2025屆山東青島平度第三中學高一下數學期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2025屆山東青島平度第三中學高一下數學期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，，，則的最小值為（）A． B． C．7 D．92．若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．3．在正方體中，異面直線與所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．已知是等差數列，，其前10項和，則其公差A． B． C． D．5．甲箱子里裝有個白球和個紅球，乙箱子里裝有個白球和個紅球．從這兩個箱子里分別摸出一個球，設摸出的白球的個數為，摸出的紅球的個數為，則（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且6．已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，將終邊按逆時針方向旋轉后，終邊經過點，則（）A． B． C． D．7．將函數的圖象上各點沿軸向右平移個單位長度，所得函數圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．8．等差數列滿足，則其前10項之和為（）A．－9 B．－15 C．15 D．9．已知各項為正數的等比數列中，，，則公比q＝A．4 B．3 C．2 D．10．在中，，且，若，則（）A．2 B．1 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，若，則實數_______.12．如圖，已知，，任意點關于點的對稱點為，點關于點的對稱點為，則向量_______（用，表示向量）13．在中，角,,所對的邊分別為，，，若的面積為，且,,成等差數列，則最小值為______．14．某產品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，若生產中出現乙級品的概率為0.04，出現丙級品的概率為0.01，則對成品抽查一件抽得正品的概率為________.15．中，，則A的取值范圍為______．16．方程的解為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上一點的坐標是.（1）求；（2）求；18．已知點，，動點滿足，記M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過坐標原點O的直線l交C于P、Q兩點，點P在第一象限，軸，垂足為H．連結QH并延長交C于點R．（i）設O到直線QH的距離為d．求d的取值范圍;（ii）求面積的最大值及此時直線l的方程．19．如圖，在四棱錐P‐ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．求證：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．20．在邊長為2的菱形中，，為的中點.（1）用和表示；（2）求的值.21．已知方程有兩個實根,記,求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據條件可知，，，從而得出，這樣便可得出的最小值．【詳解】；，且，；；，當且僅當時等號成立；；的最小值為．故選：．【點睛】考查基本不等式在求最值中的應用，注意應用基本不等式所滿足的條件及等號成立的條件．2、D【解析】

將本題轉化為直線與半圓的交點問題，數形結合，求出的取值范圍【詳解】將曲線的方程化簡為即表示以為圓心，以2為半徑的一個半圓，如圖所示：由圓心到直線的距離等于半徑2，可得：解得或結合圖象可得故選D【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，考查了轉化能力，在解題時運用點到直線的距離公式來計算，數形結合求出結果，本題屬于中檔題3、C【解析】

首先由可得是異面直線和所成角，再由為正三角形即可求解.【詳解】連接．因為為正方體，所以，則是異面直線和所成角．又,可得為等邊三角形，則，所以異面直線與所成角為，故選：C【點睛】本題考查異面直線所成的角，利用平行構造三角形或平行四邊形是關鍵，考查了空間想象能力和推理能力，屬于中檔題.4、D【解析】，解得，則，故選D．5、D【解析】可取，；，，，，，故選D.6、B【解析】

先建立角和旋轉之后得所到的角之間的聯系，再根據誘導公式和二倍角公式進行計算可得．【詳解】設旋轉之后的角為，由題得，，，又因為，所以得，故選B．【點睛】本題考查任意角的三角函數和三角函數的性質，是基礎題．7、A【解析】

先求得圖象變換后的解析式，再根據正弦函數對稱中心，求出正確選項.【詳解】向右平移的單位長度，得到，由解得，當時，對稱中心為，故選A.【點睛】本小題主要考查三角函數圖象變換，考查三角函數對稱中心的求法，屬于基礎題.8、D【解析】由已知(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，從而a1＋a10＝±3.所以S10＝×10＝±15.故選D.9、C【解析】

由，利用等比數列的性質，結合各項為正數求出，從而可得結果.【詳解】，，，，故選C.【點睛】本題主要考查等比數列的性質，以及等比數列基本量運算，意在考查靈活運用所學知識解決問題的能力，屬于簡單題.10、A【解析】

取的中點，連接，根據，即可得解.【詳解】取的中點，連接，在中，，且，所以，.故選：A【點睛】此題考查求向量的數量積，涉及平面向量的線性運算，根據數量積的幾何意義求解，可以簡化計算.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用平面向量垂直的數量積關系可得，再利用數量積的坐標運算可得：，解方程即可.【詳解】因為，所以，整理得：，解得：【點睛】本題主要考查了平面向量垂直的坐標關系及方程思想，屬于基礎題．12、【解析】

先求得，然后根據中位線的性質，求得.【詳解】依題意，由于分別是線段的中點，故.【點睛】本小題主要考查平面向量減法運算，考查三角形中位線，屬于基礎題.13、4【解析】

先根據,,成等差數列得到，再根據余弦定理得到滿足的等式關系，而由面積可得，利用基本不等式可求的最小值.【詳解】因為,,成等差數列，，故.由余弦定理可得.由基本不等式可以得到，當且僅當時等號成立.因為，所以，所以即，當且僅當時等號成立.故填4.【點睛】三角形中與邊有關的最值問題，可根據題設條件找到各邊的等式關系或角的等量關系，再根據邊的關系式的結構特征選用合適的基本不等式求最值，也可以利用正弦定理把與邊有關的目標代數式轉化為與角有關的三角函數式后再求其最值.14、0.95【解析】

根據抽查一件產品是甲級品、乙級品、丙級品是互為互斥事件，且三個事件對立，再根據抽得正品即為抽得甲級品的概率求解.【詳解】記事件A={甲級品}，B={乙級品}，C={丙級品}因為事件A，B，C互為互斥事件，且三個事件對立，所以抽得正品即為抽得甲級品的概率為故答案為：0.95【點睛】本題主要考查了互斥事件和對立事件概率的求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.15、【解析】

由正弦定理將sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC變?yōu)?，然后用余弦定理推論可求，進而根據余弦函數的圖像性質可求得角A的取值范圍．【詳解】因為sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，所以，即．所以，因為，所以．【點睛】在三角形中，已知邊和角或邊、角關系，求角或邊時，注意正弦、余弦定理的運用．條件只有角的正弦時，可用正弦定理的推論，將角化為邊．16、或【解析】

由指數函數的性質得，由此能求出結果．【詳解】方程，，或，解得或．故答案為或．【點睛】本題考查指數方程的解的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意指數函數的性質的合理運用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】

（1）求得點到原點的距離，根據三角函數的定義求值；（2）同（1）可求出，然后用誘導公式化簡，再代入值計算．【詳解】（1）（2），為第四象限，【點睛】本題考查三角函數的定義，考查誘導公式，屬于基礎題．18、(1)；(2)（i）（ii）面積最大值為，直線的方程為.【解析】

（1）根據題意列出方程求解即可（2）聯立直線與圓的方程，得出P、Q、H三點坐標，表示出QH直線方程，采用點到直線距離公式求解；利用圓的幾何關系，表示出三角形的底和高，再結合函數最值問題進行求解【詳解】（1）由及兩點距離公式，有，化簡整理得，．所以曲線C的方程為；（2）（i）設直線l的方程為；將直線l的方程與圓C的方程聯立，消去y，得（，解得因此，，，所以直線QH的方程為．到直線QH的距離，當時．，所以，（ii）過O作于D，則D為QR中點，且由（i）知，，，又由，故的面積，由，有，所以，當且僅當時，等號成立，且此時由（i）有，即.綜上，的面積最大值為的面積最大值為，且當面積最大時直線的方程為.【點睛】直線與圓的綜合類題型常采用點到直線距離公式、圓內構造的直角三角形，將代數問題與幾何問題進行有效結合，可大大降低解題難度.19、（1）詳證見解析；（2）詳證見解析.【解析】

（1）可通過連接交于，通過中位線證明和平行得證平面．（2）可通過正方形得證，通過平面得證，然后通過線面垂直得證面面垂直．【詳解】（1）證明：連交于O,因為四邊形是正方形,所以,連，則是三角形的中位線,,平面，平面所以平面.（2）因為平面,所以,因為是正方形，所以,所以平面,所以平面平面.【點睛】證明線面平行可通過線線平行得證，證明面面垂直可