廣東省越秀外國(guó)語(yǔ)學(xué)校新高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷及答案解析_第1頁(yè)
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廣東省越秀外國(guó)語(yǔ)學(xué)校新高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.對(duì)于任意,函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),函數(shù).若,則大小關(guān)系是()A. B. C. D.2.甲、乙、丙、丁四人通過(guò)抓鬮的方式選出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完鬮后,甲說(shuō):“我沒(méi)抓到.”乙說(shuō):“丙抓到了.”丙說(shuō):“丁抓到了”丁說(shuō):“我沒(méi)抓到."已知他們四人中只有一人說(shuō)了真話,根據(jù)他們的說(shuō)法,可以斷定值班的人是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3.將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為()A. B. C. D.4.已知復(fù)數(shù)z,則復(fù)數(shù)z的虛部為()A. B. C.i D.i5.已知集合的所有三個(gè)元素的子集記為.記為集合中的最大元素,則()A. B. C. D.6.已知函數(shù),若,則的最小值為()參考數(shù)據(jù):A. B. C. D.7.已知集合,,若,則()A.或 B.或 C.或 D.或8.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是A. B.C. D.9.已知,是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,若,則的最小值為()A. B. C.8 D.610.執(zhí)行如下的程序框圖,則輸出的是()A. B.C. D.11.設(shè)復(fù)數(shù)z=,則|z|=()A. B. C. D.12.在正方體中,球同時(shí)與以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切,球同時(shí)與以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切,且兩球相切于點(diǎn).若以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過(guò),設(shè)球的半徑分別為,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線方程為,則_______.14.已知雙曲線()的左右焦點(diǎn)分別為,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn),若,,則雙曲線的離心率的取值范圍為_(kāi)____.15.已知向量,且向量與的夾角為_(kāi)______.16.的展開(kāi)式中,項(xiàng)的系數(shù)是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知圓M:及定點(diǎn),點(diǎn)A是圓M上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B在上,點(diǎn)G在上,且滿足,,點(diǎn)G的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)設(shè)斜率為k的動(dòng)直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),與直線和分別交于P、Q兩點(diǎn).當(dāng)時(shí),求(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),將的圖象向左移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若,的一條對(duì)稱(chēng)軸是,求在的值域.19.(12分)的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,.求C;若,求,的面積20.(12分)某機(jī)構(gòu)組織的家庭教育活動(dòng)上有一個(gè)游戲,每次由一個(gè)小孩與其一位家長(zhǎng)參與,測(cè)試家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度.在每一輪游戲中,主持人給出A,B,C,D四種食物,要求小孩根據(jù)自己的喜愛(ài)程度對(duì)其排序,然后由家長(zhǎng)猜測(cè)小孩的排序結(jié)果.設(shè)小孩對(duì)四種食物排除的序號(hào)依次為xAxBxCxD,家長(zhǎng)猜測(cè)的序號(hào)依次為yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四個(gè)數(shù)字的一種排列.定義隨機(jī)變量X=(xA﹣yA)2+(xB﹣yB)2+(xC﹣yC)2+(xD﹣yD)2,用X來(lái)衡量家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度.(1)若參與游戲的家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解.(?。┣笏麄?cè)谝惠営螒蛑?,?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率;(ⅱ)求X的分布列(簡(jiǎn)要說(shuō)明方法,不用寫(xiě)出詳細(xì)計(jì)算過(guò)程);(2)若有一組小孩和家長(zhǎng)進(jìn)行來(lái)三輪游戲,三輪的結(jié)果都滿足X<4,請(qǐng)判斷這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣是否了解,說(shuō)明理由.21.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時(shí),求證:.22.(10分)已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求的取值范圍;(2)是否存在實(shí)數(shù),對(duì)于符合題意的任意,當(dāng)時(shí)均有?若存在,求出所有的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由已知可得的單調(diào)性,再由可得對(duì)稱(chēng)性,可求出在單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】對(duì)于任意,函數(shù)滿足,因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),當(dāng)時(shí),是單調(diào)增函數(shù),所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因?yàn)?,所以?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小,解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的代數(shù)形式,屬于中檔題..2、A【解析】

可采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,假設(shè)甲:我沒(méi)有抓到是真的,乙:丙抓到了,則丙:丁抓到了是假的,?。何覜](méi)有抓到就是真的,與他們四人中只有一個(gè)人抓到是矛盾的;假設(shè)甲:我沒(méi)有抓到是假的,那么?。何覜](méi)有抓到就是真的,乙:丙抓到了,丙:丁抓到了是假的,成立,所以可以斷定值班人是甲.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了合情推理及其應(yīng)用,其中解答中合理采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與分析判斷能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式,然后將四個(gè)選項(xiàng)代入逐一判斷即可.【詳解】解:圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,得到再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,故選:D【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì),基礎(chǔ)題.4、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出【詳解】,則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

分類(lèi)討論,分別求出最大元素為3,4,5,6的三個(gè)元素子集的個(gè)數(shù),即可得解.【詳解】集合含有個(gè)元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素為的集合有個(gè);最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;所以.故選:.【點(diǎn)睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問(wèn)題,其本質(zhì)在于弄清計(jì)數(shù)原理,分類(lèi)討論,分別求解.6、A【解析】

首先的單調(diào)性,由此判斷出,由求得的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值,由此求得的最小值.【詳解】由于函數(shù),所以在上遞減,在上遞增.由于,,令,解得,所以,且,化簡(jiǎn)得,所以,構(gòu)造函數(shù),.構(gòu)造函數(shù),,所以在區(qū)間上遞減,而,,所以存在,使.所以在上大于零,在上小于零.所以在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.而,所以在區(qū)間上的最小值為,也即的最小值為,所以的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.7、B【解析】

因?yàn)?所以,所以或.若,則,滿足.若,解得或.若,則,滿足.若,顯然不成立,綜上或,選B.8、B【解析】

方法一:令,則,,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,∴時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞增,時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿足題意;當(dāng)時(shí),存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時(shí),,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.故選B.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時(shí),與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得,故選B.9、C【解析】

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡(jiǎn),結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為,半焦距為,則,,設(shè)由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得:,則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào).故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式,屬于中等題.10、A【解析】

列出每一步算法循環(huán),可得出輸出結(jié)果的值.【詳解】滿足,執(zhí)行第一次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第二次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第三次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第四次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第五次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第六次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第七次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第八次循環(huán),,;不成立,跳出循環(huán)體,輸出的值為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖的計(jì)算,解題時(shí)要根據(jù)算法框圖計(jì)算出算法的每一步,考查分析問(wèn)題和計(jì)算能力,屬于中等題.11、D【解析】

先用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn),然后用模長(zhǎng)公式求模長(zhǎng).【詳解】解:z====﹣﹣,則|z|====.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

由題先畫(huà)出立體圖,再畫(huà)出平面處的截面圖,由拋物線第一定義可知,點(diǎn)到點(diǎn)的距離即半徑,也即點(diǎn)到面的距離,點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到面的距離因此球內(nèi)切于正方體,設(shè),兩球球心和公切點(diǎn)都在體對(duì)角線上,通過(guò)幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出,進(jìn)而求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義,點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等,其中點(diǎn)到點(diǎn)的距離即半徑,也即點(diǎn)到面的距離,點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到面的距離,因此球內(nèi)切于正方體,不妨設(shè),兩個(gè)球心和兩球的切點(diǎn)均在體對(duì)角線上,兩個(gè)球在平面處的截面如圖所示,則,所以.又因?yàn)椋虼?,得,所?故選:D【點(diǎn)睛】本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化,拋物線幾何性質(zhì)的使用,內(nèi)切球的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化思想,直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

求出導(dǎo)函數(shù),由切線方程得切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo),從而可求得.【詳解】由題意,∵函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為,∴,解得,∴.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出導(dǎo)函數(shù)是解題基礎(chǔ),14、【解析】

法一:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得,,,又由雙曲線的定義得,將離心率表示成關(guān)于的式子,再令,則,令對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)在上單調(diào)性,可求得離心率的范圍.法二:令,,,,,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得,將離心率表示成關(guān)于角的三角函數(shù),根據(jù)三角函數(shù)的恒等變化轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),可求得離心率的范圍.【詳解】法一:,,,,,,設(shè),則,令,所以時(shí),,在上單調(diào)遞增,,,.法二:,,令,,,,,,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問(wèn)題,關(guān)鍵在于將已知條件轉(zhuǎn)化為與雙曲線的有關(guān),從而將離心率表示關(guān)于某個(gè)量的函數(shù),屬于中檔題.15、1【解析】

根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】解:∵向量,且向量與的夾角為,∴||;所以:?()2cos2﹣2=1,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義,屬于基礎(chǔ)題.16、240【解析】

利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,令x的指數(shù)等于3,計(jì)算展開(kāi)式中含有項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】由題意得:,只需,可得,代回原式可得,故答案:240.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用,相對(duì)不難.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)題意得到GB是線段的中垂線,從而為定值,根據(jù)橢圓定義可知點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓,即可求出曲線C的方程;(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,表示處的面積代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可求范圍.【詳解】(1)為的中點(diǎn),且是線段的中垂線,,又,∴點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓,設(shè)橢圓方程為(),則,,,所以曲線C的方程為.(2)設(shè)直線l:(),由消去y,可得.因?yàn)橹本€l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以,.①又由可得;同理可得.由原點(diǎn)O到直線的距離為和,可得.②將①代入②得,當(dāng)時(shí),,綜上,面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】此題考查了軌跡和直線與曲線相交問(wèn)題,軌跡通過(guò)已知條件找到幾何關(guān)系從而判斷軌跡,直線與曲線相交一般聯(lián)立設(shè)而不求韋達(dá)定理進(jìn)行求解即可,屬于一般性題目.18、(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2).【解析】

(1)由題意利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求得的解析式,然后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性,得出結(jié)論;(2)由題意利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性求得,再根據(jù)余弦函數(shù)的定義域和值域,得出結(jié)論.【詳解】由題意得(1)向左平移個(gè)單位得到,增區(qū)間:解不等式,解得,減區(qū)間:解不等式,解得.綜上可得,的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2)由題易知,,因?yàn)榈囊粭l對(duì)稱(chēng)軸是,所以,,解得,.又因?yàn)?,所以,?因?yàn)?,所以,則,所以在的值域是.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象變換規(guī)律,余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性,余弦函數(shù)的單調(diào)性和值域,屬于中檔題.19、(1).(2).【解析】

由已知利用正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求,結(jié)合范圍,可求,由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可得,結(jié)合范圍,可求A,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解得C的值.由及正弦定理可得b的值,根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】由已知可得,又由正弦定理,可得,即,,,,即,又,,或舍去,可得,.,,,由正弦定理,可得,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,二倍角的余弦函數(shù)公式,三角形的內(nèi)角和定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,三角形的面積公式等知識(shí)在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.20、(1)(?。áⅲ┓植急硪?jiàn)解析;(2)理由見(jiàn)解析【解析】

(1)(i)若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的,家長(zhǎng)的排序有種等可能結(jié)果,利用列舉法求出其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,由此能求出他們?cè)谝惠営螒蛑?,?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率.

(ii)根據(jù)(i)的分析,同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況,家長(zhǎng)的排序一共有24種情況,由此能求出X的分布列.

(2)假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解,在一輪游戲中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三輪游戲結(jié)果都滿足“X<4”的概率為,這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小,從而這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解.【詳解】(1)(i)若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的,先考慮小孩的排序?yàn)閤A,xB,xC,xD為1234的情況,家長(zhǎng)的排序有=24種等可能結(jié)果,其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,分別為:2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,∴家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P=.基小孩對(duì)四種食物的排序是其他情況,只需將角標(biāo)A,B,C,D按照小孩的順序調(diào)整即可,假設(shè)小孩的排序xA,xB,xC,xD為1423的情況,四種食物按1234的排列為ACDB,再研究yAyByCyD的情況即可,其實(shí)這樣處理后與第一種情況的計(jì)算結(jié)果是一致的,∴他們?cè)谝惠営螒蛑校瑢?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率為.(ii)根據(jù)(i)的分析,同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況,家長(zhǎng)的排序一共有24種情況,列出所有情況,分別計(jì)算每種情況下的x的值,X的分布列如下表:X02468101214161820P(2)這位家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣比較了解.理由如下:假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解,由(1)可知,在一輪游戲中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三輪游戲結(jié)果都滿足“X<4”的概率為()3=,這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小,∴這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解.【點(diǎn)

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