湖北省武漢市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)四月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷（含答案與解析）

武漢市2024屆高中畢業(yè)生四月調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試卷

武漢市教育科學(xué)研究院命制

本試題卷共4頁(yè)，19題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

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注意事項(xiàng)：

L答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答

題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

2i.

1復(fù)數(shù)1+1，貝4L()

A.1B.72C.73D.75

2.已知集合A={%|%?-2x-3<0},3={x|V-4x<0,xeZ},則AB=()

A{2,3,4}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{1,2,3}

3.設(shè)W是兩條不同的直線，a,4是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()

A.若。_L￡,ma,則m_L/7

B.若a10,mua,則加_L/?

C.若加a.nVa,則根_L〃

D.若廠a,則〃_La

4.（2x—3）（x—1）5的展開式中丁的系數(shù)為（）

A.—50B.-10C.10D.50

5.記1=3°2,b=0.3一=log02（）.3,則（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

記等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為s,,若S8=8,、2

6.=26,則S4=（）

A.1B.2C.3D.4

7.點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形A5CDEE邊上的動(dòng)點(diǎn)，則R4.P3的最大值為（）

1113

A.2B.—C.3D.—

44

22

8.已知雙曲線E:=-3=1（?！?]〉0）的右焦點(diǎn)為P，其左右頂點(diǎn)分別為A,3,過(guò)尸且與x軸垂直

a"b"

的直線交雙曲線E于M,N兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為P,若直線6P與直線AN的交點(diǎn)在,軸上，則雙

曲線E的離心率為（）

A.2B.3C.72D.73

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分.

9.已知函數(shù)/（X）=sin2x+sin12x+g],則（；

1

A.函數(shù)是奇函數(shù)B.函數(shù)+是偶函數(shù)

（jr77T\

C.7（%）的最大值是6D./（九）在區(qū)間正上單調(diào)遞減

10.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對(duì)稱形態(tài)，圖（2）形成“右

拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（）

A.圖(1)的平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)

B.圖(2)平均數(shù)〈眾數(shù)〈中位數(shù)

C.圖(2)的眾數(shù)〈中位數(shù)〈平均數(shù)

D.圖(3)平均數(shù)〈中位數(shù)〈眾數(shù)

11.定義在R上的函數(shù)"%)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為了'(%)和g'(x),若g(x)_〃3r)=2,

f'(x)=g'[x-l),且g(—x+2)=—g(x+2),則下列說(shuō)法中一定正確的是()

A.g(x+2)為偶函數(shù)B./'(x+2)為奇函數(shù)

2024

C.函數(shù)是周期函數(shù)D.(左)=0

k=T

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.設(shè)橢圓土+匕=1的左右焦點(diǎn)為耳,耳，橢圓上點(diǎn)P滿足|尸聞：歸耳|=2:3,則月的面積為

13.己知圓臺(tái)體積為14兀，其上底面圓。?半徑為1,下底面圓。2半徑為4,則該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為

14.設(shè)A,5c是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則cosA(3sinB+4sinC)的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

J*

15.已知」45c三個(gè)內(nèi)角ASC所對(duì)的邊分別為且——=----.

c3b-a

(1)求sinC的值；

(2)若ABC的面積s=5&，且。=后(。一/>),求.ABC的周長(zhǎng).

16.已知函數(shù)/(x)=hix-av+x2.

(1)若。=T,求曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)討論了(%)的單調(diào)性.

17.如圖，三棱柱A3C-A4G中，側(cè)面43用4,底面ABC，AB=BB[=2,AC=2?

/454=60°,點(diǎn)。是棱4耳的中點(diǎn)，BC=4BE，DE1BC.

(1)證明：AC±BB}.

(2)求直線8月與平面DE4,所成角的正弦值.

18.已知拋物線E:y=f,過(guò)點(diǎn)T(L2)的直線與拋物線E交于A3兩點(diǎn)，設(shè)拋物線E在點(diǎn)A3處的切

線分別為4和，2，已知4與X軸交于點(diǎn)用」2與X軸交于點(diǎn)N,設(shè)4與4的交點(diǎn)為P.

(1)證明：點(diǎn)p在定直線上；

(2)若cPMN面積為四,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)若P,M,N,T四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

19.已知常數(shù)qw(0,1),在成功的概率為。的伯努利試驗(yàn)中，記X為首次成功時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)，X的

取值為所有正整數(shù)，此時(shí)稱離散型隨機(jī)變量X的概率分布為幾何分布.

_oo(_n、

(1)對(duì)于正整數(shù)左，求P(X=4,并根據(jù)E(X)=\AP(X=M=!吧[1小(X=A)J,求￡(x)；

(2)對(duì)于幾何分布的拓展問(wèn)題，在成功的概率為。的伯努利試驗(yàn)中，記首次出現(xiàn)連續(xù)兩次成功時(shí)所需的

試驗(yàn)次數(shù)的期望為用，現(xiàn)提供一種求當(dāng)?shù)姆绞剑合冗M(jìn)行第一次試驗(yàn)，若第一次試驗(yàn)失敗，因?yàn)槌霈F(xiàn)試驗(yàn)

失敗對(duì)出現(xiàn)連續(xù)兩次成功毫無(wú)幫助，可以認(rèn)為后續(xù)期望仍是后2,即總的試驗(yàn)次數(shù)為(用+1)；若第一次試

驗(yàn)成功，則進(jìn)行第二次試驗(yàn)，當(dāng)?shù)诙卧囼?yàn)成功時(shí)，試驗(yàn)停止，此時(shí)試驗(yàn)次數(shù)為2,若第二次試驗(yàn)失敗，

相當(dāng)于重新試驗(yàn)，此時(shí)總的試驗(yàn)次數(shù)為(與+2).

⑴求片2;

(ii)記首次出現(xiàn)連續(xù)〃次成功時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)的期望為紇，求心.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

2=：~~7+1\\=

1.復(fù)數(shù)1+1，貝ipzL()

A.1B.V2C.73D.逐

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則與模長(zhǎng)定義計(jì)算即可得.

2i.2隼—i)

【詳解】Z=---Fl+i=l+2i則忖==

1+i0+i)(l—i)

故選：D.

2.已知集合A={x|V-2x-3<0},3={x|Y-4x<QxeZ},則AB=()

A.{2,3,4}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{1,2,3}

【答案】B

【解析】

【分析】先求解集合A,3,再利用交集運(yùn)算進(jìn)行求解.

【詳解】A={x|/一2無(wú)一3<C)}={尤I—1<x<3},B=1x|x2-4%<0,%ez|=11,2,3},

所以AB={1,2}.

故選：B

3.設(shè)機(jī)，〃是兩條不同的直線，名尸是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()

A.若。_L/?,ma,則加_L/?

B.若a_L萬(wàn),/nua,則加_L/?

C.若加a,n1.a,則根_L〃

D.若帆a,則〃J_c

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件及借助正方體，結(jié)合點(diǎn)線面的位置關(guān)系即可求解.

【詳解】如圖所示

對(duì)于A,設(shè)平面a為平面A3CD,平面夕為平面3CC4,加為4G，則機(jī)?,則故

A錯(cuò)；

對(duì)于B,設(shè)平面a為平面ABCD,平面夕為平面BCCJB］,加為AD,則。_L/?,〃zutz,則m/3,故B

錯(cuò)；

對(duì)于C,過(guò)加作平面/與平面a交于直線b,ma,貝1］加.b,n±a,可得〃_L/?,則m_L〃，故

C正確；

對(duì)于D,設(shè)平面e為平面ABC。，AB］為m,B?為n,則6_1_〃，帆a,則“〃。，故D錯(cuò).

故選：C.

4.(2x—3)(%-1)5的展開式中V的系數(shù)為()

A.-50B.-10C.10D.50

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理得出(X-1),展開式的通項(xiàng)，求出T3，A，進(jìn)而得出X，的系數(shù).

【詳解】(x—1)5展開式的通項(xiàng)為(M=C)5T(-iy,則1=10/,7；=-10x2,故(2x—3)(x—1)5展

開式中/的系數(shù)為2x(—10)+(—3)x10=-50.

故選：A

02-（）2

5.Ha=3,Z?=0.3,c=log020.3,則（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

【答案】D

【解析】

【分析】對(duì)于〃,方可化成同指的兩個(gè)指數(shù)再利用基函數(shù)單調(diào)性比較大小，對(duì)于。和。涉的大小關(guān)系利用中間

值法即可.

【詳解】因?yàn)閎=0.3一°2=（g）,幕函數(shù)y=在（0,+“）上單調(diào)遞增，

又?〉3,所以[][2>3°2>3°=1，

所以

又對(duì)數(shù)函數(shù)y=log02x在（0,+“）上單調(diào)遞減，所以c=log020.3<log020.2=1,

故

故選：D.

6.記等比數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S.，若S8=8,S]2=26,則S4=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，S.Sg-S4，Si2-Sg成等比數(shù)列，可解出

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且等比數(shù)列｛4｝的前項(xiàng)和為5.，

所以S’,Sg—色，%—S&成等比數(shù)列，則應(yīng)—S4J=?（$2—S&），

即（8_S4）2=S/（26_8）,解得S4=32或$4=2.

設(shè)等比數(shù)列｛4｝公比為q,則qwl,

務(wù)=±M=1+/>1,則58〉邑〉0,得邑=2.

故選：B

7.點(diǎn)尸是邊長(zhǎng)為1的正六邊形A3CDEE邊上的動(dòng)點(diǎn)，則QA.PB的最大值為(）

A.2B.—C.3D.—

44

【答案】c

【解析】

【分析】借助中點(diǎn)。和平方差公式得R4-P3=(PQ+QA》(PQ—QA)=PQ2—；,再探究尸。的最

大值即可.

【詳解】分別取A3,OE中點(diǎn)Q,R,連接P。，QR,

則由題QA=g，BD2=DC~+BC2-2DCxBCxcosZBCD=l+l-2xlxlxcosl20=3.即

BD=6

所以8=,西+BD?

作圖如下，由圖可知當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)到D或E時(shí)PQ最大,

所以PAP3=（PQ+QA）（PQ+Q3）=（PQ+QA）（PQ_QA）

-222121

=PQ_QA=PQ--<QD—7=3,

44

所以PR.PB的最大值為3.

故選：C

22

8.已知雙曲線￡:二-4=1(?！?］〉0)的右焦點(diǎn)為P，其左右頂點(diǎn)分別為A,8,過(guò)歹且與x軸垂直

ab

的直線交雙曲線石于M,N兩點(diǎn)，設(shè)線段板的中點(diǎn)為尸，若直線族與直線AN的交點(diǎn)在＞軸上，則雙

曲線E的離心率為()

A2B.3C.72D.^3

【答案】B

【解析】

A2A2A2

【分析】根據(jù)題意可得4-a,。)，B(a,O),F(c,O),,N(c,-—),P(c,—),分別求出直線

aala

成和AN的方程，從而得到直線嚴(yán)和4V與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出答案.

【詳解】由題可得：A(-?,0),B(a,O),F(c,O),M(c,匚),N(c,—以)，P(c,—),

aa2a

__c+a

所以7_2。_C+。，直線5P的方程為：y=——(X—a)，

K2a

BP=c-a=~2—a

令％=0,解得：J=_￡±￡；所以直線Bp與＞軸交點(diǎn)為］(),一言；

2

__b_c—ci

由于7_。―〃，則直線AN的方程為：y=-----(x+〃),

aa

^AN=-c+'—a=a

令X=O,解得：y=a-c,所以直線AN與y軸交點(diǎn)為(o,a—c),

因?yàn)橹本€成與直線AN的交點(diǎn)在y軸上，所以a—c=-----,解得：c=3a,

2

所以雙曲線E的離心率0=工=3,

a

故選：B

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分.

9.己知函數(shù)/(x)=sin2x+sin[+,則(

)

A.函數(shù)八x.是奇函數(shù)B.函數(shù)/是偶函數(shù)

C.八%）的最大值是百D.7（%）在區(qū)間上單調(diào)遞減

【答案】BD

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)/（%）解析式，由此結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，得到正確答案.

【詳解】由/(x)=sin2x+sin|2x+g=sin2x+[-Lin2x+且cos2x

122J

cos2x=sin2x+—,

22I3J

兀(71

對(duì)于A,g(x)=fX——=sin2%-j+—=sin2x--\,

33I3

因?yàn)間（T）=sinf-2%-^-=-sin12%+三卜一g(（xX）,故A錯(cuò)誤;

兀兀兀

對(duì)于B,y=/(x+j=sin2卜+春)+]=sin[2x+5)=cos2x是偶函數(shù)，故B正確;

12122

n

對(duì)于C,由/（x）=sin|2%+工卜最大值為1,故C錯(cuò)誤;

3

jr7冗2兀IT3冗

對(duì)于D,-<%<—,則一<2x+—<——，由正弦函數(shù)的單調(diào)性知,

612332

71717兀

函數(shù)/(x)=sin|2x+—在上單調(diào)遞減.故D正確.

3

故選：BD.

10.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對(duì)稱形態(tài)，圖（2）形成“右

拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（）

A.圖(1)的平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)

B.圖(2)的平均數(shù)〈眾數(shù)〈中位數(shù)

C.圖(2)的眾數(shù)〈中位數(shù)〈平均數(shù)

D.圖(3)的平均數(shù)〈中位數(shù)〈眾數(shù)

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念結(jié)合圖形分析判斷.

【詳解】圖(1)的分布直方圖是對(duì)稱的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A正確;

圖(2)眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B錯(cuò)誤，C正確；

圖(3)左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.

故選：ACD.

11.定義在R上的函數(shù)〃%)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為了'(%)和g'(x),若g(x)_〃3r)=2,

/'(尤)=g'(尤-1),且g(—x+2)=—g(x+2),則下列說(shuō)法中一定正確的是()

A.g(x+2)為偶函數(shù)B./'(x+2)為奇函數(shù)

2024

C.函數(shù)/(%)是周期函數(shù)D.Zg(左)=0

k=\

【答案】BCD

【解析】

【分析】結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性與周期性的定義，借助賦值法與函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷

即可得.

【詳解】對(duì)A：由g(—x+2)=—g(x+2),故g(x+2)為奇函數(shù)，

若g(x+2)為偶函數(shù)，則g(x)=0,與條件不符，故A錯(cuò)誤;

對(duì)B：由g(x)_/(3r)=2,貝?。輌'(x)+/'(3-x)=O,

又/'(%)=g'(xT),即/'(x+1)=g'(x)=-/'(3-%)，

即f\x+2)=-f'(2-x),又/'(尤+2)定義在R上，

故/"(x+2)為奇函數(shù)，故B正確；

對(duì)C：由g(—x+2)=—g(x+2),貝!|—g'(—x+2)=—g'(x+2),

即g'(—x+2)=g'(x+2),又/'(%)=g'(xT)，

則/(-x+3)=g\-x+2),(x+3)=g\x+2),

故r(-x+3)=ra+3),又f(x+2)=-r(2-x),

則/'(x+3)==/'(-x+3),即-f(x+l)=f(x+3),

則_小+3)=小+5)=小+1),

故函數(shù)/'(%)是周期函數(shù)4的周期函數(shù)，

則函數(shù)了(%)是周期函數(shù)4的周期函數(shù)，故C正確；

對(duì)D：由g(x)—/(3—x)=2,即g(x)=/(3—x)+2,

又函數(shù)"％)是周期函數(shù)4的周期函數(shù)，故g(x)是周期函數(shù)4的周期函數(shù)，

由g(—x+2)=—g(x+2),令x=0,貝i|g(2)=—g(2),即g⑵=0,

令％=1,則g(l)=_g(3),即g(l)+g(3)=0,

由g'(x)+/'(3-x)=。，/，(-x+3)=g,(-x+2),

則g'(%)=—g'(r+2),則g'(%)關(guān)于(LO)對(duì)稱，則g(x)關(guān)于x=l對(duì)稱,

又g(x+2)為奇函數(shù)，即g(x)關(guān)于(2,0)中心對(duì)稱，

故g(x)關(guān)于》=3對(duì)稱，則g(4)=g(2)=0,

2024

則Sg(左)=506[(?。)+g⑵+g⑶+g(4)]=506x0=0,故D正確.

k=l

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問(wèn)題，常見(jiàn)結(jié)論：

(1)關(guān)于對(duì)稱：若函數(shù)/⑺關(guān)于直線％=。軸對(duì)稱，則/(x)=/(2a-x),若函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,切中心

對(duì)稱，則/(x)=2Z?-f(2a-x),反之也成立;

(2)關(guān)于周期：若/(x+a)=—/(%),ng/(x+a)=--,/(x+a)=---,可知函數(shù)73的周

/(X)/(X)

期為2a.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.設(shè)橢圓*+會(huì)=1的左右焦點(diǎn)為片，工，橢圓上點(diǎn)P滿足歸片|:|尸"卜2:3,則心的面積為

【答案】12

【解析】

【分析】結(jié)合橢圓定理、勾股定理的逆定理與三角形面積公式計(jì)算即可得.

【詳解】由橢圓定義可得歸耳|+|尸閭=2a=10,

則有=：即附|=4,熙|=6，

又國(guó)耳|=2c=2^25—12=2而,

由42+62=52=(2A『，故/耳尸6=90。，

故SPFa=；x4x6=12.

故答案為：12.

13.已知圓臺(tái)。a的體積為14兀，其上底面圓a半徑為1,下底面圓。2半徑為%則該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為

【答案】V13

【解析】

【分析】由圓臺(tái)的體積求得圓臺(tái)的高/7,作出圓臺(tái)的軸截面，由勾股定理可求得結(jié)果.

【詳解】圓臺(tái)的上底面半徑為1,下底面半徑為4,設(shè)圓臺(tái)的高為人，

則該圓臺(tái)的體積為V=]x(12+42+ix4)/z=7M=147i,則〃=2,

作出圓臺(tái)的軸截面如圖所示,

上底面圓心為下底面圓心為N,MD=1,NC=4,

過(guò)。作。ELNC,則EC=4—1=3,又DE=h=2,

所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為DC=飛DE?+EC。=V22+32=713?

故答案為：s/13-

14.設(shè)A,5,C是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，貝i]cosA(3sinfi+4sinC)的最小值為.

【答案】一甯

【解析】

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦公式、輔助角公式、結(jié)合換元法得到了0)=25r+24r,

再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】cosA(3sinB+4sinC)=cosA[3sinB+4sin(兀一A-B)]=cosA(3sinB+4sinAcosB+4cosAsinB)

=cosA[(3+4cosA)sin3+4sinACOS可,

令3+4cosA=。,Z?=4sinA,

所以cosA(3siaB+4sinC)=cosA(asinB+Z?cos5)=y/a2+b2cosAsin(^+5),

要想cosA(3sirtB+4sinO有最小值，顯然A為鈍角，即cosA<0,

于是有+/cosAsin(e+3)NJ4+Z/cosA,

設(shè)/(A)=cosA-A/9+24COSA+16cos2A+16sin2A=cosA-425+24cosA,

因?yàn)閏osAvO,

所以/(A)=-725COS2A+24COS3A

令cosA=《—即/⑺=25r+24/,—1</<0=>/'")=50/+72/=2/(25+36。,

25

當(dāng)—l<t<—時(shí)，/,(r)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,

36

2s

當(dāng)一二＜f＜0時(shí)，/,（r）＜0,函數(shù)/0）單調(diào)遞減,

36

因此當(dāng)/=一2上s時(shí)，函數(shù)有最大值/25?x25

3636?x3

1256

所以"A）的最小值為—J著;

108

....25n.3n2J671

此時(shí)cosA=---二一＜A＜一，＜7=3+4COSA=-,Z?=-——，

362499

即存在tan6=必%紜］,顯然存在B,使得3+夕=巴，

2U2）2

即cosA（3sinB+4sinC）的最小值為_1?5幣

故答案為：-甯

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和定理把三個(gè)變量變成二個(gè)變量問(wèn)題，最后利用輔助

角公式就成一個(gè)變量，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求最值.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

J*

15.已知三個(gè)內(nèi)角ASC所對(duì)的邊分別為且——=-----

c3b-a

(1)求sinC的值;

（2）若，ABC的面積s=50，且。=痛（。一匕），求ABC的周長(zhǎng).

【答案】（1）sinC=—

3

（2）8+2后

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化，結(jié)合正弦函數(shù)的和差角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果;

（2）根據(jù)題意，由三角形的面積公式，結(jié)合余弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

cosC*cosy^.

由正弦定理可得，-----=------------,得：3sinBcosC—sinAcosC=cosAsinC.

sinC3sinB-sinA

所以3sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C).

又sin(A+C)=sin(兀-5)=sinB,且sinB/0，所以cosC=g.

由sinC>0,故sinC=Jl-cos2c=.

3

【小問(wèn)2詳解】

5=—absinC=572,所以oZ?=15.

2

由余弦定理，=/+/—20^^05。="+/—10.

Xc2=6(?-Z?)2=6(?2+^2)-180.

聯(lián)立得：a2+b2=34,c=2^/6.

a+b=da~+2ab—8,

所以一ABC的周長(zhǎng)為a+6+c=8+2C.

16.已知函數(shù)〃x)=lnx-ox+x2.

(1)若a=—l,求曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)討論了(九)的單調(diào)性.

【答案】(1)y=4x—2

(2)答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；

(2)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)。分類討論計(jì)算即可得.

【小問(wèn)1詳解】

〃=一1時(shí)，=lnx+j;+x2,/,(x)=—+1+2%,

r（i）=4,/（i）=2,

所求切線方程為y=4（x—1）+2,整理得：y=4x-2；

【小問(wèn)2詳解】

f'（x）=--a+2x=2x2~aX+l,

XX

因?yàn)閤>0,故aWO時(shí)，/'（幻>0"（力在（0,+。）上單調(diào)遞增，

當(dāng)?！?時(shí)，對(duì)于y=2x?-ax+l,A=4-8,

若O<a<20，則AW0,此時(shí)/'（x）NO,/（x）在（0,+“）上單調(diào)遞增，

若a>2A/2>令2x2-ax+1=0,得％="土〉。,

4

0cx時(shí),/（力>0"（力單調(diào)遞增；

4

+時(shí),/（可>0,”力單調(diào)遞增；

4

佇近三$<》（生五m時(shí)，尸（力<0,〃無(wú)）單調(diào)遞減；

44

綜上所述：aW2加時(shí)，"％）在（0,+8）上單調(diào)遞增；

I-/\<7—A/<7--8］<7+-8

a>2&時(shí)'/（%）在°，---------|、----------,+°°上單調(diào)遞增,

\\）

在］佇孚mEE］上單調(diào)遞減.

44

\7

17.如圖，三棱柱A3C-4耳G中，側(cè)面43用4,底面ABC,AB=%=2,AC=2瓜

ZB184=60°,點(diǎn)。是棱4耳的中點(diǎn)，BC=4BE，DE1BC.

（1）證明：AC±BBt.

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）

10

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理證明再由面面垂直的性質(zhì)定理得到DAL平面ABC,從

而ZML5C；根據(jù)題目條件解得5E=1，由勾股定理AC,AB；利用線面垂直的判定定理得證AC,

平面ABB14，所以AC，85].

（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線8月的方向向量和平面。切,的法向量，利用公式求出直線

BB]與平面DEA所成角的正弦值為巫.

10

【小問(wèn)1詳解】

連接ZM，EA，。4=1,朋=2,NZ>4A=60,

由余弦定理可得.=412+22—2.I.2.COS60=#>

滿足D42+D42=",所以加，￡叫，即可，46.

因?yàn)槠矫?3與4,平面ABC,且交線為A5,由ZMLA5，ZMu平面A3用人，得八4,平面ABC

由5Cu平面ABC,得ZMLBC,DA±AC

因?yàn)镺ELBC,DAcDE=D,且DA,DEu平面。LE，

所以3cl平面ZME.由AEu平面￡>AE,得3C_LAE.

設(shè)BE=t,CE=3t,有BT—/=人。2—⑶y,解得：/=],即5￡=1.

所以3C=4,滿足542+4。2=3。2,即AC.

又因?yàn)閆ML4C,DAr\AB=A,且DA,ABu平面

所以ACJ_平面AB44.

由BB]u平面ABgA,得AC±BB},

【小問(wèn)2詳解】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A3,AC,A￡＞分別為蒼％z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

(5拒)

DA}=(-1,0,0),E&=,---,A/3

I22J

設(shè)平面D島的法向量為=（羽y,z）,

-x=0

n-DA,-0

由《即《--x-^-y+y/3z=0

n-EA=0

}、22

取z=1,得到平面PBD的一個(gè)法向量n=（0,2,1）.

又明="=（-1,0,⑹，

設(shè)直線BBt與平面D%所成角的大小為0,

_73_V15

則sin8=cos〃,§4

問(wèn).忸聞A/5-A/410

所以直線B片與平面OK4,所成角的正弦值為巫

10

18.已知拋物線E:y=d,過(guò)點(diǎn)T（l,2）的直線與拋物線E交于A,3兩點(diǎn)，設(shè)拋物線E在點(diǎn)A,3處的切

線分別為4和4，已知4與X軸交于點(diǎn)與X軸交于點(diǎn)N,設(shè)4與，2的交點(diǎn)為P

（1）證明：點(diǎn)P在定直線上；

（2）若一,PMN面積為行，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）若P,/,N,T四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵（0,—2）或（2,2）

【解析】

【分析】（1）設(shè)4（%,才）,3（尤2，后），尸（如，力），利用導(dǎo)數(shù)求4和4的方程，進(jìn)而可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再聯(lián)

立直線A3、拋物線的方程，利用韋達(dá)定理分析求解；

（2）根據(jù)面積關(guān)系可得（王-尤2『（石々『=32,結(jié)合韋達(dá)定理分析求解；

（3）可知拋物線焦點(diǎn)分析可得PE是一？MN外接圓的直徑，結(jié)合垂直關(guān)系分析求解.

【小問(wèn)1詳解】

由y=,得y=2x,

設(shè)A（西芯）川%2,君）尸（馬，力）.

所以4方程為：y=2石（%—七）+4，整理得：y=2xxx—.

=

同理可得，4方程為：y2X2X—xj.

y=2K2X+%2

聯(lián)立方程＜J1;，解得《2

y=2X2X-x2

因?yàn)辄c(diǎn)T（l,2）在拋物線內(nèi)部，可知直線A5的斜率存在，且與拋物線必相交，

設(shè)直線A5的方程為丁=左"-1）+2,與拋物線方程聯(lián)立得：^-kx+k-2=0,

故九］+/=k,xvx2=k-2f

k

月f以九尸~p=k—2,可知yp~2xp一2.

所以點(diǎn)尸在定直線y=2x—2上.

【小問(wèn)2詳解】

在的方程中，令y=。，得"C，O}NC，

所以面積S=g|awHyp|=；|（玉_々）玉工2卜應(yīng).

故（國(guó)—々）2（玉々）2=（%+%）2—4%科2］（玉々）2=32,

代入玉+1=k,X9,=左—2可得：（左2_4k+8）（左~—4k+4）=32.

整理得［（左一2）2+8］［伏一2）2—4］=0,解得:左=0或（=4.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,-2）或（2,2）.

【小問(wèn)3詳解】

拋物線焦點(diǎn)由“會(huì),0得直線"F斜率3F=

可知MF_LVP,

同理NRLNP,所以小是外接圓的直徑.

若點(diǎn)T也在該圓上，則77P.

74

由得F=W，得直線7P的方程為：y=--（x-l）+2.

又點(diǎn)尸在定直線y=2x—2上,

16

x=一

y=(%-1)+29

聯(lián)立兩直線方程<7、)，解得<