦點(diǎn)為尸.

a2b2

(1)求橢圓C的方程;

(2)過廠作夾角為:的兩條直線44分別交橢圓C于P,Q和M,N,求瑞^的取值范圍.

2xcici

22.(10分)已知函數(shù)f(x)=xlnx-21nx+3%—5,^(x)=lnx+—~~-+

xr

(1)求證：f(x)在區(qū)間(1,40。)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)%,且

49

(2)若當(dāng)xNl時(shí)，不等式g(x)N0恒成立，求證：?<—.

4

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

選項(xiàng)A,否命題為“若aW1,則小4I"，故A不正確.

選項(xiàng)B,逆命題為“若a<b,則am2〈初〃2"，為假命題，故B不正確.

選項(xiàng)C,由題意知對X/xw(O,+8),都有3'<41故C不正確.

7T1ITT

選項(xiàng)D,命題的逆否命題“若a=二，貝ijsina=—"為真命題，故“若sinaw—,則aw—”是真命題，所以D正確.

6226

選D.

2.D

【解析】

根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.

【詳解】

對于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,

故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙，故A正確；

對于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分,

故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，故B正確；

對于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為

100+80+100+80+100+80310

63

80+60+80+60+60+100250

乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為故C正確;

6亍

對于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算為80分，不是最強(qiáng)的，故D錯(cuò)誤;

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計(jì)算，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

先判斷是一個(gè)古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件種數(shù)，再得到甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的基本事

件的種數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.

【詳解】

甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，

其中甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到有甲乙丙，共1種，

所以甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的概率是〃=，.

6

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

設(shè)歷,〃力￡火，22?利用復(fù)數(shù)幾何意義計(jì)算.

z=a+|Z+2-Z|=A/(?+2)+0-1)

【詳解】

22

設(shè)z=a+>i,a,》eR,由己知，a+b=\，所以點(diǎn)(。,勿在單位圓上，

而|z+2-i|=|(a+2)+S-l)i|=^/(?+2)2+0-1)2，^(a+2)2+(b-l)2表示點(diǎn)(a，b)

到(-2,1)的距離，i^|z+2-z|<7(-2)2+l2+1=1+75.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值，其實(shí)本題可以利用不等式Iz+2-i為z|+12-i|來解決.

5.B

【解析】

對復(fù)數(shù)二進(jìn)行化簡計(jì)算，得到答案.

【詳解】

(z-1)2+4_4-2/_(4-2z)(l-0_3，

z+11+i2

所以z的虛部為-3

故選B項(xiàng).

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，虛部的概念，屬于簡單題.

6.D

【解析】

將Id、前用而、急表示，再代入麗.衣=9Xd?前中計(jì)算即可.

【詳解】

由礪+而+反=6,知。為AABC的重心，

—.21—?—?1—.—.

所以AO=§X5(A5+AC)=§(A3+AC),又說=2麗，

_____2__________2__.

所以EC—AC—AE—AC——AB,9Ao?EC=3(AB+AC),(AC——AB)

...............*2——?2?r*r*|\|*2?2]lA8|13

=ABAC-2AB+3AC=ABAC，所以2AB=3AC，==J-.

|zic|v乙乙

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算，是一道中檔題.

7.A

【解析】

由正弦定理化簡已知等式可得sinAtanB=2sinfisinA,結(jié)合sinA>0,可得tanB=2sinB,結(jié)合范圍Be(O,〃)，可

得sinB>(),可得COS8=L,即可得解3的值.

2

【詳解】

解：VotanB--2Z?sin(S+C)=2/?sinA,

二由正弦定理可得：sinAtanB=2sin8sinA>

VsinA>0,

:.tanB=2sinB,

V5e(O,^-),sinB>0,

:.cosB=—,

2

：.B=-.

3

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

構(gòu)造函數(shù)〃(x)=sinx-x,”x)=sinx-2x,利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間[一多?上均為減函數(shù)，由

jrjr

sina-sin〃=a-2/得出sina-e=sin尸一26，分a=0、--<?<0,Octzc,三種情況討論，利用放縮

法結(jié)合函數(shù)y=/?(x)的單調(diào)性推導(dǎo)出-5<。<，<0或0<用<。<],再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)〃(％)=sinx—x,/(x)=sinx-2x,

貝!j/z'(x)=cosx-l<0,//(%)=cosx-2<0,

所以，函數(shù)y=/(x)、y=/z(x)在區(qū)間,夕口上均為減函數(shù)，

當(dāng)一三vxvO時(shí),則:(一)>%(0)=0,/(x)>/(0)=0；當(dāng)0vxv至?xí)r,/?(%)<0,/(x)<0.

22

由sina—sin/?=a—2,得sina—a=sin/7一26.

①若二=0,則sin〃-2/7=0,即/(/)=0=>夕=0,不合乎題意；

②若一^va<0,則一]</<(),則7?(a)=sina-a=sin分一2月》sin分一/?=〃(/7),

n

此時(shí)，一5<。<￡<0,

由于函數(shù)丁=85%在區(qū)間,5,o]上單調(diào)遞增，函數(shù)y=sinx在區(qū)間,],。]上單調(diào)遞增，貝(jsina<sin4，

cosa<cosB?

③若0<a<],則0</<],則〃(a)=sina-a=sin/-2/7<sin/-/?=/z(A),

TT

此時(shí)0</3<a<—,

由于函數(shù)丁=8$犬在區(qū)間(0,5)上單調(diào)遞減，函數(shù)y=sinx在區(qū)間(0,上單調(diào)遞增，則sina>sin/,

cosa<cosp.

綜上所述，cosaccos尸.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，解題時(shí)要注意對a的取值范圍進(jìn)行分類討論，考查推理能

力，屬于中等題.

9.B

【解析】

先求出向量”+的坐標(biāo)，然后由|。+$|=|￡-均可求出參數(shù)加的值.

【詳解】

由向量a=(1,4),b=(-2,m),

則a+B=(_l,4+，〃)，a-h=(3,4-m)

區(qū)+年產(chǎn)+(4+⑼2,1_年小32+(4-〃?)2

又|￡+坂|=|￡-61,則Jf+(4+〃?y=.^32+(4-；7!)2,解得m=

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

設(shè)8(XI，M),。(々,乂)，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去X、列出韋達(dá)定理，再由直線*=加＞'與拋物線的交點(diǎn)求出A

點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)得到方程，即可求出參數(shù)的值；

【詳解】

/、/、[x=my+m.

解：設(shè)3(X1,yJ,。(孫必)，由＜2；，得V-4/〃＞一4/〃=0,

[y=4x

T△=16"/+16m＞0，解得加＜一1或加＞0,=4加，％%=一4，”.

\x=my./7\

又由＜2—4，得y2-4my=0,...〉=()或y=4，w,,

?；\BD\=3\OA\,

242

/.(l+m)(J,-y2)"=9(16m+16m),

又：(X—%)2=(y+%y_4yly2=16m2+16/n,

.,?代入解得/〃=；.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.B

【解析】

三視圖對應(yīng)的幾何體為如圖所示的幾何體，利用割補(bǔ)法可求其體積.

【詳解】

根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示，它是一個(gè)圓柱截去上面一塊幾何體，

把該幾何體補(bǔ)成如下圖所示的圓柱，

3

其體積為萬XFX3,故原幾何體的體積為一萬.

2

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積，復(fù)原幾何體時(shí)注意三視圖中的點(diǎn)線關(guān)系與幾何體中的點(diǎn)、線、面的對應(yīng)關(guān)

系，另外，不規(guī)則幾何體的體積可用割補(bǔ)法來求其體積，本題屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

根據(jù)斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得A0=B0=2,0C=26sA3C繞AB所在

直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體

的表面積.

【詳解】

根據(jù)“斜二測畫法”可得A0=30=2,0C-2A/3,A8=AC-BC=4>

△A6c繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體,

它的表面積為S=17trl=2^x2\/3x4=l6A/3^.

故選

【點(diǎn)睛】

本題考查斜二測畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法，難度較易.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.②

【解析】

根據(jù)新定義，結(jié)合實(shí)數(shù)的性質(zhì)即可判斷①②③，由定義求得比而而小的有理數(shù)個(gè)數(shù)，即可確定④.

【詳解】

對于①，由定義可知，當(dāng)X為有理數(shù)時(shí)。(X)=l；當(dāng)X為無理數(shù)時(shí)O(x)=0,則值域?yàn)閧0,1},所以①錯(cuò)誤；

對于②，因?yàn)橛欣頂?shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，所以滿足Vxe/?,￡>(-x)=O(x),所以②

正確；

對于③，因?yàn)門eH,當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，尤+T可以是有理數(shù)，也可以是無理數(shù)，所以③\/7€氏。(％+7)=。(力錯(cuò)

誤；

對于④，由定義可知。⑴+D(V2)+0(G)+…+0(72020)

=D(l)+D(V4)+D(^)+D(V16)+D(V25)???+D(74?)+D(V2)+D(^)+???+D(72020)=44,所以④錯(cuò)

誤；

綜上可知，正確的為②.

故答案為：②.

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確理解題意是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

14.G

【解析】

分別過4,5,N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A，，B',N',根據(jù)拋物線定義和卜同求得NMMV'，

從而求得直線/的傾斜角.

【詳解】

分別過A,B,N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A,B',N',由拋物線的定義知|A尸|=|A4［，怛耳=忸叫，

|W|=g（|M|+網(wǎng)）=g網(wǎng),因?yàn)閨MN|A8|，所以|MV[=曰]MN|

,所以NMW3O。，即直線M/V

的傾斜角為150。，又直線與直線/垂直且直線/的傾斜角為銳角，所以直線/的傾斜角為60°,心3=6.

故答案為：百

此題考查拋物線的定義，根據(jù)已知條件做出輔助線利用拋物線定義和幾何關(guān)系即可求解，屬于較易題目.

15.0

【解析】

作出圖形，設(shè)點(diǎn)M（面,為），則N（一一%）、E（%,0）,設(shè)點(diǎn)P&,y）,利用點(diǎn)差法得出勺加比板=一3,利用斜

率公式得出左進(jìn)而可得出%M”=T，可得出MTVLMP,由此可求得cosNWP的值.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)”&,%）（%>0,%>0）,則N（-%-%）、石優(yōu),o），設(shè)點(diǎn)P（x，y）,

22

一%1_

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2

))>i2->o1

即^MP^NPy—Xy+x==

">22,

X}—x0%+%o玉-x0

由斜率公式得七尸=%NE=>=；.&=；勺加，二一；=kPkNP=kMP-

M3kM水MP'?,=-1，故

MNIMP,

因此，cos/NMP=0.

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓中角的余弦值的求解，涉及了點(diǎn)差法與斜率公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

16.20,21

【解析】

由題意知數(shù)列｛4｝奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,則根據(jù)〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)分別算出求和公式,代入數(shù)

值檢驗(yàn)即可.

【詳解】

解：由題意知數(shù)列｛a?｝的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，

偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，

則S?…」+1+2收-1)伙-+.2(1-2-)=2、公_2；

21-2

c口+1+2(1)伏，2(1-叫

=---------------1--------=2+K—2?

a21-2

當(dāng)左=10時(shí)，$9=210+102-2=1122,$20=2"+1()2-2=2146.

2I22

當(dāng)左=11時(shí)，52I=2"+11-2=2167,S22=2+11-2=4215.

由此可知，滿足20194S,?<3000的正整數(shù)機(jī)的所有取值為20,21.

故答案為:20,21

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)與求和公式，是綜合題，分清奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)x=4或3x+4y-8=0(2)2vL

【解析】

(1)根據(jù)題意分斜率不存在和斜率存在兩種情況即可求得結(jié)果；

(2)先求出直線方程，然后求得圓心C與直線/的距離，由弦長公式即可得出答案.

【詳解】

解：（1）由題意可得C（2,3）,直線/與圓C相切

當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=4,滿足題意

當(dāng)斜率存在時(shí)'設(shè)直線’的方程為言=&，即"一,一4"-1=°

3

*VT+F=2,解得口

...直線的方程為3x+4.y-8=0

.?.直線/的方程為x=4或3x+4y-8=0

（2）當(dāng)直線/的傾斜角為135°時(shí)，直線/的方程為x+y-3=0

圓心C（2,3）到直線/的距離為3|=叵

二弦長為2&—（揚(yáng)2=272

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式及弦長公式，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的

能力.

22

18.（1）±+匕=1（2）加+的為定值0,見解析

82

【解析】

（1）利用已知條件直接求解。力，得到橢圓的方程；

（2）設(shè)直線在y軸上的截距為機(jī)，推出直線方程，然后將直線與橢圓聯(lián)立，設(shè)A（X|，x）,3（々，%），利用韋達(dá)定理

求出匕+&，然后化簡求解即可.

【詳解】

（1）由橢圓過點(diǎn)（0,血），則8=&，又“+6=30,所以4=2加，

22

故橢圓的方程為二+乙=1;

82

（2）1+&=0,證明如下：

設(shè)直線在＞軸上的截距為加，所以直線的方程為：y=^x+m,

1

y=—x+m

2

由＜得:x2+2mx+2m2-4=0>

[82

由△=4加2-8利2+i6>0得一2<機(jī)<2,

設(shè),則芭+々=-如2

A（X1,y）,2x,x2=2m-4,

（X-1）（%2-2）+（%—1）（3一2）

所以y-i1V2T

k、+k2=

%一2々-2（X]-2）（々-2）

11

又X=—%+m,%=—x,+m,

2'2-

所以（X一1）（W-2）+（%-1）&-2）=為出+（加—2）（芭+%2）—4（m—1）

—2nr-4+（m-2）（-2m）-4（/n-l）=0,

故匕+自=0.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查了方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想,

考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

19.（1）a“=2〃—4（2）見解析

【解析】

（1）設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,由59=9%=54,得到%=6,再結(jié)合題干所給數(shù)據(jù)得到公差d,即可求得數(shù)列的通

項(xiàng)公式；

（2）由（1）可得」一,,再利用放縮法證明不等式即可;

痔+3V2n-1

【詳解】

解：（1）設(shè)數(shù)列｛q｝的公差為d,???S9=9%=54,.?.%=6,

（〃-

/.d=—~—=2,an=o,+3）d=2”-4.

（2）:J------=/>I—/=y]2n+l-\l2n-l,

丫a”+3y/2n-lq2n-\+J2-+1

\。］+3'『+3'。3+3y4oo+3

>(V3-l)+(V5-^)+--+(V20T-V199)=7201-1>14-1=13,

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，放縮法證明數(shù)列不等式，屬于中檔題.

3

20.⑴a=0.016,概率為0.2；(2)列聯(lián)表詳見解析，有99.5%的把握認(rèn)為交通安全意識與性別有關(guān)；⑶不

【解析】

(1)根據(jù)頻率和為1列方程求得。的值，計(jì)算得分在80分以上的頻率即可；

(2)根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計(jì)算K?的值，對照臨界值得出結(jié)論；

(3)用分層抽樣法求得抽取各分?jǐn)?shù)段人數(shù)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值.

【詳解】

解：(1)10(0.004x2+0.008+a+0.02x2+0.028)=1

解得。=0.016.

所以，該城市駕駛員交通安全意識強(qiáng)的概率尸=().16+0.04=0.2

(2)根據(jù)題意可知，安全意識強(qiáng)的人數(shù)有100x0.2=20,

4

其中男性為2。、幣=16人，女性為4人,

填寫列聯(lián)表如下:

安全意

安全意識不強(qiáng)合計(jì)

識強(qiáng)

男性163450

女性44650

合計(jì)208010()

2

2(16X46-4X34)X100

2=------------------->--------=9>7.879

20x80x50x50

所以有99.5%的把握認(rèn)為交通安全意識與性別有關(guān).

（3）由題意可知分?jǐn)?shù)在（30,40］,（40,50］的分別為4名和8名，

所以分層抽取的人數(shù)分別為2名和4名，

設(shè)（30,40］的為A，4,（40,50］的為%漫，則基本事件空間為（A，4），（4,4），（A，員），（4員），

B2,B3,

（A出），（4，4）,。也）,（人闖,（Ae）,（4也）,（為質(zhì)）,（綜&）,（與闖，（四通）,（&紜）

共15種,

設(shè)至少有1人得分低于40分的事件為A,則事件A包含的基本事件有

（4,4），（4闖,（&員），（4,4）,（&氏），（&,4），（4，5）,（&,4），（&,紇）共9種

Q3

所以P（A）=m=g.

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，屬于中檔題.

2249-質(zhì)49+質(zhì)一

21.(1)—X+-y^-=1；(2)

43"^8--48-"

【解析】

（1）由已知短軸長求出b,離心率求出。，c關(guān)系，結(jié)合/=人2+。2,即可求解；

（2）當(dāng)直線4,4的斜率都存在時(shí)，不妨設(shè)直線4的方程為y=直線4與橢圓方程聯(lián)立，利用相交弦長

公式求出IPQI,/,斜率為匕，求出IMNI,得到盥^關(guān)于攵的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)用判別式法求出

\-k|MN|

范圍，當(dāng)4,4有一斜率不存在時(shí)，另一條斜率為±1,根據(jù)弦長公式，求出即可求出結(jié)論.

【詳解】

（1）由2）=2石得Z?=G，又由/=二=^~-=,得3a2=,

a-a~4

22

則/=4,從=3,故橢圓。的方程為上+匯=1.

43

（2）由（1）知產(chǎn)（1,0）,

①當(dāng)直線4,4的斜率都存在時(shí)，

由對稱性不妨設(shè)直線4的方程為y=k（x-l）,/c^l,

'y^k（x-l）

n（4氏2+3）%2一8左2》+422一12=o,

3r+4/-12=0

A=144（r+l）＞0,設(shè)。（4乂）,。（%2，%），

8廿4k2-12

則）

X+x24代+3'3々―4公+3

-12（1+%）

3+4%2

k+\

由橢圓對稱性可設(shè)直線I,的斜率為一-,

l-k

k+l2

12+12.

\-k24（1+公）

則|MN|=

7（1+公）+2%

3+4.

|PQ\12（1+公）7（l+F）+2k70+F）+2k

\MN\-3+4k224（1+A:2）-~6+8/

7"2k++—478k+7.

=__|_______L_=__|__________

86+8公824+32公

人弘+7

則32必—8左+24—7=0,

24+32比

當(dāng)「=0時(shí)，％=-1，當(dāng)/H0時(shí)，由"=64-4x32/（24,一7）20得上叵〈/〈上叵，所以

84848

49-質(zhì),78k+7149+歷

0H-----------------------3--------------------,

48-~824+32二一48

前49-質(zhì)/|PQ|/9+質(zhì)門IP。I-8

RU<--------------<-------------------<口一?

48~\MN\~48|MN|7

②當(dāng)直線的斜率其中一條不存在時(shí),

根