1.4.2 充要條件（分層作業(yè)）（3種題型分類基礎練+能力提升練）高一數(shù)學同步備課系列（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

第第頁1.4.2充要條件（3種題型分類基礎練+能力提升練）【夯實基礎】題型一：充要條件的判斷1.“”是”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】由，由此可知“”是”的充要條件.故選：C.2.（多選）下列選項中，是的充要條件的是（

）A．：，：，B．：，：C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在兩角相等D．：四邊形是正方形，：四邊形的對角線互相垂直平分【答案】BC【詳解】解：對于A：由，得，或，，故不是的充要條件，故A錯誤；對于B：由，則，若則，故是的充要條件，故B正確；對于C：三角形是等腰三角形三角形存在兩角相等，故是的充要條件，故C正確；對于D：四邊形的對角線互相垂直且平分四邊形為菱形，故不是的充要條件，故D錯誤；故選：BC3.k>4，b<5是一次函數(shù)y＝(k－4)x＋b－5的圖象交y軸于負半軸，交x軸于正半軸的________條件．【答案】充要【詳解】∵k>4時，k－4>0，b<5時，b－5<0，∴直線y＝(k－4)x＋b－5交y軸于負半軸，交x軸于正半軸；y＝(k－4)x＋(b－5)與y軸交于(0，b－5)與x軸交于，由交y軸于負半軸，交x軸于正半軸可知，故k>4，b<5是一次函數(shù)y＝(k－4)x＋b－5的圖象交y軸于負半軸，交x軸于正半軸的充要條件，故答案為：充要.4.設集合，，則的充要條件是______．【答案】，【詳解】由，可知，，于是解得此時，，符合．故的充要條件是，故答案為：，題型二：利用充分、必要條件求參數(shù)一、單選題1．（2022秋·廣東東莞·高一?？茧A段練習）方程與有一個公共實數(shù)根的充要條件是（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】方程有實根，故，解得或.方程有實根，故，解得.綜上所述，，只有D選項符合.若方程與有一個公共實數(shù)根，設公共實根為，則，兩式相減得，由于，所以，所以.當時，兩個方程分別為、，方程的兩個根為；方程的兩個根為；即方程與有一個公共實數(shù)根.綜上所述，方程與有一個公共實數(shù)根的充要條件是.故選：D2．（2023秋·云南大理·高一統(tǒng)考期末）若“不等式成立”的充要條件為“”，則實數(shù)的值為.【答案】【詳解】解不等式得，因為“不等式成立”的充要條件為“”，所以，解得，所以，.故答案為：.3．（2022秋·重慶沙坪壩·高一重慶市第七中學校?？茧A段練習）若“”是“”的充要條件，則實數(shù)m的取值是．【答案】3【詳解】由得，故，因為“”是“”的充要條件，所以，解得，所以實數(shù)m的取值是3.故答案為：3.4．（2022秋·四川眉山·高一?？茧A段練習）已知集合，，是否存在實數(shù)，使得是成立的______？(1)當橫線部分內(nèi)容為“充要條件”時，若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請說明理由？(2)請在①充分不必要條件②必要不充分條件這兩個條件中任選一個補充在上面的問題中橫線部分．若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請說明理由．【詳解】（1）當橫線部分內(nèi)容為“充要條件”時，則，則且，方程組無解.∴不存在滿足條件的.（2）若選①，則是的真子集，則且（兩等號不同時?。?，解得，∴問題中的存在，且的取值集合.選②，則是的真子集，當時，，即，滿足是的真子集；當時，，即，由是的真子集，得且（兩等號不同時取），解得；綜上所述：.所以問題中的存在，且的取值集合.5．（2022秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期中）已知集合，，請在①充分條件，②必要條件，③充要條件這三個條件中任選一個，補充在下面問題（2）中，若問題（2）中的實數(shù)存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的________條件，判斷實數(shù)是否存在？【詳解】（1）若，則，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．（2）若選擇條件，即是的充分條件，則，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是；若選擇條件，即是的必要條件，則，所以，解得．又，所以，所以實數(shù)的取值范圍是；若選擇條件，即是的充要條件，則，所以，方程組無解，所以不存在滿足條件的實數(shù)．6．（2022秋·河南洛陽·高一宜陽縣第一高級中學?？茧A段練習）已知.(1)是否存在實數(shù)，使是的充要條件?若存在，求出的取值范圍;若不存在，請說明理由;(2)是否存在實數(shù)，使是的必要條件?若存在，求出的取值范圍;若不存在，請說明理由.【詳解】（1）要使是的充要條件，則即，此方程組無解.所以不存在實數(shù)，使是的充要條件.（2）要使是的必要條件，則，當時，，解得當時，，解得要使，則有，解得，所以綜上可得，當時，是的必要條件.7．（2023·全國·高一專題練習）設集合，命題，命題(1)若是的充要條件，求正實數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求正實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由條件，是的充要條件，得，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）由是的充分不必要條件，得真包含于，所以，或，解得，綜上實數(shù)的取值范圍是.題型三：充要條件的證明1．求證：一元二次方程x2＋px＋q＝0有兩個異號實數(shù)根的充要條件是q＜0.【詳解】證明①充分性：因為q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0的Δ＝p2－4q＞0，故方程x2＋px＋q＝0有兩個不相等的實數(shù)根．設方程的兩根為x1，x2.因為x1·x2＝q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0有兩個異號實數(shù)根．②必要性：因為方程x2＋px＋q＝0有兩個異號實數(shù)根，設兩根為x1，x2，所以x1·x2＜0.因為x1·x2＝q，所以q＜0.由①②，命題得證．2.設a，b，，求證：關于x的方程有一個根是1的充要條件為.【詳解】充分性：，，代入方程得，即．關于的方程有一個根為；必要性：方程有一個根為，滿足方程，，即．故關于的方程有一個根是的充要條件為．3.求證：方程與有一個公共實數(shù)根的充要條件是.【詳解】必要性：若方程與有一個公共實數(shù)根，設為，則兩式相減得：或若，兩個方程均為無解，故，代入可得.充分性：當時，，解得；，解得；兩個方程有公共根為1.綜上所述，方程與有一個公共實數(shù)根的充要條件是.【能力提升】一、單選題1．在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，，1，2，3．給出如下四個結論：①；②；③；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“”其中正確的結論有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④【答案】D【詳解】因為，故，故①錯誤；而，故，故②正確；由“類”的定義可得，任意，設除以4的余數(shù)為，則，故，所以，故，故③正確若整數(shù)a，b屬于同一“類”，設此類為，則，故即，若，故為的倍數(shù)，故a，b除以4的余數(shù)相同，故a，b屬于同一“類”，故整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件為，故④正確；二、多選題2．已知x∈R，y∈R，下列各結論中正確的是（

）A．“xy>0”是“”的充要條件 B．“x>y”是“”的充要條件C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分條件 D．“x+y=0”是“”的充分不必要條件【答案】AC【詳解】因為與等價，故“xy>0”是“”的充要條件，A正確；因為，，推不出，故B錯誤；因為當，時推不出xy≠0，當時，能推出，所以“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分條件，C正確；由可得，當滿足時，才可得，即推不出，反之，當時，可得，即，所以“x+y=0”是“”的必要不充分條件，故D不正確.故選：AC三、填空題3．在下列所示電路圖中，下列說法正確的是____(填序號)．（1）如圖①所示，開關A閉合是燈泡B亮的充分不必要條件；（2）如圖②所示，開關A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件；（3）如圖③所示，開關A閉合是燈泡B亮的充要條件；（4）如圖④所示，開關A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件．【答案】（1）（2）（3）【分析】充分不必要條件是該條件成立時，可推出結果，但結果不一定需要該條件成立；必要條件是有結【詳解】（1）開關閉合，燈泡亮；而燈泡亮時，開關不一定閉合，所以開關閉合是燈泡亮的充分不必要條件，選項（1）正確.（2）開關閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮時，開關必須閉合，所以開關閉合是燈泡亮的必要不充分條件，選項（2）正確.（3）開關閉合，燈泡亮；而燈泡亮時，開關必須閉合，所以開關閉合是燈泡亮的充要條件，選項（3）正確.（4）開關閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮時，開關不一定閉合，所以開關閉合是燈泡亮的既不充分也不必要條件，選項（4）錯誤.故答案為（1）（2）（3）.四、解答題4.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】－2≤a≤2【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，∵p是q的充分不必要條件，∴，即AB，可知或方程x2＋ax＋1＝0的兩根要在區(qū)間[1,2]內(nèi)∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2.5.已知a、b、c為的三邊長，集合，．(1)若，求；(2)求的充要條件．【答案】(1)(2)的充要條件是【分析】（1）解方程，由集合的并集運算計算即可；（2）由集合的交集運算，結合判別式得出，再由，得出.(1)由，得，，從而(2)當時，，，且存在，使得，．于是，又a、b、c為的三邊長，得．從而的充要條件是6．設a，b，．求證：，，的充要條件是，，．【詳解】證明：（必要性）由，，，顯然有，，．（充分性）用反證法：假設，，不成立，則a，b，c中至少有一個不大于0．由a，b，c的對稱性，不妨設由得，從而由，得，即故，于是．這與矛盾，于是假設不成立．因此，，，．7.證明：“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.【詳解】充分性：若，則關于的方程有一正一負根，證明如下：當時，，所以方程有兩個不相等的實根，設兩根分別為，，則，所以方程有一正一負根，故充分性成立，必要性：若“關于的方程有一正一負根”，則，證明如下：設方程一正一負根分別為，，則，所以，所以若“關于的方程有一正一負根”，則，故必要性成立，所以“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.8.已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均為實數(shù).證明：對于任意的，均有y≥1成立的充要條件是b≥2.【詳解】證明：因為函數(shù)y=a2x2-2ax+b的圖像的對稱軸方程為x=，所以a≥1，且0<≤1，故當x=時，函數(shù)有最小值y=a2·-2a·+b=b-1.先證必要性：對于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≥1，即b-1≥1，所以b≥2.再證充分性：因為b≥2，當x=時，函數(shù)有最小值y=a2·-2a·+b=b-1≥1，所以對于任意，y=a2x2-2ax+b≥1，即y≥1成立的充要條件是b≥2.9.設x、y∈R，求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，當x＞0，y＞0時，|x+y|=x+y=|x|+|y|.當x＜0，y＜0時，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.總之，當xy≥0時，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，∴xy≥0.綜上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.10.已知a,b,c都是實數(shù)，證明ac<0是關于x的方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件.【答案】（1）充分性:若ac<0，則Δ=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0有兩個相異實根，設為x1,x2,∵ac<0,∴x1·x2=<0，即x1,x2的符號相反，即方程有一個正根和一個負根.（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根，設為x1,x2,且x1>0,x2<0，則x1·x2=<0，∴ac<0綜上可得ac<0是方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件.11.求關于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負的實根的充要條件.【答案】（1）a=0時適合.（2）當a≠0時，顯然方程沒有零根，若方程有兩異號的實根，則必須滿足；若方程有兩個負的實根，則必須滿足綜上知，若方程至少有一個負的實根，則a≤1；反之，若a≤1，則方程至少有一個負的實根，因此，關于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負的實根的充要條件是a≤112.證明：“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.【詳解】充分性：若，則關于的方程有一正一負根，證明如下：當時，，所以方程有兩個不相等的實根，設兩根分別為，，則，所以方程有一正一負根，故充分性成立，必要性：若“關于的方程有一正一負根”，則，證明如下：設方程一正一負根分別為，，則，所以，所以若“關于的方程有一正一負根”，則，故必要性成立，所以“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.②③，并注意到，得．④將④代入③，得⑤即由②③消去得到⑤．而⑤滿足①，因此的充要條件是．13.求有關的方程（1）有一個根大于1，有一個根小于1的充要條件.（2）“有兩個小于3的根”的充要條件?！敬鸢浮浚?）設方程兩個根分別為，不妨設，則問題等價于：。（2）設方程兩個根分別為，不妨設，則問題等價于：14.已知關于x的實系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個實數(shù)根α