浙江省杭州市2024屆高三年級下冊4月教學質(zhì)量檢測數(shù)學 含解析

2023學年第二學期杭州市高三年級教學質(zhì)量檢測

數(shù)學試題

考生須知：

1.本試卷分試題卷和答題卷兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的

作答無效！

3.考試結(jié)束，只需上交答題卡.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.函數(shù)〃尤）=卜m.的最小正周期是

Jin

A.—B.—

42

C.%D.In

【答案】C

【解析】

【詳解】

的圖象是將sinx的圖象在x軸下方的部分對稱翻折上來所得，所以周期是sinx周期的一半，即周

期為萬.

2.已知m,n表示兩條不同直線，a表示平面，下列說法正確的是

A.若7"http://。,"http://。,則加〃"B.若加J_a,則

C.若加_La,m±n,貝!J〃//aD.若ml/a,m.Ln,則〃_La

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)所有的直線都垂直，故B正確.

考點：空間點線面位置關(guān)系.

3.已知a,b是兩個單位向量，若向量a在向量B上的投影向量為;人，則向量a與向量1一匕的夾角為（

A.30°B.60°C.90°D.120°

【答案】B

【解析】

【分析】由條件結(jié)合投影向量定義可求，再根據(jù)向量夾角余弦公式求結(jié)論.

【詳解】因為向量a在向量》上的投影向量為;b，a/是兩個單位向量,

所以忖cos(a,"-b=,

所以cos(a,"=；,又卜,“e[0,7i],

所以,力〉=g,

a?(a-b)=a-a?b=1-Ixlx—=—;

又忖二L|a-b

/、a-la-bji/、

所以cos(〃,〃一/7)=-p-pj----J,又(a,a—b)￡[0,兀],

I^i\Id

71

所以向量a與向量a—b的夾角為§，即60.

故選：B.

4.設甲：“函數(shù)/（x）=2sinox在—單調(diào)遞增”，乙：“0<。42”,則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出。的范圍，即可判斷答案.

【詳解】若“函數(shù)/（九）=2sinox在-單調(diào)遞增”，則。>0,

?！簇?/p>

由一四WoxW四得一--<x<—,則<2①一3,解得0<0<』,

222a>2a>7i>712

4

所以，甲是乙的充分不必要條件.

故選：A

5.設數(shù)列｛%｝,｛%｝滿足%=^=1,an+bn+1=2n,an+1+bn=2",設S”為數(shù)列｛%+/?〃｝的前〃項的和,

貝然7=()

A.110B.120C.288D.306

【答案】A

【解析】

【分析】利用分組求和法，結(jié)合己知，可得答案.

【詳解】S7=q+4+”。+&+%+&+%+^+%+4+“6+僅+%+4

=q+4+(<Z,+4)+(Zz,+/)+(%+々)+(，4+。5)+(。6+“7)+(06+%)

=1+1+2X2+22+2X4+24+2X6+26=2+4+4+8+16+12+64=110.

故選：A.

6.將5名志愿者分配到三個社區(qū)協(xié)助開展活動，每個志愿者至少去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少1名，則不同

的分配方法數(shù)是()

A.300B.240C.150D.50

【答案】C

【解析】

【分析】先分組，人員構(gòu)成可能為1、1、3或1、2、2,再將3組全排列即可得.

【詳解】先將5名志愿者分成3組，

若這三組的人員構(gòu)成為1、1、3,則共有C：種分組方案，

C2c2

若這三組的人員構(gòu)成為1、2、2,則共有二^種分組方案，

再將這3組志愿者隨機分配到三個社區(qū)，共有A：種分配方案，

故共有?A；=(10+X?]x6=150種分配方法.

故選：C.

7.設集合M=N={x[x>。且xwl},函數(shù)/(%)=優(yōu)+>1〃一'(〃>0且〃。1),則()

A.V2￡跖三〃￡NJ(x)為增函數(shù)B.三2￡NJ(x)為減函數(shù)

C.為奇函數(shù)D.mXcMVQcNjG)為偶函數(shù)

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性檢驗各選項即可.

【詳解】當4=1時，f(x)=ax+ax,時，/⑴在(—8,0)上不是增函數(shù)，故A不正確；

當；1=-1時，f(x)^ax-a~x,a>l時，/⑴在(0,+8)上為增函數(shù)，B不正確；

當;1=1時，f(x)=ax+ax,f{-x)=ax+ax=f{x),/⑺為偶函數(shù)，故C不正確；

當4=1時，f(x)=ax+ax,f{-x)=ax+ax=f(x),/⑺為偶函數(shù)，故D正確；

故選：D.

8.在4ABe中，己知堊4=〃sinC,巴4=〃cosC.若tan[A+：]=—3,則“=()

sinBcosBI4J

A.無解B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】由tanA+g=-3可得tanA=2,進而得至UtanA=tan3tanC=2,借助三角形內(nèi)角和與兩

角和的正切公式可得tan5+tanC=2,設tan5=d有產(chǎn)—21+2=0,可得該方程無解，故不存在這樣

的〃.

、…,[7t]1+tanAc,

【詳解】由tanA4+:---------=-3,即tanA=2,貝!JeosAwO,

(4)1-tanA

.sinA.cosA_

由-----=zzsinC,-------=ncosC,知cosCw0,

sinBcosB

…tanAcm,八-~

則-----=tanC,貝!JtanA-tanB-tanC=2,

tan3

tanB+tanC

又tanA=tan(兀一B—C)=一tan+C)=tanB+tanC

1-tanB-tanC

故tan5+tanC=2,設tan5=,，貝！JtanC=2—八

有12—。=2,即產(chǎn)一2f+2=0，A=4—8=T<0,

即該方程無解，故不存在這樣三角形，即“無解.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知關(guān)于x的方程/+比+1=0(_2(/<2)的兩根為4和Z2,貝I」()

A.Z]=z2B.Z]a=1

c.IzHlD.A=M

Z2

【答案】ABC

【解析】

【分析】求出方程的兩根，即可判斷A,利用韋達定理判斷B,計算出兩根的模，即可判斷C,利用復數(shù)

z,

代數(shù)形式的除法運算及B項的結(jié)論化簡,，即可判斷D.

Z2

【詳解】關(guān)于x方程/+江+1=0（一2＜。＜2）,

則A=r-4<0，=

2

不妨設一+『14-產(chǎn).

Z=一--------------1，

222

Z]=Z2,故A正確；

由韋達定理可得Z]Z2=1,故B正確;

㈤玉仁=1,故C正確;

4=1,

't,4--.)?-244一-.

----1-----------1=---------------------1,

ZZZ2222

212k7

(z八t2-2亞三i,當，片。時，—^R,此時五五],故D錯誤.

z

222z2<z2J

故選：ABC.

10.已知函數(shù)“可對任意實數(shù)x均滿足2/(x)+/(尤2—1)=1,則()

A.f(-x)=f(x)B.1

C./(-1)=1D.函數(shù)“X)在區(qū)間(、歷,6)上不單調(diào)

【答案】ACD

【解析】

【分析】令無等價于r,則2/(—尤)+/(/—1)=1,可推導出〃_力=〃力，進而可判斷A,利用賦

值法可判斷B,C；先算出滿足%=%2-1的x值，由此可得上==即可判斷D.

【詳解】對于A,令尤等價于-x,貝1]2/(-*)+/(/—1)=1,

所以/(—力=/@)=匕咚二^，故A正確；

對于B,令1=1,則2/。)+/(0)=1,

令x=0,則2/(O)+/(l)=l,解得：/(0)=/(1)=1,

令》=夜，2/(V2)+/(l)=l,則=故B錯誤；

對于C,由A知，/(-%)=/(%),所以/(—l)=/(l)=g,故C正確；

對于D,令x=%2—1，所以%—1=0,解得：%=生@,

2

令,=警,同空卜(呼卜，

所以11卜;因為14"碼,

所以函數(shù)“X)在區(qū)間(叵6)上不單調(diào)，故D正確.

故選：ACD.

11.過點？(2,0)的直線與拋物線C：/=4x交于A3兩點.拋物線。在點A處的切線與直線x=—2交

于點N,作NMLAP交A5于點知,則()

A.直線NB與拋物線C有2個公共點

B.直線"N恒過定點

C.點M的軌跡方程是(x—iy+y2=i(xw0)

\MN3

D.L——的最小值為8人

\AB

【答案】BCD

【解析】

【分析】設出直線A5的方程為￡=iy+2,代入y2=4x,然后寫出切線方程，結(jié)合韋達定理可判斷

AB；根據(jù)B可得知的軌跡方程，從而判斷C；利用弦長公式及點到直線的距離公式表示出*然后

\AB\

利用導數(shù)的知識求出最值進而判斷D.

【詳解】設直線A3的方程為x=ty+2,A為，%,84,當

I4JI4J

x=ty+2。

聯(lián)立〈，，，消去天得》-4h一8=0,貝1|%+%=4,,%%=-8,

[y-=4x

對于A：拋物線C在點A處的切線為%丁=2%+亍

A_±A_AAAZ

當％=—2時得V=2%=2二§=2+2=2,即N(—2,2/),

%

%4

--------%2、

2X%

/7l”且爾ly￡j口〃刀任ZJy，2X，裁至合壬理坦.1寸徨JV一_AX_￡

2犬4/4%'

一乙----

4

Ji4

y——7%—,16648

聯(lián)立｛4%,消去x的y+—y+2=0,解得＞=—,即直線NB與拋物線C相切，A

%y%

〔y=4x

錯誤；

對于B：直線的方程為x+2=——2。，整理得x=—此時直線MV恒過定點（0,0）,B正

確；

對于C：又選項B可得點”在以線段OP為直徑的圓上，點。除外，故點M的軌跡方程是

(%-1)2+/=1(x^0),C正確;

-2-2/—22(/+2)

對于D：\MN\=J_,1=-\)?,

+t2f+

\MNf2m5

則兩:2，

m2—1

2m5

設〃租）=

(m2-l)2

10m4fm2—1)—8m6(加21)2m4(m2-1)(加之—5

則/（加）=

(m2-l)4(m2-1)

當加〉6時，〃加）單調(diào)遞增，當夜<根<逐時，/，（m）<0,“加）單調(diào)遞減,

所以/(機)min=/(6)=/吟=卷5,D錯誤?

(5-1)o

故選：BC.

【點睛】方法點睛：直線與拋物線聯(lián)立問題

第一步：設直線方程：有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，都可由點

斜式設出直線方程.

第二步：聯(lián)立方程：把所設直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.

第三步：求解判別式/：計算一元二次方程根的判別式/>0.

第四步：寫出根之間的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系可寫出.

第五步：根據(jù)題設條件求解問題中的結(jié)論.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.寫出與圓f+y=1相切且方向向量為0,6）的一條直線的方程.

【答案】>=履+2或>=瓜—2（寫出一個即可）

【解析】

【分析】由條件可設直線方程為y=+結(jié)合條件列方程求6即可得結(jié)論.

【詳解】因為切線的方向向量為

所以切線的斜率為

故可設切線方程為y=6x+b,

因為直線>=氐+人與圓三+產(chǎn)=1相切，

又圓f+y2=1的圓心坐標為（0,0）,半徑為1,

|V3xO-O+Z;|網(wǎng)

圓心（0,0）到直線y=瓜+人的距離為J（@2（if=萬，

所以@=1,

2

所以6=2或/?=—2,

所以與圓Y+/=1相切且方向向量為（1,A/3）的直線為>=氐+2或y=氐—2,

故答案為：y=6x+2或y=6x—2（寫出一個即可）.

_丫2Qr7

13.函數(shù)〃x）=/的最大值為______

，冗+1

【答案】20

【解析】

___2

【分析】借助換元法令t=,可得/（%）=h（t）=-/+5―7,借助導數(shù)求取函數(shù)h{t}的單調(diào)性后,

即可得解.

【詳解】令f=?ZT〉0,則x=〃—1，故+3（/—1）+2=_尸+5/_2,

2

令/，（/）=_/+5/—7?>0）,

則加72+5+1一3//+2=_（3入1）代,卜-0）,

當fe（0,應）時,當/€（也+8）時,〃'⑺<0,

則h（t）在僅、歷）上單調(diào)遞增，在（3,+勾時單調(diào)遞減，

故/2G)W/z(Vi)=—(0『+5x0-2叵,

正=2

2

_r_|_3yJ_9

即函數(shù)“X)=—,的最大值為2&-

+1

故答案：2-

14.機場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為12cm,開口直徑為8cm.旅客使用紙杯喝

水時，當水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點時，橢圓的離心率等于.

【答案】

1717

【解析】

【分析】依題意，利用等腰三角形ABC求得cosa,再由余弦定理求出橢圓長軸長，作出圓錐的軸截面交

橢圓于點P,Q,建立坐標系，利用三角形重心性質(zhì)和相似三角形求出點尸坐標，代入橢圓方程即可求得半

短軸長，利用離心率定義計算即得.

C

41

如圖，設/BCD=o,因AB=AC=12,JBC=8,故cosa=—,又CD=6,

123

由余弦定理，BD2=CD2+BC2-2CDBCCOS^Z=36+64-2X6X8X-=68,

3

即BD=2^/17,

C

設橢圓中心為。，作圓錐的軸截面AMN，與底面直徑交于E,與橢圓交于P,Q,

連AE交BD于G,以點。原點，03為x軸，建立直角坐標系.

則型=2,又由APQrAMN得PQ=^MN=3,DG=LDB=^~,

AE33333

從而。G=J萬—2叵=姮，則得P(—姮,號)，

3333

22__

不妨設橢圓方程為二+與=1，把a=JI7和點尸坐標代入方程，解得b=2拒,

ab

_.I-----,,c33"\/17

則c=J17—8=3,故e=—=-7==^—

a?17

故答案為：之叵

17

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且S4=4S2，%,=2aa+l("eN

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

?9

（2）數(shù)列｛2｝滿足4=3,令bn=an+2-bn+l,求證：￡仇<7.

k=\Z

【答案】(1)??=2/I-1(HGN*)

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)設等差數(shù)列｛4｝的首項為為，公差為d,由題意可得

4q+6d=8q+4d,、

[q+(2I”=2%+2(I”+l’解方程求出3,即可求出數(shù)列｛總的通項公式；

(2)由(1)可得寸=54，由累乘法可求出｛2｝的通項公式，再由裂項相消法求解即可.

【小問1詳解】

設等差數(shù)列｛4｝的首項為%,公差為d.

4%+6d=8%+4d

由S4=4s2,+19得<

ax+（2〃-l）d=24+2（〃-l）d+l

解得：a]=l,d=2,所以％=1+2(〃一l)=2〃一l(〃eN*).

【小問2詳解】

由(1)知，(2"-1)么=(2九+3)%,

b2n-1b_2n-3b__2n-5b_5b_1

即，n±+iL=----nnx32

bb

bn2/2+3b『i2〃+ln-22〃-127'偽—5

b?72n-32n—521.3

利用累乘法可得:b=旦&—------

"%b?_2bx2〃+12n-l75'

24=61+仇+&++〃T+2

k=l

9911

(2n-l)(2n+l)2⑵-12n+l

111111191

1-

2335572n—l2n+l2n+l

n99

所以Z%=51-九<-.

k=l/2

16.已知函數(shù)/(x)=aln(x+2)-gx2(aeR).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)/(九)有兩個極值點,

(i)求實數(shù)。的取值范圍;

(ii)證明：函數(shù)/(X)有且只有一個零點.

【答案】(1)答案見解析;

(2)(i)-l<a<0；(ii)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的導函數(shù)，再分aW—1、—1＜。＜0、。之0三種情況，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)(i)由(1)直接解得；(ii)結(jié)合函數(shù)的最值與零點存在性定理證明即可.

【小問1詳解】

函數(shù)/(x)=aln(x+2)-gX?(aeR)的定義域為(一2,+?),

a—(x+1)+a+l

且/'(司=----x=

x+2x+2

當Q?—l時，r(x)6恒成立，所以/(力在(—2,+8)單調(diào)遞減；

當一IvavO時，令/'(x)=0,即一(％+1)2+〃+i=o,解得玉=-Va+T-1,%2=Va+1-l，

因為—1<。<0,所以0<。+1<1,則-2<-Ja+1-1<-1,

所以當了［-2,—GT—1)時外力<0,

當xe(-Ja+1—1,Ja+1—1)時x)>0,

當xw(Ja+1-1,+ooj時f\x)<0,

所以/(九)在卜2,-GT-1)上單調(diào)遞減，在(-V^+T-1,&TT-1)上單調(diào)遞增，

在(Ja+1-1,+oo)上單調(diào)遞減；

當a?0時，此時-Ja+l-"-2,

所以xe12,Ja+1-1)時/，左)>0,當xw(Ja+1-l,+oo)時/<x)<0,

所以在卜2,而I-1)上單調(diào)遞增，在(GT-1,+可上單調(diào)遞減.

綜上可得：當aW—1時“X)(―2,內(nèi))單調(diào)遞減；

當—1<a<0時/(%)在(-2,-7^+1-1)上單調(diào)遞減，

在(-7^+1-1,A/^+T-1)上單調(diào)遞增,在(病萬-1,+8)上單調(diào)遞減；

當a20時〃力在卜2,而T-1)上單調(diào)遞增，在(疝斤-1,+可上單調(diào)遞減.

【小問2詳解】

(i)由(1)可知—l<a<0.

(ii)由(1)/(九)在1-2,-y/a+1—1)上單調(diào)遞減,

在(-V^+T-1,A/^+T-i)上單調(diào)遞增,在(A/^+T-1,+8)上單調(diào)遞減，

所以〃%)在x=V^+T-i處取得極大值，在％=-5T-1處取得極小值，

又一所以0<。+1<1,則1<Ja+1+1<2,

又于(x)極大值=f(Ja+1-1)=aln(ja+l+1)-g(ja+l一1)<0,

又fQda+1_1)</(ja+l-1)<0,

m-CD=0,即y國=0-,3后=0,取相"GO。

則

n?PD=0,

叱\m-n\3A/10

所以e麗F

所以平面與平面PMD夾角的余弦值為上叵

10

18.已知A3是橢圓石：會+>2=i的左，右頂點，點河(相⑼(加>0)與橢圓上的點的距離的最小值為

1.

(1)求點M的坐標.

(2)過點M作直線/交橢圓E于兩點(與A,3不重合)，連接AC,BD交于點G.

(i)證明：點G在定直線上；

(ii)是否存在點G使得CGLOG,若存在，求出直線/的斜率；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)(3,0)；

(2)(i)證明見解析；(ii)存在，±逑

25

【解析】

【分析】⑴設「(七，%)，利用兩點距離距離得1PM=—g/+1，然后根據(jù)

分類討論求解即可；

(2)(i)設直線/:X=》+3,C(X，X),O(X2，%)，與橢圓方程聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理得

y]+y2=-^tyly2,寫出直線AC,80的方程，進而求解即可；

(42亞、

(ii)由題意點G在以A3為直徑的圓上，代入圓的方程求得G二，士+，寫出直線AC的方程，

33

與橢圓聯(lián)立，求得點C的坐標，進而可得答案.

【小問1詳解】

設？(%,%)是橢圓上一點，則需+分；=4,

因為1PM=』2

-^m+l,（-2<x0<2）>

3l-|m2=1,解得機=0(舍去),

①若0〈加V—，阿

2L=

32

②若加＞一,\PM\.=^-4-4m+m+1=1,解得m=1（舍去）或加=3,

2

所以M點的坐標位(3,0).

【小問2詳解】

（i）設直線/:x=（y+3,C（%,%）,￡）（%,%），

x=ty+3

6t5

由＜x2,>得卜2+4）y~+69+5=0,所以Ni+y2

—+y-=1'/r+4

[4'

所以％+%=-goV2，①

由A=16r—80>0,得t>小或也,

易知直線AC的方程為尸。(x+2),②

直線50的方程為y=』;(x+2),③

%2一,

x+2=（石+2）%=（。1+5）%=+5%

聯(lián)立②③，消去y,得④

x-2（々-2）%（佻+1）乂91%+M

x+2-：(%+%)+5%

聯(lián)立①④，消去多乃，則一-------------=-5,

a2m+%)+以

6

44

解得x=—,即點G在直線x=一上；

33

(ii)由圖可知，CG.LDG,即AGL5G,所以點G在以A5為直徑的圓上,

唱+*=4,所以〃=±半即G斤竽,

設

故直線AC的方程為y=±x+2）,

直線AC的方程與橢圓方程聯(lián)立，得9/+16%—4=0,解得4=-2,

所以Xc=_g.—g="|，所以)c=±\^，故勺=&??

19.在概率統(tǒng)計中，常常用頻率估計概率.已知袋中有若干個紅球和白球，有放回地隨機摸球〃次，紅球

出現(xiàn)機次.假設每次摸出紅球的概率為。，根據(jù)頻率估計概率的思想，則每次摸出紅球的概率。的估計值

y,m

為p=一.

n

(1)若袋中這兩種顏色球的個數(shù)之比為1:3,不知道哪種顏色的球多.有放回地隨機摸取3個球，設摸

出的球為紅球的次數(shù)為Y,則F?8(3,p).

注：與(丫=外表示當每次摸出紅球的概率為P時，摸出紅球次數(shù)為左的概率)

(i)完成下表；

k0123

々(T)271

46464

/(I)927

46464

(ii)在統(tǒng)計理論中，把使得弓(丫=左)的取值達到最大時的P,作為。的估計值，記為夕，請寫出p的

值.

(2)把(1)中“使得與(丫=左)的取值達到最大時的0作為0的估計值夕”的思想稱為最大似然原

理.基于最大似然原理的最大似然參數(shù)估計方法稱為最大似然估計.

具體步驟：先對參數(shù)。構(gòu)建對數(shù)似然函數(shù)/(e),再對其關(guān)于參數(shù)。求導，得到似然方程/'(e)=o,最后求

解參數(shù)。的估計值.已知Y?B(n,p)的參數(shù)P的對數(shù)似然函數(shù)為

l(P)=之必，其中Q第2?次摸出白球

xJn°+￡(1-XJln(l-X,=<求參數(shù)。的估計值，并且說明

z=li=l1,第i次摸出紅球

頻率估計概率的合理性.

=0』

【答案】(1)(i)表格見解析；(ii))；

-,