2023-2024學年江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)立達中學七年級（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)立達中學七年級（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題：共8小題，每小題3分，共24分。1.下列等式從左到右的變形中，屬于因式分解的是(

)A.x2?6x=x(x?6) B.(x+3)2=x2.下列運算正確的是(

)A.a3·a2=a6 B.3.若x2+mx+36是一個完全平方式，則m的值為(

)A.6 B.±6 C.12 D.±124.若等腰三角形的兩邊長分別為3cm和8cm，則它的周長為(

)A.14cm B.14cm或19cm C.19cm D.以上都不對5.一個多邊形的邊數(shù)每增加一條，這個多邊形的(

)A.內(nèi)角和增加360° B.外角和增加360° C.內(nèi)角和不變 D.內(nèi)角和增加180°6.若一個三角形的3個外角的度數(shù)之比2：3：4，則與之對應的3個內(nèi)角的度數(shù)之比為(

)A.3：2：4 B.4：3：2 C.5：3：1 D.3：1：57.某小區(qū)有一正方形草坪ABCD如圖所示，小區(qū)物業(yè)現(xiàn)對該草坪進行改造，將該正方形草坪AB邊方向的長度增加4米，AD邊方向的長度減少4米，則改造后的長方形草坪面積與原來正方形草坪面積相比(

)A.增加8平方米

B.增加16平方米

C.減少16平方米

D.保持不變8.在數(shù)學中，為了書寫簡便，18世紀數(shù)學家歐拉就引進了求和符號“∑”.如記nk=1k=1+2+3+…+(n?1)+n；nk=3(x+k)=(x+3)+(x+4)+….+(x+n)，已知nk=2[(x+k)(x?k+1)]=5A.4 B.5 C.?5 D.?4二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。9.微電子技術使半導體材料的精細加工尺寸大幅度縮小，某種電子元件的面積大約為0.00000065平方毫米，數(shù)據(jù)0.00000065用科學記數(shù)法表示為______．10.計算(23)11.若(x+2)0=1，則x12.若2x?y=3，xy=3，則y2+4x13.已知x2?x?3=0，則(2x+1)14.如圖，AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，EF⊥BC于點F.若S△ABC=36，EF=4，則BC長為______．

15.如圖，AB//DE，∠ABC=80°，∠CDE=150°，則∠BCD的度數(shù)為______°.

16.如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內(nèi)點A′的位置，則∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關系為______．

17.如圖，在同一平面內(nèi)，AB⊥BC于點B，DC⊥BC于點C，連接AD，DE平分∠ADC交BC于點E，點F為CD延長線上一點，連接AF，∠BAF=∠EDF，下列結論：①∠BAD=∠ADF；②AF//ED；③∠ADC=2∠F；④∠CED+12∠ADC=90°；⑤若∠ADE=13∠BAD18.當x=______時，代數(shù)式(2x+3)x+2016的值為1．三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題8分)

計算：

(1)(?3a2)3+2a2?a4?20.(本小題8分)

把下列各式因式分解：

(1)4x2?25；

(2)a2?6a+9；

21.(本小題8分)

如圖，在每個小正方形邊長為1的方格紙內(nèi)將△ABC經(jīng)過一次平移后得到△A′B′C′，圖中標出了點B的對應點B′.根據(jù)下列條件，利用格點和直尺畫圖：

(1)補全△A′B′C′；

(2)利用格點在圖中畫出AC邊上的高線BE．22.(本小題8分)

(1)已知2m+3n=3，求9m?27n的值．

(2)已知10x=5，23.(本小題8分)

如圖，AD⊥BC，垂足為D，點E、F分別在線段AB、BC上，∠1=∠2，∠C+∠ADE=90°．

(1)求證：DE/?/AC；

(2)判斷EF與BC的位置關系，并證明你的猜想．24.(本小題8分)

閱讀解答

(1)填空：21?20=______=2(______)?

22?21=______=2(______)

23?2225.(本小題8分)

先閱讀后解題：

若m2+2m+n2?6n+10=0，求m和n的值．

解：等式可變形為：m2+2m+1+n2?6n+9=0

即(m+1)2+(n?3)2=0，

因為(m+1)2≥0，(n?3)2≥0，

所以m+1=0，n?3=0

即m=?1，n=3．

像這樣將代數(shù)式進行恒等變形，使代數(shù)式中出現(xiàn)完全平方式的方法叫做“配方法”．

請利用配方法，解決下列問題：

(1)已知△ABC的三邊長a，b，c26.(本小題8分)

數(shù)和形是數(shù)學研究客觀物體的兩個方面，數(shù)(代數(shù))側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性，形(幾何)側(cè)重研究物體形的方面，具有直觀性.“以形釋數(shù)”是利用數(shù)形結合思想證明代數(shù)問題的一種體現(xiàn)，做整式的乘法運算時，利用幾何直觀的方法和面積法獲取結論，在解決整式運算問題時經(jīng)常運用．

【問題探究】

探究1：如圖1所示，大正方形的邊長是(a+b)，它是由兩個小正方形和兩個長方形組成，所以大正方形的面積等于這四個圖形的面積之和.根據(jù)等積法，我們可以得出結論：(a+b)2=a2+2ab+b2．

探究2：請你根據(jù)探究1所使用的等積法，從圖2中探究出(a+b+c)2的結果．

【形成結論】

(1)探究2中(a+b+c)2=______；

【應用結論】

(2)利用(1)問所得到的結論求解：已知a+b+c=0，a227.(本小題8分)

已知，如圖，AB/?/CD，直線MN交AB于點M，交CD于點N，點E是線段MN上一點，P，Q分別在射線MB，ND上，連接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．

(1)如圖1，當PE⊥QE時，求∠PFQ的度數(shù)；

(2)如圖2，求∠PEQ與∠PFO之間的數(shù)量關系，并說明理由．

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】

此題主要考查了分解因式的定義，正確把握定義是解題關鍵．

直接利用因式分解的定義分析得出答案．

【解答】

解：A、x2?6x=x(x?6)，正確；

B、(x+3)2=x2+6x+9，是多項式的乘法運算，故此選項錯誤；

C2.【答案】D

解：A、結果是a5，故本選項不符合題意；

B、2m?3n和6m+n不相等，故本選項不符合題意；

C、結果是?8b6，故本選項不符合題意；

D、結果是a23.【答案】D

解：∵x2+mx+36是一個完全平方式，

∴m=±12，

故選：D．

利用完全平方公式的結構特征判斷即可得到m4.【答案】C

解：當3cm是腰時，3+3<8，不符合三角形三邊關系，故舍去；

當8cm是腰時，符合三角形三邊關系，周長=8+8+3=19(cm)．

故它的周長為19cm．

故選：C．

題中沒有指出哪個底哪個是腰，故應該分情況進行分析，注意應用三角形三邊關系進行驗證能否組成三角形．

此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關系的運用；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．5.【答案】D

解：因為n邊形的內(nèi)角和是(n?2)?180°，

當邊數(shù)增加一條就變成n+1，則內(nèi)角和是(n?1)?180°，

內(nèi)角和增加：(n?1)?180°?(n?2)?180°=180°；

根據(jù)多邊形的外角和特征，邊數(shù)變化外角和不變．6.【答案】C

解：設一份為k°，則三個外角的度數(shù)分別為2k°，3k°，4k°，

根據(jù)三角形外角和定理，可知2k°+3k°+4k°=360°，得k°=40°，

三個外角分別為80°，120°和160°，

根據(jù)三角形外角與它相鄰的內(nèi)角互補，與之對應的三個內(nèi)角的度數(shù)分別是100°，60°和20°，

即三個內(nèi)角的度數(shù)的比為5：3：1．

故選：C．

已知三角形三個外角的度數(shù)之比，可以設一份為k°，根據(jù)三角形的外角和等于360°列方程求三個內(nèi)角的度數(shù)，確定三角形內(nèi)角的度數(shù)，然后求出度數(shù)之比．

本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角互補的知識，解答的關鍵是溝通外角和內(nèi)角的關系．7.【答案】C

解：設正方形草坪ABCD的邊長為x米，

由題意得，長方形的長為(x+4)米，寬為(x?4)米，

則長方形的面積為(x+4)(x?4)=(x2?16)(平方米)，

正方形ABCD的面積為x2平方米，

∴x2?16?x2=?16(平方米)，

即改造后的長方形草坪面積與原來正方形草坪面積相比減少16平方米，

故選：8.【答案】B

解：∵x2項的系數(shù)為5，

∴n=5，

∴(x+2)(x?2+1)+(x+3)(x?3+1)+(x+4)(x?4+1)+(x+5)(x?5+1)+(x+6)(x?6+1)

=(x+2)(x?1)+(x+3)(x?2)+(x+4)(x?3)+(x+5)(x?4)+(x+6)(x?5)

=(x2+x?2)+(x2+x?6)+(x2+x?12)+(x2+x?20)+(x2+x?30)

=5x2+5x?70，

∵已知nk=2[(x+k)(x?k+1)]=5x9.【答案】6.5×10解：0.00000065=6.5×10?7．

故答案為：6.5×10?7．

絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10?n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．

本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×1010.【答案】?3解：原式=(23)2021×(32)2022×(?1)

=(23)2021×(32)2021×311.【答案】x≠?2

解：∵(x+2)0=1，

∴x+2≠0，

解得：x≠?2．

故答案為：x≠?2．

直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)得出x12.【答案】15

解：∵2x?y=3，

∴(2x?y)2=4x2?2xy+y2=9，

∵xy=3；

∴13.【答案】8

解：(2x+1)2?x(5+2x)+(2+x)(2?x)

=4x2+4x+1?5x?2x2+4?x2

=x2?x+5，

∵x2?x?3=0，

∴x2?x=314.【答案】9

解：∵AD是△ABC的中線，

∴S△ABD=12S△ABC，

∵BE是△ABD的中線，

∴S△BDE=12S△ABD，

∴S△BDE=14S△ABC=14×36=9，

S△BDE=1215.【答案】50

解：如圖，過點C作FG/?/AB，

因為FG/?/AB，AB//DE，

所以FG/?/DE，

所以∠B=∠BCF，(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)

∠CDE+∠DCF=180°，(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)

又因為∠B=80°，∠CDE=150°，

所以∠BCF=80°，(等量代換)

∠DCF=30°，(等式性質(zhì))

所以∠BCD=50°．

故答案為：50．

過點C作FG/?/AB，根據(jù)平行線的傳遞性得到FG/?/DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BCF，∠CDE+∠DCF=180°，根據(jù)已知條件等量代換得到∠BCF=80°，由等式性質(zhì)得到∠DCF=30°，于是得到結論．

本題主要考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．準確作出輔助線是解題的關鍵．16.【答案】2∠A=∠1+∠2

解：2∠A=∠1+∠2，

理由是：∵沿DE折疊A和A′重合，

∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，

∵∠AED+∠ADE=180°?∠A，∠1+∠2=180°+180°?2(∠AED+∠ADE)，

∴∠1+∠2=360°?2(180°?∠A)=2∠A．

故答案為：2∠A=∠1+∠2．

根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AED+∠ADE=180°?∠A，代入∠1+∠2=180°+180°?2(∠AED+∠ADE)求出即可

本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及四邊形內(nèi)角和的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．17.【答案】①②③④

解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，

∴AB/?/CD，

∴∠BAD=∠ADF，

故①正確，符合題意；

∵∠BAF=∠EDF，∠BAD=∠ADF，

∴∠EDA=∠DAF，

∴AF//ED，

故②正確，符合題意；

∵AF//ED，

∴∠CDE=∠F，

∵DE平分∠ADC，

∴∠CDE=∠ADE，

∴∠ADE=∠F，

∵∠EDA=∠DAF，

∴∠F=∠DAF，

∴∠ADC=∠F+∠DAF=2∠F，

故③正確，符合題意；

∵DC⊥BC，

∴∠CED+∠CDE=90°，

∵DE平分∠ADC，

∴∠CDE=12∠ADC，

∴∠CED+12∠ADC=90°，

故④正確，符合題意；

∵AB⊥BC，DC⊥BC，

∴∠BAD+∠CDA=180°，

∵∠ADE=13∠BAD，DE平分∠ADC，

∴∠ADC=23∠BAD，

∴∠BAD+23∠BAD=180°，

∴∠BAD=108°，

∴∠ADC=72°，

∵∠ADC=2∠F=2∠ADE，

∴∠ADE=∠F=36°，

∴∠BED=360°?90°?108°?36°=126°，

∴∠AFD+∠BED=162°，

故⑤錯誤，不符合題意；

故答案為：①②③④．

由垂直可得AB/?/CD，即可證明①；根據(jù)條件證明∠EDA=∠DAF，即可證明②18.【答案】?1，?2或?2016

解：當2x+3=1，即x=?1時，

x+2016=?1+2016=2015，

且12015=1；

當2x+3=?1即x=?2，

x+2016=?2+2016=2014，

且(?1)2014=1；

當x+2016=0，即x=?2016時，

2x+3=2×(?2016)=?4032，

且(?4032)0=1，

∴當x=?1，?2或?2016時，代數(shù)式(2x+3)x+2016的值為1，

故答案為：?1，?2或?2016．19.【答案】解：(1)(?3a2)3+2a2?a4?a8÷a2

=?27a6+2a6?a6

=?26a6；

(2)(π?3.14)0?(12)【解析】(1)先算乘方，再算乘除，后算加減，即可解答；

(2)先化簡各式，然后再進行計算即可解答；

(3)利用平方差公式，完全平方公式進行計算，即可解答；

(4)利用平方差公式，完全平方公式進行計算，即可解答．

本題考查了整式的混合運算，平方差公式，完全平方公式，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．20.【答案】解：(1)原式=(2x+5)(2x?5)；

(2)原式=(a?3)2；

(3)原式=4(x2?16)

=4(x+4)(x?4)；

(4)原式=?b(4【解析】(1)利用平方差公式因式分解即可；

(2)利用完全平方公式因式分解即可；

(3)提公因式后利用平方差公式因式分解即可；

(4)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．

本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．21.【答案】解：(1)如圖所示，△A′B′C′即為所求；

(2)如圖所示，線段BE即為所求．

【解析】(1)根據(jù)平移變換的性質(zhì)找出對應點即可求解；

(2)取格點D，連接BD交AC的延長線于點E，則線段BE即為所求．

本題考查了作圖?平移變換，三角形的高，熟記平移變換的性質(zhì)是解題的關鍵．22.【答案】解：(1)∵2m+3n=3，

∴9m?27n

=32m?33n

=32m+3n

=33

=27；

(2)∵10x=5，10【解析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方，變式求解即可．

本題主要考查了冪的運算法則的運用，關鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法法則的逆運算以及冪的乘方法則的逆運算．23.【答案】(1)證明：∵AD⊥BC，

∴∠1+∠C=90°，

又∠C+∠ADE=90°，

∴∠1=∠ADE，

∴DE/?/AC；

(2)解：EF⊥BC．

理由：∵∠1=∠2，∠1=∠ADE，

∴∠2=∠ADE，

∴EF/?/AD，

∴∠EFD=∠ADC=90°，

∴EF⊥BC．

【解析】(1)根據(jù)垂直的定義得到∠1+∠C=90°，等量代換得到∠1=∠ADE，于是得到結論；

(2)等量代換得到∠2=∠ADE，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結論．

本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)定理是解題的關鍵．24.【答案】解：(1)21?20=1=2(0)

22?21=2=2(1)

23?22=4=2(2)，

故答案為：1，0；2，1；4，2．

(2)第n個等式，【解析】(1)根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義進行計算即可得解；

(2)根據(jù)指數(shù)結果：冪的指數(shù)比等式的序數(shù)小1解答；

(3)設S=20+21+225.【答案】9

解：(1)已知等式整理得：(a2?2a+1)+2(b2?8b+16)=0，

即(a?1)2+2(b?4)2=0，

∴a?1=0，b?4=0，

解得：a=1，b=4，

∵△ABC的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，

∴3<c<5，即c=4，

則△ABC周長為1+4+4=9；

故答案為：9；

(2)原式=(a2+4b2+4ab)?4(a+2b)+7

=(a+2b)2?4(a+2b)+4+3

=(a+2b?2)2+3，

∵(a+2b?2)2≥0，

∴原式≥3>0，

當a+2b?2=0時，原式有最小值為3；

(3)x2+3x?4<2x2+2x?3，理由為：

∵(26.【答案】a2解：(1)∵等式左邊是從整體看大正方形的面積等于邊長的平方，

∴等式右邊應該表示出組成大正方形的各個部分的面積的和．

∵組成大正方形的各個部分的面積分別為：a2，ab，ac，ab，b2，bc，ac，bc，c2，

∴它們的和為：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．

故答案為：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

(2)解：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

∴2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2?(a2+b