湖南省長沙市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題+答案解析

2024屆高三模擬考試（十）

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

22

上一匕=1

1.已知雙曲線24,則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±xB.y=±2xC.y=+^^-xD.y=+s/2x

"2"

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式結(jié)合漸近線方程求解即可.

22

【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為：—_2L=1,

24

所以漸近線方程為：y=+^x=+41x.

故選：D

2.為了了解學(xué)生們的身體狀況，某學(xué)校決定采用分層抽樣的方法，從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)共抽取100

人進(jìn)行各項(xiàng)指標(biāo)測試.已知高三年級(jí)有500人，高二年級(jí)有700人，高一■年級(jí)有800人，則高三年級(jí)抽取的

人數(shù)為（）

A.30B.25C.20D.15

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣比公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知：

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500

高三年級(jí)抽取的人數(shù)為100X=25.

500+700+800

故選：B

3.若3sin(兀-a)—4cosa=0,貝！|l—cos2a=()

182732

A-士B.——C.—D.—

252525

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式求得tana,然后結(jié)合二倍角余弦公式，利用1的代換化弦為

切代入計(jì)算即可.

4

【詳解】因?yàn)?sin(7i—a)—4cosa=0,所以3sina—4cosa=0,所以tana=sina

cosa3

c16

2sin2(z2tan2a2X々G

所以l-cos2a=l-(l-2sin2a)=2sin2a=9_32

sin2a+cos2(ztan2a+1叫二天

9

故選：D

4.古印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在《莉拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個(gè)人布施，初日4德拉瑪（古印

度貨幣單位），其后日增5德拉瑪.朋友啊，請(qǐng)馬上告訴我，半個(gè)月中，他總共布施多少德拉瑪？在這個(gè)問題

中，這人15天的最后7天布施的德拉瑪總數(shù)為（）

A413B.427C.308D.133

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，初日4德拉瑪，以后每日等量增加5德拉瑪，故每日德拉瑪數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列{%},

利用等差的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式求解.

【詳解】由題知，每日德拉瑪數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列{%},設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為q,公差為d,則％=4,d=5.

則通項(xiàng)公式%=4+(〃—l)x5=5〃_1,aA5=74,a8=39,

則這人15天的最后7天布施的德拉瑪總數(shù)為:

15(474)_8(439)_.

凡―5=±±=585172=413

22

故選：A

5.(x+1)2的展開式中含Y項(xiàng)的系數(shù)為（）

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A.20B.-20C.30D.-30

【答案】C

【解析】

【分析】利用二項(xiàng)展開式結(jié)合多項(xiàng)式乘法可求d項(xiàng)的系數(shù).

［詳解］(x+1)2—］=(x2+2x+l)^x—］，

故［二］的二項(xiàng)展開式中X、V的系數(shù)為0,/的系數(shù)為(-1)2或=15,

故(x+1)2卜-工］的展開式中含V項(xiàng)的系數(shù)為2x15=30,

故選：C.

6.“會(huì)圓術(shù)”是我國古代計(jì)算圓弧長度的方法，它是我國古代科技史上的杰作，如圖所示右是以。為圓心,

為半徑的圓弧，。是48的中點(diǎn)，。在々上，CDLAB,則蕊的弧長的近似值s的計(jì)算公式：

CD2

s=48+*匕.利用上述公式解決如下問題：現(xiàn)有一自動(dòng)傘在空中受人的體重影響，自然緩慢下降，傘面

OA

與人體恰好可以抽象成傘面的曲線在以人體為圓心的圓上的一段圓弧，若傘打開后繩長為6米，該圓弧所

對(duì)的圓心角為60。，則傘的弧長大約為()(百"7)

A.5.3米B.6.3米C.8.3米D.11.3米

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合垂徑定理計(jì)算即可得解.

【詳解】依題意，點(diǎn)。共線，OC=3百，CD=6-373=3(2-73),

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所以S=6+9(2J)=6+9(7—4封-6+1(7—4x1.7)=6.3(米),

故選：B

7.函數(shù)/(%)=/-爾+樂((3,662有3個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是()

A.awO,且a>46B.a>0,且a<46

C.a<0,且a>4"6w0D,a<0,且a<4“6/0

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得函數(shù)/(x)=&—"2+區(qū)(見北2有3個(gè)零點(diǎn)的充要條件為/-4仍〉0且

。N0,6w0,逐個(gè)選項(xiàng)分析其是否為/_4ab〉0且aw0/w0的充分不必要條件即可得.

【詳解】/(x)=ax3-ax2+bx=x(ax2-ax+b^,有/(0)=0,

若/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則有4的〉0且。w0,6w0，

故函數(shù)/(x)=ax3一奴2+及(見6eR)有3個(gè)零點(diǎn)的充要條件為：

a2-4ab〉0且"O,Z?wO,

對(duì)A：awO,且a>46,則當(dāng)a<0時(shí)，有/<4"，不符，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：可能6=0,不符，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：0<0且。>4”3力0,則/<4的，不符，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：且a<46,6<0,則/〉4仍，

即由a<0,且a<4a6w0能得到a2-4ab〉0且awO,bwO,

但a2-4ab〉0且awO,bwO并不意味著a<0,且a<4a6w0,

故.<0,且a<4a是片一4ab〉0且的充分不必要條件，

即是函數(shù)/(%)=ax3-ax2+bx(a,beR)有3個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件，故D正確.

故選：D.

8.已知實(shí)數(shù)。4分別滿足6。=1.02，111優(yōu)+1)=0.02,且。=:，則()

A.a<b<cB.b<a<c

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C.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得a=lnl.O2,6=e002-b構(gòu)造函數(shù)/(x)=Inx-生?，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)

性后可得a>c,構(gòu)造函數(shù)g(x)=e'-ln(l+x)-l,結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性后可得…，即可得出c<a<b.

【詳解】由e"=1.02，則a=lnl.O2,令/(x)=lnx—；)，x>\,

2

則2(》+1)一2(1)一3

22

JC(x+l)X(X+1)

則當(dāng)x>l時(shí)，/'(x)>0,故/(x)在(0,+”)上單調(diào)遞增,

生/\2(1.02-1)2/、

故/(1.02)=lnl.02——------^lnl.02---->f(1)=0，

v71.02+1101v7

221

即a=In1.02>--->....——=c,即a>c,

10110251

由In伍+l)=0.02,則力=e°02—1，

_L,

令g(x)=e*-ln(l+x)—l,x>0,貝ijg，(x)=ex

x+1

令h(x)=cx---，貝ij當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=e"*+(〉°恒成立,

(x+1)

故g'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又g，(o)=e°-：=0,故g'(x)>0恒成立，

故g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，故g(0.02)=e°°2—ln(l+0.02)—l>g(O)=O,

即e°02—l>lnl.O2，即1>“，故c<a<6.

故選：D.

x

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)/(x)=lnx-2(：\1)、g(x)=e-ln(l+x)-l,從而借

助導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性以比較。、b.c的大小.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

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2

9.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2=j(3+j3)，下列說法正確的是()

A.V

B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

C.-i-z<0

5

D.z+—為純虛數(shù)

5

【答案】ABC

【解析】

【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出z,求出其模后可判斷A的正誤，求出其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)后可判斷B的正誤,

31

結(jié)合四則運(yùn)算求出一i-亍、z+—可判斷CD的正誤.

55

2222（l-3i）l-3i13.

【詳解】l+3i-10-5-5-?1

故三=g+gi,故同=平，故A正確,

而z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,它在第四象限，故B正確.

33131

-i-z=-i——-i=<0,故C正確.

55555

1113.23.._

z+-=-+----1=-----1,它不為純虛數(shù),故D錯(cuò)誤,

555555

故選：ABC.

10.已知函數(shù)/(x)=/tan(tyx+°)(&>0,0<e<E)的部分圖象如圖所示，貝U(）

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(117T2如\

B./(x)的圖象過點(diǎn)—,

3J

C.函數(shù)V=|/(x)|的圖象關(guān)于直線x=g對(duì)稱

若函數(shù)v=i/(x)i+x/(x)在區(qū)間1一上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)X的取值范圍是［-15

D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象所經(jīng)過的點(diǎn)，結(jié)合正切型函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性逐一判斷即可.

71715兀

【詳解】對(duì)于A：設(shè)該函數(shù)的最小正周期為T,則有T=一=:=>69=1,

co6

即/(x)=4tan(x+0),由函數(shù)的圖象可知：—cp——Fku=>(p——F+AJI,又0<0<兀，所以0=—

6233

71

即/(x)=/tanX+-,由圖象可知：/⑼=/tan；=2百nN=2,所以=因此A不

正確;

117T1171兀c13兀7i,V32A/3匚十.

對(duì)于B：f2tan---+—2tan...—2tan—=2x—=----，所以B正確；

636633

57157171

對(duì)于C：因?yàn)?--x二2tan---x+—|2tanx|,

33

5兀715兀

-2tan-------FXH——|2tanx|,所以f-------FX

4*333

所以函數(shù)y=|/(x)|的圖象關(guān)于直線x=g對(duì)稱，因此C正確;

2tanIxH—兀|+2%tanIx+—

33

兀71

當(dāng)時(shí),

2tanIxH—兀j+24tanIx+—71j—2tanIx+—71|+24tanIx+—

3333

=(2+24)tanIx+-I,

第7頁/共22頁

5兀n

當(dāng)xe

63

V=|/(x)|+2/(x)=2tanx+g+2Xtan[x+—j——2tan[x+—j+2%tanfx+-

=(-2+22)tan+yj,

當(dāng)函數(shù)y=|/(x)|+2/(x)在區(qū)間g,：］上不單調(diào)時(shí)，貝U有(2+22)(—2+2幾)<0——1<4<1,D

正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用函數(shù)對(duì)稱性、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.小郡玩一種跳棋游戲，一個(gè)箱子中裝有大小質(zhì)地均相同的且標(biāo)有1?10的10個(gè)小球，每次隨機(jī)抽取一

個(gè)小球并放回，規(guī)定：若每次抽取號(hào)碼小于或等于5的小球，則前進(jìn)1步，若每次抽取號(hào)碼大于5的小球,

則前進(jìn)2步.每次抽取小球互不影響，記小郡一共前進(jìn)〃步的概率為P“，則下列說法正確的是()

1

A.p?北

11z.

B.P?=-pn^+-p?^(n>3)

Cpn=l--p?_^n>2)

D.小華一共前進(jìn)3步的概率最大

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)題意直接求概率判斷選項(xiàng)A,然后根據(jù)題意求出遞推公式即可判斷選項(xiàng)B,根據(jù)遞推公式判斷

數(shù)列|是首項(xiàng)為-工，公比為-工的等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式判斷選項(xiàng)C,分類討論求解概率通項(xiàng)的

I3J62

最大值判斷D.

【詳解】根據(jù)題意，小郡前進(jìn)1步的概率和前進(jìn)2步的概率都是:，所以4=—,p=-x-+-=-,

2222224

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

當(dāng)"之3時(shí)，其前進(jìn)幾步是由兩部分組成：先前進(jìn)n-1步，再前進(jìn)1步，其概率為

或者先前進(jìn)〃-2步，再前進(jìn)2步，其概率為;？”2，所以P“=("23),

第8頁/共22頁

故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)椋?=gp“.i+g，"-2（〃之3）,所以22+0,_]=221T+0”2（"之3）,

311

而202+01=2*4+]=2,所以20"+0"_]=2（〃之2）,即p“=1-52“_1（〃22）,

故選項(xiàng)C正確；

1221

因?yàn)楫?dāng)〃之2時(shí),pn=所以外_§=_.1%-]一§>

2121211]

又p——=——=——,所以數(shù)列p“一彳是首項(xiàng)為-一，公比為-一的等比數(shù)列.

13236I3162

2

所以「--

"3

0

21n-1

當(dāng)”為奇數(shù)時(shí),n—1為偶數(shù)，則尸=---xI,此時(shí)數(shù)列｛0“｝單調(diào)遞增，所以勺＜];

"36

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，n-1為奇數(shù)，則勺=g+gx[g]，此時(shí)數(shù)列｛0〃｝單調(diào)遞減,

3

所以勺三巴=4；

綜上，當(dāng)〃=2時(shí)，概率最大，即小華一共前進(jìn)2步的概率最大，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合2=｛口可y=log2（x—1）｝,5=｛-2,-1,1,2,3,4｝,則的真子集的個(gè)數(shù)為

【答案】7

【解析】

【分析】由對(duì)數(shù)的定義域求得集合力,再由交集的定義及真子集個(gè)數(shù)與元素個(gè)數(shù)的關(guān)系即可得解.

【詳解】由力=卜€(wěn)"y=log2（x—1）｝,B=｛—2,—1,123,4｝得2口8=｛2,3,4｝,

所以/C5的真子集的個(gè)數(shù)為23-1=7.

故答案為：7.

13.已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，片（—1,0）,與（1,0）,0（0,3）,向量應(yīng)=（1,—2）,動(dòng)點(diǎn)p滿足而〃薪，寫出一

第9頁/共22頁

個(gè)。，使得有且只有一個(gè)點(diǎn)尸同時(shí)滿足歸周-1尸閭|=2a(0<a<l),則。=.

【答案】—

5

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)P在以片，月為焦點(diǎn)的雙曲線上，有且只有一個(gè)點(diǎn)尸，即是指直線與雙曲

線只有一個(gè)公共點(diǎn)即可.

【詳解】由忸片|—|"||=2a(0<a<l),且大乙=2〉2a,

知點(diǎn)P在以￡,￡為焦點(diǎn)的雙曲線上c=l,b2=l-a2.

設(shè)尸(x,y),因0(0,3),則①=(—x,3-y)

m=(l,-2),由于而〃藍(lán)，y=—2x+3.

若直線y=-2x+3與雙曲線的一條漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).

所以_=_2,解得a=—.

a5

故答案為：好.

5

14.如圖是一個(gè)球形圍墻燈，該燈的底座可以近似看作正四棱臺(tái).球形燈與底座剛好相切，切點(diǎn)為正四棱臺(tái)

上底面中心，且球形燈內(nèi)切于底座四棱臺(tái)的外接球.若正四棱臺(tái)的上底面邊長為4,下底面邊長為2,側(cè)棱長

為百，則球形燈半徑廠與正四棱臺(tái)外接球半徑五的比值為.

［答案］5回+57

114

【解析】

【分析】設(shè)正四棱臺(tái)4名。2-ABCD上底面與下底面中心分別為則正四棱臺(tái)的外接球球心為。

及球形燈的圓心?！本谥本€001上.由幾何關(guān)系，求出=2—JR?.8=1，求出R的值，再根

第10頁/共22頁

據(jù)2r=R+JF=8求出r的值，即可得到比值?

【詳解】如圖所示，設(shè)正四棱臺(tái)4瓦GA-48CD上底面與下底面中心分別為01,。，作截面ZCG4,則

正四棱臺(tái)外接球球心。及球形燈的圓心。”均在直線上，作2笈，4G于H.

因?yàn)檎睦馀_(tái)的上底面邊長為4,下底面邊長為2,側(cè)棱長為G，

則有=2正,20=血，=/。=血，0,0=AH==^3^2=1

在RtA。'。/]中，Q'OX="天一畫=JR2_8,

在VA^O'OA中，Q'0=y]0'A2-A02=，7―2，

所以O(shè)0=O,O—Og=五一2一質(zhì)—&=i，整理得R='I

__________V575一

由圖可知，在圓?！敝?，有2r=R+0'Q=及+/^=i,解得R+dR2-8歷+5,

224

所以二=5炳+57

R114

故答案為：容廣

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是作出相關(guān)圖形，利用勾股定理等得到相關(guān)方程，從而解出兩個(gè)半徑長.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.正四棱柱48CD—44GA中，48=2,￡,8分別是棱4月,44的中點(diǎn)，AELCD,.

第11頁/共22頁

(1)求正四棱柱48CD—44GA的體積;

(2)求平面/E77與平面C4A所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)40

⑵可

10

【解析】

【分析】(1)由正四棱柱的性質(zhì)可證為平行四邊形，故C2//B4,從而可得再根據(jù)相

似形可求棱柱的高，故可得體積；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面”￡〃、平面C81A的法向量后可求銳二面角的余弦值.

【小問1詳解】

連接54,因?yàn)?C〃A4,8C=24,

所以四邊形3CA4為平行四邊形，所以C0//34，

因?yàn)閆ELCn，所以ZE，84.

因?yàn)?Z4B+/4ZE=,ZAXAE+ZAXEA=90°,

所以/AA]B=NA[EA,所以ABAA1~AAA、E,

4EAA

所以士=￡，所以Z42=4E.Ag=lx2=2，

AAXAB

所以=JL

所以正四棱柱ABCD-4B￡Di的體積『=45x/￡>x4]=4J5.

【小問2詳解】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,￡>C,￡>2所在直線為x軸，了軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

第12頁/共22頁

則/（2,0,0）,E（2,l,收）,8（1,0,石）,C（0,2,0）,5,（2,2,6），口（0,0,72）

設(shè)平面4E77的法向量為應(yīng)=（》//）,

AE=（0,1,后），屈=（-1,0,用,

in?AE=0

則《

mAH=0-x+41z=0

令z=1,則x=V2,y=—V2，

則平面的法向量為成=（、反,-&」）.

設(shè)平面CBR的法向量為萬=（占,%,4）,

函=（2,0,阿西=（0,-2,后），

nCB.=0f2x+yflz,=0

則,，｛L，

n-CDx=Q1-2%+缶]=0

令％=1，則4=6,X[=-1,

則平面C[D]的法向量為為=.

Irn-n-V2M

11\m\-n\2^/510

所以平面NE"與平面所成銳二面角的余弦值為上E.

10

16.機(jī)器人一般是指自動(dòng)控制機(jī)器（Robot）的俗稱，自動(dòng)控制機(jī)器包括一切模擬人類行為或思想與模擬其

他生物的機(jī)械，用以取代或協(xié)助人類工作.機(jī)器人一般由執(zhí)行機(jī)構(gòu)、驅(qū)動(dòng)裝置檢測裝置、控制系統(tǒng)和復(fù)雜機(jī)械

等組成.某大學(xué)機(jī)器人研究小組研發(fā)了A型、8型兩款火場救人的機(jī)器人，為檢驗(yàn)其效能做下列試驗(yàn)：如圖，

一正方形復(fù)雜房間有三個(gè)同樣形狀、大小的出口1、2、3,其中只有一個(gè)是打開的，另外兩個(gè)是關(guān)閉的，房間的

中心。為機(jī)器人的出發(fā)點(diǎn)，A型、8型兩個(gè)機(jī)器人別從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)沿路線1、2、3任選一條尋找打開的出口，

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找到后沿打開的出口離開房間；如果找到的出口是關(guān)閉的，則按原路線返回到出發(fā)點(diǎn)，繼續(xù)重新尋找.A型

機(jī)器人是沒有記憶的，它在出發(fā)點(diǎn)選擇各個(gè)出口是等可能的；B型機(jī)器人是有記憶的，它在出發(fā)點(diǎn)選擇各

個(gè)出口的嘗試不多于一次，且每次選哪個(gè)出口是等可能的.以X表示A型機(jī)器人為了離開房間嘗試的次數(shù),

以y表示3型機(jī)器人為了離開房間嘗試的次數(shù).

出口3

（1）試求離散型隨機(jī)變量y的分布列和期望;

（2）求x<y的概率.

【答案】（1）分布列見解析，2

⑵—

27

【解析】

【分析】（1）寫出y的可能取值，再分別寫出其分布列，計(jì)算期望即可;

（2）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

y的可能取值為1、2、3,

p(y=i)=；，

p(y=2)=-x-=-,

,7323

711

p(y=3)=-x-xl=-

''323

所以y的分布列為

Y123

111

P

333

【小問2詳解】

P(X=1)=；,

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尸（一二汨=|

則尸(x<y)=尸(x=i)x?(y=2)+尸(x=i)x/(y=3)+p(x=2)x?(y=3)

1111218

二一X一+—X—-1——X—二——.

33339327

17.對(duì)于數(shù)列｛4｝,如果存在正整數(shù)T，使得對(duì)任意〃(〃eN*),都有%+?=%,那么數(shù)列｛4｝就叫做周

期數(shù)列，T叫做這個(gè)數(shù)列的周期.若周期數(shù)列｛〃｝,｛&｝滿足：存在正整數(shù)左，對(duì)每一個(gè)都

有4=q,我們稱數(shù)列也｝和｛cn｝為“同根數(shù)列”.

=1

（1）判斷數(shù)列%=sinmi、然=｛3,〃=2是否為周期數(shù)列.如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是,

、bn_「b田〃>3

說明理由；

（2）若｛%｝和｛〃｝是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是加+2和掰+4（冽eN*）,求上的最大值.

【答案】（1）答案見解析

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)周期數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可；

（2）根據(jù)同根數(shù)列的定義分類討論進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

｛。"｝、｛4｝均是周期數(shù)列,理由如下:

因?yàn)閍“+i=sin（?+1）7i=0=sin/771=an,

所以數(shù)列｛%｝是周期數(shù)列，其周期為1（或任意正整數(shù)）.

因?yàn)椤?3=4+2一”+1=bn+x-bn-bn+l=-bn,

所以b“+6=-b”+3=b".

所以數(shù)列｛4｝是周期數(shù)列，其周期為6（或6的正整數(shù)倍）.

【小問2詳解】

當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，首先證明k^2m+5不存在數(shù)列滿足條件.

假設(shè)左巳2加+5,即對(duì)于1Wz'W2/"+5,都有q=4.

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因?yàn)?粼+,(5</<m+4),

所以％_2=b—=%-4(5</<m+4),

即%=%=〃5=…=Q加+2，及。2=。4=〃6=…=Q加+1?

又I=加+5時(shí),%=%(m+2)+l=b2m+5=b)n+l=<2?!+1,

所以%+i=%，與工的最小值是加+2矛盾.

其次證明k=2m+4存在數(shù)列滿足條件.

m+3

l,i=2k-l\\<k<

2

取a(m+2)I+i(kN)

2,i=2k\l<k<^^

m+3

l,i=2k-l\\<k<

2

2,i=2k\l<k<^-

及%+4)/+/=(/eN),

l,z=m+3

2,z=m+4

對(duì)于冽+4,者B有為=4.

當(dāng)加是偶數(shù)時(shí)，首先證明左三2〃?+4時(shí)不存在數(shù)列滿足條件.

假設(shè)左22加+4,即對(duì)于1W/W2加+4,都有4=白.

因?yàn)閮?廣粼+,(5<t<m+3),

所以q_2=2T=。一4(5〈/〈加+3),

即％=%=%=..,="m+i，及=&=.,,=a,,,.

又f=根+4時(shí)，am+2=bm=am,

所以%+2=%，與1的最小值是加+2矛盾.

其次證明k=2加+3時(shí)存在數(shù)列滿足條件.

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l,i=2k-l

2,i=2k

3,z=m+2

l,i=2k-1

2,i=2k

及%^勺中=

3,z=m+2

l,z=m+3

2,i=m+4

對(duì)于1W/W2加+3,都有為=4.

綜上，當(dāng)加是奇數(shù)時(shí)，k的最大值為2加+4；

當(dāng)加是偶數(shù)時(shí)，左的最大值為2加+3.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解同根數(shù)列的定義，運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.

18.已知拋物線=2x的焦點(diǎn)為/，其準(zhǔn)線/與無軸交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸的直線與。交于48兩點(diǎn)（點(diǎn)A

在點(diǎn)8的左側(cè)）.

（1）若點(diǎn)A是線段網(wǎng)的中點(diǎn)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）若直線/下與C交于點(diǎn)。，記△HD尸內(nèi)切的半徑為「，求廠的取值范圍.

【解析】

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)/（/，%），根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系可求3,再利用8在拋物線上可求A的坐標(biāo)；

（2）分別聯(lián)立直線AB方程與拋物線的方程、直線力尸的方程與拋物線的方程后可得瓦。關(guān)于尤軸對(duì)稱,

再利用等積法可求內(nèi)切圓半徑，結(jié)合單調(diào)性可求其范圍.

【小問1詳解】

由題意知尸［-go）,設(shè)點(diǎn)/（/Jo），

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因?yàn)辄c(diǎn)A是線段PB的中點(diǎn)，所以B[/+),2%],

又點(diǎn)48都在拋物線。上，所以1,

4jo=2^2xo+-J

1門行1fl0

解得x°=_L,V°=+在，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為-，^-或-,-^-

。4」。±2[42J[42J

【小問2詳解】

由題意可知直線AB的斜率存在且不為0,

設(shè)直線48的方程為了="x+g),左w0,T1(X1,J1),J8(X2,J2),

由點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)，則0<%<》2,

設(shè)￡)(x3,%)，直線AD與x軸交于點(diǎn)￡,

，得左+(左一卜，，

聯(lián)立22+=0

、「=2x

由A=(/—27一44=4—4父〉0，得一1＜左＜1,470,

2-F1皿,八1

X1+X2=—p—,再入2=1，所以0＜再＜5＜%，

而所以直線/方的斜率存在，所以直線/方的方程為〉5

7

與j?=2x聯(lián)立得，J；——[y；+2x；—2x1+—jx+—=0,

|2x；+—jx+—=0,解得x———或x=再，

1

因?yàn)橹本€/尸的斜率存在，所以V蝠i,所以助人軸.

所以S-的=5(x2+5)2昆|，

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1r-i——J>1

令，=%--，則/111，

2V2r-l+r2+1

因?yàn)閥=，r=x-2,y=--—,y=［在。,+8）上均單調(diào)遞減,

x2x-lx

則y——+與在。,+。）上單調(diào)遞減,

V2x-lxx

1

所以'―/1JJ在（L+8）上單調(diào)遞增，

所以外〉7-=72-1,

V2+1

所以廠的取值范圍為（行—1,+"）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中范圍計(jì)算通常有下面的幾種方法:

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(1)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，利用基本不等式求范圍；

(2)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求范圍；

(3)結(jié)合目標(biāo)圖形的幾何特征計(jì)算范圍；

(4)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求范圍.

19.黎曼猜想是解析數(shù)論里的一個(gè)重要猜想，它被很多數(shù)學(xué)家視為是最重要的數(shù)學(xué)猜想之一.它與函數(shù)

Vs-1

/(%)=-—(X>O,S>1,S為常數(shù))密切相關(guān)，請(qǐng)解決下列問題.

八)ex-l

(1)當(dāng)1<SW2時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)s