中考數學重難熱點突破 02 探究規(guī)律問題（含解析）

重難點02探究規(guī)律問題

【命題趨勢】

探究規(guī)律型問題是中考數學中的?？紗栴}，題目數量一般是一個題，各種題型都有可能出現，一般以

選擇題或者填空題中的壓軸題形式出現，主要命題方式有數式規(guī)律、圖形變化規(guī)律、點的坐標規(guī)律等。基

本解題思路：從簡單的、局部的、特殊的情形出發(fā)，通過分析、比較、提煉，發(fā)現其中規(guī)律，進而歸納或

猜想出一般結論，最后驗證結論的正確性。探索規(guī)律題可以說是每年中考的必考題，預計2021年中考數學

中仍會作為選擇題或填空題的壓軸題來考察。所以掌握其基本的考試題型及解題技巧是非常有必要的。

【滿分技巧】

1）從簡單的情況入手：

從簡單的情況入手：求出前三到四個結果，探究其規(guī)律，通過歸納猜想總結正確答案二.新定義型問題一

般與代數、坐標、函數知識結合較多，常見的命題背景有：楊輝三角、等差數列、連續(xù)n個數的立方和、

連續(xù)〃個數的平方和、階乘等。

2）關注問題中的不變量和變量：

在探究規(guī)律的問題中，一般都會存在變量和不變量（也就是常量），我們要多關注變量，看看這些變量

是如何變化的，仔細觀察變量的變化與序號（一般為之間的關系，我們找到這個關系就找到了規(guī)律所在.

3）掌握一些數學思想方法

規(guī)探索律型問題是指在一定條件下，探索發(fā)現有關數學對象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往

給出了一組變化了的數、式子、圖形或條件，要求學生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律.它體現了“特

殊到一般”的數學思想方法，考察了學生的分析、解決問題能力，觀察、聯想、歸納能力，以及探究能力和

創(chuàng)新能力.題型可涉及填空、選擇或解答.

【限時檢測】

A卷（建議用時：80分鐘）

（?山東濟寧市?中考真題）按規(guī)律排列的一組數據：37

1.20211一，口，一,其中口內應

25172637

填的數是（）

2.（2021?湖北隨州市?中考真題）根據圖中數字的規(guī)律，若第抬個圖中的，=143,則P的值為（)

3.（2021?山東臨沂市?中考真題）實驗證實，放射性物質在放出射線后，質量將減少，減少的速度開始較快,

后來較慢，實際上，物質所剩的質量與時間成某種函數關系.下圖為表示鐳的放射規(guī)律的函數圖象，據此

A.4860年B.6480年C.8100年D.9720年

4.（2021?廣西玉林市?中考真題）觀察下列樹枝分杈的規(guī)律圖，若第〃個圖樹枝數用K表示,則4-匕=（

T

第1個榭匕=1第24獸埼=3第3個榭環(huán)=7第4個囹匕=再

A.15x24B.31x24C.33x24D.63x24

5.（2021?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中A（-1,1）8（-1,-2）,C（3,-2）,

D（3,1）,一只瓢蟲從點A出發(fā)以2個單位長度/秒的速度沿A-8—CTOTA循環(huán)爬行，問第2021秒瓢蟲

C.(1,-2)D.(3,-2)

6.（2021?廣西柳江?二模）如圖，動點尸在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動

到點（1,1）,第2次接著運動到點（2,0）,第3次接著運動到點（3,2）,…，按這樣的運動規(guī)律，經過第

2021次運動后，動點P的坐標是（）

(32)(72)(1U)

以"PS….

~o\(Z0)(4：0)(砌(&0)(10,0)(12,0)

A.(2021,0)B.(2021,1)C.(2021,2)D.(2021,505)

7.(2021?浙江南海?九年級期末)已知q=x+l(xwO且;rwl),e=」一，az=T--....a?=:---

1-61-應I-4

則如1n等于（）

X

A.-x+lB.x+1C.--D.——

X+1X

8.（2021?湖北十堰市?中考真題）將從1開始的連續(xù)奇數按如圖所示的規(guī)律排列，例如，位于第4行第3列

的數為27,則位于第32行第13列的數是（）

A.2025B.2023C.2021D.2019

9.（2020?湖南婁底市?中考真題）下列各正方形中的四個數之間都有相同的規(guī)律,根據此規(guī)律,x的值為（）

A.135B.153C.170D.189

10.（2020?湖南中考真題）如圖，將一枚跳棋放在七邊形ABC。跖G的頂點A處，按順時針方向移動這枚

跳棋2020次.移動規(guī)則是：第％次移動4個頂點（如第一次移動1個頂點，跳棋停留在8處，第二次移動

2個頂點，跳棋停留在。處），按這樣的規(guī)則，在這2020次移動中，跳棋不可能停留的頂點是（）

A.C、EB.E、FC.G、C、ED.E、C、F

11.（2020?湖北鄂州市?中考真題）如圖，點…在反比例函數了=45>0）的圖象上，點

X

用，員,々…凡在丁軸上，且/為。41=/芻44=/當&4=…，直線>=工與雙曲線了=：交于點

414A，％,芻瑪，與4乃34，芻4…，則用（n為正整數）的坐標是（）

A.(2瘋0)B.(0,口)C.(0,J2?(?+l))D.(0,2而

12.（2020?山東聊城?中考真題）人行道用同樣大小的灰、白兩種不同顏色的小正方形地磚鋪設而成，如圖

中的每一個小正方形表示一塊地磚.如果按圖①②③…的次序鋪設地磚，把第%個圖形用圖0表示，那么圖

?中的白色小正方形地磚的塊數是（）.

13.（2021?江蘇揚州市?中考真題）將黑色圓點按如圖所示的規(guī)律進行排列，圖中黑色圓點的個數依次為：1,

3,6,10,……，將其中所有能被3整除的數按從小到大的順序重新排列成一組新數據，則新數據中的第

33個數為.

14.（2021?湖南懷化市?中考真題）觀察等式：2+22=23—2，24-22+23=2+-2>

2345100

2+2+2+2=2-2,……，已知按一定規(guī)律排列的一組數：2，2叫2儂，……，23，若2儂=活，

用含冽的代數式表示這組數的和是.

15.（2021?浙江嘉興市?中考真題）觀察下列等式：1=1?-1，3=22-12-5=32-22,…按此規(guī)律，則

第萬個等式為2忽-1=.

16.（2021?黑龍江大慶市?中考真題）如圖，3條直線兩兩相交最多有3個交點，4條直線兩兩相交最多有6

個交點，按照這樣的規(guī)律，則20條直線兩兩相交最多有個交點

26122O

--30

17.（2020?云南昆明市?中考真題）觀察下列一組數:97-8-1-—,它們是按一

243

--

定規(guī)律排列的，那么這一組數的第"個數是.32

18.（2020?湖北咸寧市?中考真題）按一定規(guī)律排列的一列數：3,3?，3-1，3^>37>3-11，318，…,

若a,6,c表示這列數中的連續(xù)三個數，猜想a,b,c滿足的關系式是

19.（2022?湖北?中考真題模擬）觀察下列一組數的排列規(guī)律:

112121123412145

3,5,5,9,9,3，17，17，17，17,33,33，11，33,33"

那么，這一組數的第2019個數是.

20.（2021?浙江金東?一模）如圖，動點P從（0,3）出發(fā)，沿所示的方向運動，每當碰到矩形0ABe的邊時反

彈，反彈時反射角等于入射角，當點尸第2021次碰到矩形的邊時，點尸的坐標為.

21.（2020?遼寧營口市?中考真題）如圖，NMON=60。，點4在射線ON上，且04=1,過點4作4出

LON交射線0M于點3,在射線ON上截取A02,使得442=431；過點4作Az&LON交射線于

點&,在射線ON上截取A2A3,使得A2A3=A2B2；…；按照此規(guī)律進行下去，則A2020B2020長為.

22.（2020?山東東營市?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線y=x+l和雙曲線1y=-1,在直

x

線上取一點，記為A，過4作x軸的垂線交雙曲線于點片，過用作了軸的垂線交直線于點4,過4作x

軸的垂線交雙曲線于點鳥，過當作J軸的垂線交直線于點4,……，依次進行下去，記點凡的橫坐標為許，

若=2,則。20如=------

23.（2021?甘肅酒泉?一模）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為：4-2,0）,,C（l,-2）,

已知曾作點葡關于點A的對稱點M，點乂關于點B的對稱點乂，點乂關于點C的對稱點必，

點M關于點A的對稱點M，點M關于點3的對稱點N,,…，以此類推，則點地吹的坐標為

24.（2021?湖北黃岡市?中考真題）人們把丈二1這個數叫做黃金分割數，著名數學家華羅庚優(yōu)選法中的

2

0.618法就應用了黃金分割數.設&=吏二1,強=第+1,則&力=1，記5=」一+」一

221+a1+A

^2=-2+,2J…，^10=-10+,10*則5+S2H卜$出=---?

1+以1+b1+a14-6

25.（2021?四川眉山市?中考真題）觀察下列等式：％=Jl+4r+±=2=l+—二；

I22221x2

[~i~~r7,if_ir13,i

+尹+?■一石-+2x3'X3~\+?+4?-12"+3x4'……

根據以上規(guī)律，計算萬+為+03+--+--2021=.

26.（2020?安徽中考真題）觀察以下等式：

第1個等式：Jx（l+Z]=2」；第2個等式：之乂.+2[=2_1;第3個等式：-x|l+-l=2--

31J142J25（3）3

第4個等式：工、（1+4〕=2-1;第5個等式：-xfl+-|=2--……按照以上規(guī)律.解決下列問題：

（1）寫出第6個等式___________；（2）寫出你猜想的第萬個等式：（用含閥的等式表示），并證

明.

27.（2020?貴州?中考真題）在2020年新冠肺炎疫情期間，某中學響應政府有“停課不停學”的號召，充分利

用網絡資源進行網上學習，九年級1班的全體同學在自主完成學習任務的同時，彼此關懷，全班每兩個同

學都通過一次電話，互相勉勵，共同提高，如果該班共有48名同學，若每兩名同學之間僅通過一次電話,

那么全同學共通過多少次電話呢？我們可以用下面的方式來解決問題.用點4、4、區(qū)…人分表示第1

名同學、第2名同學、第3名同學…第48名同學，把該班級人數x與通電話次數y之間的關系用如圖模型

表示:

（1）填寫上圖中第四個圖中y的值為，第五個圖中y的值為.

（2）通過探索發(fā)現，通電話次數y與該班級人數x之間的關系式為,當x=48時，對應的丁=

.（3）若九年級1班全體女生相互之間共通話190次，問：該班共有多少名女生？

28.（2021?安徽中考真題）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而

成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地成為連續(xù)排列.

［觀察思考］

當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地成有6塊（如圖2）；當正方形地磚有2塊時，等腰直角三角

形地磚有8塊（如圖3）；以此類推，

圖1圖2圖3

［規(guī)律總結］（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；（2）若一條

這樣的人行道一共有w（"為正整數）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數為一（用含〃的代數式

表示）.［問題解決］（3）現有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三

角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？

B卷（建議用時：80分鐘）

1.（2020?西藏中考真題）觀察下列兩行數：

1,3,5,7,9,11,13,15,17,...

1,4,7,10,13,16,19,22,25,...

探究發(fā)現：第1個相同的數是1,第2個相同的數是7,…，若第n個相同的數是103,則n等于（）

A.18B.19C.20D.21

2.（2021?湖南?中考模擬）觀察下列等式：7°=1,7=7,7?=49,73=343,74=2401,75=16807,…，根據

其中的規(guī)律可得70+7】+7?+…+7如19的結果的個位數字是（）

A.OB.1C.7D.8

3.（2021?貴州安順市?中考真題）小星在“趣味數學”社團活動中探究了直線交點個數的問題.現有7條不同

的直線1y=%為+4（然=1,2,3,4,5,6,7）,其中占=為，與=&=%，則他探究這7條直線的交點個數最多

是（）

A.17個B.18個C.19個D.21個

4.（2021?安徽義安?一模）在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到如下指令：從原點。出發(fā)，按向右,

向上，向右，向下的方向依次不斷移動，每次移動1m.其行走路線如圖所示，第1次移動到4,第2次移

動到&2,…，第"次移動到4.則AOA2A2021的面積是（）

yAz4Ac.A,4,

A.505.5m2B.505m2C.504.5m2D.506m2

5.（2021?湖北十堰?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，有若干個橫、縱坐標均為整數的點，按如圖順

序依次排列為（1,。），（2,0）,（2,1）,（1,1）,2）,（2,2）,…，根據這個規(guī)律，第2021個點的坐標為（）

A.（46,4）B.（46,3）C.（45,4）D.（45,5）

6.（2021?長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校）若”2,則我們把上稱為。的“友好數”，如3的“友好

2-a

數”是三7=-2,-2的“友好數”是丁2=1已知q=3,&是囚的“友好數”，生是④的“友好數”，4

2—32—（—2）2

是名的“友好數”，……，依此類推，則％21=（）

14

A.3B.-2C.-D.-

23

7.（2021?內蒙古中考真題）將一些相同的“O”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個“龜圖”的“O”的個數，

則第30個，龜圖”中有個，O”.

8

oO0oo

oOo

Qoooo0o

oooO0n

ooOOOP

ooo°os%O^O

)

(1)(2)(3)

8.（2021?江西中考真題）下表在我國宋朝數學家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，因而人們

把這個表叫做楊輝三角，請你根據楊輝三角的規(guī)律補全下表第四行空缺的數字是.

9.（2021?黑龍江綏化市?中考真題）下面各圖形是由大小相同的三角形擺放而成的，圖①中有1個三角形,

圖②中有5個三角形，圖③中有11個三角形，圖④中有19個三角形…，依此規(guī)律，則第弘個圖形中三角

形個數是.

AA△△▲▲

△△△

AA▲▲▲…第〃個圖形

A▲AAA

△AA△A

△▲A▲△

▲▲▲A

②

①③

④

10.（2021?湖南常德市?中考真題）如圖中的三個圖形都是邊長為1的小正方形組成的網格，其中第一個圖

形有1x1個正方形，所有線段的和為4,第二個圖形有2x2個小正方形，所有線段的和為12,第三個圖形

有3x3個小正方形，所有線段的和為24,按此規(guī)律，則第九個網格所有線段的和為.（用含〃

的代數式表示）

11.（2020?山東泰安市?中考真題）右表被稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”.其規(guī)律是：從第三行起，每行兩端

的數都是“1”，其余各數都等于該數“兩肩”上的數之和.表中兩平行線之間的一列數：1,3,6,10,15,......,

我們把第一個數記為為,第二個數記為第三個數記為?，……,第非個數記為%,則4+。200=

12.（2020?四川遂寧市?中考真題）如圖所示，將形狀大小完全相同的“=”按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1

22

幅圖中""的個數為的，第2幅圖中“口”的個數為42,第3幅圖中“?！钡膫€數為的，…，以此類推，若一+一

a2

22yi

+—+...+—=-----.（"為正整數），則〃的值為______

%ax2020

口口口口口

口□□口口口口口口

口口口口口口口

口口口口口口口

口口口口口口口□□□口口

第1幅圖第2幅圖第3幅圖第4幅圖

13.（2021?四川遂寧市?中考真題）如圖都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去,

第一個圖形共有210個小球.

鼎

eaDOdDaDqDa?@??

（制個■!）《■2個圖）（第3個?）（S4>bB）

14.（2021?湖北中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，動點尸從原點。出發(fā)，水平向左平移1個單位長

度，再豎直向下平移1個單位長度得到點后接著水平向右平移2個單位長度，再豎直向上平移2

個單位長度得到點々；接著水平向左平移3個單位長度，再豎直向下平移3個單位長度得到點鳥；接著水

平向右平移4個單位長度，再豎直向上平移4個單位長度得到點月，…，按此作法進行下去，則點為小的

坐標為

A

p、

15.（2021?江蘇中考模擬）如圖，將一等邊三角形的三條邊各8等分，按順時針方向（圖中箭頭方向）標注

各等分點的序號0、1、2、3、4、5、6、7、8,將不同邊上的序號和為8的兩點依次連接起來，這樣就建立

了“三角形，，坐標系.在建立的“三角形”坐標系內，每一點的坐標用過這一點且平行（或重合）于原三角形三

條邊的直線與三邊交點的序號來表示（水平方向開始，按順時針方向），如點A的坐標可表示為（1,2,5）,

點8的坐標可表示為（4,1,3）,按此方法，則點C的坐標可表示為.

16.(2021?山東中考真題)在直角坐標系中，點4從原點出發(fā)，沿如圖所示的方向運動，到達位置的坐標

依次為：A2(1,0),A3(1,1),A4(-1,1),A5(-1,-1),A6(2,-1),A7(2,2),....若到達終

點An(506,-505),則n的值為.

17.(2021?廣東?一模)如圖，R/AOAOAI在平面直角坐標系內，N。40Al=90。，ZA0OAi=30°,以04為直

角邊向外作出△044,使/。402=90。，ZAIOA2=30°,以。42為直角邊向外作氏柩。42A3,使NO42A3

=90。，ZA2OA3=30°,按此方法進行下去，得到MA0A34,Rt^OA4As,Rt^OA^A^,若點Ao(-

1,0),則點A2018的橫坐標為.

18.(2021?黑龍江龍沙?二模)如圖，平面直角坐標系中，4ABC、AAIBICB△A2&C2、均為等邊

三角形，點A、Ai、…4在x軸上，。4=1,點8在y軸上，BC//B1C1//B2C2//…無軸，點C為4Bi

中點，點Ci為A2B2中點，…，點G為An+lBn+l中點.則點C4坐標為

19.（2021?山東泰安市?中考真題）如圖，點片在直線=上，點用的橫坐標為2,過點與作用1.1,

交x軸于點A，以4穌為邊，向右作正方形《當功好，延長82cl交x軸于點4；以4易為邊，向右作

正方形48283G2,延長83c2交無軸于點玲；以4片為邊，向右作正方形A&aC3,延長的84c3交尤

軸于點4；…；按照這個規(guī)律進行下去，則第〃個正方形4為4+1G的邊長為（結果用含正整數

〃的代數式表示）.

gx上，點用的橫坐標為2,過點用作

片4JLx軸，垂足為其，以4名為邊向右作正方形4ale14,延長4G交直線/于點4；以4為為邊

向右作正方形馬為6馬，延長其?2交直線/于點與；……；按照這個規(guī)律進行下去，點芻組的坐標為

21.(2021?貴州畢節(jié)市?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，點小。,1)在直線/：1y=x上，過點魴作

交x軸于點Mi；過點Mi作峪軸，交直線/于點憶；過點憶作涇W2山，交x軸

于點加'?；過點兇2作舷2M軸，交直線？于點帆；…；按此作法進行下去，則點"2021的坐標為—.

22.(2021?四川廣安市?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，軸，垂足為B，將AAEO繞點A

逆時針旋轉到的位置，使點B的對應點風落在直線丁=-上，再將V/SQi繞點耳逆時針旋

3

轉到的位置，使點弓的對應點Q也落在直線丁=x上，以此進行下去……若點B的坐標為

(0,3),則點芻1的縱綃標為-

23.(2021?廣西梧州?中考真題)如圖，直線/的函數表達式為＞=尤-1,在直線/上順次取點4(2,1),

A2(3,2),Aj(4,3),A4(5,4),An(〃+l,n),構成形如■”的圖形的陰影部分面積分別表示為

Si,S2,S3,…，S",則S2021

/

24.（2021?內蒙古通遼市?中考真題）如圖，4。4片，）△4瑪片…，反都是斜邊在尤

軸上的等腰直角三角形，點4，4，4，…，4都在工軸上，點瓦，瓦,冬,…，冬都在反比例函

數y=工6>0）的圖象上，則點鳥的坐標為.（用含有正整數〃的式子表示）

25.（2021?山東荷澤市?中考真題）如圖，一次函數y=x與反比例函數了=L（x>0）的圖象交于點A，

x

過點A作月,交X軸于點B；作84"口4,交反比例函數圖象于點4；過點4作JL43交x

軸于點B；再作用交反比例函數圖象于點4,依次進行下去，……，則點4因的橫坐標為

某商場為鼓勵消費，設計了投資活動.方案如下：根據不同的消費金額，每次抽獎時可以從100張面值分

別為1元、2元、3元....100元的獎券中（面值為整數），一次任意抽取2張、3張、4張、…等若干張

獎券，獎券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額.某顧客獲得了一次抽取5張獎券的機會，小明想知道該顧客共

有多少種不同的優(yōu)惠金額？

問題建模：從1,2,3,…，?（花為整數，且%之3）這萬個整數中任取個整數，這。個整

數之和共有多少種不同的結果？

模型探究：我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進，從中找出解決問題的

方法.

探究一：（1）從1,2,3這3個整數中任取2個整數，這2個整數之和共有多少種不同的結果？

表①

所取的2個整數1,21,3,2,3

2個整數之和345

如表①，所取的2個整數之和可以為3,4,5,也就是從3到5的連續(xù)整數，其中最小是3,最大是5,所

以共有3種不同的結果.（2）從1,2,3,4這4個整數中任取2個整數，這2個整數之和共有多少種不同

的結果？

表②

所取的2個整數1,21,3,1,42,32,43,4

2個整數之和345567

如表②，所取的2個整數之和可以為3,4,5,6,7,也就是從3到7的連續(xù)整數，其中最小是3,最大是

7,所以共有5種不同的結果.

（3）從1,2,3,4,5這5個整數中任取2個整數，這2個整數之和共有種不同的結果.

（4）從1,2,3,n（〃為整數，且附23）這〃個整數中任取2個整數，這2個整數之和共有

種不同的結果.

探究二：（1）從1,2,3,4這4個整數中任取3個整數，這3個整數之和共有種不同的結果.

（2）從1,2,3,...?n（%為整數，且冏之4）這萬個整數中任取3個整數，這3個整數之和共有

種不同的結果.

探究三：從1,2,3,…，n（非為整數，且附25）這萬個整數中任取4個整數，這4個整數之和共有

種不同的結果.

歸納結論：從1,2,3,…，?（附為整數，且萬之3）這萬個整數中任取個整數，這4個整

數之和共有種不同的結果.

問題解決：從100張面值分別為1元、2元、3元....100元的獎券中（面值為整數），一次任意抽取5張

獎券，共有..種不同的優(yōu)惠金額.

拓展延伸：（1）從1,2,3,36這36個整數中任取多少個整數，使得取出的這些整數之和共有204種

不同的結果？（寫出解答過程）

（2）從3,4,5,n+3（%為整數，且冏22）這（閥+1）個整數中任取a（1<a<?+1）個整數，這a

個整數之和共有.種不同的結果.

27.（2021?福建廈門?八年級期末）觀察下列等式:

411Q11

第1個等式：2x(i+l)=i+2；第2個等式：rx(i+l)=i+l；

第3個等式：^x(l+l)=l+l；第4個等式：22x(l+l)=l+l；...

15432454

根據你觀察到的規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式；（2）寫出第w個等式，并證明;

⑶計算：

38152420202-1

重難點02探究規(guī)律問題

【命題趨勢】

探究規(guī)律型問題是中考數學中的常考問題，題目數量一般是一個題，各種題型都有可能

出現，一般以選擇題或者填空題中的壓軸題形式出現，主要命題方式有數式規(guī)律、圖形變化

規(guī)律、點的坐標規(guī)律等。基本解題思路：從簡單的、局部的、特殊的情形出發(fā)，通過分析、

比較、提煉，發(fā)現其中規(guī)律，進而歸納或猜想出一般結論，最后驗證結論的正確性。探索規(guī)

律題可以說是每年中考的必考題，預計2021年中考數學中仍會作為選擇題或填空題的壓軸

題來考察。所以掌握其基本的考試題型及解題技巧是非常有必要的。

【滿分技巧】

1）從簡單的情況入手：

從簡單的情況入手：求出前三到四個結果，探究其規(guī)律，通過歸納猜想總結正確答案二.新

定義型問題一般與代數、坐標、函數知識結合較多，常見的命題背景有：楊輝三角、等差數

列、連續(xù)〃個數的立方和、連續(xù)〃個數的平方和、階乘等。

2）關注問題中的不變量和變量：

在探究規(guī)律的問題中，一般都會存在變量和不變量（也就是常量），我們要多關注變量，

看看這些變量是如何變化的，仔細觀察變量的變化與序號（一般為"）之間的關系，我們找

到這個關系就找到了規(guī)律所在.

3）掌握一些數學思想方法

規(guī)探索律型問題是指在一定條件下，探索發(fā)現有關數學對象所具有的規(guī)律性或不變性的

問題，它往往給出了一組變化了的數、式子、圖形或條件，要求學生通過閱讀、觀察、分析、

猜想來探索規(guī)律.它體現了“特殊到一般”的數學思想方法，考察了學生的分析、解決問題能

力，觀察、聯想、歸納能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力.題型可涉及填空、選擇或解答.

【限時檢測】

A卷（建議用時：80分鐘）

（?山東濟寧市?中考真題）按規(guī)律排列的一組數據：137911

1.2021一，口，--，---，---

25172637

其中口內應填的數是（）

【答案】D

【分析】分子為連續(xù)奇數，分母為序號的平方+1，根據規(guī)律即可得到答案.

【詳解】觀察這排數據發(fā)現，分子為連續(xù)奇數，分母為序號的平方+1,...第%個數據為:

2?-1

?2+1

當非=3時W的分子為5,分母為3?+1=10...這個數為上=!故選：D.

102

【點睛】本題考查了數字的探索規(guī)律，分子和分母分別尋找規(guī)律是解題關鍵.

2.（2021?湖北隨州市?中考真題）根據圖中數字的規(guī)律，若第非個圖中的［=143,則P的

A.100B.121C.144D.169

【答案】B

【分析】分別分析〃的規(guī)律、0的規(guī)律、q的規(guī)律，再找小p、q之間的聯系即可.

【詳解】解：根據圖中數據可知：?=1,2,3,4,……^=12,22,32,42,

^=22-1,32-1,42-1,52-1,……則p=1,0=伽+1)2一1，

???第2個圖中的0=143,.?.0=3+1)2-1=143,

解得：%=11或%=-13（不符合題意，舍去），0=??=121,故選：B.

【點睛】本題主要考查數字之間規(guī)律問題，將題中數據分組討論是解決本題的關鍵.

3.（2021?山東臨沂市?中考真題）實驗證實，放射性物質在放出射線后，質量將減少，減少

的速度開始較快，后來較慢，實際上，物質所剩的質量與時間成某種函數關系.下圖為表示

鐳的放射規(guī)律的函數圖象，據此可計算32mg鐳縮減為Img所用的時間大約是（）

A.4860年B.6480年C.8100年D.9720年

【答案】C

【分析】根據物質所剩的質量與時間的規(guī)律，可得答案.

【詳解】解：由圖可知：1620年時，鐳質量縮減為原來的工，

2

再經過1620年’即當324°年時’鐳質量縮減為原來的

再經過1620x2=3240年，即當4860年時，鐳質量縮減為原來的］=±,

823

再經過1620x4=6480年，即當8100年時，鐳質量縮減為原來的士=_L,此時32x3=l

253232

mg,故選C.

【點睛】本題考查了函數圖象，規(guī)律型問題，利用函數圖象的意義是解題關鍵.

4.（2021?廣西玉林市?中考真題）觀察下列樹枝分杈的規(guī)律圖，若第〃個圖樹枝數用K表示，

則4一匕=（)

YT

第1個固K=1第24^6=3童3個圖K=7第4個固線=15

A.I5x2+B.31x24C.33X2+D.63X24

【答案】B

【分析】根據題目中的圖形，可以寫出前幾幅圖中樹枝分杈的數量，從而可以發(fā)現樹枝分杈

的變化規(guī)律，進而得到規(guī)律匕=2*-1,代入規(guī)律求解即可.

【詳解】解：由圖可得到：

=21-1=1

匕=22—1=3

4=23-1=7

｝；=24-1=15

<=2"

則：4=29-1,二4一司=29-1-24+1=31*2',故答案選：B.

【點睛】本題考查圖形規(guī)律，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答.

5.(2021?黑龍江牡丹江?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中A(-1,1)B(-1,-2),

C(3,-2),D(3,1),一只瓢蟲從點A出發(fā)以2個單位長度/秒的速度沿A-2一C-OfA

循環(huán)爬行，問第2021秒瓢蟲在()處.

A.(3,1)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(3,-2)

【答案】A

【分析】根據點的坐標求出四邊形ABCD的周長，然后求出第2021秒是爬了第幾圈后的第

幾個單位長度，從而確定答案.

【詳解】A(-1,1)B(-1,-2),C(3,-2),D(3,1)

四邊形ABCD是矩形二AB=1-（-2）=1+2=3充=3-（-1）=4

14

AB+BC+CD+AD=3+4+3+4=14-■瓢蟲轉一周，需要的時間是一=7秒

2

2021=288x7+5，：.按ATB—CTD—A順序循環(huán)爬行，第2021秒相當于從A點出發(fā)

爬了5秒，路程是：5x2=10個單位，10=3+4+3,所以在。點（3,1）.故答案為：A

【點睛】本題考查了點的變化規(guī)律，根據點的坐標求出四邊形A8CO一周的長度，從而確

定2021秒瓢蟲爬完了多少個整圈的矩形，不成一圈的路程在第幾圈第幾個單位長度的位置

是解題的關鍵.

6.（2021?廣西柳江?二模）如圖，動點尸在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第

1次從原點運動到點（1,1）,第2次接著運動到點（2,0）,第3次接著運動到點（3,2）,

按這樣的運動規(guī)律，經過第2021次運動后，動點尸的坐標是（）

y

G2)(7Z(iu)

KAXAXA….

o(2,0)(4,0)(6,0)(8,0)(10,0)(12,0)

A.（2021,0）B.（2021,1）C.（2021,2）D.（2021,505）

【答案】B

【分析】觀察點的坐標變化發(fā)現每個點的橫坐標與次數相等，縱坐標是1,0,2,0,...4

個數一個循環(huán)，進而可得經過第2021次運動后，動點尸的坐標.

【詳解】解：觀察點的坐標變化可知：第1次從原點運動到點（1,1）,第2次接著運動到

點（2,0）,

第3次接著運動到點（3,2）,第4次接著運動到點（4,0）,第5次接著運動到點（5,1）,...

按這樣的運動規(guī)律，發(fā)現每個點的橫坐標與次數相等，縱坐標是1,0,2,0,4個數一個循

環(huán)，

所以2021+4=505..」，所以經過第2021次運動后，動點P的坐標是（2021,1）.故選艮

【點睛】本題考查了規(guī)律型-點的坐標，解決本題的關鍵是觀察點的坐標變化尋找規(guī)律.

7.（2021?浙江南沼?九年級期末）已知勾=x+l（x*0且xwl），4=,....,

勺=正｝，則%H等于（）

x1

A.-x+1B.x+1C.——D.——

r+lx

【答案】D

【分析】根據題中所給已知等式先求出前4個數，發(fā)現每3個數一個循環(huán)，進而可得則02021

等于。2的值.

【詳解】解：由于ai=x+l(#0或存-1),

因為2021+3=673……2，所以。2021=々=-1.故選：D.

【點睛】本題考查了規(guī)律型：數字的變化類，解決本題的關鍵是觀察數字的變化尋找規(guī)律.

8.(2021?湖北十堰市?中考真題)將從1開始的連續(xù)奇數按如圖所示的規(guī)律排列，例如，位

于第4行第3列的數為27,則位于第32行第13列的數是()

A.2025B.2023C.2021D.2019

【答案】B

【分析】根據數字的變化關系發(fā)現規(guī)律第"行，第”列的數據為：2n(n-l)+l,即可得第32

行，第32列的數據為：2x32x(32-1)+1=1985,再依次加2,到第32行，第13列的數據，即

可.

【詳解】解：觀察數字的變化，發(fā)現規(guī)律：第〃行，第〃列的數據為：2?(?-1)+1,

...第32行，第32列的數據為：2x32x(32-1)+1=1985,

根據數據的排列規(guī)律，第偶數行從右往左的數據一次增加2,

...第32行，第13列的數據為：1985+2x(32-13)=2023,故選：B.

【點睛】本題考查數字的變化類，解決本題的關鍵是觀察數字的變化尋找探究規(guī)律，利用規(guī)

律解決問題.

9.(2020?湖南婁底市?中考真題)下列各正方形中的四個數之間都有相同的規(guī)律，根據此規(guī)

律，尤的值為()

【答案】C

【分析】由觀察發(fā)現每個正方形內有：2x2=4,2x3=6,2x4=8,可求解小,從而得到a,

再利用a,8,x之間的關系求解x即可.

【詳解】解：由觀察分析：每個正方形內有：2x2=4,2x3=6,2x4=8,

2￡）=18,:.b=9,由觀察發(fā)現：a=8,

又每個正方形內有：2x4+1=9,3x6+2=20,4x8+3=35,

:A3b+a=x,：,x=18x9+8=170.故選C.

【點睛】本題考查的是數字類的規(guī)律題，掌握由觀察，發(fā)現，總結，再利用規(guī)律是解題的關

鍵.

10.（2020?湖南中考真題）如圖，將一枚跳棋放在七邊形A8CZJEFG的頂點A處，按順時針

方向移動這枚跳棋2020次.移動規(guī)則是：第七次移動4個頂點（如第一次移動1個頂點，

跳棋停留在2處，第二次移動2個頂點，跳棋停留在。處），按這樣的規(guī)則，在這202