2024高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)圓錐曲線：調(diào)和點(diǎn)列-極點(diǎn)極線

2024高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)

圓錐曲線專題:調(diào)和點(diǎn)列-極點(diǎn)極線

一、問題綜述

（一）概念明晰（系列概念）:

1.調(diào)和點(diǎn)列:如圖,在直線I上有兩基點(diǎn)43,則在I上存在兩點(diǎn)C,D到4B兩點(diǎn)的距離比值為定值,即

=pf?=九則稱順序點(diǎn)列A,C,B,D四點(diǎn)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列（易得調(diào)和關(guān)系+^）°

同理,也可以C,。為基點(diǎn)，則順序點(diǎn)列A,C,B,D四點(diǎn)仍構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列。所以稱和稱為調(diào)和共

輾。

ACBD

2.調(diào)和線束:如圖，若AC,構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，O為直線AB外任意一點(diǎn),則直線04,0。,OB,OD稱為調(diào)

和線束。若另一直線截調(diào)和線束,則截得的四點(diǎn)仍構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列。

3.阿波羅尼斯圓:如圖為平面中兩定點(diǎn)，則滿足第=4（421）的點(diǎn)P的軌跡為圓O,AB互為反

演點(diǎn)。由調(diào)和點(diǎn)列定義可知，圓。與直線AB交點(diǎn)滿足AC,四點(diǎn)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列。

4.極點(diǎn)極線:如圖，AB互為阿圓。反演點(diǎn)，則過B作直線，垂直則稱A為，的極點(diǎn)，，為A的極線.

?1?

5.極點(diǎn)極線推廣(二次曲線的極點(diǎn)極線)：

(1).二次曲線4c2+B娟+Da+Ey+F=O極點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線為

…加+0^2￡+可+葉+公。

工2-XoX,yU認(rèn)y,gi細(xì)產(chǎn)，工一罵二辿一雪幺(半代半不代)

(2)圓錐曲線的三類極點(diǎn)極線(以橢圓為例):橢圓方程考■+￡■=1

a匕

①極點(diǎn)P(g,%)在橢圓外，P4,PB為橢圓的切線，切點(diǎn)為AB

②極點(diǎn)P(g,隊(duì))在橢圓上，過點(diǎn)P作橢圓的切線Z,

③極點(diǎn)P(g,%)在橢圓內(nèi)，過點(diǎn)P作橢圓的弦AB,

分別過AB作橢圓切線,則切線交點(diǎn)軌跡為極線等+嬰=1；

ab

(3)圓錐曲線的焦點(diǎn)為極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線為極線.

(二)亶要削

性質(zhì)1：調(diào)和點(diǎn)列的幾種表示形式

如圖，若4GB，。四點(diǎn)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，則有

4§7=4^=^^^=^+^^OC2=OB-OA^AC-AD=AB-AO^AB-OD=AC-BD

BCBDABADAC

?2?

性質(zhì)2：調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線

如圖,過極點(diǎn)P作任意直線,與橢圓及極線交點(diǎn)跖RN則點(diǎn)昭D,N,P成調(diào)和點(diǎn)列（可由阿圓推廣）

性質(zhì)3：極點(diǎn)極線配極原則

若點(diǎn)A的極線通過另一點(diǎn)。，則。的極線也通過一般稱A、。互為共趣點(diǎn).

推廣:如圖,過極點(diǎn)P作兩條任意直線,與橢圓分別交于點(diǎn)兒W,HG,則MG,HN的交點(diǎn)必在極線上，反之

也成立。

二、典例分析

類型1:客觀題中結(jié)論的直接運(yùn)用

例L（2013-山東）過點(diǎn)（3,1）作圓（0—1）2+*=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B則直線的方程為

（）

A.21+4-3=0B.2力一g—3=0C.4/一g—3=0D.4力+g—3=0

解析:直線AB是點(diǎn)（3,1）對(duì)應(yīng)的極線，則方程為O——D++g—故選A.

例2.（2010-湖北）已知橢圓C?%+才=1的兩個(gè)焦點(diǎn)&&點(diǎn)P（xo,yo）滿足0〈詈+*V1,則

啟園+|P勾的取值范圍為，直線等+"政=1與橢圓。的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是.

解析：由題知，點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部且與原點(diǎn)不重合.則當(dāng)P點(diǎn)在線段RE上除原點(diǎn)時(shí)，（|P局+|P￡|）min=

2,當(dāng)P在橢圓上時(shí)，（區(qū)局+[PE|）mM=2a=22,則\PF,\+\PF,\的取值范圍為[2,22）.

點(diǎn)和直線等+2M=1恰好是橢圓的一對(duì)極點(diǎn)和極線，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓內(nèi)，所以極線與橢圓相

離，故極線與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0.

點(diǎn)呼:因客觀題不需要嚴(yán)格證明，所以一些高觀點(diǎn)的運(yùn)用，往往能達(dá)到秒解的效果,從這兩個(gè)高考題也可

?3?

看出，用普通方法也可解出結(jié)果，但用極點(diǎn)極線理論基本秒解,這就拉開了尖子生和普通生的差距，達(dá)到

了高考選拔人才的功能。

類型2：解答題中高觀點(diǎn)分析

一-記2010年江蘇卷一題多解（硬解/整體代換/仿射變換/調(diào)和點(diǎn)列/曲線系/極點(diǎn)極線）

例3.（2010江蘇18）在平面直角坐標(biāo)系，。,中，如圖，已知橢圓（+誓=1的左右頂點(diǎn)為右頂點(diǎn)為F,

95

設(shè)過點(diǎn)T（tg）的直線T4TB與橢圓分別交于點(diǎn)朋Xg,%），N（如紡），其中館>0,%>0,夕2Vo.

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足？嚴(yán)—92=4,求點(diǎn)P的軌跡；

（2）設(shè)g=2,g=方，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

（3）設(shè)方=9,求證:直線7W7V必過力軸上的一定點(diǎn).（其坐標(biāo)與nz無關(guān)）

解析,方法一（高考標(biāo)準(zhǔn)答案1）3

直線AT:y=黑3+3），直線BT:y=等（力一3）,設(shè)7W（力紡），

12o

Vi=法（力i+3）

聯(lián)立4r與橢圓，則

V+T=1

240—37n2

2

X1=2240—3加40m3V??—60—20m

得80+mpn，同理N，★

407n，同2222

80+m'80+m20+m'20+m

yi80+m2

處理一（特殊+驗(yàn)證h

當(dāng)力尸灰（為W垂直/軸），解得m=2V10,MN方程為力=1,過定點(diǎn)0（1,0）；

40m—20??2

80+m210m20+m210m

當(dāng)力1W/2，^MD=萬，島VD=，及河,Z?,N三點(diǎn)共線，即M,N過

240—3m2_i40—TYI3館2—60_]40—TYI

80+m220+XYl

定點(diǎn)。（1,0）

240—3m2240—3館23館2—60

x—2

處理二（硬解直線方程）：由★得MN方程為:——80+m80+772,20+恒,

40m40m—20m

y-2

80+m80+m220+

令沙=0，解得2=1，即令,N過定點(diǎn)（1,0）

-4?

方法二(多元未知數(shù)整體處理此法適用于過橢圓兩頂點(diǎn)問題):

直線AT:y=黑(6+3)，直線BT:y=等(劣一3),設(shè)M(Xi,yJ,N(X2,y。，

126

帶入直線4T,BT消去利得半7X2=*7①

4i+3x2~o

g90-3

---

9+35g

-g2即

由橢圓年+卷=1可得95g9+3，帶入①得

---出

-35g

—3?上_x2=—3?%也，即出2="■②，①可變形(取倒)為"~二%WX2③

5%5y2yi%yi紡

(②+③)/3得：上=R二(對(duì)比直線兩點(diǎn)式或與(1,0)斜率)，即MN過定點(diǎn)(1,0)

V1V2

方法三(伸縮(仿射)變換+調(diào)和點(diǎn)列)?

補(bǔ)充知識(shí).(1)放射變換為另一專題

⑵如圖，在AABC中，三條高交于點(diǎn)F,高的垂足OE交AF于G,則4G,F月成調(diào)和點(diǎn)列，即條=

KJF

AH

~FH

22

如圖，可將橢圓4+%=1伸縮變換為/+*=9,因?yàn)锳AMB=4ANB=90°,則B為AATF高的交

95

點(diǎn)，

由上述性質(zhì)運(yùn)用知AQBE成調(diào)和點(diǎn)列，即韶=普，設(shè)D(a,0),則黑金=與，解得a=1,即他

Db3—a6

N過定點(diǎn)0(1,0)

方法四(二次曲線系)：

補(bǔ)充:二次曲線系性質(zhì):若三個(gè)二次曲線系力(力,"),了2(/,g),力(e,U)過4個(gè)相同的點(diǎn)，則一定存在兩實(shí)數(shù)4

?5?

〃，使得新3，妨+娟3，妨=力（，,必.（可根據(jù)六個(gè)單項(xiàng)式系數(shù)關(guān)系求解問題）

T

本題證明:如圖,本題過四點(diǎn)的二次曲線有

拋物線4+去=1;

95

直線AM:12y—mx—3m=0和BN:6y—mx+3m=0；10

直線AB'.y—0和直線MN\ax+bg+c=0

Mv2

所以Ay(ax+bg+c)+〃(12g—mx—3m)(6y—mx+3m)=——1,

95

觀察9與g/的系數(shù)有=?，則c=—a，所以MN:by=a(l—0,則A￡N過定點(diǎn)0(1,0)

L/ta—ISm/j.=0

方法五（極點(diǎn)極線）：

補(bǔ)充:性質(zhì)3

本題證明（利用性廉3）:如圖，點(diǎn)T的軌跡方程為，=9,

即若匹+*^=1，又AM,BN交點(diǎn)在劣=9上，由性質(zhì)2知，

95

。（1,0）為極點(diǎn)，2=9為對(duì)應(yīng)的極線，即AB,MN交點(diǎn)、為。（1,0）,

即MN過定點(diǎn)。（1,0）

點(diǎn)評(píng)：2010年江蘇高考題被公認(rèn)為史上最難高考之一,又一次把葛軍老師推向風(fēng)口浪尖,此題官方解答

為常規(guī)解法，看似簡潔，其實(shí)其中計(jì)算量很大,據(jù)說當(dāng)年沒有考生在考場上將此題拿到滿分,難度可想而

知,但通過高觀點(diǎn)（仿射變換/調(diào)和點(diǎn)列/二次曲線系/極點(diǎn)極線）分析,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)原來如此“簡單”（直

接是結(jié)論的考察），所以在平時(shí)教學(xué)中滲透高觀點(diǎn)下的解題思路十分必要，特別是對(duì)尖子生的培養(yǎng)。

三、鞏固練習(xí)

1.已知點(diǎn)P為22+9=4上一動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P作橢圓1+弓=1的兩條切線，切點(diǎn)分別A、B,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)

時(shí),直線AB過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)是.

2.（2014-遼寧）己知點(diǎn)4（-2,3）在拋物線C：y2=2Px的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與。在第一象限相切于點(diǎn)

B,記。的焦點(diǎn)F,則直線BF的斜率為（）

3.（2011-希望杯）從直線Z*+與=1上的任意一點(diǎn)P作圓。：/+才=8的兩條切線,切點(diǎn)為A、B,則弦

o4

AB長度的最小值為.

4.（2009*安徽）已知點(diǎn)P（g,加在橢圓fH■—=1（Q>b>0）上，x=acos/3，y0=bsin/3,0V0V《?，直

ab2Q

線。與直線k-+粵=1垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OP的傾斜角為a,直線。的傾斜角為/.

電b

?6?

⑺證明：點(diǎn)P是橢圓￡+V=](a>b>0)與直線〃的唯一交點(diǎn):

(II)證明:tana,tan0,tany構(gòu)成等比數(shù)列.

5.(2011-四川)橢圓有兩頂點(diǎn)A(—1,0)、8(1,0),過其焦點(diǎn)F(0,l)的直線I與橢圓交于。兩點(diǎn)，并與立軸

交于點(diǎn)P直線與直線BD交于點(diǎn)Q.

⑴當(dāng)|CD|=|■方時(shí)，求直線，的方程；

6.(2008?安徽)設(shè)橢圓+￡■=l(a>b>0)過點(diǎn)M(V2,1)，且左焦點(diǎn)為F4一00).

ab

(1)求橢圓。的方程；

(2)當(dāng)過點(diǎn)F(4,l)的動(dòng)直線，與橢圓。相交于兩不同點(diǎn)A,B時(shí),在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足

\AP\?|QB|=\AQ\-1屈|,證明：點(diǎn)Q總在某定直線上.

?7?

金考答案

1.解析:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（機(jī),-2機(jī)+4）,則切點(diǎn)弦AB的方程為詈+（-2%+現(xiàn)=1,化簡得

（3a;—8y）m=12—16y,令3c—8y=12—16y=0,可得①=2,y=~|■，故直線AB過定點(diǎn)（2,

2.解析：由題知，—5=-2np=4,則拋物線方程為才=%,設(shè)過點(diǎn)A作直線與拋物線。相切與另一

點(diǎn)D，則經(jīng)過這兩個(gè)切點(diǎn)的連線BD就是點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的極線，其方程是3g=4（c-2）一“=母，-等。由于

O0

點(diǎn)A

在拋物線的準(zhǔn)線上,則焦點(diǎn)F在點(diǎn)A的極線上，；.B、F、D三點(diǎn)共線0