事件的關系和運算-高一數(shù)學同步教學課件(人教A版2019必修第二冊)

10.1.2事件的關系和運算事件A發(fā)生在每次試驗中，A中某個樣本點出現(xiàn)．一、復習回顧樣本點：隨機試驗E的每個可能的基本結果．樣本空間：全體樣本點的集合．一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示．隨機事件（事件）：樣本空間Ω的子集．基本事件：只包含一個樣本點的事件．

從前面的學習中可以看到，我們在一個隨機試驗中可以定義很多隨機事件．這些事件有的簡單，有的復雜．我們希望從簡單事件的概率推算出復雜的概率，所以需要研究事件之間的關系和運算．探究！在擲骰子試驗中，觀察骰子朝上面的點數(shù)，可以定義許多隨機事件，例如：

Ci＝“點數(shù)為i”，i＝1，2，3，4，5，6；

D1＝“點數(shù)不大于3”；D2＝“點數(shù)大于3”；

E1＝“點數(shù)為1或2”；E2＝“點數(shù)為2或3”；

F＝“點數(shù)為偶數(shù)”；

G＝“點數(shù)為奇數(shù)”；……………

你還能寫出這個試驗中其他一些事件嗎?請用集合的形式表示這些事件，借助集合與集合的關系和運算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎?

事實上，利用樣本空間的子集表示事件，使我們可以利用集合的知識研究隨機事件，從而為研究概率的性質和計算等提供有效而簡便的方法．

下面我們按照這一思路展開研究．

一般地，若事件A發(fā)生則必有事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)，記為B?A(或A?B)．用集合表示事件C1=“點數(shù)為1”和事件G=“點數(shù)為奇數(shù)”，

特別地,如果事件B包含事件A

,事件A也包含事件B

,即B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等，記作A=B．二、事件的包含關系事件之間的這種關系用集合的形式表示,就是{1}?{1，3，5},即C1?G．這時我們說事件G包含事件C1．它們分別是C1={1}和G={1，3，5}．顯然，如果事件C1發(fā)生，那么事件G一定發(fā)生．

一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)，記作A∪B(或A＋B)．

用集合的形式表示事件D1＝“點數(shù)不大于3”，E1＝“點數(shù)為1或2”和

E2＝“點數(shù)為2或3”.二、并事件（和事件）它們分別是D1={1，2，3}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}．可以發(fā)現(xiàn),事件E1和事件

E2至少有一個發(fā)生,相當于事件D1發(fā)生.事件之間的這種關系用集合的形式表示,就是{1,2}∪{2,3}={1，2，3}，即E1∪E2＝D1，這時我們稱事件D1為事件E1和事件E2的并事件．可以用上圖中的綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個并事件．

一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點即在事件A中，也在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)，記作A∩B(或AB)．可以用圖中的藍色區(qū)域表示這個交事件．

用集合的形式表示事件C2＝“點數(shù)為2”，E1＝“點數(shù)為1或2”和E2＝“點數(shù)為2或3”.四、交事件（積事件）它們分別是C2={2}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}．事件之間的這種關系用集合的形式表示，就是{1，2}∩{2，3}={2}

,即E1∩E2＝C2,這時我們稱事件C2為事件E1和事件E2的交事件.可以發(fā)現(xiàn)，事件E1和事件

E2同時發(fā)生，相當于事件C2發(fā)生．用集合的形式表示事件C3＝“點數(shù)為3”，C4＝“點數(shù)為4”，它們分別是C3={3}，C4＝{4}．

可以發(fā)現(xiàn)，事件C3和事件C4不可能同時發(fā)生，事件之間的這種關系用集合的形式表示，就是{3}∩{4}=?，即C3∩C4＝?，

一般地，事件A與事件B不可能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B=?，我們稱事件為事件A與事件B互斥(或互不相容)．可以用圖表示兩個事件互斥．五、互斥事件這時我們稱事件C3和事件C4互斥．

用集合表示事件F＝“點數(shù)為偶數(shù)”，G＝“點數(shù)為奇數(shù)”，它們分別是F={2，4，6}，G＝{1，3，5}．

在任何一次試驗中,事件F和事件G兩者只能發(fā)生其中之一,而且也必然發(fā)生其中之一．事件之間的這種關系，用集合的形式可以表示為{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即F∪G＝Ω，

一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A∪B=Ω，且A∩B=?，那么稱事件A與事件B互為對立．

六、對立事件{2，4，6}∩{1，3，5}=?，即F∩G＝?，此時我們稱事件F和事件G互為對立事件．事件A的對立事件記為A，可以用上圖表示．①互斥事件可以是兩個或兩個以上事件的關系，而對立事件

只針對兩個事件而言。②從定義上看，兩個互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一

個發(fā)生，也就是不可能同時發(fā)生；③幾個事件彼此互斥，是指這幾個事件所包含的結果組成的

集合的交集為空集；而事件A的對立事件所包含的結果組成

的集合是全集中由事件A所包含的結果組成的集合的補集?；コ馐录c對立事件的區(qū)別與聯(lián)系而對立事件除了要求這兩個事件不同時發(fā)生外,還要求這二者之間必須要有一個發(fā)生.因此，對立事件是互斥事件,是互斥事件的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件。事件的關系或運算含義符合表示包含A發(fā)生導致B發(fā)生A?B或B?A并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B=?互為對立A與B有且只有一個發(fā)生A∩B=?，A∪B=Ω事件的關系或運算的含義，以及相應的符號表示如下：

類似地，我們可以定義多個事件的和事件以及積事件．

例如，對于三個事件A，B，C，A∪B∪C

(或A＋B+C)發(fā)生當且僅當A，B，C中至少一個發(fā)生，A∩B∩C

(或ABC)發(fā)生當且僅當A，B，C同時發(fā)生，等等．1、某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對立事件是(

)A.至多一次中靶B.兩次都中靶C.只有一次中靶D.兩次都不中靶D2、把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得一張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是(

)A.對立事件B.互斥但不對立事件C.不可能事件D.以上都不對B練

習乙甲例5如圖，由甲、乙兩個元件組成一個并聯(lián)電路，每個元件可能正?；蚴?設事件A=“甲元件正?！保珺=“乙元件正?！保?1)寫出表示兩個元件工作狀態(tài)的樣本空間；(2)用集合的形式表示事件A，B以及它們的對立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，

并說明它們的含義及關系．分析：注意到試驗由甲、乙兩個元件的狀態(tài)組成，所以可以用數(shù)組(x1，x2)表示樣本點.確定事件A，B所包含的樣本點時，不僅要考慮甲元件的狀態(tài)，還要考用乙元件的狀態(tài).解：(1)用x1，x2分別表示甲、乙兩個元件的狀態(tài)，則可用(x1，x2)表示這個電路的狀態(tài)．用1表示元件正常，用0表示元件失效，則樣本空間為：Ω={(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)}．乙甲例5如圖，由甲、乙兩個元件組成一個并聯(lián)電路，每個元件可能正?；蚴?設事件A=“甲元件正?！保珺=“乙元件正?！保?2)用集合的形式表示事件A，B以及它們的對立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，

并說明它們的含義及關系．解：(1)用x1，x2分別表示甲、乙兩個元件的狀態(tài)，則可用(x1，x2)表示這個電路的狀態(tài)．用1表示元件正常，用0表示元件失效，則樣本空間為：Ω={(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)}．(2)A={(1，0)，(1，1)}，B={(0，1)，(1，1)}，

乙甲例5如圖，由甲、乙兩個元件組成一個并聯(lián)電路，每個元件可能正?；蚴?設事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正?！保?3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，

并說明它們的含義及關系．解：(1)

用(x1，x2)表示這個電路的狀態(tài)．

則樣本空間為：Ω={(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)}．(2)A={(1，0)，(1，1)}，B={(0，1)，(1，1)}，

例6一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球(標號為1和2)，2個綠色球(標號為3和4)，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球．設事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個球顏色相同”，N=“兩個球顏色不同”．(1)用集合的形式寫出試驗的樣本空間；解:(1)所有的實驗結果如圖所示.用數(shù)組(x1，x2)表示可能的結果，x1是第一次摸到的球的標號，x2是第二次摸到的球的標號，則試驗的樣本空間Ω

={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．例6設事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個球顏色相同”，N=“兩個球顏色不同”．(1)用集合的形式分別寫出上述各事件；解:(1)R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；R2={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}；M={(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}；R

={(1，2)，(2，1)};G={(3，4)，(4，3)}；N={(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，

(4，1)，(4，2)}．例6(2)事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關系？解:(1)R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；R2={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}；M={(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}；R

={(1，2)，(2，1)};G={(3，4)，(4，3)}；N={(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，

(4，1)，(4，2)}．解:(2)因為R?R1，所以事件R1包含事件

R；因為M∩N=?，M∪N=Ω，所以事件M與事件N互為對立事件．因為R∩G=?，所以事件R與事件G互斥；例

(3)事件R與G的并事件與事件M有什么關系？事件R1與R2的交事件與事件R有什么關系？(3)因為R∪G=M，，所以事件M是事件R