人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《圓、扇形、弓形的面積》導(dǎo)學(xué)案

圓、扇形、弓形的面積

素質(zhì)敖有目標(biāo)

1.復(fù)習(xí)圓面積公式，并在它的基礎(chǔ)上推導(dǎo)扇形面積公式.應(yīng)用圓面積公式和扇形面積公式

進(jìn)行一些有關(guān)計算.

2.通過扇形面積公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生抽象、理解、概括、歸納能力；通過一些有關(guān)圓面

積和扇形面積的計算培養(yǎng)學(xué)生正確、迅速的運算能力.通過扇形面積公式的靈活運用，培養(yǎng)

學(xué)生發(fā)散思維能力.通過例題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、抽象、概括、遷移能力.

3.在扇形面積公式的推導(dǎo)和例題教學(xué)過程中，滲透“從特殊到一般，再由一般到特殊”的

辯證思想；在學(xué)生進(jìn)行鞏固練習(xí)的過程中向?qū)W生滲透“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”抓主要矛盾的思想;

滲透相互依存、聯(lián)系和互相轉(zhuǎn)化的觀點.

敖當(dāng)堂直、難直、疑直及解決方法

1.重點：扇形面積公式的導(dǎo)出及應(yīng)用.

2.難點：對有關(guān)練習(xí)題的分析.

3.疑點及解決方法：與弧長公式類似，學(xué)生對公式中“n”的正確理解是疑點，解決方法是

與弧長公式中的“n”相類比.

教法學(xué)法和敖其

1,教法：引導(dǎo)學(xué)生探索研究發(fā)現(xiàn)法。

2,學(xué)法：學(xué)生主動探索研究發(fā)現(xiàn)法。

3,教具：三角尺、圓規(guī)、投影儀（或小黑板

敖學(xué)步驟

談話引入：前面我們在推導(dǎo)弧長公式時是將360。的圓心角分成360等份，這些角的邊將圓

周分成360等分，每一等份，我們稱其為1°的弧.在此基礎(chǔ)上，我們推導(dǎo)了弧長公式.大

家想想看，將360。的圓心角分成360等份后，這些角的邊不僅將周長分成360等份，面積

不也同時分成360等份了嗎？圓被這些角的邊分割后所成的圖形就是我們今天所要學(xué)習(xí)的

扇形.

課堂探練

引導(dǎo)學(xué)生分析：如圖，圓心角的兩邊將圓分割成兩部份，分割后所成的圖形，我們稱之

為扇形.

圖7-161

1、哪位同學(xué)能給扇形下一個定義？（安排上等生回答：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半

徑組成的圖形叫做扇形.）

2、將360°的圓心角分成360等份，這360條半徑將圓分割成360個

扇形，每個扇形的圓心角1。，而它的面積應(yīng)是圓面積的上.

360

哪位同學(xué)記得圓的面積公式？（安排中下生回答：S=nR2）

3、哪位同學(xué)知道，圓心角1°的扇形其面積應(yīng)等于什么？（安排中下

生回答：S；扇形=與）.

4、如果一個扇形的圓心角為n。，則它的面積又應(yīng)該是多少？（安排

中等生回答，S忘=白兀R2）

5、公式中的“n”與弧長公式中的“n”意義完全相同，它表示1。的倍數(shù)，n的值與n。的

值相同.

6、哪位同學(xué)回答弧長公式？（安排中下生回答）

7、現(xiàn)在我們把扇形面積公式邊形如下：s?誣-R哪位同學(xué)發(fā)現(xiàn)扇形面積公式還

'扇彤2180

可以怎樣表示？（安排中下生回答S扇形」LR

課堂練習(xí)題一：（引導(dǎo)學(xué)生分析完成）

1.已知扇形的圓心角為120°,半徑為2cni,則這個扇形的面積，S扇=.

2.已知扇形的面積為g冗，圓心角為120。，則這個扇形的半徑

R=.

3.已知一半徑為2cm的扇形，其面積為^冗，則它的圓心角度數(shù)

4.已知一扇形的半徑為2cm,其弧長g兀cm,則這個扇形的面積

S扇二.

5.已知一扇形的半徑為2cm,其面積々冗cm?,則這個扇形的弧

長二.

6.一個弧長與面積都是g冗的扇形，它的半徑區(qū)=.

安排學(xué)生在練習(xí)本上完成上述各題，然后一起對答案：Q.g冗

44

cm2；2.2；3.120。；4.—cm2；5.—cm；6.2）.

完成上面6題之后，哪位同學(xué)能告訴我，在什么情況下使用S扇=

嚶，在什么情況下使用S扇=J1R?（安排中等學(xué)生回答，題目與圓心

360屈2

角有關(guān)則使用S扇=嚼：題目與扇形的弧長有關(guān)則使用S扇=；1R）.

，麗360屆2

課堂練習(xí)題二：）

已知扇形的圓心角為150°,弧長為20兀cm,則S扇二.

（引導(dǎo)學(xué)生分析完成）

這道題扇形的圓心角，弧長都給了，所以既可用s扁=嚶也

屬360

可用5扇=;以，但無論用哪個公式必須得知道扇形的半徑，怎樣求

nTTP2

扇形的半徑？（安排中等生回答：利用弧長公式1=7落）

loU

請大家完成這題.（安排兩名學(xué)生上黑板，一人利用$=嚅

360

求S忌，另一人用S=21R。求答案：=24071cm2）

課堂練習(xí)題三己知一扇形的面積240mcm2,它的圓心角度數(shù)是150°,則這扇形的弧

長是—；

哪位同學(xué)分析一下這題的解題思路？（安排中上生回答：通過公式

=嚼求R,再通過公式1=噤求弧長）請同學(xué)們完成此題，（答

園360180

案：20兀cm）

課堂練習(xí)題四：已知一扇形的面積240兀cm2,它的弧長是20兀cm,則這扇形的圓心角

哪位同學(xué)分析一下這題的解題思路：（安排中下生回答：通過公式

S扁=3R求R,再通過公式1=瞟求n,或通過公式S扃=/求n）

屆2180屆360

課堂練習(xí)題五：一個扇形的半徑等于一個圓的半徑的2倍，且面積相等，求這個扇形的

圓心角.

哪位同學(xué)分析一下這題的解題思路？（安排中上生回答：設(shè)扇形半

fR=2r

徑為R,圓的半徑為r根據(jù)題意有仁忌？,解此方程組即可）

----=JTr2

、360

請同學(xué)們完成此題.（答案：n°=90。）

例1如圖，已知正三角形的邊長為a,求它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積.

（引導(dǎo)學(xué)生分析完成）

1、哪位同學(xué)知道圓環(huán)的面積怎么求？（安排中下生回答：外接圓的面積一內(nèi)切圓的面積）,

2、如果設(shè)外接圓的半徑為R,內(nèi)切圓的半徑為r3,

圓環(huán)的面積等于什么？（安排中下生回答：5環(huán)=兀（R2.@）

3、哪位同學(xué)發(fā)現(xiàn)R、r3與已知邊長a有什么聯(lián)系？

（安排中下生回答：R2-r；=（y）

請同學(xué)們求出圓環(huán)的面積.（答案：S環(huán)=^a2）

課堂練習(xí)題大：

圖7-162

1.己知正方形的邊長為a,求它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積;

2.已知正五邊形的邊長為a,求它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積.

（安排學(xué)生在練習(xí)本上完成）

通過前面3題的練習(xí)，你有什么發(fā)現(xiàn)？（安排中上學(xué)生回答：如果正

n邊形的邊長為a,則它的內(nèi)切圓與夕根圓組成的圓環(huán)的面積=^a2

總結(jié)、擴展（引導(dǎo)學(xué)生反思學(xué)習(xí)）

復(fù)習(xí)了圓面積公式，推導(dǎo)了扇形的兩個面積公式，$扇=嚶，

麗360

布置作業(yè)教材P.173.練習(xí)1、2、3、4；P.180中10.11

極左假就

教后札記：學(xué)生對圓和扇形及弓形的有關(guān)概念和計算方法和公式能夠理解，但是，在應(yīng)用

題方面有難度，解題不周密，要指導(dǎo)學(xué)生對公式的應(yīng)用和計算方法的反思學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的

耐心、意志、正確的學(xué)習(xí)態(tài)度。

新沂市第十中學(xué)數(shù)學(xué)教案一一幾何No：第11課時2005年3月3日星期四

圓、扇形、弓形的面積（二）

素質(zhì)教育目標(biāo)

1.使學(xué)生在復(fù)習(xí)鞏固圓面積、扇形面積的計算的基礎(chǔ)上，會計算弓形面積；會計算一些簡

單的組合圖形的面積.

2.通過弓形面積的計算培養(yǎng)學(xué)生觀察、理解能力，綜合運用知識分析問題和解決問題的能

力；通過運用弓形面積的計算解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的能力；

通過學(xué)生對弓形及簡單組合圖形面積的計算，培養(yǎng)學(xué)生正確迅速的運算能力.

3.通過弓形面積及簡單組合圖形面積的計算，向?qū)W生滲透事物間相互依存、相互轉(zhuǎn)化的觀

點；通過面積問題實際應(yīng)用題的解決，向?qū)W生滲透理論聯(lián)系實際的觀點.

教學(xué)重點、難點、疑點及解決方法

1.重點：弓形面積的計算.

2.難點：簡單組合圖形的分解.從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型.

3.疑點：學(xué)生對如何分解簡單的組合圖形有疑慮。解決方法：教師需多引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形,

歸納出將不規(guī)則圖形看成某些規(guī)則圖形的和與差來解決的方法.

教法學(xué)法和教具

1,教法：引導(dǎo)學(xué)生探索研究發(fā)現(xiàn)法。

2,學(xué)法：學(xué)生主動探索研究發(fā)現(xiàn)法。

3,教具：三角尺、圓規(guī)、投影儀（或小黑板）

教學(xué)步驟

集話引入：上一節(jié)我們復(fù)習(xí)了圓的面積，在它的基礎(chǔ)上我們學(xué)習(xí)了扇形的面積，本節(jié)課就要

在前一課的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)弓形面積的計算.

復(fù)習(xí)提問：1.請回答圓的面積公式.2.請回答扇形的面積公

式.3.在什么情況下選擇$扇=嚼，在什么條件下選擇S扇=:1R?

屬360廂2

（以上三問應(yīng)安排中下生回答）4.請同學(xué)看圖，弦AB把圓分成兩部分，這兩部分都是弓形，

哪位同學(xué)記得弓形的定義？（安排中下生回答：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.）

硬堂探煉,

我們今天要研究弓形面積如何計算，大家先觀察劣弧息與弦AB

所組的弓形.它的面積能不能跟扇形面積聯(lián)系上呢？（安排中上生回答：能，連結(jié)OA、OB）.大

家再觀察圖形，這個弓形的面積如何通過扇形

的面積計算出來呢？（安排中等生回答6弓形^3=$扇形4&$八人（^?）

也就是說組成弓形的弧如果是劣弧，那么它的面積應(yīng)該等于以此劣弧與半徑組成的扇形面積

減去這兩半徑與弦組成的三角形的面積.

以優(yōu)邨通與弦AB組成的圖形不也是弓形嗎，哪位同學(xué)知道它

的面積又該怎么求？（安排中上生回答：它的面積等于以優(yōu)弧樂總和

半徑組成的扇形面積加上這兩半徑與弦組成的三角形的面積），以瓜總

和半徑OA、0B組成的圖形是扇形嗎？為什么？（安排中上生回答：是，因為它符合扇形的定

義.）

如果弦AB是。。的直徑，那么以AB為弦，半圓為弧的弓形的面積又是多少？（安排中下生

回答：圓面積的一半.）

于是我們得出結(jié)論：如果組成弓形的弧是半圓，則此弓形面積是圓面積的一半；如果組成弓

形的弧是劣弧則它的面積等于以此劣弧為弧的扇形面積減去三角形的面積；如果組成弓形的

弧是優(yōu)弧，則它的面積等于以此優(yōu)弧為弧的扇形面積加上三角形的面積.也就是說：要計算

弓形的面積，首先觀察它的弧屬于半圓？劣弧？優(yōu)弧？只有對它分解正確才能保證計算結(jié)果

的正確.

幻燈提供練習(xí)題：1.已知樂總的度數(shù)=240°,它的半徑R=4cm,

則5弓影-----

2.已知@的度數(shù)=120°,它的半徑R=4cm則S弓彩杳___.

哪位同學(xué)知道要對這種題進(jìn)行計算，首先要作什么工作？（安排中下

生回答：先畫草圖.）大家觀察弓形樂而，宜的面積應(yīng)該分解為哪兩

個圖形的面積來計算？（安排中下生回答：sq彩海=s南膨福+SAAOB）

看已知條件，哪個圖形的面積好求？（安排中下生回答：S弗膨福.）

三角形AOB的面積怎么求？（安排中上生回答：過。作OD_LAB,垂

根據(jù)垂徑定理可知NAOD=60°,AD=1AB.由于半徑等于4cm,所

以只要解此AAOD即可求出OD、AD的長，則SAAOB可求.）

請同學(xué)們把這題計算出來.（安排一學(xué)生上黑板做，其余在練習(xí)本上

做.答案：S弓形麻瀉冗+4"（cm?）

請同學(xué)們討論研究第2題，并計算出它的結(jié)果.（安排中上生上黑板

32

作，答案；S馥=虧打4鳳而2）

（幻燈提供例題：）水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m,其中水面高是0.3m.求截

面上有水的弓形的面積.（精確到0.01m2）

圖7-165

“水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m”為你提供了什么數(shù)學(xué)信息？（安排中上生回

答：。。的半徑是0.6m.）“其中水面高是0.3m”.又為你提供了什么信息？（安排中上生回

答：弓形高CD是0.3ni.）“求截面上有水的弓形的面積為你提供什么信息？（安排中等生回

觀察圖7-165,你打算怎樣求Sq膨金？（安排中下生回答：S弗彩能

6AAOB-）要求S扇形AB?題目中只給了半徑，既缺少圓心角又缺少碇

長，看看已知條件，你打算怎么辦？（安排中上學(xué)生回答：因弓形高CD已知，半徑已知，所

以弦心距0D可求，根據(jù)垂徑定理，Rt^AOD可解，即/AOD的度數(shù)可求，所以/AOB的度數(shù)

可求.n既然可求當(dāng)然

選用公式S點=嚼，扇形面積可求.

麗360

請問AAOB的面積又該如何求？（安排中等學(xué)生回答：通過解此AAOD可求出AD的長，再據(jù)

垂徑定理可求AB的長，0D已求，所以SZ\AOB可求.）

請同學(xué)們完成這道應(yīng)用題.（安排一位中上學(xué)生到黑板做，其余學(xué)生在練習(xí)本上完成）.

弓形面積雖然沒有計算公式，但可以選用圖形分解法，將它轉(zhuǎn)化為扇形與三角形的和或差來

解決，那么其它一些組合圖形，不也可以用圖形分解法來求其面積嗎？

幻燈布題：如圖7T66,已知正AABC的邊長為a,分別以A、B、

C為圓心，以方為半徑的圓相切于點D、E、F.求6kEF,品圍成的

圖形面積S.

顯然圖形中陰影部分的面積無計算公式，因此必須將它轉(zhuǎn)化為有公式圖形的和或差來解

決.想想看，你打算如何求S陰？（安排中等生回答：S陰=SF^ABC-3s扇）

正三角形的邊長為a,顯然S正AABC可求.由于正AABC,所以/

60°,又AD=）顯然S扁命可求，當(dāng)然S陽可求.

請同學(xué)們完成此題.（安排一中上學(xué)生上黑板，其余在練習(xí)本上完成）.

幻燈示題：已知：。。的半徑為R,直徑ABLCD,以B為圓心，

以BC為半徑作面）.求：點）與&）圍成的新月形ACED的面積S.

B

圖7-167

大家觀察，圖（7T67）中的陰影部分面積應(yīng)當(dāng)如何求？（安排中下生回

答，假如學(xué)生答對,陰影部分面積=S半?-S弓形a=S半?-（S扇形a'SACBD^

教師也應(yīng)將錯誤的思路公布，讓學(xué)生們引以為戒.）我看S陰=$扇形介-S扇&，

我的看法對還是不對？為什么？（安排舉手的學(xué)生回答：圖形BCAD不是扇形，因為扇形的定

義是在同一個圓中，一條弧和過弧端點的兩條半徑

組成的圖形，而此題圖形BCAD的是。O中的弧，BC,BD是。B

的半徑.因此將陰影面積看成兩扇形的差是錯誤的.）

請同學(xué)們按照正確思路完成此題.（安排一中等學(xué)生上黑板，其余學(xué)生在練習(xí)本上做）

總將鳥步屐（引導(dǎo)老2女恩）哪位同學(xué)能為本節(jié)課作總結(jié)？

（安排中上學(xué)生回答：1.弓形面積的計算：首先看弓形弧是半圓、優(yōu)弧還是劣弧，從而選擇

分解方案.2.應(yīng)用弓形面積解決實際問題.3.分解簡單組合圖形為規(guī)則圓形的和與差.）

布置作業(yè)教材P.175練習(xí)1、2；P.181中12.

極節(jié)穆奸

教后札記：學(xué)生對圓和扇形、弓形的有關(guān)概念和面積的計算方法和公式能夠理解，但是，

對較復(fù)雜的組合圖形的分解有困難，不能做到事半切倍。在應(yīng)用題方面有難度，解題不周密,

要指導(dǎo)學(xué)生對公式的應(yīng)用和計算方法的反思學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的耐心、意志、正確的學(xué)習(xí)態(tài)度。

新沂市第十中學(xué)數(shù)學(xué)教案一一幾何No：第12課時2005年3月4日星期五

圓、扇形、弓形的面東（三）

素質(zhì)教育目標(biāo)

1.簡單組合圖形的分解；探討S扇形=3LR與SA=gah的關(guān)系

2.通過簡單組合圖形的分解，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、發(fā)散思維能力和綜合運用知識分析問

題、解決問題的能力.通過對S△與S聊關(guān)系的探討，進(jìn)一步研究正多邊形與圓的關(guān)系，培

養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力和歸納概括能力.

3.通過簡單組合圖形的分解，向?qū)W生滲透事物相互依存、轉(zhuǎn)化的觀點；通過對S△與S扇

形的探討，向?qū)W生滲透“量變到質(zhì)變”、“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的矛盾論觀點.

教學(xué)重點、難點、疑點及解決方法

1.重點：簡單組合圖形的分解.

2.難點：正確分解簡單的組合圖形.

3.疑點及解決方法：組合圖形應(yīng)怎樣分解，解決方法是師生間、同學(xué)間相互啟發(fā)、切磋的

發(fā)散思維訓(xùn)練.

教法學(xué)法和教具

1,教法：引導(dǎo)學(xué)生探索研究發(fā)現(xiàn)法。

2,學(xué)法：學(xué)生主動探索研究發(fā)現(xiàn)法。

3,教具：三角尺、圓規(guī)、投影儀（或小黑板）

教學(xué)步驟

篌話引入：上節(jié)課學(xué)習(xí)了弓形面積的計算，并且從中獲得了簡單組合圖形面積的計算可轉(zhuǎn)化

為規(guī)則圖形的和與差來解決的方法.今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)“7.20圓、扇形、弓形的面積（三”

鞏固化簡單組合圖形為規(guī)則圖形和與差的方法.

象燈梃冏：1.圓面積公式是什么？2.扇形面積公式是什么？如何選擇公式？3.當(dāng)弓形的

弧是半圓時，其面積等于什么？4.當(dāng)弓形的弧是劣弧時，其面積怎樣求？5.當(dāng)弓形的弧是

優(yōu)弧時，其面積怎樣求？（以上各題均安排中下生回答.）

思考與練習(xí)：如圖，已知。0上任意一點C為圓心，以R

為半徑作弧與。O相交于A、B.求長璉與&圍成的圖形面積.

從題目中可知。。的半徑為R,“以00上任意一點C為圓心，以R為半徑作弧與00相交于

A、B.”為我們提供的數(shù)學(xué)信息是什么？（安排中上生回答：A、B到0、C的距離相等，都等

于0C等于R.）

上節(jié)課大家學(xué)習(xí)弓形面積的計算，由R與&圍成的圖形，能不能

轉(zhuǎn)化為弓形面積求呢？若能，輔助線應(yīng)怎樣引？（安排中等生回答：能，連結(jié)AB.）

大家觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)我們所求圖形實質(zhì)是兩個弓形的組合，即

S°ACB=2S弓形任6”哪位同學(xué)回答，求S弓形又該如何作？（安排中

下生回答：連結(jié)0A、OB.S弓形扇形△AOB）?

同學(xué)們討論研究一下，S扇形碗該如何求出.（安排中上學(xué)生：連

結(jié)OC、AC可知NACC=60°,從而求出NAOB=120°.因此S扇形?

=I,紫=g兀V）根據(jù)什么NAOC=60°,NAOB為何是NAOC的兩

倍？（安排中下生回答：因已知OA=OC=AC所以△（?（：是等邊三角

形.：。是卷的中點二./八08=2/40。.根據(jù)垂徑定理.）

同學(xué)們討論研究一下，S4AOB又該如何求呢？（安排中上等生回答：求S4AOB,需知AB的

長和高的長，所以設(shè)OC與AB交點為D.VZA0C=60°,OA=R.?.解Rt^AOD就能求出AB與

高0D.）連結(jié)0C交AB于D怎么就知ODLAB?（安排中等生回答：根據(jù)垂徑定理是AB中

點.）

請同學(xué)們計算出SAAOB，（安排學(xué)生報答案：SAOB=卓

請同學(xué)們計算出此題答案.（答案：S=2（1-^）R2）

同學(xué)們互相研究看，此題還有什么方法？

下面給出另外兩種方法，供參考：

1.可把?與?,圍成的圖形面積看成菱形OACB的面積加上

四個面積相等的小弓形的面積.即：S=S菱形OACB+4S弓形球

2.可把與曲L圍成的圖形面積看成2個扇形的面積減去蔓

形的面積.即S=2S扇形菱形OACB

德堂探位；

例一：正方形的邊長為a,以各邊為直徑，在正方形內(nèi)畫半圓，求所圍成的圖形（陰影部分）

的面積.

請同學(xué)們仔細(xì)觀察圖形，思考如何分解這個組合圖形.同學(xué)間互相討論、研究、交流看法：

現(xiàn)將學(xué)生可能提出的幾種方案列出，供參考：

方案1.5陰=$正方形-4s空白.觀察圖形不難看出sn+sw=s正方形-

方案2.觀察圖形，由于正方形ABCD；./A0B=90°,由正方形的軸對稱性可知陰影部分被分

成八部分.觀察發(fā)現(xiàn)半圓AOB的面積-△

AOB的面積則得陰影部分面積的（，即其中一瓣的面積，此面積乘以4

即可.即S陰=4S瓣而S瓣二S半。-S4A0B...S陰=4.（S半。-S4A0B）=2S。-4s△A0B=2S。

-S正方形.

方案3.觀察正方形EAFO,一瓣的面積=2S扇形笈-S正方形EAFO

方案4.觀察扇形EAO,一瓣等于2個弓形，一個S弓形=5扇0八-

方案5.觀察RtZXABC部分.用半圓BOC與半圓AOB去蓋Rt^ABC,發(fā)現(xiàn)這兩個半圓的和比

Rt^ABC大，大出一個花瓣和兩個弓形，而這兩個弓形的和就又是一個瓣.因此有2個S瓣

=2個S半圓-SRtZ\ABC=

方案6.用四個半圓蓋正方形，發(fā)現(xiàn)其和比正方形大，大的部分恰是S即:

在學(xué)生們充分討論交流之后，要求學(xué)生仔細(xì)回味展示出來的不同解法.尤其要琢磨這些解