七年級數學下冊 5.1 相交線（十大題型）（解析版）

七年級下冊數學《第五章相交線與平行線》5.1相交線知識點一知識點一鄰補角、對頂角的概念及其性質★1、鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．如圖中∠1和∠2，∠1和∠3都互為鄰補角.★2、鄰補角的性質：鄰補角互補，即和為180°．互為鄰補角是互為補角的特殊情況.如上圖：∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°.【注意】（1）鄰補角是成對出現(xiàn)的，單獨的一個角或兩個以上的角不能稱為鄰補角.（2）（3）互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的兩個角不一定是鄰補角.★3、對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角．如圖中∠1與∠3互為對頂角，∠2與∠4互為對頂角.【注意】對頂角是成對出現(xiàn)的，指兩個角之間的關系，一個角的對頂角只有一個.★4、對頂角的性質：對頂角相等．如圖，因為直線AB與CD相交于O點，所以∠1=∠3，∠2=∠4.【注意】兩個角互為對頂角，它們一定相等，但相等的兩個角不一定互為對頂角.知識點二知識點二垂線的概念、畫法及其性質★1、垂線的概念：垂線：當兩條直線相交所成的四個角中有一個角為90°時，這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.【注意】兩條直線互相垂直是它們相交的一種特殊情況.★2、垂直的表示方法：如圖，①若AB⊥CD，則∠BOC=∠AOC=∠AOD=∠BOD=90°；②若∠BOC=90°，則AB⊥CD.★3、垂線的畫法一落：讓三角板的一條直角邊落在已知直線上，使其與已知直線重合；二移：沿直線移動三角板，使其另一直角邊經過所給的點；三畫：沿此直角邊畫直線，則這條直線就是已知直線的垂線．★4、垂線的性質在平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．【注意】①不能忽略“在同一平面內”這個條件，因為如果不在同一平面內，那么過一點有無數條直線與已知直線垂直.②“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“過一點”的點在直線上或直線外都可以．知識點三知識點三垂線段與點到直線的距離★1、垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段．★2、垂線段的性質：連接直線外一點與這條直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡單說成：垂線段最短．【注意】正確理解此性質，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言．★3、點到直線的距離：（1）點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．（2）點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形．如圖，線段AD的長度是點A到直線l的距離.知識點四知識點四同位角、內錯角、同旁內角★1、同位角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．★2、內錯角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角．★3、同旁內角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角．★4、同位角、內錯角、同旁內角的特征【注意】三線八角中的某兩個角是不是同位角、內錯角或同旁內角，完全由那兩個角在圖形中的相對位置決定．在復雜的圖形中判別三類角時，應從角的兩邊入手，具有上述關系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構成“F“形，內錯角的邊構成“Z“形，同旁內角的邊構成“U”形．題型一鄰補角的識別和性質題型一鄰補角的識別和性質【例題1】（2023春?路北區(qū)期中）下面四個圖形中，∠1與∠2是鄰補角的是（）A． B． C． D．【分析】根據鄰補角的定義作答即可．【解答】解：由題意知，C中∠1與∠2是鄰補角，故選：C．【點評】本題考查了鄰補角的定義．解題的關鍵在于熟練掌握兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．解題技巧提煉1、鄰補角的識別方法：互為鄰補角的兩個角必須滿足以下條件：①有一條公共邊；②另一條邊互為反向延長線.二者缺一不可.2、鄰補角的性質：鄰補角互補.【變式1-1】鄰補角是（）A.和為180°的兩個角；B.有公共頂點且互補的兩個角；C.有一條公共邊且相等的兩個角；D.有公共頂點且有一條公共邊，另一邊互為反向延長線的兩個角.【分析】根據鄰補角的概念進行解答；【解答】解:只有一條公共邊，它們的另一邊互為延長線，具有這種的關系的兩個角，互為鄰補角，故選：B.【點評】此題主要考查了鄰補角的定義，正確記憶鄰補角定義中的重要條件是關鍵．【變式1-2】（2022春?重慶月考）下面四個圖形中，∠1與∠2是鄰補角的是（）A． B． C． D．【分析】根據鄰補角的定義，結合具體的圖形進行判斷即可．【解答】解：根據鄰補角的定義可知，圖中的∠1與∠2是鄰補角，故選：C．【點評】本題考查鄰補角，理解鄰補角的定義是正確解答的關鍵．【變式1-3】（2022秋?蘭西縣期末）如圖，圖中鄰補角有幾對（）A．4對 B．5對 C．6對 D．8對【分析】根據鄰補角的概念判斷即可．【解答】解：∠1與∠2是鄰補角，∠1與∠4是鄰補角，∠3與∠2是鄰補角，∠3與∠4是鄰補角，∠5與∠6是鄰補角，∠5與∠8是鄰補角，∠6與∠7是鄰補角，∠7與∠8是鄰補角共8對，故選：D．【點評】本題考查的是鄰補角的概念，只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．【變式1-4】（2023春?東洲區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，若∠1＝45°，則∠2的度數為（）A．45° B．55° C．125° D．135°【分析】根據鄰補角互補可得∠2＝135°．【解答】解：∵∠1＝45°，∠2與∠1是鄰補角，∴∠2＝180°﹣45°＝135°．故選：D．【點評】此題考查了鄰補角，解題的關鍵是掌握鄰補角互補，即和為180°．【變式1-5】（2023秋?肇慶期末）如圖，直線AB、CD交于點O，OE平分∠BOC，若∠1＝50°，則∠BOE等于（）A．65° B．60° C．50° D．45°【分析】根據鄰補角求出∠BOC的度數，再根據角平分線求出∠BOE的度數．【解答】解：∠BOC＝180°﹣50°＝130°，∠BOE＝130°÷2＝65°，故選：A．【點評】本題考查了鄰補角和角平分線，解題的關鍵是根據互為補角的兩個角和為180度，先求出∠BOC的度數．【變式1-6】（2022春?交城縣期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，并且∠AOD＝3∠AOC，則∠AOD的度數為．【分析】根據鄰補角的定義解決此題．【解答】解：∵∠AOD＝3∠AOC，∴∠AOC+∠AOD＝4∠AOC＝180°．∴∠AOC＝45°．∴∠AOD＝3∠AOC＝135°．故答案為：135°．【點評】本題主要考查鄰補角，熟練掌握鄰補角的定義是解決本題的關鍵．題型二對頂角的識別和性質題型二對頂角的識別和性質【例題2】（2023秋?羅山縣期末）如所示各圖中，∠1與∠2是對頂角的是（）A． B． C． D．【分析】根據對頂角的定義判斷即可．【解答】解：A、∠1與∠2沒有公共頂點，不是對頂角，故此選項不符合題意；B、∠1與∠2符合對頂角的定義，是對頂角，故此選項符合題意；C、∠1與∠2不是由兩條直線相交構成的角，不是對頂角，故此選項不符合題意；D、∠1與∠2不是由兩條直線相交構成的角，不是對頂角，故此選項不符合題意；故選：B．【點評】此題考查了對頂角，熟記對頂角的定義是解題的關鍵．對頂角的定義：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角．解題技巧提煉1、對頂角的識別方法：兩個角互為對頂角必須滿足兩個條件：①兩個角有一個公共頂點；②一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線.二者缺一不可.2、對頂角的性質：對頂角相等.【變式2-1】下列說法正確的是()A.有公共頂點的兩個角是對頂角；B.有公共頂點并且相等的兩個角是對頂角；C.兩條直線相交所得的四個角中的任意兩個角，不是鄰補角，就是對頂角；D.相等的兩個角一定是對頂角.【分析】根據對頂角和鄰補角定義,對頂角:有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角；鄰補角:只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角，進行逐一判斷即可.【解答】解:A.有公共頂點的兩個角不一定是對頂角，故A選項錯誤；B.有公共頂點并且相等的兩個角不一定是對頂角，故B選項錯誤；C.兩條直線相交所得的四個角中的任意兩個角不是鄰補角，就是對頂角，故C選項正確；D.相等的兩個角不一定是對頂角.故選:C.【點評】本題考查了對頂角的定義，熟記概念，準確識圖求出各角的度數是解題的關鍵．【變式2-2】（2023春?扎賚特旗期末）下列四個圖中，∠1與∠2是對頂角的是（）A． B． C． D．【分析】根據對頂角的定義直接判定即可．【解答】解：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，且這兩個角有公共頂點，則互為對頂角，根據定義，C正確，故選：C．【點評】本題考查對頂角的應用，熟練掌握對頂角的意義是解題關鍵．【變式2-3】（2022秋?南崗區(qū)校級期中）如圖直線AB、CD交于點O，OE為射線，那么（）A．∠AOC和∠BOE是對頂角 B．∠COE和∠AOD是對頂角 C．∠BOC和∠AOD是對頂角 D．∠AOE和∠DOE是對頂角【分析】根據對頂角的定義可解此題．【解答】解：∵OE⊥AB于點O，∴∠AOE＝90°，∵OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠COE，∵∠BOD與∠AOC是對頂角且相等，故選：C．【點評】本題考查了對頂角的定義，熟記概念，準確識圖求出各角的度數是解題的關鍵．【變式2-4】（2022秋?婺城區(qū)期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點O，若∠AOC增大40°，則∠BOD（）A．減少40° B．增大40° C．不變 D．增大0°【分析】根據對頂角的定義和性質求解即可．【解答】解：由圖得，∠AOC＝∠BOD，∴若∠AOC增大40°，則∠BOD增大40°．故選：B．【點評】本題考查了對頂角的定義和性質，掌握對頂角的定義和性質是解題的關鍵．【變式2-5】（2023秋?宿城區(qū)期末）泰勒斯被譽為古希臘及西方第一個自然科學家和哲學家，據說“兩條直線相交，對頂角相等”就是泰勒斯首次發(fā)現(xiàn)并論證的．論證“對頂角相等”使用的依據是（）A．同角的余角相等 B．同角的補角相等 C．等角的余角相等 D．等角的補角相等【分析】由補角的性質：同角的補角相等，即可判斷．【解答】解：論證“對頂角相等”使用的依據是：同角的補角相等．故選：B．【點評】本題考查對頂角，鄰補角，補角的性質，關鍵是掌握：補角的性質．【變式2-6】（2023春?海珠區(qū)校級期中）直線AB，CD相交于點O，若∠AOC+∠BOD＝60°，則∠AOC＝（）A．150° B．120° C．60° D．30°【分析】畫出簡圖，由對頂角相等可得∠AOC＝∠BOD，從而可求解．【解答】解：如圖，由圖可得∠AOC＝∠BOD，∵∠AOC+∠BOD＝60°，∴∠AOC+∠AOC＝60°，即∠AOC＝30°．故選：D．【點評】本題主要考查對頂角，解題的關鍵是掌握對頂角的性質：對頂角相等．題型三有關鄰補角、對頂角的綜合應用題型三有關鄰補角、對頂角的綜合應用【例題3】（2021秋?桃江縣期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，∠AOE是直角．（1）直接寫出∠DOE的補角；（2）直接寫出∠DOE的余角；（3）若OF平分∠AOC，且∠COF＝20°，求∠DOE的度數．【分析】（1）根據互補的定義確定∠DOE的補角；（2）根據互余的定義確定∠DOE的余角；（3）運用平角的定義和角平分線的定義得∠DOE的度數．【解答】解：（1）∠DOE的補角是：∠EOC．（2）∠DOE的余角是：∠DOB，∠AOC．（3）因為OF平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠COF＝40°，又因為∠AOE＝90°，所以∠DOE＝180°﹣（∠AOE+∠AOC）＝180°﹣（90°+40°）＝50°．【點評】本題考查了角平分線、補角、余角的定義以及角的計算，屬于基礎題型，比較簡單．解題技巧提煉準確識別圖形，理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵，再綜合角平分線的定義、對頂角的性質及鄰補角的定義求解.【變式3-1】（2022秋?洛陽期末）如圖，直線AE與CD相交于點B，∠ABC＝60°，∠FBE＝95°，則∠CBF的度數是（）A．35° B．85° C．145° D．155°【分析】根據鄰補角的定義求出∠ABF即可．【解答】解：∵∠FBE+∠ABF＝180°，∠FBE＝95°，∴∠ABF＝180°﹣95°＝85°，∴∠CBF＝∠ABC+∠ABF＝60°+85°＝145°，故選：C．【點評】本題考查鄰補角、對頂角，掌握鄰補角的定義是正確解答的前提．【變式3-2】（2023?灞橋區(qū)校級模擬）如圖是一把剪刀，若∠AOB+∠COD＝60°，則∠AOC的度數為（）A．40° B．130° C．120° D．150°【分析】由對頂角的性質得到∠AOB＝30°，由鄰補角的性質得到∠AOC＝180°﹣30°＝150°．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，∠AOB+∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝150°．故選：D．【點評】本題考查對頂角，鄰補角，關鍵是掌握對頂角的性質，鄰補角的性質．【變式3-3】（2023秋?渝中區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOD＝2∠DOE，若∠BOE＝30°，則∠AOC的度數為（）A．25° B．30° C．40° D．45°【分析】設∠DOB＝x°，根據已知條件列出關于x的方程式，求得x的值，再根據對頂角相等即可求得．【解答】解：設∠DOB＝x°，則∠DOE＝x+30°，∵∠AOD＝2∠DOE，∴∠AOD＝2x°+60°，∵∠AOB＝∠AOD+∠DOB＝2x+60°+x°＝180°，∴x＝40°，∴∠DOB＝40°，∴∠AOC＝40°．故選：C．【點評】本題主要考查對頂角的性質和鄰補角的定義，解決本題的關鍵是根據題意建立關于∠DOB的方程式．【變式3-4】（2023秋?無錫期末）如圖，已知直線AB、CD相交于點O，∠COE＝90°．（1）若∠BOE＝54°，求∠AOC的度數；（2）若∠BOE：∠BOC＝2：5，求∠AOE的度數．【分析】（1）先根據余角的定義求得∠BOD的度數，再根據對頂角的性質可求∠AOC的度數；（2）設∠BOE＝2x，∠BOC＝5x，表示出∠BOC的度數進而求得x，求出∠BOE的度數，利用鄰補角的性質求得∠AOE的度數．【解答】解：（1）∵∠COE＝90°，∴∠DOE＝90°，∵∠BOE＝54°，∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝90°﹣54°＝36°，∴∠AOC＝∠BOD＝36°；（2）設∠BOE＝2x，∠BOC＝5x，則∠COE＝3x，∵∠COE＝90°，∴3x＝90°，解得x＝30°，∴∠BOE＝2×30°＝60°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°．【點評】此題考查了對頂角、鄰補角，熟練掌握平角等于180度，直角等于90度，對頂角相等是解答本題的關鍵．【變式3-5】（2023秋?甘州區(qū)校級期末）如圖，直線AB和CD相交于O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝80°，求∠BOD的度數；（2）若∠EOC：∠EOD＝1：2，求∠BOD的度數．【分析】（1）先根據已知條件和角平分線的性質，求出∠AOC，再根據對頂角相等，求出∠BOD即可；（2）先根據已知條件，求出∠EOC+∠EOD＝180°，然后設∠EOC＝x°，∠EOD＝2x°，求出x，從而求出∠EOC，最后根據角平分線的性質，求出∠AOC，再由對頂角相等，求出∠BOD即可．【解答】解：（1）∵∠EOC＝80°，OA平分∠EOC，∴∠AOC=1∵∠AOC與∠BOD是對頂角，∴∠BOD＝∠AOC＝40°；（2）∵直線AB和CD相交于O，∴∠EOC+∠EOD＝180°，設∠EOC＝x°，則∠EOD＝2x°，∴x+2x＝180，解得：x＝60，∴∠EOC＝60°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=1∴∠BOD＝∠AOC＝30°．【點評】本題主要考查了對頂角、鄰補角和角平分線的性質，解題關鍵是正確識別圖形，理解角與角之間的和差倍分關系．【變式2-6】（2023秋?清原縣期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，ON把∠AOD分成兩個角，且∠AON：∠NOD＝2：3．∠BOC＝75°．（1）求∠AON的度數．（2）若OM平分∠BON，那么OB是∠COM的平分線嗎？試說明理由．【分析】（1）設∠AON＝2x，∠NOD＝3x，根據角的倍數關系可得答案；（2）先計算∠BOM的度數，判斷∠BOM、∠BOC是否相等，即可說明理由．【解答】解：（1）∵∠AON：∠NOD＝2：3，設∠AON＝2x，∠NOD＝3x，∴∠AOD＝5x，∵∠BOC＝75°，∴∠AOD＝5x＝75°，∴x＝15°，∴∠AON＝30°；（2）OB是∠COM的平分線，理由如下：∵∠AON＝30°，∴∠BON＝180°﹣∠AON＝150°，∵OM平分∠BON，∴∠BOM＝75°，∴∠BOM＝∠BOC，∴OB是∠COM的角平分線．【點評】本題考查的是對頂角、鄰補角的概念和性質、角平分線的定義，掌握對頂角相等、鄰補角之和等于180°是解題的關鍵．題型四垂直的定義題型四垂直的定義【例題4】（2023秋?澄海區(qū)期末）如圖，AB與CD相交于點O，OE⊥AB，垂足為O，若∠COE＝44°，則∠AOD＝（）A．44° B．46° C．134° D．136°【分析】先求解∠AOC＝46°，再結合平角的含義可得答案．【解答】解：∵OE⊥AB，∠COE＝44°，∴∠AOC＝90°﹣44°＝46°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣46°＝134°；故選：C．【點評】本題考查的是角的和差運算，垂直的定義，解題的關鍵是掌握相關運算．解題技巧提煉垂線：當兩條直線相交所成的四個角中有一個角為90°時，這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.【變式4-1】（2022春?景縣月考）如圖，直線AB，CD相交于點O，下列條件：①∠AOD＝90°；②∠AOC＝∠BOC；③∠AOC＝∠BOD，其中能說明AB⊥CD的有（）A．① B．①或② C．①或③ D．①或②或③【分析】根據垂直定義：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直進行判定即可．【解答】解：①∠AOD＝90°，可以得出AB⊥CD；②∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，可以得出AB⊥CD；③∠AOC＝∠BOD，不能得到AB⊥CD；故能說明AB⊥CD的有①②．故選：B．【點評】此題主要考查了垂直定義，關鍵是通過條件計算出其中一個角為90°．【變式4-2】在如圖所示的條件中，可以判斷兩條直線互相垂直的是（）①兩直線相交所成的四個直角都是直角；②兩直線相交，對頂角互補；③兩直線相交所成的四個角都相等.A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】根據垂線的定義，可得答案．【解答】解：①兩直線相交所成的四個角都是直角；②兩條直線相交，對頂角互補；③兩直線相交所成的四個角都相等.故選：D．【點評】本題主要考查了垂線，余角和補角，對頂角、鄰補角，熟練掌握了垂線，余角和補角，對頂角、鄰補角的定義進行求解是解決本題的關鍵．【變式4-3】（2023秋?封開縣期末）如圖，AO⊥OB，若∠AOC＝50°，則∠BOC的度數是（）A．20° B．30° C．40° D．50°【分析】根據OA⊥OB，可知∠BOC和∠AOC互余，即可求出∠BOC的度數．【解答】解：∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°．又∵∠AOC＝50°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝40°．故選：C．【點評】本題考查了垂線，余角的知識．要注意領會由垂直得直角這一要點．【變式4-4】如圖，直線a，b相交于點O，OE⊥a于點O，OF⊥b于點O，若∠1=40°，則下列結論正確的是（）A．∠2=∠3=50°B．∠2=∠3=40°C．∠2=40°，∠3=50°D．∠2=50°，3=40°【分析】直接利用垂直定義以及結合互余的定義得出答案．【解答】解：如圖所示：∵∠1=40°，OE⊥a，∴∠3=90°－∠1=90°－40°=50°，又∵OF⊥b，∴∠2=90°－∠3=90°－50°=40°．故選：C．【點評】此題主要考查了垂直的定義以及互余的定義，正確的把握相關定義是解題關鍵．【變式4-5】（2023秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，從點A出發(fā)的四條射線AB，AC，AD，AE滿足AB⊥AC，AD⊥AE，則下列結論一定正確的是（）A．∠CAE＝∠BAD＝45° B．∠CAD+∠EAB＝180° C．∠CAD﹣∠EAB＝90° D．∠CAE+∠BAD＝90°【分析】根據互為余角、互為補角的定義逐項進行判斷即可．【解答】解：如圖，延長DA到F，∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，即∠CAE+∠BAE＝∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD，同理∠CAF＝∠BAE，∵∠CAD+∠CAF＝180°，∴∠CAD+∠BAE＝180°，故選：B．【點評】本題考查互為余角、互為補角，理解互為余角、互為補角的定義是正確解答的關鍵．【變式4-6】（2023春?禮泉縣期中）如圖，是一副三角板的擺放圖，已知OA⊥OB，OC⊥OD，若∠AOC＝35°，則∠BOD的度數是°．【分析】根據題意可得：∠AOB＝∠COD＝90°，然后利用等式的性質進行計算，即可解答．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB﹣∠AOD＝∠COD﹣∠AOD，∴∠DOB＝∠AOC＝35°，故答案為：35．【點評】本題考查了垂線，余角和補角，根據題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．題型五垂線的畫法及性質題型五垂線的畫法及性質【例題5】（2023春?裕華區(qū)期中）如圖，在直線l外任取一點Q，過點Q畫直線l的垂線，可畫出的垂線有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數條【分析】根據在平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，即可選出答案．【解答】解：在平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．故選：B．【點評】本題考查了垂線的性質，在平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“過一點”的點在直線上或直線外都可以．解題技巧提煉1、垂線的畫法：用三角尺畫（1）落：讓三角尺的一條直角邊落在已知直線上，使其與已知直線重合.（2）移：沿已知直線移動三角尺，使其另一條直角邊經過已知點.（3）畫：沿此直角邊畫直線，則這條直線就是已知直線的垂線.2、垂線的性質：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.【變式5-1】（2022春?南沙區(qū)期末）過點P向線段AB所在的直線畫垂線，正確的畫法是（）A． B． C． D．【分析】根據過直線外一點作已知直線的垂線的作法判斷即可．【解答】解：A選項，沒有過點P，過該選項不符合題意；B選項，過點P作AB的垂線，垂線是直線，故該選項符合題意；C選項，PO為垂線段，不是直線，故該選項不符合題意；D選項，PA沒有垂直于AB，故該選項不符合題意；故選：B．【點評】此題主要考查了垂線的畫法，同學們應熟練掌握垂線畫法，此知識考查較多．【變式5-2】（2023秋?鼓樓區(qū)校級期末）下列各圖中，過直線l外點P畫l的垂線CD，三角板操作正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據垂線的作法，用直角三角板的一條直角邊與l重合，另一條直角邊過點P后沿直角邊畫直線即可．【解答】解：根據分析可得D的畫法正確，故選：D．【點評】此題主要考查了垂線的畫法，同學們應熟練掌握垂線畫法，此知識考查較多．【變式5-3】（2022春?南海區(qū)校級月考）平面內，過一點，有幾條直線和已知直線垂直？（）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【分析】根據平面內，過一點有且只有一條直線和已知直線垂直，即可判斷．【解答】解：平面內，過一點有且只有一條直線和已知直線垂直，故選：B．【點評】本題考查了垂線，直線、射線、線段，熟練掌握平面內，過一點有且只有一條直線和已知直線垂直是解題的關鍵．【變式5-4】（2023春?南城縣校級月考）已知點P在直線l上，過點P畫直線l的垂線，可以畫出多少條（）A．1條 B．2條 C．3條 D．無數條【分析】在同一平面內，經過一點有且只有一條直線垂直于已知直線，據此即可得到答案．【解答】解：∵在同一平面時，經過一點有且只有一條直線垂直于已知直線，∴過點P畫直線l的垂線，畫1條．故選：A．【點評】本題主要考查垂線，掌握在平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直是解題的關鍵．【變式5-5】（2023春?屏南縣期中）過點P向線段AB所在直線引垂線，正確的畫法是（）A． B． C． D．【分析】根據過直線外一點作已知直線的垂線的作法判斷即可．【解答】解：A選項，沒有垂直，故該選項不符合題意；B選項，沒有過點P，故該選項不符合題意；C選項，過點P作AB的垂線，垂線是直線，故該選項符合題意；D選項，PO為垂線段，不是直線，故該選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了垂線，掌握當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直是解題的關鍵．【變式5-6】（2023春?朝陽區(qū)期末）如圖，過點P作線段AB的垂線，垂足在（）A．線段AB上 B．線段AB的延長線上 C．線段AB的反向延長線上 D．直線AB外【分析】過點P作線段AB的垂線，垂足在線段AB的延長線上．【解答】解：如圖，過點P作線段AB的垂線，垂足在線段AB的延長線上．故選：B．【點評】本題考查了垂線，熟練掌握垂線的作法是關鍵．題型六有關垂線的綜合應用題型六有關垂線的綜合應用【例題6】（2022春?天府新區(qū)月考）如圖，點O在直線BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，則∠DOC的度數為（）A．20° B．70° C．110° D．90°【分析】利用∠1與∠BOC互余求出∠BOC，利用∠DOC與∠BOC互補求出∠DOC．【解答】解：∵OC⊥OA，∠1＝20°，∴∠BOC＝90°﹣∠1＝90°﹣20°＝70°，∴∠DOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣70°＝110°，故選：C．【點評】本題考查垂直的定義，得出∠1與∠BOC互余，∠DOC與∠BOC互補是解題的關鍵．解題技巧提煉結合垂直的條件確定已知角和未知角之間的關系，再結合角平分線、對頂角、鄰補角等定義計算.【變式6-1】（2023?宛城區(qū)校級三模）如圖，直線AB、CD相交于點O．OE⊥AB，∠DOB＝65°，則∠EOC的大小為（）A．145° B．105° C．165° D．155°【分析】根據對頂角的定義得∠AOC的度數，然后由垂直的概念及角的和差可得答案．【解答】解：∵∠DOB＝65°，∴∠AOC＝65°，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴∠EOC＝∠AOE+∠AOC＝65°+90°＝155°．故選：D．【點評】此題考查的是垂線的概念，掌握其概念是解決此題的關鍵．【變式6-2】（2022春?云陽縣校級月考）如圖，直線AB、EF相交于點O，CD⊥AB于點O，∠EOD＝128°，則∠BOF的度數為．【分析】由平角的定義可知∠EOD+∠EOC＝180°，從而可求得∠EOC的度數，根據對頂角相等得∠DOF＝∠EOC＝52°，然后由垂線的定義可知∠DOB＝90°，從而求得∠BOF的度數．【解答】解：∵∠EOD+∠EOC＝180°，∴∠EOC＝180°﹣128°＝52°，∴∠DOF＝∠EOC＝52°，∵CD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BOF＝90°﹣52°＝38°，故答案為：38°．【點評】本題主要考查的是鄰補角的性質、對頂角的性質和垂線的定義，求得∠DOF的度數是解題的關鍵．【變式6-3】（2023春?撫寧區(qū)期末）已知，∠AOB＝25°，OC⊥OA，OD⊥OB，則∠COD等于（）A．25° B．115° C．155° D．25°或155°【分析】分類討論：如圖1、2所示．根據圖中相關角與角間的和差關系進行求解即可．【解答】解：∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOC＝90°，∠BOD＝90°．如圖1，∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝90°﹣25°＝65°，則∠COD＝∠AOD+∠AOC＝65°+90°＝155°；如圖2，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣25°＝65°，∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°．綜上所述，∠COD等于155°或25°．故選：D．【點評】本題考查了垂線的定義．要注意領會由垂直得直角這一要點．【變式6-4】（2022春?元寶區(qū)校級期末）在同一平面內，若∠A與∠B的兩邊分別垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，則∠A的度數為（）A．10° B．50° C．10°或130° D．10°或50°【分析】因為兩個角的兩邊分別垂直，則這兩個角相等或互補，可設∠B是x度，利用方程即可解決問題．【解答】解：設∠B是x度，根據題意，得①兩個角相等時，如圖1：∠B＝∠A＝x，x＝3x﹣20，解得x＝10，故∠A＝10°，②兩個角互補時，如圖2：x+3x﹣20＝180，所以x＝50，3×50°﹣20°＝130°故∠A的度數為：10°或130°．故選：C．【點評】此題主要考查了垂線，本題需仔細分析題意，利用方程即可解決問題．【變式6-5】（2022秋?梁河縣期末）如圖，已知直線AB、CD相交于點O，射線OD平分∠BOF，OE⊥CD于點O，∠AOC＝35°．（1）求∠EOF的度數；（2）試判斷射線OE是否平分∠AOF，并說明理由．【分析】（1）利用對頂角相等，角平分線的定義，垂線的性質求解即可．（2）OE平分∠AOF．分別求出∠AOE，∠EOF即可判斷．【解答】解：（1）∵OD平分∠BOF，∴∠BOD＝∠DOF，∵∠BOD＝∠AOC＝35°，∴∠DOF＝35°，∵EO⊥CD，∴∠EOD＝90°，∴∠EOF＝90°﹣∠DOF＝55°．（2）OE平分∠AOF．理由如下：∵∠AOB＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠BOD＝90°，∵∠BOD＝35°，∴∠AOE＝55°，∵∠EOF＝55°，∴∠AOE＝∠EOF，∴OE平分∠AOF．【點評】本題考查垂線，角平分線的定義，對頂角等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【變式6-6】（2023秋?蘇州期末）如圖，兩直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD＝7：11．（1）求∠COE；（2）如果∠COF＝125°，OE與OF有怎樣的位置關系？為什么？【分析】（1）根據平角的定義，角平分線的定義以及角的和差關系進行計算即可；（2）根據角平分線的定義，平角的定義以及角的和差關系求出∠EOF的度數，再根據垂直的定義進行解答即可．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠AOD＝7：11．∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOC＝180°×77+11=70°，∠∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE=12∠∵∠AOC＝∠BOD＝70°，∠AOD＝∠BOC＝110°，∴∠BOE＝35°，∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝145°；（2）OE⊥OF，理由：∵∠COF＝125°，∴∠DOF＝180°﹣125°＝55°，又∵∠DOE＝35°，∴∠EOF＝∠DOF+∠DOE＝90°，∴OE⊥OF．【點評】本題考查鄰補角，角平分線的定義以及垂直的定義，掌握鄰補角、角平分線、垂直的定義是正確解答的關鍵．題型七垂線段最短的實際應用題型七垂線段最短的實際應用【例題7】（2023春?圍場縣期末）過點A畫線段BC所在直線的垂線段，其中正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據垂線段的定義解決此題．【解答】解：根據垂線段的定義，僅D選項符合要求．故選：D．【點評】本題主要考查過直線外一點作已知直線的垂線段，熟練掌握過直線外一點作已知直線的垂線段的作法是解決本題的關鍵．解題技巧提煉抽象成利用“垂線段最短”和“兩點之間，線段最短”求解的模型，再借助垂線段的性質和線段的性質求解.【變式7-1】（2023秋?射洪市期末）如圖，在河邊的A處，有一個牧童在放牛，牛吃飽后要到河邊飲水，牧童把牛牽到河邊沿AB的路徑走才能走最少的路，其依據是（）A．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 B．垂線段最短 C．兩點之間，線段最短 D．兩點確定一條直線【分析】根據垂線段最短判斷．【解答】解：在河邊的A處，有一個牧童在放牛，牛吃飽后要到河邊飲水，牧童把牛牽到河邊沿AB的路徑走才能走最少的路，其依據是垂線段最短．故選：B．【點評】本題考查了垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段．【變式7-2】（2023秋?綠園區(qū)期末）如圖，某同學在體育課上跳遠后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數學知識是（）A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線 C．垂線段最短 D．經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【分析】根據垂線段最短進行判斷即可．【解答】解：由題意得，解釋這一現(xiàn)象的數學知識是“垂線段最短”，故選：C．【點評】本題考查垂線段最短，理解垂線段最短的意義是正確解答的關鍵．【變式7-3】如圖，直線AB表示某天然氣的主管道，現(xiàn)在要從主管道引一條分管道到某村莊P，則沿圖中線段修建可使用料最省，理由是.【分析】根據垂線段的性質進行證明即可.【解答】解：PD最短，理由：直線外一點到直線上所有的線段中，垂線段最短。故答案為：PD，垂線段最短.【點評】本題考查的是垂線段的性質，熟知垂線段最短是解答此題的關鍵．【變式7-4】如圖，點P，點Q分別代表兩個村莊，直線l代表兩個村莊中間的一條公路．根據居民出行的需要，計劃在公路l上的某處設置一個公交站．（1）若考慮到村莊P居住的老年人較多，計劃建一個離村莊P最近的車站，請在公路l上畫出車站的位置（用點M表示），依據是；（2）若考慮到修路的費用問題，希望車站的位置到村莊P和村莊Q的距離之和最小，請在公路l上畫出車站的位置（用點N表示），依據是．【分析】（1）直接利用點到直線的距離的定義得出答案；（2）利用線段的性質得出答案．【解答】解：（1）如圖，點M即為所示．依據是直線外一點與直線上各點連接的所有線段中垂線段最短（2）如圖，點N即為所示．依據是兩點之間線段最短；故答案為：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中垂線段最短；兩點之間線段最短．【點評】此題主要考查了應用設計與作圖，正確理解線段的性質是解題關鍵．【變式7-5】（2023秋?金華期末）如圖，平原上有A，B，C，D四個村莊，為解決當地缺水問題，政府準備投資修建一個蓄水池．（1）不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池H點的位置，使它到四個村莊距離之和最??；（2）計劃把河水引入蓄水池H中，怎樣開渠最短并說明根據．【分析】（1）由兩點之間線段最短可知，連接AD、BC交于H，則H為蓄水池位置；（2）根據垂線段最短可知，要做一個垂直EF的線段．【解答】解：（1）∵兩點之間線段最短，∴連接AD，BC交于H，則H為蓄水池位置，它到四個村莊距離之和最小．（2）過H作HG⊥EF，垂足為G．“過直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短”是把河水引入蓄水池H中開渠最短的根據．【變式7-6】（2023秋?縉云縣期末）已知點直線BC及直線外一點A（如圖），按要求完成下列問題：（1）畫出射線CA，線段AB．過C點畫CD⊥AB，垂足為點D；（2）比較線段CD和線段CA的大小，并說明理由；（3）在以上的圖中，互余的角為，互補的角為．（各寫出一對即可）【分析】（1）根據垂線的定義，線段，射線的定義作圖即可；（2）根據垂線段最短即可求解；（3）由互余、互補的定義解題即可．【解答】解：（1）如圖：（2）∵CD⊥AD，∴CA＞CD；（3）∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠DAC與∠DCA互余，∵∠ADC+∠BDC＝90°+90°＝180°，∴∠ADC與∠BDC互補，故答案為：∠DAC、∠DCA；∠ADC、∠BDC．【點評】本題考查垂線段最短，兩個角的互余、互補，熟練掌握垂線段最短，兩個角的互余、互補的定義，會作圖線段、射線、垂線段是解題的關鍵．題型八點到直線的距離題型八點到直線的距離【例題8】（2022春?遜克縣期末）如圖，線段AB外有一點P過點P作PE⊥AB垂足為E，連接PA、PB，PA＝8cm，PB＝6cm，PE＝4.5cm，若M是線段AB上任意一點，則P到M的最短距離為（）A．8cm B．6cm C．4.5cm D．無法確定【分析】根據垂線段最短得出即可．【解答】解：根據垂線段最短，則P到M的最短距離為不小于4.5cm，故選：C．【點評】本題考查了垂線段最短，熟練掌握垂線段最短的知識點是解此題的關鍵．解題技巧提煉分析圖形特征，結合已知條件利用點到直線的距離的定義:直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離得出答案.【變式8-1】（2023秋?浦口區(qū)校級期末）如圖，PB⊥AC，PA⊥PC，垂足分別為B、P．下列說法中錯誤的是（）A．線段PB的長是點P到AC的距離 B．PA、PB、PC三條線段，PB最短 C．線段AC的長是點A到PC的距離 D．線段PC的長是點C到直線PA的距離【分析】直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，垂線段最短，由此即可判斷．【解答】解：A、線段PB的長是點P到AC的距離，正確，故A不符合題意；B、由垂線段最短得到，PB＜PC，PB＜PA，因此PB最短，故B不符合題意；C、線段AP的長是點A到PC的距離，故C符合題意；D、線段PC的長是點C到直線PA的距離，正確，故D不符合題意．故選：C．【點評】本題考查垂線段最短，點到直線的距離，關鍵是掌握點到直線距離的定義，垂線段最短．【變式8-2】（2023秋?南關區(qū)期末）如圖，點A，D在直線m上，點B，C在直線n上，AB⊥n，AC⊥m，BD⊥m，點A到直線BD的距離是（）A．線段AD的長度 B．線段BC的長度 C．線段AB的長度 D．線段BD的長度【分析】根據點到直線的距離可得結論．【解答】解：∵BD⊥m，∴點A到直線BD的距離是線段AD的長度．故選：A．【點評】本題主要考查點到直線的距離，解答的關鍵是明確點到直線的距離的定義．【變式8-3】（2023秋?玄武區(qū)期末）如圖，AC⊥BC，垂足為C，AC＝6，BC＝8，AB＝10．P是線段AB上一點，連接PC，PC的長不可能是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】作CH⊥AB于H，由三角形面積公式得到△ABC的面積=12AC?BC=12AB?CH，而AC＝6，BC＝8，AB＝10，即可求出CH＝4.8，又【解答】解：作CH⊥AB于H，∵AC⊥BC，∴△ABC的面積=12AC?BC=12∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴CH＝4.8，∵PC≥CH＝4.8，∴PC的長不可能4．故選：A．【點評】本題考查垂線段最短，關鍵是由垂線段最短得到PC≥CH．【變式8-4】（2023秋?西山區(qū)校級期末）P為直線m外一點，A，B，C為直線m上三點，PA＝5，PB＝4，PC＝3，則點P到直線m的距離（）A．不大于3 B．等于3 C．小于3 D．不小于3【分析】根據垂線段最短和點到直線的距離的定義得出即可．【解答】解：根據垂線段最短得出點P到直線m的距離是不大于3，故選：A．【點評】本題考查了點到直線的距離的定義，熟記點到直線的距離的定義是解題的關鍵．【變式8-5】（2023春?新賓縣期中）如圖，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝5，BC＝12，AB＝13，則點C到直線AB的距離等于（）A．125 B．135 C．6013【分析】根據等積法求出點C到直線AB的距離即可．【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴S△ABC∴CD=AC×BC即點C到直線AB的距離為6013，故C故選：C．【點評】本題主要考查了三角形面積計算，點到直線的距離，解題的關鍵是根據等積法求出CD=60【變式8-6】（2022春?平橋區(qū)校級月考）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．（1）點B到AC的距離是cm；點A到BC的距是cm．（2）畫出表示點C到AB的距離的線段，并求這個距離．【分析】（1）根據點到直線的距離的定義求．（2）先畫垂線段，再計算距離．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，∴點B到AC的距離是線段BC的長度，點A到BC的距是線段AC的長度．故答案為：4，3．（2）如圖：作CD⊥AB于點D，則線段CD的長度就是點C到AB的距離．∵S△ABC=12BC?AC=12∴CD=BC?ACAB=【點評】本題考查點到直線的距離，找到點到直線的距離是求解本題的關鍵．題型九同位角、內錯角、同旁內角的識別題型九同位角、內錯角、同旁內角的識別【例題9】（2022春?叢臺區(qū)校級期末）同學們可仿照圖用雙手表示“三線八角”圖形（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．下面三幅圖依次表示（）A．同位角、同旁內角、內錯角B．同位角、內錯角、同旁內角C．同位角、對頂角、同旁內角D．同位角、內錯角、對頂角【解答】解：根據同位角、內錯角、同旁內角的概念，可知第一個圖是同位角，第二個圖是內錯角，第三個圖是同旁內角．故選：B．【點評】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角，解題的關鍵是掌握同位角、內錯角、同旁內角，并能區(qū)別它們．解題技巧提煉本題運用了定義法，識別同位角、內錯角、同旁內角，其關鍵是看兩個角所涉及的直線是否只有三條，并且有沒有一條邊在同一直線（截線）上，如果沒有，就不是；如果有，再根據角的位置特征判斷.【變式9-1】（2023秋?衡山縣期末）下列所示的四個圖形中，∠1和∠2是同位角的是（）A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②④【分析】利用同位角定義進行解答即可．【解答】解：圖①②④中，∠1和∠2是同位角，故選：D．【點評】此題主要考查了同位角，關鍵是掌握同位角的邊構成“F”形．【變式9-2】（2023春?富陽區(qū)期中）下列四個圖形中，∠1與∠2互為內錯角的是（）A． B． C． D．【分析】根據內錯角的定義逐一判斷即可．【解答】解：A．∠1與∠2不是內錯角，不符合題意，選項錯誤；B．∠1與∠2不是內錯角，不符合題意，選項錯誤；C．∠1與∠2是內錯角，符合題意，選項正確；D．∠1與∠2不是內錯角，不符合題意，選項錯誤，故選：C．【點評】本題考查了內錯角，能根據內錯角的定義正確判斷是解題關鍵．【變式9-3】（2023秋?東坡區(qū)期末）如圖，在△ABC中與∠A構成同旁內角的角有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【分析】兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角，由此即可得到答案．【解答】解：在△ABC中與∠A構成同旁內角的角有∠ADE，∠ADF，∠AED，∠C，∠B，共5個．故選：A．【點評】本題考查同旁內角，關鍵是掌握同旁內角的定義．【變式9-4】（2023春?嘉定區(qū)期末）如圖，以下說法正確的是（）A．∠GFB和∠HCD是同位角 B．∠GFB和∠FCH是同位角 C．∠AFC和∠HCD是內錯角 D．∠GFC和∠FCD是同旁內角【分析】根據同位角，內錯角，同旁內角的意義，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、∠GFB和∠HCD不是同位角，不是內錯角，也不是同旁內角，故A不符合題意；B、∠GEF和∠FCH是同位角，故B不符合題意；C、∠AFC和∠FCD是內錯角，故C不符合題意；D、∠GFC和∠FCD是同旁內角，故D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了同位角，內錯角，同旁內角，熟練掌握同位角，內錯角，同旁內角的意義是解題的關鍵．【變式9-5】（2021春?渠縣期末）如圖，下列結論：①∠2與∠3是內錯角；②∠1與∠A是同位角；③∠A與∠B是同旁內角；④∠B與∠ACB不是同旁內角，其中正確的是．（只填序號）【分析】根據同位角、內錯角、同旁內角的意義，結合圖形逐個判斷即可．【解答】解：如圖：∠2與∠3是直線AB、直線BC，被直線CD所截的一對內錯角，因此①正確；∠1與∠A是直線CD、直線AC，被直線AB所截的一對同位角，因此②正確；∠A與∠B是直線AC、直線BC，被直線AB所截的一對同旁內角，因此③正確；∠B與∠ACB是直線AB、直線AC，被直線BC所截的一對同旁內角，因此④不正確．故答案為：①②③．【點評】本題考查同位角、內錯角、同旁內角的意義，理清哪兩條直線被第三條直線所截，形成的角進行判斷是關鍵．【變式9-6】（2022春?趙縣月考）如圖所示，直線AB與BC被直線AD所截得的內錯角是；直線DE與AC被直線AD所截得的內錯角是；圖中∠4的內錯角是．【分析】根據內錯角的定義找出即可．【解答】解：直線AB與BC被直線AD所截得的內錯角是∠1和∠3，直線DE與AC被直線AD所截得的內錯角是∠2和∠4，圖中∠4的內錯角是∠2和∠BED，故答案為：∠1和∠3，∠2和∠4，∠2和∠BED．【點評】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角的定義等知識點，能正確識圖是解此題的關鍵．題型十同位角、內錯角、同旁內角的綜合題型十同位角、內錯角、同旁內角的綜合【例題10】如圖所示，a，b兩條直線交于一點，生成∠9，探索∠9與其它角的位置關系．（1）直線b，c被直線a所截，∠9與∠4是．（2）∠9與∠5是直線被直線所截形成的．（3）∠9還與哪些角成內錯角？（4）圖中共有幾對同旁內角？【分析】（1）根據同位角的定義求解；（2）根據內錯角的定義求解；（3）根據內錯角的定義求解；（4）根據同旁內角的定義求解．【解答】解：（1）直線b，c被直線a所截，∠9與∠4是同位角，故答案為：同位角；（2）∠9與∠5是直線a，c被直線b所截形成的內錯角，故答案為：a，c，b，內錯角；（3）∠9還與∠2成內錯角．（4）圖中共有∠9和∠1，∠9和∠6，∠1和∠6，∠4和∠7，∠10和∠5，∠12和∠2六對同旁內角．【點評】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角．解題的關鍵是掌握同位角、內錯角、同旁內角的定義：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角；兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角；兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角．解題技巧提煉在“三線八角”圖形中,由兩角判斷截線和被截線的方法是看角的兩條邊:共線的一邊所在的直線為截線,另兩邊所在的直線為被截線.【變式10-1】如圖所示，BF、DE相交于點A，BG交BF于點B，交AC于點C．（1）指出ED、BC被BF所截的同位角，內錯角，同旁內角；（2）指出ED、BC被AC所截的內錯角，同旁內角；（3）指出FB、BC被AC所截的內錯角，同旁內角．【分析】根據同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．內錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角．同旁內角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角．進行解答．【解答】解：（1）同位角：∠FAE和∠B；內錯角：∠B和∠DAB；同旁內角：∠EAB和∠B；內錯角：∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG；同旁內角：∠EAC和∠ACG，∠DAC和∠BCA；（3）內錯角：∠BAC和∠ACG，∠FAC和∠BCA；同旁內角：∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG．【點評】此題主要考查了三線八角，關鍵是掌握同位角的邊構成“F”形，內錯角的邊構成“Z”形，同旁內角的邊構成“U”形．【變式10-2】角．（1）畫出示意圖，標出∠1，∠2，∠3；（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度數．【分析】（1）根據內錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角；同旁內角：兩條直線被第三條直線所截