浙江省溫州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省溫州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，為虛數(shù)單位，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知，，，則（）A. B.2 C. D.4〖答案〗A〖解析〗因為，，，由正弦定理可得，，則.故選：A.3.直線a，b互相平行的一個充分條件是（）A.a，b都平行于同一個平面 B.a，b與同一個平面所成角相等C.a，b都垂直于同一個平面 D.a平行于b所在平面〖答案〗C〖解析〗對于A：若a，b都平行于同一個平面，則a，b平行、相交或異面，故A錯誤；對于B：若a，b為圓錐的兩條母線，它們與底面所成角相等，但它們是相交直線，即a，b與同一個平面所成角相等，不能得出直線a，b互相平行，故B錯誤；對于C：若a，b都垂直于同一個平面，則a，b互相平行，故C正確；對于D：若a平行于b所在平面，則a，b平行或異面，故D錯誤.故選：C.4.在四邊形ABCD中，已知，則四邊形ABCD為（）A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四邊形〖答案〗D〖解析〗，，即，相互平行且，則四邊形ABCD為平行四邊形.故選：D.5.某同學(xué)投擲一枚骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為0.4，則點數(shù)2出現(xiàn)的次數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗設(shè)這五個數(shù)為，則，因為為正整數(shù)，所以這五個數(shù)必有3個3，另外兩個為或，又，所以這五個數(shù)為.故選：B.6.下列正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，則能滿足平面MNP的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A：連接，由圖可知，與平面相交，故不滿足平面，故A錯誤；對于B：如圖所示，分別是所在棱的中點，連接，則平面MNP和平面為同一平面，因為，因為與平面相交，所以不滿足平面，故B錯誤；對于C：連接，交與點，連接，因為，分別為中點，所以，由線面平行的判定定理可知，平面，故C正確；對于D：分別是所在棱的中點，連接，，平面與平面為同一平面，取的中點為，連接，由中位線定理可知，，因為與平面相交，所以不滿足平面，故D錯誤.故選：C.7.在一個盒子中有紅球和黃球共5個球，從中不放回的依次摸出兩個球，事件“第二次摸出的球是紅球”，事件“兩次摸出的球顏色相同”，事件“第二次摸出的球是黃球”，若，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，事件對立，，故B正確；設(shè)盒子中有個紅球，個黃球，，，，故AD正確；，故C錯誤.故選：C.8.如圖，在長方體中，，，E為棱AD上一點，且，平面上一動點Q滿足，設(shè)P是該長方體外接球上一點，則P，Q兩點間距離的最大值是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，長方體外接球球心記為，則，因為，所以①，又動點在面上，所以可設(shè)，則，即②，將②代入①中整理得③，在三棱錐中，且兩兩互相垂直，所以三棱錐為正三棱錐且底邊，當(dāng)面時，最小，在正三棱錐中由等體積法有，解得，在中，，此時有最大值，又，先代入②再代入③有，則，此時有最大值，解得，當(dāng)點與點重合時，滿足，最大，此時.則，點到外接球球心距離為④，將②代入④中整理得，又，所以，因為，所以當(dāng)時，，因為長方體外接球半徑為，所以P，Q兩點間距離的最大值為.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)為，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗設(shè)，則，對于A，，，則，故選項A正確；對于B，，，則，故選項B不正確；對于C，，故選項C錯誤；對于D，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故選項D正確．故選：AD．10.國家統(tǒng)計網(wǎng)最新公布的一年城市平均氣溫顯示昆明與鄭州年平均氣溫均為16.9攝氏度，該年月平均氣溫如表（表1）所示，并繪制如圖所示的折線圖，則（）表1月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月昆明9.312.416.51921.621.521.321.220.416.812.410.5鄭州2.98.711.916.523628.928.626.723.115.211.35.7A.昆明月平均氣溫的極差小于鄭州月平均氣溫的極差B.昆明月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于鄭州月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差C.鄭州月平均氣溫的中位數(shù)小于昆明月平均氣溫的中位數(shù)D.鄭州月平均氣溫的第一四分位數(shù)為10〖答案〗ACD〖解析〗對于A，昆明月平均氣溫的極差為，鄭州月平均氣溫的極差為，故A正確；對于B，由折線圖可知，昆明月平均氣溫相較于鄭州月平均氣溫更集中，所以昆明月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于鄭州月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差，故B錯誤；對于C，昆明的月平均氣溫按從小到大的順序排列：，則昆明月平均氣溫的中位數(shù)為，鄭州的月平均氣溫按從小到大的順序排列：，則鄭州的月平均氣溫的中位數(shù)為，鄭州月平均氣溫的中位數(shù)小于昆明月平均氣溫的中位數(shù)，故C正確；對于D，因為，所以鄭州月平均氣溫的第一四分位數(shù)為，故D正確.故選：ACD.11.平面向量，，滿足，，與夾角為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最大值為〖答案〗AD〖解析〗由題知，設(shè)，，，因為，與夾角為，所以，即，解得或，即或，因為，所以或，即或，則或，即或，所以，A正確；以的起點為原點，的方向為軸正向建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)時，則的終點落在上，的終點落在上，作點關(guān)于的對稱點，是指，即，最小時，即的長度，則，當(dāng)時，則的終點落在上，的終點落在上，作點關(guān)于的對稱點，是指，即，最小時，即的長度，則，B錯；如圖，當(dāng)時，點為的終點，則是指與的長，即，根據(jù)圖像易知，沒有最大值，故C錯；同理，當(dāng)時，此時點為的終點，則是指與的長，即，根據(jù)圖像易知，沒有最大值，故C錯；當(dāng)時，，，當(dāng)時，上式有最大值，且為；當(dāng)時，，，當(dāng)時，上式有最大值，且為，D正確.故選：AD.12.如圖，在長方形ABCD中，，，點E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點，將沿直線BF進(jìn)行翻折，將沿直線DE進(jìn)行翻折的過程中，則（）A.直線AB與直線CD可能垂直 B.直線AF與CE所成角可能為60°C.直線AF與平面CDE可能垂直 D.平面ABF與平面CDE可能垂直〖答案〗AD〖解析〗如圖，將沿直線BF進(jìn)行翻折，得到以BF為軸，線段AF繞BF旋轉(zhuǎn)形成的一個圓錐，點在圓錐的底面圓周上，同理將沿直線DE進(jìn)行翻折的過程中，點也在相應(yīng)的圓錐的底面圓周上，對于A，如圖，在長方形ABCD中，，旋轉(zhuǎn)形成的圓錐的軸截面張角最大，由，，則，，所以，則，假設(shè)不做旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中可以與旋轉(zhuǎn)前的初始位置垂直，即在旋轉(zhuǎn)過程中可以與AB垂直，故A正確；對于B，由選項A同理可得，，軸截面張角，所以同理可得直線AF與CE所成角不可能為60°，故B錯誤；對于C，若直線AF與平面CDE垂直，則直線AF與CE垂直，由選項B可知，，直線AF不可能與CE垂直，所以直線AF與平面CDE不可能垂直，故C錯誤；對于D，當(dāng)平面ABF不做旋轉(zhuǎn)，平面CDE旋轉(zhuǎn)到與平面BEDF垂直時，即平面ABF與平面CDE垂直，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.如圖，由A，B兩個元件組成并聯(lián)電路，觀察兩個元件正常或失效的情況，則事件“電路是通路”包含的樣本點個數(shù)為______________.〖答案〗〖解析〗設(shè)元件正常為，失效為，由A，B兩個元件組成并聯(lián)電路，則至少有一個元件正常，故事件包含樣本點為共個.故〖答案〗為：.14.已知平面向量，，則在方向上的投影向量的模為______________.〖答案〗〖解析〗在方向上的投影向量的模為.故〖答案〗為：.15.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則直線與平面所成角的正弦值為_____________.〖答案〗〖解析〗如圖所示，將多面體放置于正方體中，連接，設(shè)的中點為，連接，因為分別為中點，所以，且，則四邊形為平行四邊形，所以，所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角，又平面，所以直線與平面所成角即為，設(shè)正方體的棱長為，則，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.故〖答案〗為：.16.如圖，四邊形ABCD為箏形（有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形），滿足，AD的中點為E，，則箏形ABCD的面積取到最大值時，AB邊長為___________.〖答案〗〖解析〗以點為坐標(biāo)原點，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，因為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，箏形ABCD的面積為，即當(dāng)時，箏形ABCD的面積最大，此時AB邊長為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.關(guān)于x的一元二次方程有兩個根，其中.（1）求a的值；（2）設(shè)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點分別為A，B，求線段AB的長度.解：（1）因為關(guān)于x的一元二次方程有兩個復(fù)數(shù)根，所以復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，則，所以，解得.（2）因為在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點分別為A，B，所以，所以線段AB的長度為.18.在菱形ABCD中，，，記，.（1）用，表示；（2）若，求的值.解：（1）因為，，所以點在線段上，并靠近點的等分點，點在線段上，并靠近點的等分點，.（2）設(shè)菱形ABCD的邊長為，因為，所以，即，，解得.19.如圖，正方形ABCD是圓柱的軸截面，EF是圓柱的母線，圓柱的體積為.（1）求圓柱的表面積；（2）若，求點F到平面BDE的距離.解：（1）設(shè)圓柱的底面半徑為，則，解得，則圓柱的表面積為.（2）連接，因為，所以，設(shè)點F到平面BDE的距離為，易知，平面，，所以平面，因為平面，所以，所以，，，因為，所以，即，解得.20.現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB2762-2012中規(guī)定了10大類食品中重金屬汞的污染限量值，其中肉食性魚類及其制品中汞的最大殘留量為1.0mg/kg，近日某水產(chǎn)市場進(jìn)口了一批冰鮮魚2000條，從中隨機(jī)抽取了200條魚作為樣本，檢測魚體汞含量與其體重的比值（mg/kg），由測量結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求a的值，并估計這200條魚汞含量的樣本平均數(shù)；（2）用樣本估計總體的思想，估計進(jìn)口的這批魚中共有多少條魚汞含量超標(biāo)；（3）從這批魚中顧客甲購買了2條，顧客乙購買了1條，甲乙互不影響，求恰有一人購買的魚汞含量有超標(biāo)的概率.解：（1）由，解得，則這200條魚汞含量的樣本平均數(shù)為.（2）樣本中汞含量在內(nèi)的頻率為，則估計進(jìn)口的這批魚中共有條魚汞含量超標(biāo).（3）由題意可知，樣本中汞含量在內(nèi)的頻率為，則顧客甲購買的魚汞含量有超標(biāo)的概率為，顧客乙購買的魚汞含量有超標(biāo)的概率為，則恰有一人購買的魚汞含量有超標(biāo)的概率為.21.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，已知.（1）若，求B的大?。唬?）若，過B作AB的垂線交AC于D，求的取值范圍.解：（1）因為，由余弦定理得，化簡得，又，所以，所以，則，又，所以.（2）在中，，則，又由已知得，所以，因為，所以，又，則，即，所以，所以，令，由雙鉤函數(shù)函數(shù)得性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，所以，所以，即的取值范圍為.22.如圖，在矩形ABCD中，，，點E