7.1隨機事件及其概率

第7章概率初步

7.1隨機事件及其概率

7.2隨機變量及其分布

7.3隨機變量的數(shù)字特征

第一節(jié)、隨機事件及其概率

一、隨機事件及其運算二、隨機事件的概率三、條件概率與全概率公式第一節(jié)、隨機事件及其概率

一、隨機事件及其運算1.隨機實驗和隨機事件

在自然界和人類生產(chǎn)活動中存在著兩類不同的現(xiàn)象．比如當(dāng)水加熱到100℃時必然會沸騰．這類現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象．另一類是在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象，如買彩票可能中獎也可能不中獎．這類現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象．為了研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，對隨機現(xiàn)象的一次觀察和試驗，我們稱之為試驗如果試驗滿足：（1）可以在相同條件下重復(fù)進行；（2）每次試驗的所有可能結(jié)果是已知的；（3）每次試驗前不能確定哪個結(jié)果出現(xiàn)．這樣的試驗稱為隨機試驗．隨機試驗的每一個可能發(fā)生的結(jié)果稱為隨機事件，簡稱為事件．用大寫字母A，B，C……示．不能再分解的事件稱為基本事件．2．事件間的關(guān)系和運算（1）事件的包含若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A．記作

AB.如圖7．１．（2）事件的和（并）兩事件A與B至少發(fā)生一個稱為事件A與事件B的和（并）事件．記作A∪B或A+B如圖7.２．（3）事件的交（積）事件A與事件B同時發(fā)生，這一事件稱為事件A與B的交（積），記作A∩B或AB，表示．如圖7．３．AB圖7.1AB圖7.2圖7.3（4）事件的差事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，這一事件稱為事件A與B的差，記作A-B，見圖7．４（5）互斥事件若事件A與事件B不可能同時發(fā)生，即AB=Φ，則稱與是互斥的，或互不相容，如圖７．５．圖7.4圖7.5(6)逆事件事件A不發(fā)生的事件稱為A的逆事件，或稱A的對立事件，記作于是且如圖７．６．事件的運算律①交換律：②結(jié)合律：③分配律：④摩根律：

二、隨機事件的概率

1．古典概型與計算公式圖7.6，，，．

．

，．

定義7．1如果某個隨機試驗的基本事件為有限數(shù)，并且它們是等可能出現(xiàn)的，我們把這種隨機試驗稱為古典概型．對于任何事件A，它總可以表示為基本事件之和，因此定義事件A的概率為：其中n為所有基本事件的總個數(shù)，m為事件所包含的基本事件的個數(shù)．性質(zhì)1對于任何事件A，有:性質(zhì)2性質(zhì)3

特別，若事件A和B互不相容時，有，若事件兩兩互不相容，則推論

設(shè)A為任意隨機事件，則性質(zhì)4

若事件A、B滿足AB，那么有定理7．1（加法公式）對于任意兩個隨機事件A、B,有例１．３盒中有6張面值相同的債券，其中有兩張中獎債券，現(xiàn)有放回地從中任取兩次，每次取一張，求取到的兩張都是中獎債券的概率．解從6張中，有放回地抽兩次，第一次從6張中選取，第二次還是從6張中選取，因此基本事件總個數(shù)為6×6=36．設(shè)A表示“取到的兩張都是中獎”事件．則兩張都是中獎的的債券包含個2×2=4基本事件．所以例１．4

袋中有白球5只，黑球6只，依次取出三球，求順序為黑白黑的概率．解

袋子中共有11只球，有順序地取出3只，基本事件的總個數(shù)為設(shè)A表示“順次取出為黑白黑”事件，則事件所包含基本事件的個數(shù)為

所以例１．５

某校有三個校區(qū)，其中的男女生人數(shù)分別為：第一校區(qū)男生4400人，女生1800人；第二校區(qū)男生3200人，女生1600人；第三校區(qū)男生900人，女生600人．現(xiàn)隨機抽取一名學(xué)生，計算該學(xué)生為第二校區(qū)或第三校區(qū)的學(xué)生的概率．解三個校區(qū)的學(xué)生總數(shù)為12500人，所以事件總個數(shù)為12500．設(shè)A表示“抽取第二校區(qū)的一名學(xué)生”，B表示“抽取第三校區(qū)的一名學(xué)生”，因為所以例１．６設(shè)某地有甲、乙兩種報紙，該地成年人中有20%讀甲報紙，16%讀乙報紙，8%讀兩種報紙，問成年人中至少讀一種報紙的概率是多少？解設(shè)A表示“讀甲報紙”，B表示“讀乙報紙”，則所以即成年人中至少讀一種報紙的概率為28%．

，，．1．條件概率定義7．2

在同一隨機試驗的下的兩個事件A和B，在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，我們稱這種概率為條件概率，記作．例１．７

有圓形零件100個，其中有92個直徑合格，有95個光潔度合格，兩個指標(biāo)都合格的有90個，從這100個零件中任意抽取一件，如果此零件光潔度合格，求該零件直徑合格的概率．解

設(shè)A表示“任意抽取一件”，B表示“任意抽取一件”．由古典概率定義可知三、條件概率與全概率公式并且“光潔度和直徑都合格”事件為AB，則由古典概型可得

2．乘法公式定理7．2

對任意事件A、B，有例１．8

設(shè)有1000件產(chǎn)品，其中850件是正品，150件是次品，從中依次抽取2件，2件都是次品的概率是多少？解

設(shè)Ai表示“第i次抽到的是次品”，(i=1,2)所求概率為應(yīng)用概率的乘法公式得

3．獨立事件定義7．3

兩個事件中不論哪一個事件發(fā)生與否并不影響另一個事件發(fā)生的概率，則稱這兩個事件相互獨立．因此，若事件A與B相互獨立，則有例１．9

某工人同時看管三臺機床，單位時間內(nèi)甲機床不需要看管的概率為，乙機床為，丙機床為．若機床是自動機床且獨立工作（三臺機床能同時工作）．因為，．這時，

求（1）在單位時間內(nèi)三臺機床都不需要看管的概率；（2）在單位時間內(nèi)甲、乙機床不需要看管，而丙機床需要看管的概率．

解以Ai(i=1,2,3)分別表示“甲、乙、丙三臺機床不需要看管的事件”，則ā3表示“丙機床需要看管的事件”．根據(jù)題意，這些事件A1,A2,A3是互相獨立的，因此有（1）在單位時間內(nèi)三臺機床都不需要看管的概率為：（2）在單位時間內(nèi)甲、乙機床不需要看管，而丙機床需要看管的概率為：

4．全概率公式，定理7．3(全概率公式）設(shè)有個事件各互不相容，且滿足對于任何事件，有．例1．11

假定一個年級甲、乙、丙班級同學(xué)參加一項技能測試，三個班級同學(xué)依次占全年級學(xué)生人數(shù)的20%，45%，35%，測試后各個班級的不及格率依次為5%，4%，2%，求該年級同學(xué)技能測試不及格率．解

設(shè)表示“甲班同學(xué)”，表示“乙班同學(xué)”，表示“丙班同學(xué)”．表示“測試不及格”．有

例1．12

10個考簽中有4個難簽，6個易簽，甲先乙后不放回抽簽．求

（１）甲抽到難簽的條件下，乙抽到難簽的概率；

（２）甲抽到易簽的條件下，乙抽到難簽的概率；

（３）乙抽到難簽的概率．解設(shè)A表示“甲抽到難簽”，B表示“乙抽到難簽”，則ā表示“甲抽到易簽”，依題意得（１）甲抽到難簽的條件下，乙抽到難簽的概率為（２）甲抽到易簽的條件下，乙抽到難簽的概率為（３）乙抽到難簽可以在（1）或（2）兩種情況下出現(xiàn)，由全概率公式得四、獨立試驗概型定義７．４

在相同條件下進行n次重復(fù)隨機試驗，每次試驗只有兩種可能的結(jié)果A和ā，在每次試驗中事件發(fā)生的概率值不變，這種只有兩個可能結(jié)果的試驗稱為n重獨立試驗．在n次重復(fù)進行獨立的試驗中，恰有k次發(fā)生的概率稱為獨立試驗概型．次定理7．4（貝努力試驗概型）設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p（0<p<1)，則n重獨立試驗中，事件A恰好發(fā)生k的概率為其中

例１．13

某小學(xué)一年級有200名學(xué)生向保險公司投?！耙荒甓ㄆ谌松硪馔怆U”．每名學(xué)生應(yīng)在一年的第一天向保險公司交付保險金10元．根據(jù)統(tǒng)計資料，該年齡段學(xué)生的死亡率為2‰，若有一名學(xué)生在當(dāng)年死亡，

則其家屬可從保險公司領(lǐng)取保險2000元，問該保險公司對這批學(xué)生進行保險，虧本的可能性有多大？解

假設(shè)這200名學(xué)生中當(dāng)年死亡人數(shù)為．若保險公司虧本，則有下面式子顯然當(dāng)k>1時，即當(dāng)年死亡學(xué)生超過1個時，保險公司就虧本．它是200次獨立試驗概型問題，其中每個學(xué)生死亡的概率為成立．因此保險公司虧本的概率為：即該保險公司對該批學(xué)生進行保險虧本的可能性約為6.14%.例1．14

某種商品的合格率為，一顧客從商店買了件該商品，試求下列事件的概率：(1)恰有兩件合格商品的概率；

(2)6