安徽省示范中學培優(yōu)聯(lián)盟2025屆高一數(shù)學第二學期期末質量檢測試題含解析

安徽省示范中學培優(yōu)聯(lián)盟2025屆高一數(shù)學第二學期期末質量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，且，，則（）A． B． C． D．2．已知向量，且，則().A． B．C． D．3．直線與、為端點的線段有公共點，則k的取值范圍是（）A． B．C． D．4．計算:A． B． C． D．5．已知三棱柱的底面為直角三角形，側棱長為2，體積為1，若此三棱柱的頂點均在同一球面上，則該球半徑的最小值為（）A．1 B．2 C． D．6．在正方體中，、分別是棱和的中點，為上底面的中心，則直線與所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．已知直線與直線平行，則實數(shù)m的值為（）A．3 B．1 C．-3或1 D．-1或38．甲、乙兩名選手參加歌手大賽時，5名評委打的分數(shù)用如圖所示的莖葉圖表示，s1，s2分別表示甲、乙選手分數(shù)的標準差，則s1與s2的關系是()．A．s1＞s2 B．s1＝s2 C．s1＜s2 D．不確定9．化簡結果為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的圖象過點，且在上單調，同時的圖象向左平移個單位之后與原來的圖象重合，當，且時，，則A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓錐的高為，體積為，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺體積是，則該圓臺的高為_______.12．已知x、y、z∈R,且，則的最小值為.13．已知數(shù)列的前n項和，則________.14．已知函數(shù)fx=cosx+2cosx，15．已知直線：與直線：平行，則______.16．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，數(shù)列中，若，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設數(shù)列的前項和為，求證：.18．為了了解高一學生的體能狀況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小長方形的面積之比為2：4：17：15：9：3,第二小組頻數(shù)為12.（1）求第二小組的頻率；（2）求樣本容量；（3）若次數(shù)在110以上為達標，試估計全體高一學生的達標率為多少？19．如圖，在四棱錐P～ABCD中，底面ABCD為矩形，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點，PE⊥平面ABCD，AP⊥DP，AP＝DP．（1）求證：EF∥平面PCD；（2）設G為AB中點，求證：平面EFG⊥平面PCD．20．某校為了了解學生每天平均課外閱讀的時間（單位：分鐘)，從本校隨機抽取了100名學生進行調查，根據收集的數(shù)據，得到學生每天課外閱讀時間的頻率分布直方圖，如圖所示，若每天課外閱讀時間不超過30分鐘的有45人.（Ⅰ)求，的值；（Ⅱ)根據頻率分布直方圖，估計該校學生每天課外閱讀時間的中位數(shù)及平均值（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值代表).21．某質檢機構檢測某產品的質量是否合格，在甲、乙兩廠勻速運行的自動包裝傳送帶上每隔10分鐘抽一包產品，稱其質量（單位：克），分別記錄抽查數(shù)據，獲得質量數(shù)據莖葉圖（如圖）.（1）該質檢機構采用了哪種抽樣方法抽取的產品？根據樣本數(shù)據，求甲、乙兩廠產品質量的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）若從甲廠6件樣品中隨機抽取兩件.①列舉出所有可能的抽取結果；②記它們的質量分別是克，克，求的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據同角三角函數(shù)的基本關系及兩角和差的正弦公式計算可得.【詳解】解：因為，．因為，所以．因為，，所以．所以．故選：【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角和差的正弦公式，屬于中檔題.2、D【解析】

運用平面向量的加法的幾何意義，結合等式，把其中的向量都轉化為以為起點的向量的形式，即可求出的表示.【詳解】,,故本題選D.【點睛】本題考查了平面向量加法的幾何意義，屬于基礎題.3、D【解析】

由直線方程可得直線恒過點，利用兩點連線斜率公式可求得臨界值和，從而求得結果.【詳解】直線恒過點則，本題正確選項：【點睛】本題考查利用直線與線段有交點確定直線斜率取值范圍的問題，關鍵是能夠確定直線恒過的定點，從而找到直線與線段有交點的臨界狀態(tài).4、A【解析】

根據正弦余弦的二倍角公式化簡求解.【詳解】，故選A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變化，關鍵在于尋找題目與公式的聯(lián)系.5、D【解析】

先證明棱柱為直棱柱，再求出棱柱外接球的半徑，利用基本不等式求出其最小值.【詳解】∵三棱柱內接于球，∴棱柱各側面均為平行四邊形且內接于圓，所以棱柱的側棱都垂直底面，所以該三棱柱為直三棱柱.設底面三角形的兩條直角邊長為，，∵三棱柱的高為2，體積是1，∴，即，將直三棱柱補成一個長方體，則直三棱柱與長方體有同一個外接球，所以球的半徑為.故選D【點睛】本題主要考查幾何體外接球的半徑的計算和基本不等式求最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.6、A【解析】

先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【詳解】解：先畫出圖形，將平移到，為直線與所成的角，設正方體的邊長為，，，，，，故選：．【點睛】本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及余弦定理的應用，屬于基礎題．7、B【解析】

兩直線平行應該滿足，利用系數(shù)關系及可解得m.【詳解】兩直線平行，可得（舍去）.選B.【點睛】兩直線平行的一般式對應關系為：，若是已知斜率，則有，截距不相等.8、C【解析】

先求均值，再根據標準差公式求標準差，最后比較大小.【詳解】乙選手分數(shù)的平均數(shù)分別為所以標準差分別為因此s1＜s2，選C.【點睛】本題考查標準差，考查基本求解能力.9、A【解析】

根據指數(shù)冪運算法則進行化簡即可.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查指數(shù)冪的運算，屬于基礎題.10、A【解析】由題設可知該函數(shù)的周期是，則過點且可得，故，由可得，所以由可得，注意到，故，所以，應選答案A點睛：已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】設該圓臺的高為，由題意，得用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的小圓錐體積是，則，解得，即該圓臺的高為3.點睛：本題考查圓錐的結構特征；在處理圓錐的結構特征時可記住常見結論，如本題中用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面的面積之比是兩個圓錐高的比值的平方，所得兩個圓錐的體積之比是兩個圓錐高的比值的立方．12、【解析】試題分析：由柯西不等式，，因為.所以，當且僅當，即時取等號.所以的最小值為.考點：柯西不等式13、【解析】

先利用求出，在利用裂項求和即可.【詳解】解：當時，，當時，，綜上，，，，故答案為：.【點睛】本題考查和的關系求通項公式，以及裂項求和，是基礎題.14、(0,1)【解析】

畫出函數(shù)f(x)在x∈0,2【詳解】解:畫出函數(shù)y=cosx+2|cosx|=3cos以及直線y=k的圖象,如圖所示;由f(x)的圖象與直線y=k有且僅有四個不同的交點,可得0<k<1.故答案為:(0,1).【點睛】本題主要考查利用分段函數(shù)及三角函數(shù)的性質求參數(shù)，數(shù)形結合是解題的關鍵.15、4【解析】

利用直線平行公式得到答案.【詳解】直線：與直線：平行故答案為4【點睛】本題考查了直線平行的性質，屬于基礎題型.16、【解析】

由圖可得，即可求得：，再由圖可得：當時，取得最大值，即可列方程，整理得：，解得：（），結合即可得解.【詳解】由圖可得：，所以，解得：由圖可得：當時，取得最大值，即：整理得：，所以（）又，所以【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的性質及觀察能力，還考查了轉化思想及計算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）將代入到函數(shù)表達式中，得，兩邊都倒過來，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）得出an的通項公式，然后根據不等式＜在求和時進行放縮法的應用，再根據等比數(shù)列求和公式進行計算，即可證出．【詳解】（1）由函數(shù)，在數(shù)列中，若，得：，上式兩邊都倒過來，可得：＝＝﹣2，∴﹣1＝﹣2﹣1＝﹣1＝1（﹣1）．∵﹣1＝1．∴數(shù)列是以1為首項，1為公比的等比數(shù)列．（2）由（1），可知：＝1n，∴an＝，n∈N*．∵當n∈N*時，不等式＜成立．∴Sn＝a1+a2+…+an＝＝＝﹣?＜．∴．【點睛】本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應用，根據條件推出數(shù)列的遞推公式，由遞推公式推出通項公式與放縮法的應用是解決本題的兩個關鍵點，屬于中檔題．18、（1）;（2）；（3）%【解析】

(1)由于每個長方形的面積即為本組的頻率,設第二小組的頻率為4,則解得第二小組的頻率為(2)設樣本容量為,則(3)由(1)和直方圖可知,次數(shù)在110以上的頻率為由此估計全體高一學生的達標率為%19、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】

（1）取的中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得平面.（2）通過證明，證得平面，由此證得平面，從而證得平面平面.【詳解】（1）證明：取PC的中點H，連接FH則FH∥BC，F(xiàn)H，又ED∥BC，ED，∴ED∥FH，ED＝FH，∴四邊形EFHD為平行四邊形，∴EF∥DH，又DH?平面PCD，EF?平面PCD，∴EF∥平面PCD；（2）證明：∵PE⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥AP（三垂線定理），又AP⊥PD，∴AP⊥平面PCD，又∵GF∥AP，∴GF⊥平面PCD，∴平面EFG⊥平面PCD．【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（Ⅰ)；（Ⅱ)中位數(shù)估計值為32，平均數(shù)估計值為32.5.【解析】

（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質列出方程組，能求出，；（Ⅱ）由頻率分布直方圖，能估計該校學生每天課外閱讀時間的中位數(shù)及平均值．【詳解】（Ⅰ)由題意得，解得（Ⅱ)設該校學生每天課外閱讀時間的中位數(shù)估計值為，則解得：.該校學生每天課外閱讀時間的平均數(shù)估計值為：.答：該校學生每天課外閱讀時間的中位數(shù)估計值為32，平均數(shù)估計值為32.5.【點睛】本題考查頻率、中位數(shù)、平均數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．21、（1）系統(tǒng)抽樣；乙廠產品質量的平均數(shù)，乙廠質量的中位數(shù)是113；甲廠質量的平均數(shù)，甲廠質量的中位數(shù)是113（2）①詳見解析②【解析】

（1）根據抽樣方式即可確定抽樣方法；根據莖葉圖中的數(shù)據，即可分別求得兩組的