山東省鄒城市第一中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

山東省鄒城市第一中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．已知向量，的夾角為，且，，則與的夾角等于A． B． C． D．3．圓心為的圓與圓相外切，則圓的方程為（）A． B．C． D．4．某防疫站對(duì)學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，與采用分層抽樣的辦法抽取樣本.某中學(xué)共有學(xué)生2000名，抽取了一個(gè)容量為200的樣本，樣本中男生103人，則該中學(xué)共有女生（）A．1030人 B．97人 C．950人 D．970人5．湖南衛(wèi)視《爸爸去哪兒》節(jié)目組為熱心觀眾給予獎(jiǎng)勵(lì)，要從2014名小觀眾中抽取50名幸運(yùn)小觀眾．先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣方法抽取50人，則在2014人中，每個(gè)人被抽取的可能性()A．均不相等 B．不全相等C．都相等，且為 D．都相等，且為6．在中，是斜邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．直線傾斜角的范圍是（）A．（0，] B．[0，] C．[0，π） D．[0，π]8．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比，若，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則取最大值時(shí)，的值為（）A． B． C． D．或9．不等式的解集是：A． B．C． D．10．已知函數(shù)，若對(duì)于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等差數(shù)列中，公差.則與的等差中項(xiàng)是_____（用數(shù)字作答）12．下列五個(gè)正方體圖形中，是正方體的一條對(duì)角線，點(diǎn)M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，求能得出⊥面MNP的圖形的序號(hào)(寫(xiě)出所有符合要求的圖形序號(hào))______13．已知，則的值為．14．若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則____________.15．?dāng)?shù)列滿足，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______.16．已知圓柱的底面圓的半徑為2，高為3，則該圓柱的側(cè)面積為_(kāi)_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在直角中，，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使得，連接.（1）若，求的值；（2）求角D的最大值.18．如圖，四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，若，.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求棱與平面所成角的正弦值.19．已知集合，集合.（1）求；（2）若不等式的解集為，求不等式的解集.20．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，．（1）求角A的大?。唬?）若，，求的面積．21．化簡(jiǎn).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，根據(jù)斜率關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，即點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求解，其中解答中熟記點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)條件即可求出，從而可求出，，，然后可設(shè)與的夾角為，從而可求出，根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角．【詳解】，；，，；設(shè)與的夾角為，則；又，，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的定義運(yùn)用，向量的模的求法，以及利用數(shù)量積求向量夾角．3、A【解析】

求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，利用兩圓相外切關(guān)系，可以求出圓的半徑，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后化為一般式方程.【詳解】設(shè)的圓心為A，半徑為r，圓C的半徑為R,，所以圓心A坐標(biāo)為，半徑r為3，圓心距為，因?yàn)閮蓤A相外切，所以有,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的相外切的性質(zhì)，考查了已知圓的方程求圓心坐標(biāo)和半徑，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4、D【解析】由分層抽樣的辦法可知在名學(xué)生中抽取的男生有，故女生人數(shù)為，應(yīng)選答案D．5、C【解析】由題意可得，先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從2014人中剔除14人，則剩下的再分組，按系統(tǒng)抽樣抽取.在剔除過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被剔除的機(jī)會(huì)相等，所以每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等，均為故選C6、A【解析】

可借助直線方程和平面直角坐標(biāo)系，代換出之間的關(guān)系，再結(jié)合向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解即可【詳解】如圖所示：設(shè)直線方程為：，，，由得，可設(shè)，則，，，，當(dāng)時(shí)，，故故選A【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量法在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題7、C【解析】試題分析：根據(jù)直線傾斜角的定義判斷即可．解：直線傾斜角的范圍是：[0，π），故選C．8、D【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出、的值，可求出和的值，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出，由此得出，并求出數(shù)列的前項(xiàng)和，然后求出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的值.【詳解】由題意可知，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，所以，解得，，，則數(shù)列為等差數(shù)列，，，，因此，當(dāng)或時(shí)，取最大值，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，同時(shí)也考查了等差數(shù)列求和以及等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值，在求解時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求解，考查方程與函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中等題.9、C【解析】

把不等式轉(zhuǎn)化為不等式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，不等式，等價(jià)于，解得，即不等式的解集為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解析】

首先設(shè)，將題意轉(zhuǎn)化為，即可，再分類討論求出，解不等式組即可.【詳解】，恒成立，等價(jià)于，恒成立.令，對(duì)稱軸為.即等價(jià)于，即可.當(dāng)時(shí)，得到，解得：.當(dāng)時(shí)，得到，解得：.當(dāng)時(shí)，得到，解得：.綜上所述：.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查二次不等式的恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，分類討論是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、5【解析】

根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及的值，求出的值即是所求.【詳解】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知，的等差中項(xiàng)是，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.12、①④⑤【解析】為了得到本題答案，必須對(duì)5個(gè)圖形逐一進(jìn)行判別．對(duì)于給定的正方體，l位置固定，截面MNP變動(dòng)，l與面MNP是否垂直，可從正、反兩方面進(jìn)行判斷．在MN、NP、MP三條線中，若有一條不垂直l，則可斷定l與面MNP不垂直；若有兩條與l都垂直，則可斷定l⊥面MNP；若有l(wèi)的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．解法1作正方體ABCD－A1B1C1D1如附圖，與題設(shè)圖形對(duì)比討論．在附圖中，三個(gè)截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是對(duì)角線l(即AC1)的垂面．對(duì)比圖①，由MN∥BAl，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．對(duì)比圖②，由MN與面CB1D1相交，而過(guò)交點(diǎn)且與l垂直的直線都應(yīng)在面CBlDl內(nèi)，所以MN不垂直于l，從而l不垂直于面MNP．對(duì)比圖③，由MP與面BAlD相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．對(duì)比圖④，由MN∥BD，MP∥BA．知面MNP∥面BA1D，故l⊥面MNP．對(duì)比圖⑤，面MNP與面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．綜合得本題的答案為①④⑤．解法2如果記正方體對(duì)角線l所在的對(duì)角截面為．各圖可討論如下：在圖①中，MN,NP在平面上的射影為同一直線，且與l垂直，故l⊥面MNP．事實(shí)上，還可這樣考慮：l在上底面的射影是MP的垂線，故l⊥MP；l在左側(cè)面的射影是MN的垂線，故l⊥MN，從而l⊥面MNP．在圖②中，由MP⊥面，可證明MN在平面上的射影不是l的垂線，故l不垂直于MN．從而l不垂直于面MNP．在圖③中，點(diǎn)M在上的射影是l的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上的射影是上底面的內(nèi)點(diǎn)，知MP在上的射影不是l的垂線，得l不垂直于面MNP．在圖④中，平面垂直平分線段MN，故l⊥MN．又l在左側(cè)面的射影(即側(cè)面正方形的一條對(duì)角線)與MP垂直，從而l⊥MP，故l⊥面MNP．在圖⑤中，點(diǎn)N在平面上的射影是對(duì)角線l的中點(diǎn)，點(diǎn)M、P在平面上的射影分別是上、下底面對(duì)角線的4分點(diǎn)，三個(gè)射影同在一條直線上，且l與這一直線垂直．從而l⊥面MNP．至此，得①④⑤為本題答案．13、【解析】

利用商數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)即可．【詳解】，故填．【點(diǎn)睛】利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式可以化簡(jiǎn)一些代數(shù)式，常見(jiàn)的方法有：（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代數(shù)式化成關(guān)于正切的代數(shù)式，也可以把含有正切的代數(shù)式化為關(guān)于余弦和正弦的代數(shù)式；（2）“1”的代換法：有時(shí)可以把看成．14、【解析】

根據(jù)求平均數(shù)的公式，得到關(guān)于的方程，求得.【詳解】由題意得：，解得：，故填：.【點(diǎn)睛】本題考查求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，考查基本數(shù)據(jù)處理能力.15、【解析】

由題意得出，利用累加法可求出.【詳解】數(shù)列滿足，，，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)，解題時(shí)要注意累加法對(duì)數(shù)列遞推公式的要求，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16、【解析】

圓柱的側(cè)面打開(kāi)是一個(gè)矩形，長(zhǎng)為底面的周長(zhǎng)，寬為圓柱的高，即，帶入數(shù)據(jù)即可．【詳解】因?yàn)閳A柱的底面圓的半徑為2，所以圓柱的底面圓的周長(zhǎng)為，則該圓柱的側(cè)面積為.【點(diǎn)睛】此題考察圓柱側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題目．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）在中，由正弦定理得，，再結(jié)合在直角中，，然后求解即可；（2）由正弦定理及兩角和的余弦可得，然后結(jié)合三角函數(shù)的有界性求解即可.【詳解】解：（1）設(shè)，在中，由正弦定理得，，而在直角中，，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以；?）設(shè)，在中，由正弦定理得，，而在直角中，，所以，因?yàn)?，所以，即，即，根?jù)三角函數(shù)有界性得，及，解得，所以角D的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的有界性，屬中檔題.18、（Ⅰ）見(jiàn)證明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）先證明平面，再證明平面平面.（Ⅱ）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求棱與平面所成角的正弦值.【詳解】解：（Ⅰ）∵平面，∴，∵，，，∴，∴，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，于是，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，∴，設(shè)與平面所成角為，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間垂直關(guān)系的證明，考查線面角的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）（2）【解析】

（1）由一元二次不等式的解法分別求出集合，再求交集即可；（2）由待定系數(shù)法求得，再代入不等式，解不等式即可得解.【詳解】解：（1）因?yàn)榧?，集合，即；?）由不等式的解集為，則不等式等價(jià)于，即，即，即不等式等價(jià)于，即，解得或，故不等式的解集為.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)