第7章 計數(shù)原理單元綜合能力測試卷（新題型）-高二數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版2019選擇性必修第二冊）（解析版）

第第頁第7章計數(shù)原理單元綜合能力測試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“二十四節(jié)氣”是中國古代勞動人民偉大的智慧結(jié)晶，其劃分如圖所示．小明打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩．他準備在春季的6個節(jié)氣與夏季的6個節(jié)氣中共選出3個節(jié)氣，則小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是（

）A．90 B．180 C．220 D．360【答案】C【解析】小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)為.故選：C2．的展開式中常數(shù)項為第（

）項A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】的通項為，令有.故的展開式中常數(shù)項為第5項.故選：B3．北京時間2023年10月26日19時34分，神州十六號航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠道而來的神州十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”．隨后，兩個航天員乘組拍下“全家福”，共同向全國人民報平安．若這6名航天員站成一排合影留念，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（

）A．504種 B．432種 C．384種 D．240種【答案】A【解析】由題意分為兩種情況：第一種情況：景海鵬站最右邊，共有種排法；第二種情況：景海鵬不站最左邊與最右邊，則共有種排法，故總共有種排法.故選：A.4．的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】展開式的通項為，則的展開式中含項為，即的系數(shù)為.故選：A.5．北京大興國際機場擁有世界上最大的單一航站樓，并擁有機器人自動泊車系統(tǒng)，解決了停車滿、找車難的問題．現(xiàn)有5輛車停放在8個并排的泊車位上，要求停放的車輛相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案有（

）種．A．120 B．240 C．480 D．960【答案】C【解析】從8個車位里選擇5個相鄰的車位，共有4種方式，即選，選一種方式將5輛車相鄰?fù)７牛蟹N方式，則不同的泊車方案有種，故選：C.6．在二項式的展開式中，所有項的系數(shù)之和記為，第項的系數(shù)記為，若，則的值為（

）A． B．2或 C．2 D．或【答案】D【解析】在二項式的展開式中，所有項的系數(shù)之和為，第項的系數(shù)，則，由，得，即，解得或，所以或.故選：D7．用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（

）A．120 B．72 C．48 D．24【答案】A【解析】先涂，有4種選擇，接下來涂，有3種選擇，再涂,有2種選擇，①當,顏色相同時涂色方法數(shù)是：，②當,顏色不相同時涂色方法數(shù)是：，滿足題意的涂色方法總數(shù)是：．故選：A．8．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知通項公式，所以，同時，上述兩式相加得，所以，所以.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．若，為正整數(shù)且，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對A：由組合數(shù)性質(zhì)：可知，A正確；對B：，故B錯誤；對C：，，故，C錯誤；對D：，故D正確.故選：AD.10．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A：在已知等式中，令，則有，所以本選項正確；B：在已知等式中，令，則有，所以本選項正確；C：因為，所以項的系數(shù)，D：對已知等式，兩邊同時求導(dǎo)，得，在該式中，令，則有，所以本選項正確，故選：ABD11．甲、乙、丙等人排成一列，下列說法正確的有（

）A．若甲和乙相鄰，共有種排法 B．若甲不排第一個共有種排法C．若甲與丙不相鄰，共有種排法 D．若甲在乙的前面，共有種排法【答案】ACD【解析】甲、乙、丙等人排成一列，對于A選項，若甲和乙相鄰，將甲和乙捆綁，形成一個大元素，與其余四個元素排序，共有種排法，A對；對于B選項，若甲不排第一個，則甲有種排法，其余個人全排，共有種，B對；對于C選項，若甲與丙不相鄰，將除甲和丙以外的人全排，然后將甲與丙插入人所形成的個空中的個空，所以，共有種排法，C對；對于D選項，若甲在乙的前面，只需在個位置中先選兩個位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后將其余個人全排，共有種排法，D對.故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，則.【答案】【解析】令得，所以.故答案為：13．電子設(shè)備中電平信號用電壓的高與低來表示，高電壓信號記為數(shù)字1，低電壓信號記為數(shù)字0，一串由0和1組成的不同排列代表不同的電平信號，所用數(shù)字只有0和1，例如001100就是一個電平信號．某電平信號由6個數(shù)字構(gòu)成，已知其中至少有4個0，則滿足條件的電平信號種數(shù)為．【答案】22【解析】依據(jù)題意，辦法有類，若6個數(shù)字中有個0，故有種，若6個數(shù)字中有個0，故有種，若6個數(shù)字中有個0，故有種，由分類加法計數(shù)原理得共有種.故選：2214．若，則．【答案】【解析】表示個因數(shù)的乘積.而為展開式中的系數(shù)，設(shè)這個因數(shù)中分別取、、這三項分別取個，所以，若要得到含的項，則由計數(shù)原理知的取值情況如下表：個個個050131212由上表可知.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知的展開式中的所有二項式系數(shù)之和為．(1)求的值；(2)求展開式中的常數(shù)項．【解析】（1）展開式中所有二項式系數(shù)之和為，解得．（2）由（1）知所以展開式通項為，令，解得，則，所以展開式中的常數(shù)項為．16．（15分）根據(jù)張桂梅校長真實事跡拍攝的電影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某數(shù)學(xué)組有3名男教師和2名女教師相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．求：(1)2名女教師必須坐在一起的坐法有多少種？(2)2名女教師互不相鄰的坐法有多少種？【解析】（1）根據(jù)題意，先將2名女教師排在一起，有種坐法，將排好的女教師視為一個整體，與3名男教師進行排列，共有種坐法，由分步乘法計數(shù)原理，共有種坐法．（2）根據(jù)題意，先將3名男教師排好，有種坐法，再在這3名男教師之間及兩頭的4個空位中插入2名女教師，有種坐法，由分步乘法計數(shù)原理，共有種坐法．17．（15分）已知二項式，其中，且此二項式的項的系數(shù)是．(1)求實數(shù)a的值；(2)求的值（結(jié)果可保留冪的形式）．【解析】（1）（1）二項式的展開式中含的項為，∴，則，又，解得．（2）由（1）可得，令，則①，令，則②，∴由①＋②可得：；由①－②可得：．∴.18．（17分）請用二項式定理解決下列問題，寫出必要的過程：(1)求除以100的余數(shù)；(2)證明：（，且）．【解析】（1），由展開式可知，前100項都能被100整除，最后一項是，而其展開式的前100項都能被100整除，最后一項是，所以除以100的余數(shù)是1；（2）因為，即，故，即原不等式成立．19．（17分）設(shè)數(shù)列，為的滿足下列性質(zhì)的排列的個數(shù)，性質(zhì)T：排列中僅存在一個，使得．(1)求的值，并寫出時其中一種排列的情形．(2)若，求滿足性質(zhì)的所有排列的情形．(3)求數(shù)列的通項公式．【解析】（1）由性質(zhì)的定義可知：當時，由1構(gòu)成的排列不滿足性質(zhì)，故；當時，由構(gòu)成的排列滿足性質(zhì)，故；當時，由構(gòu)成的所有排列為：其中滿足僅存在