7.2 排列（十大題型）-高二數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版2019選擇性必修第二冊）（解析版）VIP

第第頁7．2排列課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能通過實例，用自己的語言解釋排列的定義；能用定義判斷是不是排列問題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．（2）能從排列的定義出發(fā)推導(dǎo)排列數(shù)公式，并能用排列數(shù)公式解決有關(guān)計數(shù)問題．（3）能綜合應(yīng)用排列的概念和公式解決簡單的實際問題．（1）理解并掌握排列的概念.（2）能應(yīng)用排列知識解決簡單的實際問題．（3）能用排列數(shù)公式進行化簡與證明．知識點01排列的概念1、排列的定義：一般地，從n個不同的元素中取出m（）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．知識點詮釋：（1）排列的定義中包括兩個基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”．（2）從定義知，只有當(dāng)元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列．（3）如何判斷一個具體問題是不是排列問題，就要看從n個不同元素中取出m個元素后，再安排這m個元素時是有順序還是無順序，有順序就是排列，無順序就不是排列．【即學(xué)即練1】（2024·高二課時練習(xí)）下列問題是排列問題的是（

）A．從10名同學(xué)中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？B．10個人互相通信一次，共寫了多少封信？C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？D．從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個相加，其結(jié)果共有多少種？【答案】B【解析】選項A：從10名同學(xué)中選取2名去參加知識競賽，選出的2人并未排序，因而不是排列問題，不合題意；選項B：10個人互相通信一次，選出2人要分出寄信人和收信人，是排列問題，適合題意；選項C：平面上有5個點，任意三點不共線，從中任選2個點即可確定1條直線，這2個點不分順序.因而不是排列問題，不合題意；選項D：從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個數(shù)字相加即得1個結(jié)果，這2個數(shù)字不分順序，因而不是排列問題，不合題意.故選：B．知識點02排列數(shù)1、排列數(shù)的定義從個不同元素中，任取（）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示．知識點詮釋：“排列”和“排列數(shù)”是兩個不同的概念，一個排列是指“從個不同的元素中，任取個元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個數(shù)，而是具體的一個排列（也就是具體的一件事）；2、排列數(shù)公式，其中，且．知識點詮釋：公式特征：第一個因數(shù)是，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是，共有個因數(shù)．【即學(xué)即練2】（2024·福建·高二校聯(lián)考期末）可表示為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故選：B.知識點03階乘表示式1、階乘的概念：把正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘．表示：，即!．規(guī)定：．2、排列數(shù)公式的階乘式：所以．【即學(xué)即練3】（2024·高二課時練習(xí)）不等式的解集為．【答案】【解析】原不等式可化為，其中，，整理得，即，所以或．因為，，所以，，所以原不等式的解集為．故答案為：.知識點04排列的常見類型與處理方法1、相鄰元素捆綁法2、相離問題插空法3、元素分析法4、位置分析法【即學(xué)即練4】（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）2023年夏天貴州榕江的村超聯(lián)賽火爆全國，吸引了國內(nèi)眾多業(yè)余球隊參賽．現(xiàn)有六個參賽隊伍代表站成一排照相，如果貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊必須相鄰，同時南昌拌粉隊與溫江烤肉隊不能相鄰，那么不同的站法共有（

）種．A．144 B．72 C．36 D．24【答案】A【解析】先將不相鄰的兩隊排除，將貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊看成一個整體，與余下兩隊先排，有種方法，再將不相鄰的兩隊插入他們的空隙中，有種方法，最后落實貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊的具體排法有種方法，故不同的站法有種.故選：A.題型一：排列的概念【典例1-1】（2024·高二課時練習(xí)）從集合中任取兩個元素，①相加可得多少個不同的和？②相除可得多少個不同的商？③作為橢圓中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程？④作為雙曲線中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程？上面四個問題屬于排列問題的是（

）A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④【答案】B【解析】∵加法滿足交換律，∴①不是排列問題；∵除法不滿足交換律，∴②是排列問題；若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則必有，故③不是排列問題；在雙曲線中不管還是，方程均表示焦點在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故④是排列問題．故選：B．【典例1-2】（2024·高二課時練習(xí)）下列問題是排列問題的是（

）A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可以構(gòu)成多少條線段？C．集合的含有三個元素的子集有多少個？D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法？【答案】D【解析】A中握手次數(shù)的計算與次序無關(guān)，不是排列問題；B中線段的條數(shù)計算與點的次序無關(guān)，不是排列問題；C中子集的個數(shù)與該集合中元素的次序無關(guān)，不是排列問題；D中，選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是2種不同的選法，因此是排列問題．故選：D【變式1-1】（2024·高二課時練習(xí)）已知下列問題:①從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)小組;②從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參加一項活動;③從a，b，c，d四個字母中取出2個字母;④從1，2，3，4四個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù).其中是排列問題的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】①中，因為兩名同學(xué)參加的學(xué)習(xí)小組與順序有關(guān)，所以是排列問題；②中，因為兩名同學(xué)參加的活動與順序無關(guān)，不是排列問題；③中，因為取出的兩個字母與順序無關(guān)，不是排列問題；④中，因為取出的兩個數(shù)字還需要按順序排列，是排列問題.故選：B.【變式1-2】（多選題）（2024·江西新余·高二校考階段練習(xí)）下列選項中，屬于排列問題的是（

）A．從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，共有多少種選法B．有十二名學(xué)生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案C．從，，，中任選兩個數(shù)做指數(shù)運算，可以得到多少個冪D．從，，，中任取兩個數(shù)作為點的坐標(biāo)，可以得到多少個不同的點【答案】ACD【解析】對于A項：從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，共有多少種選法屬于排列問題，故A項正確；對于B項：有十二名學(xué)生參加植樹活動，要求三人一組，可分為四組，三人一組無先后順序，不屬于排列問題，故B項錯誤；對于C項：從，，，中任取兩個數(shù)進行指數(shù)運算，可以得到多少個冪屬于排列問題，故C項正確；對于D項：從，，，中任取兩個數(shù)作為點的坐標(biāo)，可以得到多少個點屬于排列問題，故D項正確.故選：ACD.【變式1-3】（2024·全國·高二專題練習(xí)）判斷下列問題是否為排列問題：(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設(shè)來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選10人組成一個學(xué)習(xí)小組；(5)選3個人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員；(6)某班40名學(xué)生在假期相互打電話．【解析】(1)票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(3)不存在順序問題，不屬于排列問題．(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．(5)每個人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(6)A給B打電話與B給A打電話是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題．【方法技巧與總結(jié)】判斷一個具體問題是否為排列問題的思路題型二：畫樹形圖寫排列【典例2-1】（2024·高二課時練習(xí)）寫出從a、b、c、d四個元素中任取兩個不同元素的所有排列．【解析】先畫出下面的樹形圖：于是可知，所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc．【典例2-2】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）寫出下列問題的所有排列：(1)從1，2，3，4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)？(2)由1，2，3，4四個數(shù)字能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？試全部列出.【解析】（1）所有兩位數(shù)是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12個不同的兩位數(shù).（2）畫出樹狀圖，如圖：由樹狀圖知，所有的四位數(shù)為：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).【變式2-1】（2024·高二課時練習(xí)）（1）從四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位不同的數(shù)，一共可以組成多少個？（2）寫出從4個元素中任取3個元素的所有排列．【解析】（1）由題意作“樹形圖”，如下．故組成的所有兩位數(shù)為，共有12個．（2）由題意作“樹形圖”，如下．故所有的排列為：，.【變式2-2】（2024·全國·高二課堂例題）求從A，B，C這3個對象中取出3個對象的所有排列的個數(shù)，并寫出所有的排列.【解析】所求排列數(shù)為.所有的排列可用圖所示.由圖可知，所有排列為，，，，，.【變式2-3】（2024·高二課時練習(xí)）從語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4本書中任意取出3本分給甲、乙、丙三人，每人一本，試將所有不同的分法列舉出來．【解析】從語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4本書中任意取出3本，分給甲、乙、丙三人，每人一本，相當(dāng)于從4個不同的元素中任意取出3個元素，按“甲、乙、丙”的順序進行排列，每一個排列就對應(yīng)著一種分法，所以共有（種）不同的分法．不妨給“語文、數(shù)學(xué)、英語、物理”編號，依次1，2，3，4，畫出樹形圖如圖．由樹形圖可知，按甲、乙、丙的順序分的分法為：語數(shù)英

語數(shù)物

語英數(shù)

語英物

語物數(shù)

語物英數(shù)語英

數(shù)語物

數(shù)英語

數(shù)英物

數(shù)物語

數(shù)物英英語數(shù)

英語物

英數(shù)語

英數(shù)物

英物語

英物數(shù)物語數(shù)

物語英

物數(shù)語

物數(shù)英

物英語

物英數(shù)【方法技巧與總結(jié)】樹形圖的畫法（1）確定首位，以哪個元素在首位為分類標(biāo)準(zhǔn)進行確定首位．（2）確定第二位，在每一個分支上再按余下的元素，在前面元素不變的情況下定第二位并按順序分類．（3）重復(fù)以上步驟，直到寫完一個排列為止．題型三：簡單的排列問題【典例3-1】（2024·高二課時練習(xí)）寫出從a、b、c、d、e這五個不同元素中任意取出兩個元素的所有排列．【解析】任意取出兩個元素的所有排列為：.【典例3-2】（2024·高二課時練習(xí)）將A、B、C、D四名同學(xué)按一定順序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四．試寫出他們四人所有不同的排法．【解析】由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一個，可分為三類：當(dāng)排在第一時：BADC，BCDA，BDAC；當(dāng)排在第一時：CADB，CDAB，CDBA，當(dāng)排在第一時：DABC，DCAB，DCBA，所以不同的排法為：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA．【變式3-1】（2024·高二課時練習(xí)）（1）從1，2，3，4這4個數(shù)字中，每次取出3不同的數(shù)字排成一個三位數(shù)，寫出得到的所有三位數(shù)，并求出排列數(shù)；（2）試寫出由1，2，3，4四個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，并求出排列數(shù).【解析】（1）所有的三位數(shù)為123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，共24個三位數(shù).故排列數(shù)是.（2）所有的四位數(shù)為1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24個四位數(shù).故排列數(shù)是.【變式3-2】（2024·高二課時練習(xí)）從、、、這個數(shù)字中選出個不同的數(shù)字組成個三位數(shù)，試寫出所有滿足條件的三位數(shù)．【解析】所有滿足條件的三位數(shù)分別為：、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個.【變式3-3】（2024·高二課時練習(xí)）請列出下列排列：(1)從4個不同元素中任取3個元素的所有排列；(2)從7個不同元素中任取2個元素的所有排列．【解析】（1）根據(jù)題意，從4個不同元素中任取3個元素的所有排列共有如下種：.（2）從7個不同元素中任取2個元素的所有排列共有如下種：.【變式3-4】（2024·高二課時練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)3面小旗（3面小旗都要用）豎掛在繩上表示信號，不同的順序表示不同的信號，試寫出所有的信號．【解析】根據(jù)題意，所有的信號為：紅黃藍(lán)，紅藍(lán)黃，黃紅藍(lán)，黃藍(lán)紅，藍(lán)紅黃，藍(lán)黃紅．【變式3-5】（2024·全國·高二專題練習(xí)）解不等式：；【解析】因為，，，所以不等式可化為，解得，又，，所以不等式的解集為．【方法技巧與總結(jié)】對于簡單的排列問題，其解題思路可借助分步乘法計數(shù)原理進行，即采用元素分析法或位置分析法求解．題型四：排列數(shù)公式的應(yīng)用【典例4-1】（2024·高二課時練習(xí)）．【答案】40【解析】由題意得，，，故，故答案為：40【典例4-2】（2024·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模），則等于．【答案】10【解析】因為，解得或，且，所以.故答案為：10.【變式4-1】（2024·新疆巴音郭楞·高二?？计谥校┮阎?，則.【答案】【解析】因為，所以，且，解得或（舍去）.故答案為：【變式4-2】（2024·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)校考期中）已知，則．【答案】3【解析】因為，所以，且，，，所以，解得或（舍去），所以.故答案為：3.【變式4-3】（2024·高二課時練習(xí)）（1）已知，那么；（2）已知，那么；（3）已知，那么．【答案】【解析】（1）由，則，即，解得.（2）由，則，解得.（3）由，則且，解得或（舍）.故答案為：；；【變式4-4】（2024·高二課前預(yù)習(xí)），則.【答案】【解析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式，可得，即，解得或（舍去）.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】排列數(shù)公式的選擇（1）排列數(shù)公式的乘積形式適用于計算排列數(shù)．（2）排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問題，具體應(yīng)用時注意階乘的性質(zhì)，提取公因式，可以簡化計算．題型五：階乘的概念及性質(zhì)【典例5-1】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）求不等式的解集．【解析】由題設(shè)，則，所以，又且，則且，所以且，則解集為.【典例5-2】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）解不等式：【解析】由原不等式得且，所以，即，解得且，所以.【變式5-1】（2024·高二課時練習(xí)）解關(guān)于正整數(shù)n的方程：．【解析】由排列數(shù)的定義，有由此解得．此外，原方程可化為，再化簡，可得，即，即．舍去非整數(shù)的根，故．【變式5-2】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)若，求x.【解析】（1）；（2）；（3）由題設(shè)，則，所以，則，又，故.【變式5-3】（2024·高二課時練習(xí)）解下列方程或不等式．(1)(2)【解析】（1）由于，所以，整理得，解得或（舍去）.（2）由于，所以，整理得，由于，所以，所以不等式的解集為.【方法技巧與總結(jié)】排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問題，具體應(yīng)用時注意階乘的性質(zhì)，提取公因式，可以簡化計算．題型六：與排列數(shù)公式有關(guān)的證明問題【典例6-1】（2024·全國·高二課堂例題）求證：．【解析】．【典例6-2】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）求證：【解析】，，，綜上，.【變式6-1】（2024·高二課時練習(xí)）證明，并利用這一結(jié)果化簡：(1)；(2)．【解析】（1）證明：由可得，則.所以（2）因為，所以.【變式6-2】（2024·高二課時練習(xí)）求證：．【解析】左邊，右邊，所以，即證.【變式6-3】（2024·高二課時練習(xí)）證明，并用它來化簡．【解析】證明，即證.【變式6-4】（2024·高二課時練習(xí)）求證：(1)；(2)．【解析】（1）證明：.（2）證明：.【方法技巧與總結(jié)】對含有字母的排列數(shù)的式子進行變形式有關(guān)的論證時，一般用階乘式．題型七：相鄰問題【典例7-1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）第19屆亞運會于2023年9月28日至10月8日在杭州舉行，本屆亞運會的吉祥物是一組名為“江南憶”的機器人：“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”，分別代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、西湖和京杭大運河．某同學(xué)買了6個不同的吉祥物，其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個，現(xiàn)將這6個吉祥物排成一排，且名稱相同的兩個吉祥物相鄰，則排法種數(shù)共為（

）A．48 B．24 C．12 D．6【答案】A【解析】由題意，因名稱相同的兩個吉祥物相鄰，分別看成一個元素共有種排法，相鄰元素內(nèi)部再排共有種排法，故共有種排法，故選：A．【典例7-2】（2024·河南駐馬店·高二校聯(lián)考期末），，，，五人站成一排，如果，必須相鄰，那么排法種數(shù)共有（

）A．24 B．120 C．48 D．60【答案】C【解析】將，看成一體，，的排列方法有種方法，然后將和當(dāng)成一個整體與其他三個人一共個元素進行全排列，即不同的排列方式有，根據(jù)分步計數(shù)原理可知排法種數(shù)為，故選：.【變式7-1】（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）停車站劃出一排12個停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個空車位連在一起，則不同的停車方法有（）A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【解析】將個空車位視為一個元素，與輛車共個元素進行全排列，共有種．故選：D【變式7-2】（2024·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）市內(nèi)某公共汽車站有6個候車位（成一排），現(xiàn)有3名乘客隨便坐在某個座位上候車，則恰好有2個連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是（

）A．48 B．54 C．72 D．84【答案】C【解析】根據(jù)題意，現(xiàn)將3個乘客全排列，將有4個空隙，再將兩個空座位捆綁在一起和另一個空座位，放入4個空隙中的兩個，共有種.故選：C.【變式7-3】（2024·全國·高二專題練習(xí)）2023年5月21日，中國羽毛球隊在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團體錦標(biāo)賽決賽中以總比分戰(zhàn)勝韓國隊，實現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種【答案】C【解析】當(dāng)丙站在左端時，甲、丙必須相鄰，其余人全排列，有種站法；當(dāng)丙不站在左端時，從丁、戊兩人選一人站左邊，再將甲、丙捆綁，與余下的兩人全排，有種站法，所以一共有種不同的站法．故選：C【方法技巧與總結(jié)】相鄰問題捆綁法題型八：不相鄰問題【典例8-1】（2024·福建漳州·高二統(tǒng)考期末）某班聯(lián)歡會原定3個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個節(jié)目，現(xiàn)將這2個新節(jié)目插人節(jié)目單中，要求新節(jié)目不相鄰，那么不同的插法種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．20 D．72【答案】B【解析】這2個新節(jié)目插入節(jié)目單中且不相鄰，則在原定3個節(jié)目已排成節(jié)目單產(chǎn)生的4個空位中，選2個位置安排2個新節(jié)目，且兩個新節(jié)目順序可變，此時有種插法.故選：B【典例8-2】（2024·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）某5位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時，又來了甲?乙?丙3位同學(xué)要加入，若保持原來5位同學(xué)的相對順序不變，且甲?乙2位同學(xué)互不相鄰，丙同學(xué)不站在兩端，則不同的加入方法共有（

）A．360種 B．144種 C．180種 D．192種【答案】D【解析】分兩種情況：當(dāng)丙不在甲?乙中間時，先加入甲，有種方法，再加入乙，有種方法，最后加入丙，有種方法，此時不同的加入方法共有種；當(dāng)丙在甲?乙中間時，共有種方法.故不同的加入方法共有種.故選：D【變式8-1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）亞運會火炬?zhèn)鬟f，假設(shè)某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（

）A．288種 B．360種 C．480種 D．504種【答案】C【解析】先安排甲乙以外的個人，然后插空安排甲乙兩人，所以不同的傳遞方案共有種.故選：C【變式8-2】（2024·全國·高二假期作業(yè)）五名同學(xué)彝族新年期間去邛海濕地公園采風(fēng)觀景，在觀鳥島濕地門口五名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．96種【答案】B【解析】甲和乙相鄰，捆綁在一起有種，再與丙和丁外的1人排列有種，再排丙和丁有種，故共有種排法.故選：B.【變式8-3】（2024·全國·高二假期作業(yè)）寒冬己至，大雪紛飛，峨眉山頂銀裝素裹.成實外教育集團的5位學(xué)生相約一起爬山觀景.其中位女生，位男生，在到達零公里時，為了安全起見，他們排隊前進，為了照顧大家安全，位男生不能相鄰，且女生甲怕猴子，不能排在最后一個，則不同的排法種數(shù)共有（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】種類一：一位男生在最后，此時有種情況，位女生全排列有種情況，最后將剩余一位男生插入女生所形成的個空中，且不在女生最后，共種情況，所以共種情況；種類二：男生不相鄰，可先排女生，又女生甲不在最后，所以女生甲有種排法，其他為女生有種排法，最后男生插入女生所形成的個空中，且不在女生最后，共種情況，共種情況；綜上所述，共種情況，故選：A.【變式8-4】（2024·山東德州·高二?？计谀?把椅子擺成一排，3人隨機就座，任意兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（

）A．14 B．120 C．72 D．24【答案】D【解析】根據(jù)題意，先排3個空位，形成4個空隙，從4個空隙中選出3個空隙，讓3人就坐，共有種不同的坐法.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】不相鄰問題插空法題型九：定序問題【典例9-1】（2024·上海市金山中學(xué)高二期末）某次演出有6個節(jié)目，若甲、乙、丙3個節(jié)目的先后順序已確定，則不同的排法有____種．【答案】【解析】演出中的6個節(jié)目全排列有,甲、乙、丙3個節(jié)目全排列有,所以演出中的6個節(jié)目，若甲、乙、丙3個節(jié)目的先后順序已確定，則不同的排法有，故答案為：.【典例9-2】（2024·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高二期末）在8所高水平的高校代表隊中，選擇5所高校進行航模表演.如果、為必選的高校，并且在航模表演過程中必須按先后的次序（、兩高校的次序可以不相鄰），則可選擇的不同航模表演順序有_______.【答案】1200.【解析】從8所高校中選出5所，除去、還需要選3所，選法是種，當(dāng)、兩高校不相鄰時，不同的表演順序有，當(dāng)、兩高校相鄰時，不同的表演順序有，因此可選擇的不同航模表演順序有種.故答案為：1200.【變式9-1】（2024·全國·高二課時練習(xí)）期中安排考試科目9門，語文，數(shù)學(xué)，英語三門課的前后順序已經(jīng)確定，則期中考試不同的安排順序有______種．【答案】60480【解析】解法一：空位法．語文，數(shù)學(xué)，英語的前后順序已經(jīng)確定，先排除了語文，數(shù)學(xué)，英語之外的6科，總共有種排法，剩下三個位置給語文，數(shù)學(xué)，英語，因為它們的順序確定，只有一種方法，故共有60480種排法．解法二：插空法．語文，數(shù)學(xué)，英語的前后順序已經(jīng)確定，先排語文，數(shù)學(xué)，英語，只有一種排法，然后再讓剩下6科逐個插空，總共有種排法．解法三：除法．9門課程任意排，總共有種排法．語文，數(shù)學(xué)，英語有種排法．因為語文，數(shù)學(xué)，英語的前后順序已經(jīng)確定，所以總共有種排法．故答案為：60480【變式9-2】（2024·全國·高二課時練習(xí)）將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為A，B，C或C，B，A（可以不相鄰），這樣的排列方法有______種.（用數(shù)字作答）【答案】40【解析】5個元素?zé)o約束條件的全排列有種排法，由于字母A，B，C的排列順序為A，B，C或C，B，A，因此，在上述的全排列中恰好符合A，B，C或C，B，A的排列方法有（種）.故答案為：40【變式9-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，某貨場有三堆集裝箱，每堆2個，現(xiàn)需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數(shù)是____________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】因為有六個集裝箱，需要全部裝運，共有種取法，又因為每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，由排列中的定序問題，可知不同的取法有種.故答案為：90.題型十：間接法【典例10-1】（2024·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計時創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾.我市某中學(xué)為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“小雪”、“大雪”、“冬至”、“小寒”、“大寒”五張知識展板，分別放置在五個并排的文化櫥窗里，要求“小雪”不能放在首位，“大雪”不能在末位，且“冬至”不在正中間位置，則不同的放置方式的種數(shù)有（

）A．66 B．64 C．48 D．30【答案】B【解析】由題意，五張知識展板并排放在文化櫥窗里共有種排法，小雪站在首位或大雪站在末位有種排法，小雪站在首位且大雪站在末位有種排法，則小雪不站首位，大雪不站在末位的站法共有種，而小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中間的情況分兩類，小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中間，小雪不站末位，有，小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中間，小雪站末位，有，故小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至不在正中間的站法共有：種.故選：B.【典例10-2】（2024·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”，合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團開展“六藝”講座活動，每次講一藝.講座次序要求“數(shù)”不在第一次也不在第六次，“禮”和“樂”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．480種 B．336種 C．144種 D．96種【答案】B【解析】依題意，“數(shù)”不在第一次也不在第六次的不同次序數(shù)有：，“數(shù)”不在第一次也不在第六次時，“禮”和“樂”相鄰的不同次序數(shù)有：，所以所求“六藝”講座不同的次序數(shù)共有：.故選：B【變式10-1】（2024·北京海淀·高二期末）某班周一上午共有四節(jié)課，計劃安排語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)、體育各一節(jié)，要求體育不排在第一節(jié)，則該班周一上午不同的排課方案共有（

）A．24種 B．18種 C．12種 D．6種【答案】B【解析】語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)、體育4門學(xué)科的全排列數(shù)為種，其中體育排在第一節(jié)的有種，所以該班周一上午不同的排課方案共有（種）.故選：B【變式10-2】（2024·全國·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）某人根據(jù)自己愛好，希望從中選2個不同字母，從中選3個不同數(shù)字編擬車牌號，要求前3位是數(shù)字，后兩位是字母，且數(shù)字2不能排在首位，字母和數(shù)字2不能相鄰，那么滿足要求的車牌號有（

）A．198個 B．180個 C．216個 D．234個【答案】A【解析】當(dāng)2在首位時，在任選兩個數(shù)在余下兩個數(shù)字位上全排有，從任選兩個字母在字母位上全排有；當(dāng)2與Z相鄰時，即2在數(shù)字位的最后，Z在字母位的最前面，再從任選兩個數(shù)在余下兩個數(shù)字位上全排有，從任選一個字母放在字母位的最后有；所以當(dāng)2在首位和2與Z相鄰的情況共有種，而任選3個數(shù)字在數(shù)字位全排，任選2個字母在字母位全排共有種，所以滿足要求的車牌號有種.故選：A【方法技巧與總結(jié)】正難則反一、單選題1．（2024·河南·高二校聯(lián)考專題練習(xí)）四名護士和一名醫(yī)生站成一排照相，則醫(yī)生站在正中間的不同站法有（

）A．64種 B．12種 C．120種 D．24種【答案】D【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①、將四名護士全排列，有種排法；②、醫(yī)生站在正中間，有1種情況.則5人不同的站法有種.故選：D.2．（2024·遼寧大連·高二統(tǒng)考期末）用1，2，3，4，5，6寫出沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，滿足相鄰的數(shù)字奇偶性不同的數(shù)有（

）個A．18 B．36 C．72 D．86【答案】C【解析】由題意，可先對計數(shù)進行全排列，共有種排法；再對構(gòu)成的4個空隙中，連續(xù)前三個空隙或后相鄰的三個空隙，放入偶數(shù)，共有種放法，根據(jù)分步計數(shù)原理，可得共有種不同的排法.故選：C.3．（2024·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）用可以組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為（

）A．25 B．20 C．16 D．15【答案】C【解析】從中任選兩個數(shù)字，組成兩位數(shù)的個數(shù)有個，其中數(shù)字0排首位的有4個，所以滿足條件的兩位數(shù)有個.故選：C4．（2024·江西上饒·高二婺源縣天佑中學(xué)校考期末）“數(shù)獨九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數(shù)，且9個空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（

）4A．70 B．120 C．140 D．144【答案】B【解析】比小的有，共個，從中選出個排在的左邊和上方，方法數(shù)有種，比大的有，共個，從中選出個排在的右邊和下方，方法數(shù)有種，所以不同的填法種數(shù)為種.故選：B5．（2024·吉林·高二長春市第二實驗中學(xué)校聯(lián)考期末）4個人排成一排，則甲不站兩邊的站法有（）A．8 B．10C．12 D．24【答案】C【解析】甲不站兩邊的有種方法，故選：C6．（2024·福建·高二校聯(lián)考期末）可表示為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故選：B.7．（2024·江西·高二校聯(lián)考期末）甲、乙、丙等6人站在一起，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（

）A．108種 B．96種 C．84種 D．72種【答案】B【解析】因為乙和丙之間恰有2人，所以乙丙及中間人占據(jù)首四位或中間四位或尾四位，當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)首四位，此時還剩最后2位，甲不在兩端，第一步先排末位有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，由分步乘法計數(shù)原理可得有種；當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)中間四位，此時兩端還剩2位，甲不在兩端，第一步先排兩端有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，由分步乘法計數(shù)原理可得有種；乙丙及中間人占據(jù)尾四位，此時還剩前2位，甲不在兩端，第一步先排首位有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，由分步乘法計數(shù)原理可得有種；由分類加法計數(shù)原理可知，一共有種排法.故選：B.8．（2024·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）南陽市博物院為國家二級博物館，是豫西南最大的地方綜合性博物館、文化新地標(biāo)，是展示南陽悠久歷史和燦爛文化的重要窗口.南陽市博物院每周一閉館（節(jié)假日除外）.某學(xué)校計劃于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）組織高一、高二、高三年級的同學(xué)去南陽市博物院參觀研學(xué)，每天只能有一個年級參觀，其中高一年級需要連續(xù)兩天，高二、高三年級各需要一天，則不同的方案有（

）A．20種 B．50種 C．60種 D．100種【答案】C【解析】因為博物院每周一閉館，所以高一年級可以從周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中選擇2日去參觀，共5種選擇，再從剩下的四天里安排高二、高三年級，有種安排方法，根據(jù)分步計數(shù)原理，知不同的方案有種，故選：C.二、多選題9．（2024·遼寧大連·高二校聯(lián)考期末）象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲，具有深遠(yuǎn)的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子．現(xiàn)將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則下列說法正確的是（

）A．共有種排列方式． B．若兩個“將”相鄰，則有種排列方式．C．若兩個“將”不相鄰，則有種排列方式． D．若同色棋子不相鄰，則有種排列方式．【答案】ACD【解析】A選項，由排列知識可得共有種排列方式，A正確；B選項，兩個“將”捆綁，有種情況，再和剩余的4個棋子進行全排列，故共有種情況，B錯誤；C選項，兩個“將”不相鄰，先將剩余3個棋子進行全排列，共有4個空，再將兩個“將”插空，故共有種情況，C正確；D選項，將2個黑色的棋子進行全排列，共有3個空，再將3個紅色的棋子進行插空，則有種排列方式，D正確.故選：ACD10．（2024·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】，故A正確；由上述可知，因此，故B錯誤；，故C正確；由上述可知，故D錯誤.故選:AC.11．（2024·江蘇常州·高二常州高級中學(xué)?？计谀?023年國外某智庫發(fā)布《尖端技術(shù)研究國家競爭力排名》的報告，涵蓋了超音速、水下無人潛航器、量子技術(shù)、人工智能、無人機等二十多個領(lǐng)域.報告顯示，中國在其中19個領(lǐng)域處于領(lǐng)先.某學(xué)生是科技愛好者，打算從這19個領(lǐng)域中選取這5個領(lǐng)域給班級同學(xué)進行介紹，每天隨機介紹其中一個領(lǐng)域，且每個領(lǐng)域只在其中一天介紹，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．都在后3天介紹的方法種數(shù)為36B．相隔一天介紹的方法種數(shù)為36C．A不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數(shù)為72D．A在，之前介紹的方法種數(shù)為40【答案】ABD【解析】A選項，在后3天中選擇2天，有種選擇，再將和剩余的3天進行全排列，有種選擇，故有種方法數(shù)，A正確；B選項，先把進行全排列，再從選擇1個放在之間，有種方法，再將這三個領(lǐng)域捆綁，和剩余的兩個領(lǐng)域進行全排列，共有種選擇，綜上，共有種方法數(shù)，B正確；C選項，若A在最后一天進行介紹，則將剩余4個領(lǐng)域進行全排列，有種方法，若A不在最后一天進行介紹，從3天中選擇1天安排A，再從除了最后一天的剩余3天中選擇1天安排，有種選擇，最后將剩余的3個領(lǐng)域和3天進行全排列，有種選擇，則此時有種選擇，綜上，A不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數(shù)為，C錯誤；D選項，進行全排列，共有種方法，將進行全排列，共有種方法，其中A在，之前的有2種，故120種排列中，A在，之前的有種，故D正確.故選：ABD三、填空題12．（2024·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）寧德北路戲是珍貴的國家非物質(zhì)文化邀產(chǎn)．在某次文化表演中，主辦方安排了《濟公傳》、《反五關(guān)》、《龍虎斗》、《宏珵緣》、《旗王哭將》五個北路戲傳統(tǒng)劇目，其中要求《宏碧緣》與《旗王哭將》不相鄰，則不同的節(jié)目安排種數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】先將《濟公傳》、《反五關(guān)》、《龍虎斗》三個節(jié)目進行排序，然后將《宏碧緣》與《旗王哭將》兩個節(jié)目插入《濟公傳》、《反五關(guān)》、《龍虎斗》這三個節(jié)目中形成的四個空位中的兩個空位，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的排法種數(shù)為種.故答案為：.13．（2024·遼寧·高二期末）一種汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數(shù)字組成，且2個英文字母不能相同，不