高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)拓展提升課一　柯西不等式（導(dǎo)學(xué)案）

培優(yōu)增分拓展提升課一柯西不等式來(lái)源:柯西不等式是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家柯西(Cauchy,1789-1857)發(fā)現(xiàn)的,故命名為柯西不等式.應(yīng)用:柯西不等式是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的不等式,具有對(duì)稱和諧的結(jié)構(gòu),應(yīng)用的關(guān)鍵是抓住問(wèn)題的特征,找準(zhǔn)解題的方向,并進(jìn)行合理的變形、巧妙的構(gòu)造.利用柯西不等式除了證明一些不等式成立外,還可用于選擇、填空求最值的問(wèn)題,達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果.柯西不等式:設(shè)a,b,c,d均為實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號(hào)成立.[推廣]設(shè)ai,bi(i=1,2,3,…,n)為任意的實(shí)數(shù),則∑i=1nai2·∑i=1nbi2≥(∑i=1nai·bi)2,等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,…,[簡(jiǎn)記](méi)“方和積不小于積和方”一、湊“方和積”,求最小值觀察柯西不等式,可以發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)是不等式左邊是兩個(gè)因式的積,其中每個(gè)因式都是某項(xiàng)的平方和,右邊是左邊中對(duì)應(yīng)的2項(xiàng)乘積之和的平方,因此在求解最小值相關(guān)問(wèn)題時(shí)構(gòu)造兩組數(shù)的平方和:a12+a22+…+an2和[典例1](1)已知x,y滿足x+3y=4,則4x2+y2的最小值是 ()A.16 B.64 C.437 D.解析：選D.(2x)2+y2122+32≥(x+3y當(dāng)且僅當(dāng)2x12=y3,即所以4x2+y2的最小值為6437(2)設(shè)x,y為正數(shù),且x+2y=8,則9x+2y的最小值為解析：(x+2y)(9x+2=(x)2+當(dāng)且僅當(dāng)x·2y=2y·即x=3y時(shí),等號(hào)成立.又x+2y=8,所以9x+2y≥即9x+2y的最小值為答案:25二、湊“積和方”,求最大值在解答某些多元函數(shù)的最大值時(shí),若數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形如“x1x2+y1y2”與柯西不等式的形式結(jié)構(gòu)一致,且相關(guān)變量的平方和是常數(shù),可逆用柯西不等式湊積和方求解.[典例2](1)已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2=1,正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2+b2+c2=9,則ax+by+cz的最大值為.

解析：(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)·(x2+y2+z2)=9,所以ax+by+cz≤3,當(dāng)且僅當(dāng)a=3x,b=3y,c=3z時(shí),等號(hào)成立,所以ax+by+cz的最大值為3.答案:3(2)已知x,y,z為正數(shù),x2+2y2+3z2=1817,則3x+2y+z的最大值是解析：由柯西不等式得,(3x+2y+z)2=(3x+2·2y+13·3z)≤32+(2)2+132因?yàn)閤2+2y2+3z2=1817所以(3x+2y+z)2≤12,又x,y,z為正數(shù),所以3x+2y+z≤23.當(dāng)且僅當(dāng)3x=22y=333z,即3x=1y=13z時(shí),等號(hào)成立答案:23三、運(yùn)用等號(hào)成立的條件求解如果已知條件與柯西不等式結(jié)構(gòu)相仿,不是求最值,而是求定值,這種情況下可以考慮利用柯西不等式等號(hào)成立的條件求解.[典例3](1)已知a,b,c,d是正數(shù),且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,則a+b+解析：由柯西不等式得,(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=400,當(dāng)且僅當(dāng)ax=by=cz所以a+b+答案:1(2)已知x,y,z∈R,且滿足x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14,則x+y+z=.

解析：觀察可知,x+2y+3z=14與柯西不等式結(jié)構(gòu)類似,可變形為:14=(x·1+y·2+z·3)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)=14.根據(jù)柯西不等式等號(hào)成立的條件可知x1=y2=z3=t,所以x=t,y=2t,z解得t=1414,所以x+y+z=3答案:3【加練備選】1.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,則a2+4b2+9c2的最小值是.

解析：因?yàn)閍2+4b2+9c2=a2+(2b)2+(3c)2,是柯西不等式左邊一組數(shù)的平方和,所以只需配湊第二組數(shù)的平方和即可,由a+2b+3c=6,所以第二組數(shù)的平方和是12+12+12,于是有[a2+(2b)2+(3c)2]·(12+12+12)≥(a·1+2b·1+3c·1)2,即(a2+4b2+9c2]·3≥36,所以a2+4b2+9c2≥12.當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c,即a=2,b=1,c=23取等