高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)規(guī)范答題提升課-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題（導(dǎo)學(xué)案）

規(guī)范答題提升課——函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題[典例](12分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)<-1,求a的取值范圍;(3)設(shè)n∈N*,證明:112+1+122+2問題1:如何討論函數(shù)的單調(diào)性?首先設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo),如果f'(x)>0,則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù);如果f'(x)<0,則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為減函數(shù).問題2:如何解決不等式的恒成立問題?一般是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造一個(gè)新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性;如果所構(gòu)造的函數(shù),其導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜不易分析出單調(diào)性,則可把需要判斷符號(hào)的式子拿出來構(gòu)造一個(gè)新函數(shù),再想辦法解決其符號(hào);有時(shí)所構(gòu)造的函數(shù)的最值不易求出,可以引入導(dǎo)數(shù)的隱零點(diǎn),把函數(shù)最值用導(dǎo)數(shù)的隱零點(diǎn)表示.(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=(x-1)ex,則f'(x)=xex,…… 2分當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;…… 4分(基礎(chǔ)得分點(diǎn),判斷函數(shù)的單調(diào)性)(2)設(shè)h(x)=xeax-ex+1,則h(0)=0,又h'(x)=(1+ax)eax-ex,設(shè)g(x)=(1+ax)eax-ex,則g'(x)=(2a+a2x)eax-ex,………………5分若a>12,則g'(0)=2a-1>0,故存在x0∈(0,+∞),使得?x∈(0,x0),總有g(shù)'(x)>0,故g(x)在(0,x0)為增函數(shù),故x∈(0,x0)時(shí)g(x)>g(0)=0,故h(x)在(0,x0)為增函數(shù),故x∈(0,x0)時(shí)h(x)>h(0)=0,與題設(shè)矛盾若0<a≤12,則h'(x)=(1+ax)eax-ex=eax+ln(1+ax)-ex,設(shè)S(x)=ln(1+x)-x(x>0),故S'(x)=11+x-1=-x1+x<0,故S(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),故S(x)<S(0)=0,即x>0時(shí)ln(1+x)<基礎(chǔ)分發(fā)展分終極分≤4分[5,8]分≥8分約30%約30%約40%(1)得步驟分:對(duì)于解題過程中是得分點(diǎn)的,有則給分,無則沒分,對(duì)于得分點(diǎn)步驟一定要寫全.第(1)問中首先將a=1代入到函數(shù)解析式中,然后對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),進(jìn)而分析函數(shù)的單調(diào)性,有則給分,無則不得分.第(2)問中構(gòu)造新的函數(shù)h(x),對(duì)函數(shù)h(x)求導(dǎo),求導(dǎo)后,再構(gòu)造函數(shù)g(x),對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo),進(jìn)而分析論證得出函數(shù)h(x)的單調(diào)性,有則給分,無則不得分.(2)得關(guān)鍵分:對(duì)于解題過程中的關(guān)鍵點(diǎn),有則給分,無則沒分,解題時(shí)一定要寫清得分的關(guān)鍵點(diǎn).所以eax+ln(1+ax)-ex<eax+ax-ex=e2ax-ex≤0,故h'(x)≤0總成立,即h(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),所以h(x)<h(0)=0.當(dāng)a≤0時(shí),eax≤1,ex>1,axeax≤0,所以h'(x)=eax-ex+axeax<0, ………………7分所以h(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),所以h(x)<h(0)=0.綜上a≤12,即a的取值范圍是(-∞,12].(發(fā)展得分點(diǎn),函數(shù)的恒成立問題,求參數(shù)取值范圍)(3)取a=12,則?x>0,總有xe12令t=e12x,則t>1,t2=ex,x故2tlnt<t2-1,即2lnt<t-1t對(duì)任意的t>1恒成立 ………………9分所以對(duì)任意的n∈N*,有2lnn+1n<n+1整理得ln(n+1)-lnn<1n2+n故112+1+122+2+…+1n2+n>ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln((終極得分點(diǎn),導(dǎo)數(shù)與不等式綜合應(yīng)用)第(2)問中的關(guān)鍵是通過反復(fù)構(gòu)造函數(shù),然后求導(dǎo),進(jìn)而確定函數(shù)h(x)的單調(diào)性,利用恒成立問題的解題思路求解,過程比較繁瑣,但是每個(gè)關(guān)鍵的求解過程必須要全,否則扣掉相應(yīng)分?jǐn)?shù).第(3)問的關(guān)鍵是取a=12,得到xe12x-ex+1<0這一不等式,構(gòu)造2lnt<t-1(3)得運(yùn)算分:第(1)問中對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),計(jì)算正確得分,錯(cuò)誤不給分.第(2)問對(duì)構(gòu)造的新函數(shù)求導(dǎo),計(jì)算正確得分,錯(cuò)誤不給分,分a>12,0<a≤12,a≤0進(jìn)行討論,運(yùn)算論證,最終得出a解題思維技巧策略函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題一般以函數(shù)為載體,以導(dǎo)數(shù)為工具,重點(diǎn)考查函數(shù)的一些性質(zhì),如含參函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探求與討論