廣東省五校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省五校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗解不等式，得或，即或，則，函數(shù)有意義，則，解得，則，所以.故選：C2.若對(duì)，恒成立，其中，，則（）A.3 B.2 C.0 D.〖答案〗C〖解析〗由，得，所以，所以.故選：C.3.任給，對(duì)應(yīng)關(guān)系使方程的解與對(duì)應(yīng)，則是函數(shù)的一個(gè)充分條件是（）A. B. C. D .〖答案〗A〖解析〗根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)任意，按，在的范圍中必有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，，則，則的范圍要包含，故選：A．4.在正四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗連接，，如圖，設(shè)，由，得即為與所成的角，在中，易知，，解得.設(shè)，在中，①，因?yàn)?，故，則在中，，即②，②兩式相加求得，因?yàn)?，解?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，因?yàn)?，，所以三角形為等腰直角三角形，則在等腰直角三角形中，易求得到的距離即到底面的距離為，故到平面的距離為，，故所求三棱錐的體積為.故選：B5.已知復(fù)數(shù)，則（）A.2022 B.2023 C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，由題意可得：可得關(guān)于的方程的根為，故，整理得，即，令，可得，且2022為偶數(shù)，所以.故選：B.6.已知集合，若從U的所有子集中，等可能地抽取滿足條件“，”和“若，則”的兩個(gè)非空集合A，B，則集合A中至少有三個(gè)元素的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得中沒有重復(fù)數(shù)字，由，則可得不為空集，則可將中10個(gè)數(shù)字分為5組，分別為2或20，4或18，6或16，8或14，10或12，且每組數(shù)中的一個(gè)數(shù)如果在集合A中，另一個(gè)必在集合中，所以集合A中元素的個(gè)數(shù)小于等于集合中元素的個(gè)數(shù)，所以集合A中元素的個(gè)數(shù)可能為1，2，3，4，5，所以集合A的可能的個(gè)數(shù)為，所以.7.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)D.若，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則直線，聯(lián)立方程，消去y得：，則可得，則，設(shè)線段的中點(diǎn)，則，即，且，線段的中垂線的斜率為，則線段的中垂線所在直線方程為，令，則，解得，即，則，由題意可得：，即，整理得，則，注意到雙曲線的離心率，∴雙曲線的離心率取值范圍是.故選：A.8.已知過點(diǎn)不可能作曲線的切線．對(duì)于滿足上述條件的任意的b，函數(shù)恒有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，代入點(diǎn)得，，由于過點(diǎn)不可能作曲線的切線，則直線與函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，，所以函數(shù)在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)遞增；在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值也即是最大值，則．對(duì)于滿足此條件的任意的b，函數(shù)恒有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，等價(jià)于恒有兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)，等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的解．令，則，，即直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．記，則，記，則，所以在上單調(diào)遞增．令，得．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．所以．所以．因?yàn)?，所以，所以．即?shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于x的不等式的解集中恰有4個(gè)整數(shù)，則a的值可以是（）A. B. C. D.－1〖答案〗AD〖解析〗關(guān)于的不等式的解集中恰有4個(gè)整數(shù)，所以，因?yàn)闀r(shí)，不等式的解集中的整數(shù)有無數(shù)多個(gè)．不等式，對(duì)應(yīng)的方程為：，方程的根為：和；由題意知，，則，解得；當(dāng)時(shí)，不等式的解集是，解集中含有4個(gè)整數(shù)：0,1,2,3；滿足題意．當(dāng)時(shí)，不等式的解集是，解集中含有4個(gè)整數(shù)：,0,1,2；滿足題意．當(dāng)時(shí)，不等式的解集是,，此時(shí)，解集中含有5個(gè)整數(shù)：0,1,2,3；不滿足題意．當(dāng)時(shí)，不等式的解集是,，，解集中含有整數(shù)個(gè)數(shù)多于4個(gè)，不滿足題意．綜上知，的值可以是和．故選：AD10.用長(zhǎng)為3的鐵絲圍成，記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則（）A.存在滿足成公差不為0的等差數(shù)列B.存在滿足成等比數(shù)列C.的內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為D.可以完全覆蓋的最小圓的半徑為〖答案〗BCD〖解析〗依題意知，由余弦定理，得．對(duì)A，若成等差數(shù)列，則，所以，所以為常數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若成等比數(shù)列，則，所以，即，所以當(dāng)為等邊三角形時(shí)成等比數(shù)列，故B正確；對(duì)C，由，得，解得或（舍），所以的面積的內(nèi)切圓半徑為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為，故C正確；對(duì)D，由正弦定理可得：，其中為外接圓半徑，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以可以完全覆蓋的最小圓的半徑為，故D正確．故選：BCD．11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上兩個(gè)位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，且有．直線與準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交準(zhǔn)線于〖答案〗ACD〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，由，得，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，可得，，則，設(shè)直線，把代入，可得，令，則，同理，則，因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B選項(xiàng)知，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，，，由選項(xiàng)A知，，，，故D正確．故選：ACD．12.已知函數(shù)，其中，則（）A.當(dāng)，，時(shí)，曲線既不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形B.當(dāng)，，時(shí)，曲線要么是軸對(duì)稱圖形要么是中心對(duì)稱圖形C.當(dāng)，，時(shí)，曲線是中心對(duì)稱圖形D.當(dāng)，時(shí)，曲線可能是軸對(duì)稱圖形〖答案〗ABC〖解析〗A選項(xiàng)，此時(shí).則，.因，則不同時(shí)為0，則，則曲線不是軸對(duì)稱圖形；又，不同時(shí)為0，則不為常數(shù)，即曲線不是中心對(duì)稱圖形，故A正確；B選項(xiàng)，此時(shí).則，.令，則，比較系數(shù)結(jié)合可得，則當(dāng)時(shí)，因，則，使，即時(shí)，曲線有對(duì)稱軸；當(dāng)時(shí)，，令，則時(shí)，因，則，使，即時(shí)，曲線有對(duì)稱中心；綜上，當(dāng)，，時(shí)，曲線要么是軸對(duì)稱圖形要么是中心對(duì)稱圖形，故B正確；C選項(xiàng)，此時(shí).則，.若曲線是中心對(duì)稱圖形，則為常數(shù)，即為常數(shù).則，則當(dāng)時(shí)，因，則，使，即當(dāng)，，時(shí)，曲線是中心對(duì)稱圖形，故C正確；D選項(xiàng)，此時(shí)則.若曲線是軸對(duì)稱圖形，則，使或，與題設(shè)矛盾，故當(dāng)，時(shí)，曲線不可能是軸對(duì)稱圖形，故D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分．13.在銳角三角形中角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，記，若，則___.〖答案〗4〖解析〗因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，?所以.故〖答案〗為：414.對(duì)于項(xiàng)數(shù)為10的數(shù)列，若滿足（其中為正整數(shù)，），且，設(shè)，則的最大值為__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以或，設(shè)，則數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的差最大為，要保證，則數(shù)列的項(xiàng)有增有減，假如中有個(gè)，增量最大為，則有項(xiàng)是減少的，則必有，所以，則或，取，取最大值，按最大連續(xù)增量計(jì)算，有，即中有最大值為，所以的最大值為.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若，都為偶函數(shù)，則______．〖答案〗520〖解析〗因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，即，則，即，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且；又為偶函數(shù)，則，則，即，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，又將代入得，則；令，由可得，則；同理可得，則；因?yàn)椋?，所以，則；，由此可得組成了以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故，故〖答案〗為：52016.已知等邊的邊長(zhǎng)為2，將其繞著邊旋轉(zhuǎn)角度，使點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到位置.記四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑依次為，當(dāng)四面體的表面積最大時(shí)，__________；__________.〖答案〗①②〖解析〗易得的面積為定值，又因?yàn)?，顯然當(dāng)時(shí)，面積最大，即四面體的表面積最大，此時(shí)；當(dāng)四面體的表面積最大時(shí)，易知四面體的表面積最大值為，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，易知，所以，即為四面體的外接球球心，四面體的外接球半徑，因?yàn)?，且，所以，即，因?yàn)?，平面，，所以平面，四面體的體積為，又因?yàn)?，所以，解得，所?故〖答案〗為：；四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為和，且對(duì)任意，恒成立.（1）若，，求；（2）若對(duì)任意，都有及恒成立，求正整數(shù)的最小值.解：（1）由題設(shè)，且，而，顯然也滿足上式，故，由，又，所以是首項(xiàng)、公差均為2的等差數(shù)列.綜上，.（2）由，，則，所以，而，故，即是公比為3的等比數(shù)列.所以，則，，而，所以，所以對(duì)都成立，所以，故，則正整數(shù)的最小值為3.18.在銳角△中，角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若，求△內(nèi)切圓半徑的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，故?）由正弦定理：故因?yàn)樵阡J角△中，所以，得，所以．19.為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來自3個(gè)不同校區(qū)，三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.（1）比賽結(jié)束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？（2）第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn).解：（1）根據(jù)題意，比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是；（2）由題可知，，令，得，當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.所以的最大值點(diǎn).20.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒有寬為一條棱．芻甍是茅草屋頂．”現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，四邊形ABCD為正方形，四邊形ABFE，CDEF為兩個(gè)全等的等腰梯形，，，，．（1）當(dāng)點(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn)時(shí)，求證：直線平面EFN；（2）當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)（包含端點(diǎn)），求平面BFN和平面ADE的夾角的余弦值的取值范圍．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn)，且，所以，因?yàn)椋宜倪呅蜛BCD為正方形，故，所以，而平面，故平面；（2）設(shè)正方形ABCD的中心為O，分別取的中點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)H為線段AD的中點(diǎn)，由（1）知四點(diǎn)共面，且平面，連接平面，故，又平面，故平面平面，且平面平面，由題意可知四邊形為等腰梯形，故,平面，故平面，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋瑒t，又，故，設(shè)到底面的距離為h，四邊形ABFE，CDEF為兩個(gè)全等的等腰梯形，且，故，又，故，則，，，設(shè)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，故，令，則，令，則，令，則在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即平面BFN和平面ADE的夾角的余弦值得取值范圍為.21.已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).（1）證明：在區(qū)間上存在唯一極大值點(diǎn)；（2）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解：（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，，所以，，令，，則，當(dāng)時(shí)，，所以，即在上單調(diào)遞減，又，，，則存在，使得，即存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以為的唯一極大值點(diǎn)，故在區(qū)間上存在唯一極大值點(diǎn)；（2）由（1）知，，，①當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以存在，使得，所以當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，所以當(dāng)時(shí)，有唯一的零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以存在，使得；③當(dāng)時(shí)，，所以，則在沒有零點(diǎn)；綜上所述，有且僅有2個(gè)零點(diǎn).22.已知橢圓：的離心率為，其左、右焦點(diǎn)為、，過作不與軸重合的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)線段的垂直平分線交軸