人教版初二(下)數(shù)學第56講：特殊的平行四邊形(教師版)

特殊的平行四邊形____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、能用綜合法來證明特殊的平行四邊形的相關(guān)結(jié)論；2、運用特殊的平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理解決計算問題；3、通過學生進行推理過程的活動，培養(yǎng)學生抽象概況、合理推理以及嚴謹?shù)乃伎肌W習習慣．1．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別____的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．2．平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB=DC，AD=BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AB=DC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四邊行ABCD是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵OA=OC，OB=OD∴四邊行ABCD是平行四邊形．3．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相_____且_____的四邊形是矩形”）（2）①證明一個四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個四邊形的對角線相等．②題設(shè)中出現(xiàn)多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形．4．矩形的性質(zhì)（1）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是____；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線____；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（2）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角線的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的___．5．菱形的性質(zhì)（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）（2）菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有___條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（3）菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=ab．（a、b是兩條對角線的長度）6．菱形的判定（1）四條邊都_____的四邊形是菱形．幾何語言：∵AB=BC=CD=DA∴四邊形ABCD是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．幾何語言：∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形∴平行四邊形ABCD是菱形7．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個角都是_____；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．8．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定．9．等腰梯形的性質(zhì)（1）性質(zhì)：①等腰梯形是軸對稱圖形，它的對稱軸是經(jīng)過上下底的_____的直線；②等腰梯形同一底上的兩個角相等；③等腰梯形的兩條對角線相等．（2）由等腰梯形的性質(zhì)可知，如果過上底的兩個頂點分別作下底的兩條高，可把等腰梯形分成矩形和兩個全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是軸對稱圖形，而一般的梯形不具備這個性質(zhì)．10．等腰梯形的判定（1）利用定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）定理：同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形．（3）對角線：對角線相等的梯形是等腰梯形．判定一個梯形是否為等腰梯形，主要判斷梯形的同一底上的兩個角是否相等，可以通過添加輔助線把梯形底上的兩個角平移到同一個三角形中，利用三角形來證明角的關(guān)系．注意：對角線相等的梯形是等腰梯形這個判定方法不可以直接應(yīng)用．參考答案：1.（1）平行3.（1）③平分相等4.（1）②直角；④相等（2）一半5.（1）④26.（1）相等7.（2）①直角9.（1）①中點1.菱形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【例1】（2014?瀘州第一中學期末）菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．兩組對邊分別平行 B．兩組對角分別相等C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直【解析】根據(jù)菱形的特殊性質(zhì)可知對角線互相垂直．解：A、不正確，兩組對邊分別平行；B、不正確，兩組對角分別相等，兩者均有此性質(zhì)正確，；C、不正確，對角線互相平分，兩者均具有此性質(zhì)；D、菱形的對角線互相垂直但平行四邊形卻無此性質(zhì)．故選D．練1.（2014?呂梁孝義中學月考）如圖，菱形ABCD中，AC、BD相交于點O，若∠BCO=55°，則∠ADO=°．【解析】根據(jù)菱形性質(zhì)得出AC⊥BD，AD∥BC，求出∠CBO，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ADO即可．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∵∠BCO=55°，∴∠CBO=90°﹣55°=35°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO=35°，故答案為：35°．練2.如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O作EF⊥AC交BC于點E，交AD于點F，連接AE、CF．則四邊形AECF是（）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【解析】首先利用平行四邊形的性質(zhì)得出AO=CO，∠AFO=∠CEO，進而得出△AFO≌△CEO，再利用平行四邊形和菱形的判定得出即可．解：四邊形AECF是菱形，理由：∵在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∴AO=CO，∠AFO=∠CEO，∴在△AFO和△CEO中，∴△AFO≌△CEO（AAS），∴FO=EO，∴四邊形AECF平行四邊形，∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形．故選：C．2.菱形的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)．【例2】（2014?武漢華中師大附中月考）如圖，在菱形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為（8，2），點D的坐標為（0，2），則點C的坐標為．【解析】連接AC、BD交于點E，由菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，由點B的坐標和點D的坐標得出OD=2，求出DE=4，AC=4，即可得出點C的坐標．解：連接AC、BD交于點E，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，∵點B的坐標為（8，2），點D的坐標為（0，2），∴OD=2，BD=8，∴AE=OD=2，DE=4，∴AC=4，∴點C的坐標為：（4，4）；故答案為：（4，4）．練3.菱形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，頂點B（2，0），∠DOB=60°，點P是對角線OC上一個動點，E（0，﹣1），當EP+BP最短時，點P的坐標為．【解析】點B的對稱點是點D，連接ED，交OC于點P，再得出ED即為EP+BP最短，解答即可．解：連接ED，如圖，∵點B的對稱點是點D，∴DP=BP，∴ED即為EP+BP最短，∵四邊形ABCD是菱形，頂點B（2，0），∠DOB=60°，∴點D的坐標為（1，），∴點C的坐標為（3，），∴可得直線OC的解析式為：y=x，∵點E的坐標為（0，﹣1），∴可得直線ED的解析式為：y=（1+）x﹣1，∵點P是直線OC和直線ED的交點，∴點P的坐標為方程組的解，解方程組得：，所以點P的坐標為（），故答案為：（）．3.矩形的性質(zhì)；菱形的判定．【例3】（2014?新疆石河子中學一模）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC中點，連接AF，BE，CE，DF分別交于點M，N，四邊形EMFN是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．無法確定【解析】求出四邊形ABFE為平行四邊形，四邊形BFDE為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出BE∥FD，即ME∥FN，同理可證EN∥MF，得出四邊形EMFN為平行四邊形，求出ME=MF，根據(jù)菱形的判定得出即可．解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵E，F(xiàn)分別為AD，BC中點，∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，∴四邊形ABFE為平行四邊形，四邊形BFDE為平行四邊形，∴BE∥FD，即ME∥FN，同理可證EN∥MF，∴四邊形EMFN為平行四邊形，∵四邊形ABFE為平行四邊形，∠ABC為直角，∴ABFE為矩形，∴AF，BE互相平分于M點，∴ME=MF，∴四邊形EMFN為菱形．故選B．練4.下列說法中，正確的是（）A．同位角相等B．對角線相等的四邊形是平行四邊形C．四條邊相等的四邊形是菱形D．矩形的對角線一定互相垂直【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷A即可；根據(jù)平行四邊形的判定判斷B即可；根據(jù)菱形的判定判斷C即可；根據(jù)矩形的性質(zhì)判斷D即可．解：A、如果兩直線平行，同位角才相等，故A選項錯誤；B、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故B選項錯誤；C、四邊相等的四邊形是菱形，故C選項正確；D、矩形的對角線互相平分且相等，不一定垂直，故D選項錯誤；故選C．練5.如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，連結(jié)AF，DF，BE，CE，AF與BE交于G，DF與CE交于H．求證：四邊形EGFH為菱形．【解析】根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形式平行四邊形，可證明四邊形AECF、BEDF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得GF與EH、EG與FH的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得EGFH的形狀，根據(jù)三角形全等，可得EG與FG的關(guān)系，根據(jù)菱形的定義，可得證明結(jié)論．證明：∵在矩形ABCD中AD=BC，且E、F分別是AD、BC的中點，∴AE=DE=BF=CF又∵AD∥BC，∴四邊形AECF、BEDF是平行四邊形．∴GF∥EH、EG∥FH．∴四邊形EGFH是平行四邊形．在△AEG和△FBG中，，∴△AEG≌△FBG（AAS）∴EG=GB，AG=GF，在△ABE和△BAF中∵，∴△ABE≌△BAF（SAS），∴AF=BE，∵EG=GB=BE，AG=GF=AF，∴EG=GF，∴四邊形EGFH是菱形．4．正方形的判定；矩形的性質(zhì)．【例4】（2014?山東淄博一中期末）如圖所示，一張矩形紙片，要折疊出一個最大的正方形，小明把矩形上的一個角沿折痕AE翻折上去，使AB與AD邊上的AF重合，則四邊形ABEF就是一個大的正方形，他判定的方法是．【解析】根據(jù)翻折變換及正方形的判定方法進行分析即可．解：根據(jù)題意可得，其判定方法是：有一組鄰邊相等的矩形是正方形．總結(jié)：本題考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，有兩種方法：①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角．練6.下列說法中，錯誤的是（）A．菱形的四條邊都相等B．對角線互相垂直的平行四邊形是正方形C．四個角都相等的四邊形是矩形D．等腰梯形的對角線相等【解析】根據(jù)各四邊形的判定對各個選項進行分析從而得到最后答案．解：A正確，符合菱形的性質(zhì)；B不正確，得到的應(yīng)該是菱形；C正確，符合矩形的判定；D正確，符合等腰梯形的性質(zhì)；故選B．5．直角梯形；平行四邊形的性質(zhì)；等腰梯形的性質(zhì)．【例5】（2014秋?張家港市校級期末）如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動點P從A點開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運動，動點Q從C點開始沿CB邊向B以3cm/s的速度運動．P，Q分別從A，C同時出發(fā)，當其中一點到端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t（s），t分別為何值時，四邊形PQCD是平行四邊形？等腰梯形？【解析】（1）當四邊形PQCD是平行四邊形時，必須有PQ=CD，而PQ、CD均可用含有t的式子表示出來，所以列方程解答即可．（2）當PQ=CD，PD≠Q(mào)C時，四邊形PQCD為等腰梯形．過P，D分別作PE⊥BC，DF⊥BC后，可求出CF=2，所以當?shù)妊菪纬闪r，CQ=PD+4，然后列方程解答即可．解：（1）∵AD∥BC，∴當QC=PD時，四邊形PQCD是平行四邊形．此時有3t=24﹣t，解得t=6．∴當t=6s時，四邊形PQCD是平行四邊形．（2）∵AD∥BC，∴當PQ=CD，PD≠Q(mào)C時，四邊形PQCD為等腰梯形．過P，D分別作PE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)．∴四邊形ABFD是矩形，四邊形PEFD是矩形．∴EF=PD，BF=AD．∵AD=24cm，∴BF=24cm．∵BC=26cm．∴FC=BC﹣BF=26﹣24=2（cm）．由等腰梯形的性質(zhì)知，QE=FC=2cm．∴QC=EF+QE+FC=PD+4=AD﹣AP+4，即3t=（24﹣t）+4，解得t=7．∴當t=7時，四邊形PQCD是等腰梯形．練7．已知：如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，點P是腰DC上的一個動點（P與D、C不重合），點E、F、G分別是線段BC、PC、BP的中點．（1）試探索四邊形EFPG的形狀，并說明理由；（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，當PC為何值時，四邊形EFPG是矩形并加以證明．【解析】根據(jù)中點的條件，可以利用．三角形的中位線定理證明四邊形EFPG的兩組對邊分別平行，得出這個四邊形是平行四邊形；在平行四邊形的基礎(chǔ)上要說明四邊形是矩形，只要再說明一個角是直角就可以．解：（1）四邊形EFPG是平行四邊形．理由：∵點E、F分別是BC、PC的中點，∴EF∥BP．（2分）同理可證EG∥PC．（3分）∴四邊形EFPG是平行四邊形．（2）方法一：當PC=3時，四邊形EFPG是矩形．證明：延長BA、CD交于點M．∵AD∥BC，AB=CD，∠BAD=120°，∴∠ABC=∠C=60°．∴∠M=60°，∴△BCM是等邊三角形．∵∠MAD=180°﹣120°=60°，∴AD=DM=2．∴CM=DM+CD=2+4=6．∵PC=3，∴MP=3，∴MP=PC，∴BP⊥CM即∠BPC=90度．由（1）可知，四邊形EFPG是平行四邊形，∴四邊形EFPG是矩形．方法二：當PC=3時，四邊形EFPG是矩形．證明：延長BA、CD交于點M．由（1）可知，四邊形EFPG是平行四邊形．當四邊形EFPG是矩形時，∠BPC=90度．∵AD∥BC，∠BAD=120°，∴∠ABC=60度．∵AB=CD，∴∠C=∠ABC=60度．∴∠PBC=30°且△BCM是等邊三角形．∴∠ABP=∠PBC=30°，∴PC=PM=CM．同方法一，可得CM=DM+CD=2+4=6，∴PC=6×=3．即當PC=3時，四邊形EFPG是矩形．1．菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．兩組對邊分別平行 B．兩組對角分別相等C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直2．如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點O，AC=8，BD=6，則菱形的邊長AB等于（）A．10 B． C．6 D．53．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上．若四邊形EGFH是菱形，則AE的長是（）A．2 B．3 C．5 D．64．菱形ABCD的對角線AC=6cm，BD=4cm，以AC為邊作正方形ACEF，則BF長為．5．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點．（1）請判斷△OEF的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若AB=13，AC=10，請求出線段EF的長．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．已知?ABCD，對角線AC，BD相交于點O，請你添加一個適當?shù)臈l件，使?ABCD成為一個菱形，你添加的條件是．2．在?ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，且AE=CF．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）若DF=BF，求證：四邊形DEBF為菱形．3．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E、F，并且DE=DF．求證：（1）△ADE≌△CDF；（2）四邊形ABCD是菱形．4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＞AB．（1）作出∠ABC的平分線（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若（1）中所作的角平分線交AD于點E，AF⊥BE，垂足為點O，交BC于點F，連接EF．求證：四邊形ABFE為菱形．5．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于點G，點E、F分別為AG、CD的中點，連接DE、FG．（1）求證：四邊形DEGF是平行四邊形；（2）當點G是BC的中點時，求證：四邊形DEGF是菱形．6．如圖，在四邊形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且CF=AE，（1）求證：四邊形BECF是菱形；（2）若四邊形BECF為正方形，求∠A的度數(shù)．7．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，連結(jié)AF，DF，BE，CE，AF與BE交于G，DF與CE交于H．求證：四邊形EGFH為菱形．8．如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A、B重合的一個動點，延長BP到點C，使PC=PB，D是AC的中點，連接PD、PO．（1）求證：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB=4，則四邊形AOPD的最大面積為；②連接OD，當∠PBA的度數(shù)為時，四邊形BPDO是菱形．參考答案：當堂檢測1.【考點】菱形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)菱形的特殊性質(zhì)可知對角線互相垂直．【解答】解：A、不正確，兩組對邊分別平行；B、不正確，兩組對角分別相等，兩者均有此性質(zhì)正確，；C、不正確，對角線互相平分，兩者均具有此性質(zhì)；D、菱形的對角線互相垂直但平行四邊形卻無此性質(zhì)．故選D．【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形對角線垂直及平行四邊形對角線平分的性質(zhì)的理解．2．【考點】菱形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式進行計算即可得解．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=AC，OB=BD，AC⊥BD，∵AC=8，BD=6，∴OA=4，OB=3，∴AB==5，即菱形ABCD的邊長是5．故選：D．【點評】本題主要考查了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．【考點】菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【分析】連接EF交AC于O，由四邊形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四邊形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通過△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求出AO=AC=2，根據(jù)△AOE∽△ABC，即可得到結(jié)果．【解答】解；連接EF交AC于O，∵四邊形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE=OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，在△CFO與△AOE中，，∴△CFO≌△AOE，∴AO=CO，∵AC==4，∴AO=AC=2，∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，∴△AOE∽△ABC，∴，∴，∴AE=5．故選C．4．【考點】菱形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【分析】作出圖形，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出AO、BO，然后分正方形在AC的兩邊兩種情況補成以BF為斜邊的Rt△BGF，然后求出BG、FG，再利用勾股定理列式計算即可得解．【解答】解：∵AC=6cm，BD=4cm，∴AO=AC=×6=3cm，BO=BD=×4=2m，如圖1，正方形ACEF在AC的上方時，過點B作BG⊥AF交FA的延長線于G，BG=AO=3cm，F(xiàn)G=AF+AG=6+2=8cm，在Rt△BFG中，BF===cm，如圖2，正方形ACEF在AC的下方時，過點B作BG⊥AF于G，BG=AO=3cm，F(xiàn)G=AF﹣AG=6﹣2=4cm，在Rt△BFG中，BF===5cm，綜上所述，BF長為5cm或cm．故答案為：5cm或cm．5．【考點】菱形的性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理．【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，進而求出即可；（2）利用勾股定理得出BO的長再利用三角形中位線定理得出EF的長．【解答】解：（1）△OEF是等腰三角形，理由：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC⊥BD，∵點E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點，∴EO=AB，OF=AD，∴EO=FO，∴△OEF是等腰三角形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，AC=10，∴AO=5，∠AOB=90°，∴BO===12，∴BD=24，∵點E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點，∴EFBD，∴EF=12．家庭作業(yè)1．【考點】菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)菱形的定義得出答案即可．【解答】解：∵鄰邊相等的平行四邊形是菱形，∴平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，試添加一個條件：可以為：AD=DC；故答案為：AD=DC．2．【考點】菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD=BC，∠A=∠C，再加上條件AE=CF可利用SAS證明△ADE≌△CBF；（2）首先證明DF=BE，再加上條件AB∥CD可得四邊形DEBF是平行四邊形，又DF=FB，可根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形證出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，∵在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE=CF，∴DF=EB，∴四邊形DEBF是平行四邊形，又∵DF=FB，∴四邊形DEBF為菱形．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，以及菱形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的判定定理，平行四邊形的性質(zhì)．3．【考點】菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠A=∠C，進而利用全等三角形的判定得出即可；（2）根據(jù)菱形的判定得出即可．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC∴∠AED=∠CFD=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠A=∠C，∵在△AED和△CFD中∴△AED≌△CFD（AAS）；（2）∵△AED≌△CFD，∴AD=CD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴平行四邊形ABCD是菱形．【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定等知識，根據(jù)已知得出∠A=∠C是解題關(guān)鍵．4．【考點】菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)；作圖—基本作圖．【分析】（1）根據(jù)角平分線的作法作出∠ABC的平分線即可；（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出∠ABE=∠AEB，進而得出△ABO≌△FBO，進而利用AF⊥BE，BO=EO，AO=FO，得出即可．【解答】解：（1）如圖所示：（2）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE，∵∠EBF=∠AEB，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵AO⊥BE，∴BO=EO，∵在△ABO和△FBO中，，∴△ABO≌△FBO（ASA），∴AO=FO，∵AF⊥BE，BO=EO，AO=FO，∴四邊形ABFE為菱形．【點評】此題主要考查了角平分線的作法以及菱形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵．5．【考點】菱形的判定；平行四邊形的判定；直角梯形．【分析】（1）求出平行四邊形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；（2）連接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根據(jù)菱形的判定推出即可．【解答】證明：（1）∵AG∥DC，AD∥BC，∴四邊形AGCD是平行四邊形，∴AG=DC，∵E、F分別為AG、DC的中點，∴GE=AG，DF=DC，即GE=DF，GE∥DF，∴四邊形DEGF是平行四邊形；（2）連結(jié)DG，∵四邊形AGCD是平行四邊形，∴AD=CG，∵G為BC中點，∴BG=CG=AD，∵AD∥BG，∴四邊形ABGD是平行四邊形，∴AB∥DG，∵∠B=90°，∴∠DGC=∠B=90°，∵F為CD中點，∴GF=DF=CF，即GF=DF，∵四邊形DEGF是平行四邊形，∴四邊形DEGF是菱形．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)等知識