2024屆高考數學數列進階訓練：三等比數列

2024屆高考數學數列進階訓練

（3）等比數列

1.已知等比數列｛?“｝滿足%=3,%+%+。5=21,則%+%+%=（）

A.21B.42C.63D.84

2.等比數列｛叫的公比為q,前〃項和為S”設甲:q＞。,乙:電｝是遞增數列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

3.若等比數列的前4項和為1,前8項和為17,則這個等比數列的公比為（）.

A.2B.-2C.2或-2D.2或1

4.在等差數列｛%｝和正項等比數列也｝中，al0ll=b5,4也=16,則｛%｝的前2021項和

為（）

A.2021B.4042C.6063D.8084

5.設等差數列｛為｝的公差4*0,q=4d,若%是生與％出的等比中項，則上的值為（）

A.3或6B.3或-1C.6D.3

6.已知等差數列｛?！埃氖醉椇凸罹粸?,且滿足。2，%，四成等比數列，則

%++a\\

的值為（）

II

7.設等比數列｛%｝的前〃項和為S”，則式丁=（）

A.—B.—C.—D.3

342

8.已知數列｛?！埃氖醉棡?1,前〃項和為與，且滿足2%+]+S“=2（〃eN*）,貝lj滿足

1001S,“11?

由＜面的〃的最大值為（）

A.7B.8C.9D.10

9.設等比數列｛為｝的前〃項和為S“，且滿足4+%=：'=9S3,若”=10殳°“，則數列

｛4｝的前10項和是（）

A.-35B.-25C.25D.35

10.已知S”是等比數列｛“”｝的前〃項和，若存在滿足畜=28,竽=

amrrl￡

則數列｛%｝的公比為（）

A.：B，7C.2D.3

23

11.（多選）已知數列｛%｝是等比數列，那么下列數列一定是等比數列的是（）

A.<—>B.｛log2^｝C.｛%+a“+i｝D.,,,+4+1+4+2｝

q一

12.（多選）在公比q為整數的等比數列｛%｝中，S,是數列｛"J的前〃項和，若

%+。4=18,a2+a3=12,則下列說法正確的是（）.

A."2B.數列電+2｝是等比數列

C.縱=510D.數列｛1g%｝是公差為2的等差數列

13.（多選）設S“是單調的等比數列｛《,｝的前〃項和，若%=1%%=］，則（）

A.B.公比為-1

o2

C.%+s“為常數D.K-2｝為等比數列

14.已知數列｛%｝是首項為2,公比為3的等比數列，若數列也｝滿足仇=%,

4+1=anbn，貝U也｝的通項公式2=.

15.一個等比數列中，前三項的積為2,最后三項的積為4,且所有項的積為64,則該

數列有項.

16.已知各項均為正數的等比數列｛%｝的前〃項和為S”，若品=&+2艮，則當￡+/取

得最小值時，4的值為.

17.若數列｛??）的前n項和S,=2"-1,則ata2+a2a3+a3a4+…+anall+l=.

18.已知等比數列｛4｝的前〃項和為，，E，S3,S2成等差數列.

（1）求｛g｝的公比q；

（2）若%-%=3,求S“.

答案以及解析

1.答案：B

解析：設等比數列｛叫的公比為式#0）,則q+"2+砥4=21,又因為％=3,所以

+^2-6=0,解得d=2,所以％+。5+。7=（%+。3+。5>r=42,故選B.

2.答案：B

解析：本題考查等比數列的定義和求和、充要條件.若％<o,q>。,則｛5｝是遞減數列.

若電｝是遞增數列，則s“+「邑=。.=砧">0,一定可得叱0.故甲是乙的必要條件但不

是充分條件.

3.答案：C

解析：由3=N，得1+/=17,q=+2.

Ss1-q

4.答案：D

解析：在正項等比數列也｝中，44=7=16,解得%=4,即初=4,所以數列｛叫

的前2021項和S2021=2021（丁必）=202監(jiān)?！?8084,故選D.

5.答案：D

解析：因為久是生與」的等比中項，所以所以[%+（左-1）"=%[%+（2”1）目.

又％=44,所以(左+3)2屋=4小(2左+3)d,所以笈=3.

6.答案：A

解析：已知等差數列｛%｝的首項為和公差d均不為0,且滿足出嗎當成等比數列,

2

(q+4d『=(%+4)(q+64),10d=-axd.'：d,「.-104=%,

.%+4+3。］+17d—30t7+17d13

…4+%+4o-3%+16d--30d+16d-17,故選A,

7.答案：A

S1

解析：設｛%｝的公比為q,由E不=1，得S=3邑，顯然4彳±1，則

d2+d44

%（1一力;3q（1一步,所以i+/=3,所以4=/^=/=；.故選A.

\-q1-q出+。42+白2g1+q3

8.答案：C

解析：因為2a.+i+S.=2,所以2a“+S,T=2(〃N2),兩式相減，得2%=%(〃22).又

%=1，出=；，所以何｝是首項為1,公比為;的等比數列，緇+即

乙乙1UUUJ1U

嬴＜￡4，則〃的最大值為9.

9.答案:C

"1(1+/)=1,

解析：設等比數列｛%｝的公比為小由題意知貝IJ〃.解得

［言。-力=2。-打

/=丁所以%=JX2I=2，T,所以a=〃_3,所以數列出｝的前10項和

q=2,

見二10(4；'°)=5*(-2+7)=25.故選C.

10.答案：D

s

解析：設等比數列｛叫的公比為q.當4=1時，$=2片28,不符合題意.當時，

m

q2m+21

^■=28=28,得q6=27.又&"=

S,"i-qamm-2

qm=——-=27,解得根=3,r./=27,.“=3,故選D.

m-2

11.答案：AD

解析：A項，設則”=&=L即｛4｝是以'為首項，,為公比的等比

數列，故A項正確；

B項，取4=2",貝Ijlog2(%)2=log2(212=2〃，即］log2(aj｝是等差數列而不是等比

數列，故B項錯誤;

C項，取%=(-1)",則%+%申=0,｛%+%+］｝不是等比數列，故C項錯誤;

設q,=a+a+a,則q=4+4+/=%(l+q+/)=a

D項,nn+ln+2i+|?

CCi+H+Cl

且3="2*3=q,所以｛c“｝是等比數列，故D項正確.

Cn+an+\4+2

12.答案:ABC

解析：由q+%=18,a2+a3=12,得q(l+“=18,%(q+/)=12,由公比q為整數，解

彳導%=g=2,

.一c2(27)

??%―,3=-------二2-2，

2-1

.?.S,+2=2"M,.?.數列｛0+2｝是公比為2的等比數歹!],，S8=29-2=510,

又「lg6="lg2,數列｛1g%｝是公差為lg2的等差數列.故選ABC.

13.答案:CD

解析：設等比數列｛%｝的公比為q.由數列｛%｝為等比數列，詠=專，得編*，又

%=%/二/>0,所以%=：,因此A項錯誤.又生=:，所以如="=：,解得4=(或

2o2442

?=.若q=T，則%=〈,％=-1&=:，顯然不滿足數列｛叫是單調數列，因此B項

2224o

錯誤.

11I-?！?

由上述可知則q=1,所以。,=。「尸=(5尸況=—^-=2-(-r,則

1-2

%+S.=2,因此C項正確.因為S“-2=2-(J"--2=-(1r,所以電-2｝是首項為一1,

公比為%的等比數列，因此D項正確.故選CD.

14.答案：2”3吟^

解析：由題設可得4=2,*=4=2x3"、

所以當〃22時，

6.=4X3,"X3=2X(2X30)X(2X3)X...X(2X3L2)=2.X30+M”)=2"X3T^?

"10n-1

,,t、rr一》…(n-l)(?-2)

當”=1時，4=2也胸足上式.故6=2"X3一一.

n

15.答案：12

解析：設該等比數列為｛%｝,由已知%詠=2,-%%=4及等比數列的性質，得

(%a“丫=8,所以=2.

又因為2a3…=64=2,=（%*6,所以該數列有12項.

16.答案：當

解析：設等比數列｛叫的公比為/由其=號+2￡可知夕工1,所以

%(「4)=4(1-爐)+2』(人力,化簡得1_/=1_/+2(1_力，即/-2/_/+2=0,

1-q1-q1-q

即(q6T)(/一2)=0,得/=2,

(J/

014i-q2當且僅當篇=亍,即或等時，

..§6H--------=~~+—='+心》百

7

5一(i7q-1Q]

取得最小值,此時品=坐d幻*可

2x4"-2

17.答案:

3

解析：當〃=1時，％=岳=1；當"22時，a-,q"-*，〃=1時也適合，則

%=2〃T,則%%=2f2"=；x4”，

2(1-4")2(4"-1)2X4--2

aa=

axa2+a2a3+a3a4H---^nn+i-------=--------=---------

18.(1)答案：q=-；

解析：依題意有％+(q+alq)=2(%+a{q+%q"),

由于q/0,故2/+g=0,又”0,從而q=_g.

Q

（2）答案：S“=]

2024屆高考數學數列進階訓練

——(4)數列求和

.1111/、

1.—I-----1---------11---------------=()

33+63+6+93+6+9+…+3017

2.正整數數列｛”｝的前〃項和為S.,則數歹“盛，的前100項和小。為（）

A100_99八200_100

A-wB,iooC.而D.而

3.已知數列｛%｝滿足%+（-1嚴%=.2,則其前100項和為（）

A.250B.200C.150D.100

411

4.已知數列｛%｝中，4一1總-、2一",設2=，則數列出｝的前〃項和為（）

22anUn+\

n3n一〃一1一—3〃+3

A.B.----C.-----D.------

3〃+13〃+13n-23n-2

5.數歹U1,1+2,1+2+22,…，1+2+22+2?！?2”2的前〃項和為（）

A.2"-n-lB.2,,+1-n-2C.2"D.2"+i-〃

6.數列｛小2"｝的前?項和等于（）

A"2"-2"+2B.n-2"+1-2,,+1+2C.M-2,,+1-2"D.?-2,,+1-2n+1

7.已知等比數列｛%｝的前〃項和為S”，且豆=2川-2,則數列——J-----1的前"項

a10a

U°g2?§2?+l)

和1=()

,n-nn+1n-1

A.----B.--C.D.—-

n+2n+1幾+2〃+2

8.已知數列｛%｝的通項公式是。“=2"-,則其前20項和為()

A.380TxmB.420-1x^l-X^

C.400-|x[l-XjD.440-1x^l-^

9.已知〃x)是定義在R上的奇函數，且滿足對TxeR,

/(x+2)=f(x)+1,g(x)=/(x)+cos,則g(2)+g(2)+…g(黑)=()

A.873B.874C.875D.876

10.（多選）已知數列｛?！埃凉M足%=L%+LUI（"€N*）,則下列結論正確的是（）

AJ-+3）為等比數列B.｛叫的通項公式為%=—

[anJ2T

C.｛%｝為遞增數列D.的前n項和北=22-3〃-4

11.（多選）如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人

稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，.…設第

〃層有4個球，從上往下〃層球的總數為J,則（）

A.S5=35B.all+i-an=n

200

C.a

n-2ToT

12.（多選）已知正項數列｛為｝的首項為2,前〃項和為斗，且

二P數歹U也｝的前〃項和為小若

+s〃+?！?Sn+l+\,bn

北＜16,則〃的值可以為（）

A.543B.542C.546D.544

1

13.設E,+---+---+???+---且則n=

1x22x33x破"+1）'八，，”+16」

14.計算lxg+2xj+3x：+…+9xJ=.

15.已知數列｛可｝滿足%+3電+5/+…+（2〃-1）。"="?2*,設，=（2〃-1）%,則也｝的前〃

項和北=.

16.已知數列｛為｝的前〃項和為S“，且S“=3-2"T-：,則數列的前〃項和

2[加（〃+2）J

T,=.

17.已知等比數列｛4｝的前n項和為S.,且2%-5“=1.

(1)求見與S.；

2〃一1

(2)記4=——，求數列抄“｝的前〃項和卻

an

18.已知數列｛可｝的前〃項和為S,,%=1,^=an+l-n-\,“eN*.

n

(1)求S.；

SSi

(2)^bn=~~~/,i^+1，證明：4+4+4+,??+"<￡.

naan

nn+\\+1)。〃+1?！?23

19.已知S,是等差數列｛%｝的前〃項和，禺=15,%-%=%.

⑴求凡;

(2)若或=2"，+(T)"q,求數列出｝的前〃項和北.

20.已知｛%｝是一個公差大于0的等差數列，且滿足。3R=55,出+%=16.

(1)求數列｛見｝的通項公式；

⑵若數列｛%｝和數列出｝滿足等式：%=?+?+?+…+?("為正整數)，求數列也｝

的前〃項和S”.

答案以及解析

1.答案：D

_______1_______

解析:由題意可設％,=則數列｛%｝的前10項的

3+6+9+…+3〃

111

和S=—I-----1---------1---1---------------—+------+

11033+63+6+93+6+9+…+30223

￡=詈.故選D.

3

2.答案：C

解析：由題意,正整數數列｛"｝的前〃項和(〃+1),5=肅^=2%刀，則

E11I

Boo=7+不+…+--二2故選C.

?2d1002D)噌

3.答案：D

解析：當〃為奇數時,an+x+an=2,則前100項和為

(q+%)+(〃3+&)+--H(。99+"100)=2X50=100.

4.答案：A

3131

解析：當磋2時-Si、*—]--(H-1)2--(^-1)=3n-2,

當〃=1時，q=1也成立，所以為=3〃-2,則

11111

3=(3〃-2)(3〃+1)313〃—23〃+'

設(為數列也｝的前〃項和，則

1111111n

1------1----------------F???+

34473n—23〃+13〃+13〃+1,

5.答案：B

解析：設此數列的第〃項為?！?，則%=1+2+22+2?+…+2"-2+2"7=二=2"-1,所以數

1-2

2(l—2n\

列｛0■｝的前〃項和為％+%+.?.+4=21-1+22-1+---+2"-1=-----'-?=2"4-/?-2.故選

1-2

B.

6.答案：B

解析：設｛小2"｝的前?項和為S.，

則S“=lx2'+2x22+3x23+---+w2n,①

所以2S"=lx22+2x23+---+(n-l)2,,+n-2),+1,②

①-②得-S=2+22+23+---+2"-w2n+1=2，所以S〃=〃-2向-2向+2.故選B.

"1-2

7.答案：B

2

解析：當〃=1時，a1=S1=2-2=2；當心2時，叫=2-S”1=2"+二2-(2"-2)=2",

數列｛0“｝是首項為2,公比為2的等比數列，且%=2”,則

+1

log2a?log,a?+1=log22"log22"=w(n+l),

,?111,11111n+…-

..T=-------------1-----------------F-------1-----------------------=1------1-------------------1-----------1-------------------------=-------------.B

1x22x3愉+1)223nn+\〃+1以衿口.

8.答案：B

解析：數列｛g｝的前20項和

S20=%+。2+,,,+a20=2義(1+2+，??+20)—3x=2x

1

—x

(1+20)x20?,<5

=420-

21--

5

9.答案：B

解析：由題意得,f(-x)=-f(x)=-[/(X+2)-1],貝ljf(-x)+f(x+2)^l,

71X

故g(x)+g(2-x)=/(x)+cosy+/(2-x)+cos71--=1

又〃6+x)=〃4+x)+l=/(2+x)+2=〃x)+3=-〃一》)+3,

,TlX.

-''f(~x)+f(6+x)=3g(x)+g(6-x)=/(x)+cosy-+/(6-x)+cos3兀---=3

I2J

437

則S]=g

219

可得4=子

875

則邑=g

219

又/(2)=〃0)+1=1,j=g(2)=/(2)+cosre=0,

437HI1

故原式=￡+g(2)+邑=70+虧=874,故選B.

10.答案：AD

解析：:'=2+"”=+3,..._L+3=2：，+3］，又，+3=4#0,./■L+s］是以4為

aa

%nn%+1%UJ

首項，2為公比的等比數列，即;+3=4x2"、，；=2用-3,二｛叫為

遞減數列，的前〃項和4=(2?-3)+四一3)+-+(2向-3)=2(2-22+…+2")-3〃=

1_2"

2x2x------3〃=2-2-3〃-4.故選人口.

1-2

11.答案：ACD

解析：依題意可知%+「%=〃+1,B錯誤.

由4=1,a2=1+2=3,%=3+3=6,a4=6+4=10,a5=10+5=15,

得S5=1+3+6+10+15=35,A正確.

由%+i-4="+1，%-4.1="(〃22),得

n(,I1\

an=(%-4-1)+(%-1-%-2)+…+(%-4)+%="+("-1)+--+2+1=---,C正確.

1

，得

n+1

111

-----1-----------------------二2,D正確.故

a2。100■

選ACD.

12.答案：AB

解析：本題考查數列的前〃項和與通項的關系、裂項相消法求和.依題意，

)+S“+…向+1,則*7=2(%-%+1),即

22

k+1-i)-k-i)=2,故數列｛(31)2｝是首項為公差為2的等差數列，則

(〃〃一1)2=2〃一1,則氏=、2〃-1+1,所以

1V2n+1-yjln-1

bn='，則

+Q〃+i-2/2〃+1+12rl—12

Tn=g(6-1+后一6+…+,2、+1一-1)=；Q2n+1-1).令:Q2II+1一1)<16,解得

+1<33>即“<544,故選AB.

13.答案：10

解析：s=\-1+1_1+1_1++1__L_i__L段，則

n22334nn+1〃+1n+1

nn+1n5

s?s?解得〃=10.

+ln+\〃+2n+26

1013

14.答案:

512

1c1O

解析：令S=lxg+2x*+3x—+---+9X—,①

貝f!；S=lxJ+2x*3x*…+9xJ，②

1T

C/口1cli11cl2-9X^=1-1-9X-L=1-1L1013

①-②”\+丁初+…+L『一=

210292102101024

1013

所以S=

512

15.答案：n-T+1

解析：當〃=1時，%=8,當心2時,

%+3a2+5a§+…+(2〃一l)a“=n,2"~+3al+5a3+…+(2〃—3)a“_]—(ji—1)"2"”，木目

n+1

(2〃一1)%=n(n+1)-2n+1,/.a=-2"+1,當〃=1時，％=8成立,

n2n-\

n+\

-2"+1b=(2〃-l)a?=(?+1)-2n+1,.-.7；=2x22+3x23+???+(?+1)■2n+1,

2n-ln

27；=2x23+3x2,+…+(〃+l).2"2,兩式相減得

234n+2n+2

-7；=2X2+2+2+---+2〃+I—(〃+1)2〃+2=_n,2,.\Tn=n-2

16.答案：32-一占1

77+2

Qa

解析：依題意，當〃=1時，%=SI=5；當”22時，5,1=3.2"-2一5，故

%=S,fT=3-2『

綜上所述，??=3.2-2.

7911

故-----+4=------------+3-2〃-2=-------------+3-2〃一2

乂n(n+2)n(n+2)nn+2

故北=0+4+4+…+”

1+』(1+2+…+2〃［-1

〃+22V

11111132〃-1

-----1--------F,??+—+??-+—+------++—x

234n77+1〃+222-1

311+1(2T)

2〃+1n+2

-i11

二32

〃+1〃+2

17.(1)答案：%=2%；5?=2--1

解析：由2%—S“=l,得'=24一1,

當〃=1時，%=S[=2%-1,得％=1；

當〃上2時，an=Sn-Si=(24-1)-(21-1),

得%=2%,

所以數列｛%｝是以1為首項，2為公比的等比數列，所以%=2")

所以S“=2%—1=2"—1.

(2)答案：7；=6-等

解析：由⑴可得“=2舒〃—1，

則<=；+:+i+…+^r^=lxl+3x；+5x\+...+(2〃-1).

H=1X；+3義》5*3+3+(2"—1)<,

兩式相減得gq=1+2］；+:+)+…+

所以4=2+4［；+*+*+…+—(2〃-1).J

=2+4.二^_(2"_1).」

1\2"T

1----

2

/2〃+3

二6-『.

2

18.答案:(1)Sn=n

(2)見解析

S

解析：(1)因為%+1=S〃+1，—=a-n-1,

nn+l

所以S〃=〃(%+i—〃T)=〃(S〃+I—Sj—〃(〃+l),

ss

故(〃+1)S=nS-n(n+1),即,Z+1----=1,

Wn+xn+1n

所以［2］是首項為”=7=1,公差為1的等差數列,

InJ11

s

故i=1+(〃-1)=〃，貝!J=/.

n

(2)因為S〃=",%=總-%(壯2,〃。*),

所以%=n2-(n-1)2=2〃-1(〃22,〃￡N*).

又％=1符合上式，所以。"=2〃-

因為—-—,

?！?1(〃+1)為+1為+2

rriKi7_______不_______________+I)2________

所"〃―n(2n-1)(2九+1)―伽+1)(2〃+1)(2〃+3)

nn+1

一(2〃-1)(2〃+1)一(2幾+1)(2〃+3)

14〃4(〃+1)

4［(2〃-1)(2〃+1)(2.+1)(2〃+3)

11

------F

42n-l2w+1J\2n+12H+3j

_1O_______

4<2?-l2n+3)

所以

4+打+&+…+〃=

111