2022-2023學(xué)年廣東省廣州五校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年廣東省廣州六中、二中、廣雅、省實(shí)、執(zhí)信五校聯(lián)考高一

（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

l-2i

1.（5分）已知復(fù)數(shù)2=（z?是虛數(shù)單位），則2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

TT7TTT

2.(5分)已知平面向量a與b為單位向量，它們的夾角為］貝1J|2a+b|=（）

A.V2B.V3C.V5D.V7

1x〉0

3.（5分）已知函數(shù)/'（x）=X',則方程f（尤）-3w=0的解的個(gè)數(shù)是（

3+2,x<0

A.0B.1C.2D.3

4.（5分）函數(shù)y=sin(x+亨)sin(x+[)的最小正周期是（)

71n

A.-B.-C.71D.2n

42

5.（5分）下列不等式恒成立的是（)

ba

A.-+->2B.ccbN(-2-)

ab

C.a+b>2j\ab\D.〃之+序2-2ab

6.（5分）已知a,6是兩條不重合的直線，a,p,丫是三個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是（

A.若〃〃a,0〃a,則a〃BB.若a_L0,6zJ_p,則〃〃a

C.若a_Ly，P-Ly?貝|a〃0D.若〃〃a,b.La,則Q_LZ?

7.（5分）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)

星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）為加將地球看作

是一個(gè)球心為O,半徑為一的球，其上點(diǎn)A的緯度是指。4與赤道平面所成角的度數(shù).如果地球表面上

某一觀測點(diǎn)與該衛(wèi)星在同一條子午線（經(jīng)線）所在的平面，且在該觀測點(diǎn)能直接觀測到該衛(wèi)星.若該觀

測點(diǎn)的緯度值為。，觀測該衛(wèi)星的仰角為0,則下列關(guān)系一定成立的是（）

r+hhr

A.------=---------------B.------=---------------

cospcos(a+0)cospcos(a+6)

r+hrhr

C.------=--------------D.------=--------------

sinRsin(a+/3)sin0sin(a+/?)

8.（5分）已知正方體ABC。-4810的邊長為2,M是381的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在正方體內(nèi)部或表面上，且

MP〃平面A81O1,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡所形成的區(qū)域面積是（）

A.V3B.2V3C.3V3D.4V3

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置

涂黑.

（多選）9.（5分）已知某地區(qū)某周7天每天的最高氣溫分別為23,25,13,10,13,12,19（單位。C）.則

（）

115

A.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7-

B.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13

C.該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為16

D.該組數(shù)據(jù)的極差為15

7T1

（多選）10.（5分）把函數(shù)/（x）=siru?的圖象向左平移三個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐

標(biāo)不變）得到函數(shù)g（x）的圖象，下列關(guān)于函數(shù)g（無）的說法正確的是（）

A.最小正周期為TT

B.在區(qū)間［-9福上的最大值為日

C.圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（―/0）

D.圖象的一條對(duì)稱軸為直線乂=需

（多選）11.（5分）在銳角△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且/=%（b+c）,則下列結(jié)

論正確的有（）

A.A=22

B.8的取值范圍為（0,￡

CL_

C.3的取值范圍為（魚，V3）

11cps

高I+2s出力的取值范圍為（罷，6）

tanB

（多選）12.（5分）如圖是一個(gè)正方體的側(cè)面展開圖，A,C,E,尸是頂點(diǎn)，B,。是所在棱的中點(diǎn)，則

在這個(gè)正方體中，下列結(jié)論正確的是（）

A.8尸與AE異面

B.BP〃平面AC。

C.平面C￡?F_L平面

2

D.OE與平面AB。所成的角的正弦值是］

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.

13.（5分）已知樹人中學(xué)高一年級(jí)總共有學(xué)生〃人，其中男生550人，按男生、女生進(jìn)行分層，并按比例

n

分配抽取一名學(xué)生參加濕地保護(hù)知識(shí)競賽，己知參賽學(xué)生中男生比女生多10人，則〃=.

10-----------------

14.（5分）在直角三角形ABC中，已知AC=2,BC=2?NC=90°,以AC為旋轉(zhuǎn)軸將△ABC旋轉(zhuǎn)

一周，AB,邊形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)圓錐，則經(jīng)過該圓錐任意兩條母線的截面三角形的面

積的最大值為.

15.（5分）己知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別是1和2,所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，若球。的表面

積為8TT,則此正四棱臺(tái)的側(cè)棱長為.

16.（5分）如圖是正八邊形尸GH,其中。是該正八邊形的中心，P是正八邊形ABCDEFGH八條

->—>

邊上的動(dòng)點(diǎn).若。4=2,則該八邊形的面積為，OP-4B的最小值

為___________________.

四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.解答應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案

無效

17.（10分）已知函數(shù)/（無）=sin（-2x）+cos（-2x）,xER.

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求函數(shù)無)在［0,芻上的最小值及相應(yīng)自變量的值.

18.(12分)5月11日是世界防治肥胖日.我國超過一半的成年人屬于超重或肥胖，6?17歲的兒童青少

年肥胖率接近20%,肥胖已成為嚴(yán)重危害我國居民健康的公共衛(wèi)生問題.目前，國際上常用身體質(zhì)量指

數(shù)(BodyMassIndex,縮寫股以)來衡量人體胖瘦程度以及是否健康.我國成人的數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)為：BMI

<18.5為偏瘦；18.5W即〃<24為正常；24WBM/V28為偏胖；BM/228為肥胖.為了解某公司員工的

身體肥胖情況，研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取了60名男員

工、40名女員工的身高和體重?cái)?shù)據(jù)，通過計(jì)算得到男女員工的值并將女員工的團(tuán)團(tuán)值繪制成如圖

所示的頻率分布直方圖：

(1)求圖中a的值，并估計(jì)樣本中女員工值的70%分位數(shù)；

(2)已知樣本中男員工值的平均數(shù)為22,試估計(jì)該公司員工2M/值的平均數(shù).

頻率

■W

0.13----------1——

o

o

O

o

o

O

值

19.(12分)在△A8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且滿足2bcosC=2a-c.

(1)求角B-,

(2)如圖，若△ABC外接圓半徑為亍，。為AC的中點(diǎn)，且BD=2,求△ABC的周長.

20.(12分)近年來，我國在航天領(lǐng)域取得了巨大成就，得益于我國先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù).據(jù)了解，在不

考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式"=為"2計(jì)算火箭的最大速度v(單位：mis}.其

中旬(單位mis}是噴流相對(duì)速度，相(單位：kg)是火箭(除推進(jìn)劑外)的質(zhì)量，M(單位：kg)是

M

推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，一稱為“總質(zhì)比”，已知A型火箭的噴流相對(duì)速度為2000初s.

m

參考數(shù)據(jù)：/?230^5.4,1.648<e°-5<1.649.

(1)當(dāng)總質(zhì)比為230時(shí)，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度；

(2)經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對(duì)速度提高到了原來的1.5倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉?/p>

1

的3若要使火箭的最大速度增加500Ms,記此時(shí)在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前的總質(zhì)比為T,求不小于T

的最小整數(shù)？

21.(12分)如圖，已知四棱錐P-ABC。的底面A8CD為梯形，AB//CD,fA=PD=PB,BC=CD=1,

77"7T

A2=2,ZBCD=直線朋與底面ABC。所成角為一.

54

(1)若E為PD上一點(diǎn)且PE=2ED,證明：P3〃平面ACE；

(2)求二面角P-AD-B的余弦值.

22.(12分)設(shè)。為正數(shù)，函數(shù)/(x)滿足/(0)=1且/(%)=f(^-%).

(1)若/(1)=1,求/(x)；

(2)設(shè)g(x)=log2(x-2y[x+2),若對(duì)任意實(shí)數(shù)總存在xi,12中-1,什1],使得/(xi)-/(X2)

2g(X3)-g(X4)對(duì)所有X3,4]都成立，求〃的取值范圍.

2022-2023學(xué)年廣東省廣州六中、二中、廣雅、省實(shí)、執(zhí)信五校聯(lián)考高一

(下)期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

(分)已知復(fù)數(shù)=排是虛數(shù)單位)，貝眩對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(

1.5zd)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

l-2i_(l2i)(lT)_J-3i

【解答】解：因?yàn)閦=i,貝吃=一卷+

1+ii)2

因此，2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(一，當(dāng)在第二象限.

故選：B.

一TT7TT

2.(5分)已知平面向量a與b為單位向量，它們的夾角為?則|2a+b|=()

A.V2B.V3C.V5D.V7

_?—>_?―>_?_>1

【解答】解：Va-b=\a\'\b\cos<a,b>=cos^—于

22

：.\2a+b\=J|2a+b\=J4而2+4a-b+\b\=V4+2+1=V7.

故選：D.

±%〉o

3.(5分)已知函數(shù)/Q)=~,則方程/(x)-3^=0的解的個(gè)數(shù)是()

、％+2,x＜0

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：令/(x)-33=0,得/(x)=3叫

則方程/(x)-3卜1=0的解的個(gè)數(shù)即函數(shù)＞=/?(%)與函數(shù)y=3國的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

作出函數(shù)y=/(x)與函數(shù)＞=3田的圖象，可知兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2,

故方程的解的個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選：C.

C.TTD.2n

-

【解答】解：??,函數(shù)y=sin（x+亨）sin(x+J)(sinx+堂cosx)?cosx=isinxcosA：+

222

iRl+cos2x1yr

=彳sin2x+/?------------=-sin（2%+?。?/p>

42223

271

，函數(shù)的最小正周期是—=m

2

故選：C.

5.（5分）下列不等式恒成立的是（）

baD入、,a+b、2

A.-+->2B.ctb之(-2-)

ab

C.a+b>2j\ab\D./+廿、-2ab

【解答】解：對(duì)于A：a,b異號(hào)是顯然不成立，:.A不正確；

對(duì)于5：a,異號(hào)是顯然不成立，.'.B不正確；

對(duì)于Ca,/?均小于0時(shí)，顯然不成立，工。不正確；

對(duì)于。：*.*（a+b）22o（。，/?eR）,.,.<22+Z?2^-lab（m/?GR）,.二。正確；

故選：D.

6.（5分）已知〃，是兩條不重合的直線，a,P，丫是三個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是（）

A.若a〃a,0〃a,則a〃0B.若。_10,a_LB，貝U〃〃a

C.若a_Ly,p±y,則a〃0D.若a〃a,b_La,則

【解答】解：對(duì)于A：若a〃a,0〃a,貝或au0,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于5：若aJ_0,a_L0,貝!Ja〃a或〃ua,故5錯(cuò)誤；

對(duì)于C若a_Ly,B_LY，則a〃0或a與0相交；故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。：若4〃a,則過〃作平面5,5Oa=m,貝〃機(jī)，由b_La,則b_Lnt,則〃_Lb,故。正確.

故選：D.

7.（5分）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)

星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）為瓦將地球看作

是一個(gè)球心為0,半徑為〃的球，其上點(diǎn)A的緯度是指04與赤道平面所成角的度數(shù).如果地球表面上

某一觀測點(diǎn)與該衛(wèi)星在同一條子午線（經(jīng)線）所在的平面，且在該觀測點(diǎn)能直接觀測到該衛(wèi)星.若該觀

測點(diǎn)的緯度值為。，觀測該衛(wèi)星的仰角為0,則下列關(guān)系一定成立的是（）

r+hYhr

A.----=----------B.----=----------

cos0cos（a+0）cospcos（a+6）

r+hrhr

C.----=---------D.----=---------

sin0sin（a+P）sin0sin（a+0）

【解答】解：如圖所不，/B=5—a—S，

OA0B

由正弦定理可得

sinBsinZ.OAB'

「rr+h

即---n------=---n---,

sin(--a-/?)si九(萬+0)

rr+h

化簡得

cos(a+0)cos/7’

8.（5分）已知正方體A3C0-ALBCLDI的邊長為2,M是5辦的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在正方體內(nèi)部或表面上，且

"尸〃平面A31O1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成的區(qū)域面積是（）

A.V3B.2V3C.3V3D.4V3

【解答】解：如圖所示，E,F,G,H,N分別為BiCi,CiDi,DDi,DA,4B的中點(diǎn),

則EF〃BiDi〃NH,MN//B1A//FG,

平面MEFGHN〃平面ABiDi,

二動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是六邊形MEFGHN及其內(nèi)部.

:正方體ABCD-AiBiCiDi的邊長為2,

：.EF=FG=GH=HN=NM=ME=V2,

即六邊形EFGHNM是邊長為迎的正六邊形,

則其面積S=6xxV2xV2x孚=3V3.

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置

涂黑.

（多選）9.（5分）已知某地區(qū)某周7天每天的最高氣溫分別為23,25,13,10,13,12,19（單位。C）.則

（）

115

A.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為一

7

B.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13

C.該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為16

D.該組數(shù)據(jù)的極差為15

【解答】解：將23,25,13,10,13,12,19從小到大排列為10,12,13,13,19,23,25,

23+25+13+10+13+12+19115

對(duì)于A,該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為F'故A正確;

7

對(duì)于8,該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13,故B正確;

對(duì)于C,由7X70%=4.9,則該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為從小到大排列的第5個(gè)數(shù)，是19,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于。，該組數(shù)據(jù)的極差為25-10=15,故。正確.

故選：ABD.

7T一1

（多選）10.（5分）把函數(shù)無）=siiw的圖象向左平移三個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐

標(biāo)不變）得到函數(shù)g（%）的圖象，下列關(guān)于函數(shù)g（無）的說法正確的是（）

A.最小正周期為it

B.在區(qū)間［-9焉上的最大值為三

C.圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（―1，0）

D.圖象的一條對(duì)稱軸為直線久=金

【解答】解：f（x）=siiu的圖象向左平移三個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼娜叮v坐標(biāo)不變）得

32

到函數(shù)g（x）=sin⑵+亨）的圖象；

所以函數(shù)的最小正周期為m

當(dāng)x=金時(shí)，函數(shù)取得最大值1.

故選：AD.

（多選）11.（5分）在銳角△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且/=6（b+c）,則下列結(jié)

論正確的有（）

A.A=2B

B.8的取值范圍為（0,￡

CL「一

C.3的取值范圍為（魚，V3）

11rF5

D.嬴+2s譏/的取值范圍為（罷，6）

tanB

【解答】解：因?yàn)椤?=6（Z?+c）,又由余弦定理〃2=廿+。2-2/?CCOSA,

即b(b+c)=廿+(?-2bccosA,

所以bc=(?-2/?ccosA,所以b=c-2/?cosA,即c-b=2bcosA,

由正弦定理可得sinC-sinB=2sinBcosA,

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

sinAcosB+cosAsinB-sinB=2sinBcosA,BPsinAcosB-sin3=sin5cosA,

sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=sin5,

VA,B,。為銳角,

???A-8=5,即A=28,故選項(xiàng)A正確;

0<2B<5TIJi7171

乙m：.-<B<-孑故選項(xiàng)2錯(cuò)誤;

0<TT-3B64

L

asinA2sinBcosB

=2cosBE（、/LVs）,故選項(xiàng)c正確;

bsinBsinB

11sinCA-B)sin(2B-B)1

-+2sinA=+2sinA=+2sinA=-------+2sinA

tanB.....tanA----------------sinBsinA------------------sinBsinA------------------sinAf

rinV3

又一<4—<sinA<1,

322

令片sinA(y貝葉⑷="+2t(孚VtVI),

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，/（t）=H2t在te（5，1）上單調(diào)遞增,

又人:)=擊+2x^=等，/(I)=1+2xl=3,

T

1115\/3

-------+2sinA=—+2sinAe(―,3),故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

tanBtanA

故選：AC.

（多選）12.（5分）如圖是一個(gè)正方體的側(cè)面展開圖，A,C,E,尸是頂點(diǎn)，B,。是所在棱的中點(diǎn)，則

在這個(gè)正方體中，下列結(jié)論正確的是（）

A.8尸與AE異面

B.〃平面AC。

C.平面C￡）F_L平面ABO

一2

D.OE與平面A3。所成的角的正弦值是§

【解答】解：由展開圖還原正方體如下圖所示，其中3,D分別為NP,AM中點(diǎn),

對(duì)于A,平面EFPN=E,EFPN,EiBF,

與為異面直線，A正確;

對(duì)于8,連接8。，DG,

H

,：B,。分別為AM,NP中點(diǎn)，C.BD//AP,BD=AP,

5LAP//FG,AP^FG,J.BD//FG,BD=FG,四邊形BDGP為平行四邊形,

J.BF//DG,又平面OGu平面AC。，：.BF//^ACD,8正確；

對(duì)于C,假設(shè)平面CDEL平面ABD成立，

VAGX^FffiABD,AGC平面AB。，；.AG〃平面CDF,

：AGu平面AGCM,平面AGCAfC平面C￡>F=CZ),：.AG//CD,顯然不成立,

假設(shè)錯(cuò)誤，平面CDF與平面A3。不垂直，C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,連接。N,

直線DE與平面ABD所成角即為直線DE與平面AMNP所成角，

?/EN_L平面AMNP,：.ZEDN即為直線DE與平面AMNP所成角，

設(shè)正方體棱長為2,

;DE=yjEN2+DN2=JEN2+MN2+(^AM~)2=。4+4+1=3,

:.sin/EDN=畏=',即直線。E與平面ABD所成角的正弦值為玄。正確.

故選：ABD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.

13.(5分)已知樹人中學(xué)高一年級(jí)總共有學(xué)生“人，其中男生550人，按男生、女生進(jìn)行分層，并按比例

n

分配抽取一名學(xué)生參加濕地保護(hù)知識(shí)競賽，已知參賽學(xué)生中男生比女生多10人，則”=1000.

10-------------

【解答】解：樹人中學(xué)高一年級(jí)總共有學(xué)生a人，其中男生550人，按男生、女生進(jìn)行分層，

并按比例分配抽取一名學(xué)生參加濕地保護(hù)知識(shí)競賽，

10

已知參賽學(xué)生中男生比女生多10人，

n

按比例分配抽取一名學(xué)生參加濕地保護(hù)知識(shí)競賽，

10

則參賽學(xué)生中男生人數(shù)為550X*=55人，

參賽學(xué)生中女生人數(shù)為55-10=45人，

：.n=(55+45)X10=1000.

故答案為：1000.

14.(5分)在直角三角形ABC中，已知AC=2,BC=2^3,NC=90°,以AC為旋轉(zhuǎn)軸將△ABC旋轉(zhuǎn)

一周，AB,8C邊形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)圓錐，則經(jīng)過該圓錐任意兩條母線的截面三角形的面

積的最大值為8.

【解答】解：如圖，圓錐任意兩條母線為AB,A。，則截面為等腰△A8。，

1

截面面積為SAABD=^XABXADXsinZBAD,

由圖可知當(dāng)截面為圓錐軸截面時(shí)，/BAD最大,最大為120°,

ZBADE(0°,120°),最大值為1,

\'AB=AD=y/AC12+BC2=V4+12=4為定值，

當(dāng)sinZBAD最大時(shí)截面面積最大，

，截面面積最大為-x42X1=8.

2

故答案為：8.

15.（5分）已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別是1和2,所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，若球0的表面

積為8m則此正四棱臺(tái)的側(cè)棱長為

【解答】解：設(shè)上下底面互相平行的兩對(duì)角線分別為。C,AB,則由球。的表面積為8m可得球。的

半徑R=V2,

又正四棱臺(tái)的上下底面邊長分別是1和2,故DC=V2,AB=2近,

所以球O的球心正好在A8中點(diǎn)，故OA=0B=0C=OD=五,所以△OOC是正三角形，故NOOC=

ZZ）OC=60°,所以△OD4是正三角形，

故此正四棱臺(tái)的側(cè)棱長A￡>=Q4=V2.

A――-----

故答案為：V2.

16.（5分）如圖是正八邊形ABCDEFGH,其中。是該正八邊形的中心，尸是正八邊形ABCDEFGX八條

邊上的動(dòng)點(diǎn).若。4=2,則該八邊形的面積為8位，茄?薪的最小值為i2V2_.

［解答］解：在正八邊形ABCDEFGH中,

77

OB=0A=2,ZAOB=?

q

所以正八邊形ABCDEFGH的面積為8sA3=8x^x2X2s嗚=8&；

因?yàn)?0A2-+0B2-20A-OBcos-^8-4近,

4

所以48=V8—4V2,又cos竽=2cos2等—1=一孝,所以cos券=??&

所以&?薪=2xV8-4V2xCOS（TT-^）=2V2-4,因?yàn)椤Ｊ?ZB=（。4+AP）-AB=0A-AB+

4P?

—>—>—>T—>—>—>—>—>—>—>—>—>

因?yàn)?。P=（。4+4P）=。。2?48+4P-aB,又。力SB為定值，所以。P?4B取最小值時(shí)，即

取最小值，

—>—>

又設(shè)〈AP,AB)=e,

-?—>—>―>—>—>—>

所以4P?48=|4B|?|AP|cose,所以APSB取最小值時(shí)，即|4P|cose取最小值，

—>—>—>—>

又|4P|cos。表示向量4P在向量4B上的投影，故MP|cos8取最小值時(shí)，

點(diǎn)P不可能在路徑BCDE上(在此路徑上。為銳角)，所以點(diǎn)尸在路徑EFGHAB上,

延長2A與GH延長線交于M點(diǎn)，

則AMH為等腰直角三角形，且MA=MH=52魚-2,

所以2+-4近,

—>—>—>

所以當(dāng)點(diǎn)尸在G8上時(shí)，向量力Pi在向量力B上的投影最小，即|4P|cos8最小，

^\AP\cos6=-\AM\=-72V2-2,

所以辦.AB)min=78-4V2X(-72V2-2)=4-4位，

所以（OP-AB）min=2V2-4+4-4V2=-2&.

故答案為：8V2；-2V2

MAB

四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.解答應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案

無效

17.(10分)已知函數(shù)/(%)=sin(-2x)+cos(-2%),xER.

(1)求函數(shù)/(%)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求函數(shù)無)在[0,身上的最小值及相應(yīng)自變量的值.

【解答】解：⑴因?yàn)?(久)=cos2x-s譏2x=V^cos(2久+處)，

由題意得：7=名—冬=兀，即最小正周期為TT;

JT

由2/CTT42%+彳4yr+2kji,k￡Z,

解得：一g+kn《x4-g—Fkjt,k€Z,

故函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[一工+Mr,"+/OT](keZ)；

(2)由久e[0,今得2x+今e琮，系]'

cos(2x+e[-1,-^],

：.f(x)在區(qū)間[0,芻上的最小值為―企，

當(dāng)cos(2x+/)=—1,即2%+空=兀，所以久=券時(shí)/'(x)7nin=

18.(12分)5月H日是世界防治肥胖日.我國超過一半的成年人屬于超重或肥胖，6?17歲的兒童青少

年肥胖率接近20%,肥胖已成為嚴(yán)重危害我國居民健康的公共衛(wèi)生問題.目前，國際上常用身體質(zhì)量指

數(shù)(BodyMassIndex,縮寫B(tài)JW)來衡量人體胖瘦程度以及是否健康.我國成人的數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)為：BMI

<18.5為偏瘦；18.5W8M/V24為正常；24WBM/V28為偏胖；8WN28為肥胖.為了解某公司員工的

身體肥胖情況，研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取了60名男員

工、40名女員工的身高和體重?cái)?shù)據(jù)，通過計(jì)算得到男女員工的BA〃值并將女員工的8M值繪制成如圖

所示的頻率分布直方圖：

(1)求圖中°的值，并估計(jì)樣本中女員工8M/值的70%分位數(shù)；

(2)已知樣本中男員工值的平均數(shù)為22,試估計(jì)該公司員工值的平均數(shù).

【解答】解：(1)由題意，2X(0.08+0.13+4+0.06+0.07+0.02+0.01+0.03)=1,

解得。=0.10,

因?yàn)?義(0.08+0.13+0.10)=0.62<0.7,2X(0.08+0.13+0.10+0.06)=0.74>0.7,

故70%分位數(shù)在［22,24)之間，

設(shè)為無，則0.62+0.06*(%-22)=0.7,

解得尤=孕.

70

故估計(jì)樣本中女員工值的中位數(shù)為三；

(2)由題意，樣本中女員工值的平均數(shù)為：

2X(17X0.08+19X0.13+21X0.10+23X0.06+25X0.07+27X0.02+29X0.01+31X0.03)=21.64,

1

故估計(jì)該公司員工即〃值的平均數(shù)尤=高乂(22X60+21.64X40)=21.856.

19.(12分)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且滿足26cosc=2a-c.

(1)求角&

2A/6

(2)如圖，若AABC外接圓半徑為可，。為AC的中點(diǎn)，且80=2,求△A8C的周長.

【解答】解：⑴因?yàn)榇?。sC=2.-c,由余弦定理可得如空薩=2.一,

整理可得：?2+c2-b2=ac,再由余弦定理可得c^+c2-k=2accosB,

1

可得cos3=1,BE（0,n）,

可得8=梟

（2）設(shè)△ABC外接圓半徑為M,設(shè)外接圓的半徑為r,由正弦定理可得：-=2r,

3sinB

由（1）可得AC=6=2x竽x字=2/，

。為AC的中點(diǎn)，可得AZ）=CD=yC=VL

在AABC中，由余弦定理可得cosB=2ac—=a，

可得。-信=碇，可得（a+c）2=b2+3ac—8+3ac,①

而BD=2,

AD2+BD2-AB22+4-AB26-AB2

在△AOC中，由余弦定理可得cos/4DC=

2ADBD_2xV2x2-4姓，

DC2+BD2-BC22+4-BC26-BC2

在△BCD中，由余弦定理可得cos/BDC=

2DC-BD2X&2-472）

又因?yàn)?AOC,/BOC互為補(bǔ)角，所以cos/AOC+cos/8OC=0,

所以6-A#+6-BC2=0,

即/+02=12,所以（q+c）2=i2+2ac②,

由①②可得a+c=2V5,

所以△ABC的周長為a+b+c=2西+2夜.

20.（12分）近年來，我國在航天領(lǐng)域取得了巨大成就，得益于我國先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù).據(jù)了解，在不

考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式u=先"3計(jì)算火箭的最大速度v（單位：加/5）?其

中to（單位mis）是噴流相對(duì)速度，相（單位：kg）是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，M（單位：kg）是

M

推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，一稱為“總質(zhì)比”，已知A型火箭的噴流相對(duì)速度為2000M/S.

m

參考數(shù)據(jù)：加230p5.4,1.648<e°-5<1.649.

（1）當(dāng)總質(zhì)比為230時(shí)，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度；

（2）經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對(duì)速度提高到了原來的1.5倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉?/p>

的點(diǎn)若要使火箭的最大速度增加500/"/s,記此時(shí)在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前的總質(zhì)比為T,求不小于T

的最小整數(shù)？

【解答】解：(1)v==2000xZn230?2000X5.4=10800m/5；

(2)Vi=v0In—=2000/n—.v2=^voln-^~=3000Zn

1ummz2u3m3m

要使火箭的最大速度增加5Q0m/s,

則％-Vi=3000/n^--2000/n—=500,

乙13mm

日口M.,M.

即：61TL□-----4Z?i——1,

3mm

???伍(聶)6-仇(務(wù)=2仇名=1,

V1.648<(?05<1,649.；.—=27/6(44.5,44.52).

m

不小于T的最小整數(shù)為45.

21.(12分)如圖，已知四棱錐P-A8CD的底面ABCD為梯形，AB//CD,PA=PD=PB,BC=CD=\,

7T7T

AB=2,NBCD=*直線必與底面ABCD所成角為一.

J4

(1)若E為PD上一點(diǎn)且PE=2ED,證明：尸8〃平面ACE；

(2)求二面角P-A。-8的余弦值.

DM1

所以嬴=?

又因?yàn)镻E=2ED,

,DE1

所以康=?

所以EM//PB,

又因?yàn)镋Mu平面ACE,平面ACE,

所以尸8〃平面ACE；

(2)過產(chǎn)作于點(diǎn)R510ABCD,過尸作FOLAD于點(diǎn)。，連接PO,

P

AB

因?yàn)橐?尸。，所以。F=AF,

又因?yàn)椤Ｊ?。,

所以。是4。中點(diǎn),

TT

?；BC=CD=1,ZBCD=p

...△8。是等邊三角形.

ZABD=6Q°,

又A8=2,BD=\,

：.AD=y/AB2+BD2-2AB-BD-cos600=回

：.AD1+Bb1=AB2,

：.AD±BD,

：.OF//BD,

：。是A。中點(diǎn)，

二方是AB的中點(diǎn),

：.PO±AD,OFLA