2024年上海靜安區(qū)高三二模高考數(shù)學(xué)試卷（答案詳解）

靜安區(qū)第二學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研

高三數(shù)學(xué)試卷

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2024.4

一、填空題（本大題共12小題，滿分54分）第1小題至第6小題每個(gè)空格填

對(duì)得4分，第7小題至第12小題每個(gè)空格填對(duì)得5分，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)

編號(hào)后填寫答案，否則一律得零分.

1.中國國旗上所有顏色組成的集合為.

2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z="是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)加的值為______.

2+1

1—V

3.函數(shù)y=ln^—的定義域?yàn)?

4.若單位向量入石滿足則B-可卜.

5.某地區(qū)高三年級(jí)2000名學(xué)生參加了地區(qū)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試，已知數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)X服從

正態(tài)分布N（100,b2）（試卷滿分150分），統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，有320名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)低于80

分，則數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)屬于閉區(qū)間［80,120］的學(xué)生人數(shù)約為.

6.已知物體的位移d（單位：m）與時(shí)間f（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系d=2sinf,則在時(shí)間

段fe（2,6）內(nèi)，物體的瞬時(shí)速度為lm/s的時(shí)刻/=（單位：s）.

7.已知等比數(shù)歹U的前〃項(xiàng)和為+a,則。的值為.

8.在下列關(guān)于實(shí)數(shù)或。的四個(gè)不等式中，恒成立的是.（請(qǐng)?zhí)钊肴空_的序號(hào)）

①a+bN2aj;②之a(chǎn)b；③I。IT6區(qū)|“―6|；@a2+b2>2b-l-

9.正四棱錐尸-/BCD底面邊長(zhǎng)為2,高為3,則點(diǎn)A到不經(jīng)過點(diǎn)A的側(cè)面的距離為.

10.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100個(gè)為一批.在進(jìn)行抽樣檢查時(shí)，只從每批中抽取10個(gè)來檢查,

如果發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認(rèn)為這批產(chǎn)品是不合格的.假定每一批產(chǎn)品中的次品最多不超過2

個(gè)，并且其中恰有i（1=0,1,2）個(gè)次品的概率如下：

一批產(chǎn)品中有次品的個(gè)數(shù)i012

試卷第1頁，共4頁

概率0.30.50.2

則各批產(chǎn)品通過檢查的概率為.(精確到0.01)

11.已知實(shí)數(shù)ae(0,6),記.若函數(shù)了=〃x)在區(qū)間［0,2］上的最小值為一2,

則。的值為.

12.我們稱如圖的曲線為“愛心線”，其上的任意一點(diǎn)都滿足方程

22

x-2^y+y-V2|^+2V2y=0,現(xiàn)將一邊在x軸上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在愛心線上的矩形稱為

心吧.若已知點(diǎn)初(當(dāng)，-e)“愛心線”上任意一點(diǎn)的最小距離為d,則用d表示心吧面積的

最大值為.

二、選擇題(本大題共4小題，滿分18分)第13題、14題各4分，第15題、

16題各5分.每題有且僅有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將

代表答案的小方格涂黑.

13.函數(shù)了=2sin尤-cosx(xeR)的最小正周期為()

?-3兀兀

A.2兀B.兀C.—D.—

22

14.設(shè)%，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，下列命題中真命題是()

A.若加//口，“〃a,則加〃〃；B.若僅uc,”u加〃〃，則a///?；

C.若機(jī)_La,nl/a,則/_L〃；D.若加ua,〃ua,加//月，〃〃/，貝ija///7.

22

15.設(shè)。＞1,則雙曲線+1^=1的離心率e的取值范圍是()

a(a+1)

A.(V2,2)B.(V2，V5)C.(2,5)D.(2,右)

16.如果一個(gè)非空集合G上定義了一個(gè)運(yùn)算*,滿足如下性質(zhì)，則稱G關(guān)于運(yùn)算*構(gòu)成一個(gè)

群.

(1)封閉性，即對(duì)于任意的a/eG,有a*6eG；

(2)結(jié)合律，即對(duì)于任意的a,6,ceG,有(a*6)*c=a*(6*c)；

試卷第2頁，共4頁

（3）對(duì)于任意的a,beG,方程x*a=6與。*y=%在G中都有解.

例如，整數(shù)集Z關(guān)于整數(shù)的加法（+）構(gòu)成群，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)整數(shù)的和還是整數(shù)，且滿足加

法結(jié)合律，對(duì)于任意的61Z,方程x+a=6與＞=6都有整數(shù)解；而實(shí)數(shù)集R關(guān)于實(shí)

數(shù)的乘法（x）不構(gòu)成群，因?yàn)榉匠蘋xy=1沒有實(shí)數(shù)解.

以下關(guān)于“群”的真命題有（）

①自然數(shù)集N關(guān)于自然數(shù)的加法（+）構(gòu)成群；

②有理數(shù)集Q關(guān)于有理數(shù)的乘法（x）構(gòu)成群；

③平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積L）構(gòu)成群；

④復(fù)數(shù)集C關(guān)于復(fù)數(shù)的加法（+）構(gòu)成群.

A.0個(gè)；B.1個(gè)；C.2個(gè)；D.3個(gè).

三、解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)

的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.在A/3C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、C,已知a=3,6=5,c=7.

⑴求角C的大?。?/p>

⑵求sin（N+C）的值.

18.某高中隨機(jī)抽取100名學(xué)生,測(cè)得他們的身高（單位:cm）,按照區(qū)間[160,165）,[165,170）,

[170,175）,[175,180）,[180,185]分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖（如下圖所示）.

（1）求身高不低于170cm的學(xué)生人數(shù);

⑵將身高在[170,175）,[175,180）,[180,185]區(qū)間內(nèi)的學(xué)生依次記為A,B,C三個(gè)組，用

分層抽樣的方法從三個(gè)組中抽取6人.

①求從這三個(gè)組分別抽取的學(xué)生人數(shù)；

②若要從6名學(xué)生中抽取2人，求3組中至少有1人被抽中的概率.

19.如圖1所示，48co是水平放置的矩形，43=2百，BC=2.如圖2所示，將4BO沿

試卷第3頁，共4頁

矩形的對(duì)角線AD向上翻折，使得平面48。，平面BCD.

(1)求四面體/BCD的體積廠；

(2)試判斷與證明以下兩個(gè)問題：

①在平面BCD上是否存在經(jīng)過點(diǎn)C的直線/,使得/L4D?

②在平面BCD上是否存在經(jīng)過點(diǎn)C的直線/,使得///4D?

20.江南某公園內(nèi)正在建造一座跨水拱橋.如平面圖所示，現(xiàn)已經(jīng)在地平面以上造好了一個(gè)

外沿直徑為20米的半圓形拱橋洞，地平面與拱橋洞外沿交于點(diǎn)A與點(diǎn)8.現(xiàn)在準(zhǔn)備以地平

面上的點(diǎn)C與點(diǎn)。為起點(diǎn)建造上、下橋坡道，要求：①忸。=|/c|；②在拱橋洞左側(cè)建造平

面圖為直線的坡道，坡度為1:2亞(坡度為坡面的垂直高度和水平方向的距離的比)；③在

拱橋洞右側(cè)建造平面圖為圓弧的坡道；④在過橋的路面上騎車不顛簸.

(1)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條過橋道路，畫出大致的平面圖，并用數(shù)學(xué)符號(hào)語言刻畫與表達(dá)出來；

(2)并按你的方案計(jì)算過橋道路的總長(zhǎng)度；(精確到0.1米)

(3)若整個(gè)過橋坡道的路面寬為10米，且鋪設(shè)坡道全部使用混凝土.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出所鋪設(shè)路面的

相關(guān)幾何體，提出一個(gè)實(shí)際問題，寫出解決該問題的方案，并說明理由(如果需要，可通

過假設(shè)的運(yùn)算結(jié)果列式說明，不必計(jì)算).

21.已知左eR,記/'(無)=+左(。＞0且。41).

(1)當(dāng)a=e(e是自然對(duì)數(shù)的底)時(shí)，試討論函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性和最值；

⑵試討論函數(shù)了=/(無)的奇偶性；

(3)拓展與探究：

①當(dāng)左在什么范圍取值時(shí)，函數(shù)了=/(x)的圖象在x軸上存在對(duì)稱中心？請(qǐng)說明理由;

②請(qǐng)?zhí)岢龊瘮?shù)＞=/(x)的一個(gè)新性質(zhì)，并用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)出來.(不必證明)

試卷第4頁，共4頁

1.｛紅,黃｝;

【分析】根據(jù)集合的定義即可求解.

【詳解】中國國旗上所有顏色組成的集合為｛紅,黃｝.

故答案為：｛紅，黃｝.

2.—##—0.5

2

【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合純虛數(shù)的定義即可得到結(jié)果.

—m+i（m+i）（2-i）2m+12-m.

［詳解］因?yàn)閦=------=-7------77-----7=--------1---------1,

2+i（2+i）（2-i）55

2m+1

--------=0

,45，則加=一:，

所以復(fù)數(shù)2=”是純虛數(shù)，則滿足v

2+1生，02

5

￡

故答案為:

2

3.（-2,1）

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的解析式有意義，列出不等式，即可求解.

【詳解】由函數(shù)y=lnp有意義，則滿足了＞0,即土二＜0,解得_2＜尤＜1,

2+x2+xx+2

所以函數(shù)y=lnp的定義域?yàn)?/p>

2+x

故答案為：(-2,1).

4.2

【分析】依題意可得￡%=0,根據(jù)卜-J而卜市二涼丁及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄縕、B滿足坂，

故答案為：2

5.1360

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，求出尸(804X4120),即可求得結(jié)果.

答案第1頁，共12頁

【詳解】根據(jù)已知條件有數(shù)學(xué)成績(jī)低于80分的概率為就=於，

又X~N(100,4),所以數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)屬于閉區(qū)間［80,120］的概率為1-2X玉4=木17

所以數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)屬于閉區(qū)間［80,120］的學(xué)生人數(shù)約為2000x共=1360人.

故答案為：1360

65兀

6-T

【分析】可求出導(dǎo)函數(shù)"'=2cost,根據(jù)1=1即可求解.

【詳解】由題可得：d'=2cos/=1,

可得cos/=L,又te(2,6),

2

可得

5兀

故答案為：y.

7.-1

【分析】根據(jù)題意，分別求得%=1+*。2=-;，結(jié)合第=%的，列出方程，即

可求解.

【詳解】由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S“=+a,

nJQ］=S］=5+Q,a?=S?-Sy—ci-(—+q)=——,%=S3_S?=~+17_+Q)=一~,

所以(-;)2=(2+a)x(-：)，解得a=T,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

428

故答案為：-1.

8.②③④

【分析】取特值可判斷①；作差法可判斷②④；要證⑷-出國”勿即證2同回22ab可判斷

③.

【詳解】對(duì)于①，取。=-1力=1,故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，-----ab=------------------=-----------=——>0,故②正確;

I2)44I2)

對(duì)于③，當(dāng)時(shí)邛要證蚱I”回，即證(|。|一回)2(|。一4)2,

答案第2頁，共12頁

即|tz|2+|/)|2-2|a||Z)|<a2+b~-lab,即證2時(shí)網(wǎng)>2ab,

而2同回22ab恒成立，

當(dāng)時(shí)<問時(shí)，問-例｛0,卜-協(xié)0,所以⑷-2因”以，故③正確.

對(duì)于④，a2+b2-2b+l=a2+(b-\)2>0,所以/+/226-1,故④正確.

故答案為：②③④.

9.回

55

【分析】求出正四棱錐尸-43。的體積，再利用等體積法可求得其距離為巫.

5

【詳解】設(shè)底面正方形/BCD的中心為。，3C的中點(diǎn)為E,如下圖所示：

易知￡。=1,高尸0=3,所以其斜高產(chǎn)￡=J32+F=歷，

由對(duì)稱性可知點(diǎn)A到側(cè)面尸CO與側(cè)面PBC的距離相等，

易知側(cè)面尸8c和側(cè)面PCD與的面積邑的=%BC=；x2x&U=而，

正四棱錐尸一N8C。的體積為憶=gs4so?尸。=；x2x2x3=4,

設(shè)點(diǎn)A到側(cè)面PBC的距離為d,

由等體積法可得y=+叱一心c=+；國網(wǎng)/=gdx2&U=4,

解得〃=亞.

5

故答案為：亞

5

91

10.——##0.91；

100

r10Qr10RQ

【分析】根據(jù)條件概率公式求解P(小線)=1,P(A\Bl)=-^=-,尸(如與)=湍=即可

joo1Ujoo11U

利用全概率公式求解.

答案第3頁，共12頁

【詳解】設(shè)事件4?表示一批產(chǎn)品中有i個(gè)次品(i=0，1，2),

則P(30)=0.3,P(5,)=0.5,P(B[)=02,

設(shè)事件A表示這批產(chǎn)品通過檢查，即抽樣檢查的10個(gè)產(chǎn)品都是合格品，

c10QC1089

則尸(川胡)=1,尸(4困)=注=[,P⑷當(dāng))=病=而，

Joojoo1

所以尸(/)=P(/圍)P(當(dāng))+尸(H4)P(4)+PQIB2)P(S2)=1XO.3+^X0.5+^x0.2?0.91.

故答案為：0.91.

11.3

【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及最值關(guān)系即可求解.

【詳角華】當(dāng)0<〃<6時(shí)，/(x)=y[x(x-a),/<%)=2y，

當(dāng)0<x<；a時(shí)，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)L<x<2時(shí)，f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

故X=>時(shí)，/(X)取得最小值/(1)=-yX^=_2,

解得，。=3.

故答案為：3.

12.--d2

2

【分析】根據(jù)題意，得到+2岳=29，曲線上任意一點(diǎn)尸求得|尸M「的最小值

為屋，進(jìn)而求得心吧面積的最大值.

【詳解】解：由曲線方程Y-2同了+/一eW+2頁y=0,

由點(diǎn)〃■(等,-后)“愛心線''上任意一點(diǎn)且點(diǎn)M在V軸的右側(cè)，

所以點(diǎn)M“愛心線”上任意一點(diǎn)的最小距離d,一定出現(xiàn)在愛心線位于了軸的右側(cè)的點(diǎn)，

當(dāng)x20時(shí)，可得/+/一萬:+2用=2個(gè)，

設(shè)曲線上任意一點(diǎn)尸(x,y),(x20),宜叵),

有1PMi2=(x--^-)2+(j,-A/5)2=x2+y2-+2必1+￡-=2xy+')―，

因?yàn)楸R的最小值為屋，所以2孫的最小值為屋-g,

當(dāng)>>0時(shí)，心吧面積為S=2尤加=2孫的最小值為十-g；

答案第4頁，共12頁

當(dāng)歹＜0時(shí)，心吧面積為S=2x\y\=-2xy的最大值為g-屋.

故答案為：!■一屋.

13.A

【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化成＞=/sin(①x+0)的形式，代入周期公式可得結(jié)論.

【詳解】易知歹=2sinx—cosx=6sin(r+。)，其中31。二一；，

27c

由周期公式可得其最小正周期為T=—=2n.

CD

故選：A

14.C

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.

【詳解】若加//。，nl/a,則加〃〃或加與〃相交或加與〃異面，故A錯(cuò)誤；

若以u(píng)a,nu°,mlln,則a//或。與/相交，故B錯(cuò)誤；

若加J_a,nlla,由直線與平面垂直的性質(zhì)可得加J_〃，故C正確；

若加ua,nua,ml1/3,nl1(3,當(dāng)加與〃相交時(shí)，有戊///，否則，a與"不一定平行，

故D錯(cuò)誤.

故選：C.

15.B

【詳解】由題意得，雙曲線的離心率e?=(與2=/+(；+以=i+(i++,

aaa

因?yàn)?是減函數(shù)，所以當(dāng)。＞1時(shí)，0＜-＜1,所以2＜e2＜5,所以也＜e＜石，故選B.

aa

考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì).

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，其中解答中涉及到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查

了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，本題的解得

中把雙曲線的離心率轉(zhuǎn)化為工的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，試題有一定的難度,

a

屬于中檔題.

16.B

【分析】根據(jù)群的定義需滿足的三個(gè)條件逐一判斷即可.

答案第5頁，共12頁

【詳解】對(duì)于①，x+3=2,在自然數(shù)集中無解，錯(cuò)誤；

對(duì)于②，Oxy=l,在有理數(shù)集中無解，錯(cuò)誤；

對(duì)于③，3石是一個(gè)數(shù)量，不屬于平面向量集，錯(cuò)誤；

對(duì)于④，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)復(fù)數(shù)的和還是復(fù)數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，

且對(duì)任意的。,6eC,方程x+a=6與。+了=6有復(fù)數(shù)解，正確.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，用新定義解題.解題方法

是根據(jù)新定義的3個(gè)條件進(jìn)行驗(yàn)證,注意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律與新定義中運(yùn)算的聯(lián)系可

以很快得出結(jié)論.

17.(i)c=y

(2)正

14

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理即可求解.

(2)解1,利用正弦定理先求sinB,再由g(/+3=5m8即可求解；解2,先利用正弦定

理求出sin/,再利用兩角和的正弦公式即可求解sin(/+C)；解3,先利用余弦定理求出cos/,

再利用兩角和的正弦公式即可求解sinQ+C).

【詳解】(1)由余弦定理，有coscJ+.T

lab-r所以

b,即sin5=睫￡=獨(dú).

(2)解1：由正弦定理，有

sinBsinC14

所以sin(4+C)=sin(7i-5)=sin5=

14

aasinC3百

解2：由正弦定理，有,即siih4=

sinAsinC14

.1Q

所以cos/=vl-sin2y4=一

14

5G

故，sin+C)=siiL4cosc+cos/sinC=

14

+「2^-=—,所以$辿=/

解3：由余弦定理，有cos/=--------

2bc1414

故，sin+C)=sirk4cosc+cos/sinC=

18.(1)60A;

3

(2)①30人，20人，10人；②y

答案第6頁，共12頁

【分析】(1)先求出『0,175)的頻率可得結(jié)果.

(2)①由分層抽樣可得各組的人數(shù);②分別列舉各種情況可得概率.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知口70,175)的頻率為

1-5x(0.07+0.04+0.02+0.01)=0.3,

故身高在170c加以上的學(xué)生人數(shù)為100x(0.3+0.04x5+0.02x5)=60(人).

(2)①A,B,C三組的人數(shù)分另IJ為100x0.3=30,100x0.04x5=20,100x0.02x5=10A.

因此應(yīng)該從A,B,C三組中每組各抽取30x2=3(人)，20、3=2(人)，10x￡=l(人

606060

).

②設(shè)A組的3位同學(xué)為4，4，4，B組的2位同學(xué)為g，B2,C組的1位同學(xué)為。，

則從6名學(xué)生中抽取2人有15種可能：

,B2),(J?j,c；),(4,G).(4,4),(4,4)，(4,4)，(4/2),(4,q),

(4,4)，("2/1),(A2,B2),(A,,c,),(4,BJ,(4,B2),(4,G).

其中B組的2位學(xué)生至少有1人被抽中有9種可能：(片,與)，(耳，G),(與,G),(4,4)，

(4,5)，(4,4)，(4,四)，(4,4)，(4,5).

93

所以8組中至少有1人被抽中的概率為尸=行=《.

19.(1)2；

(2)①證明見解析；②證明見解析.

【分析】(1)過點(diǎn)A作垂足為E.可知ZE為三棱錐的高，利用等面積法求得/E,

再由棱錐體積公式求解；

(2)①過點(diǎn)C作CRLBO,垂足為尸，由直線與平面垂直的判定與性質(zhì)證明；

②利用反證法證明在平面上不存在經(jīng)過點(diǎn)C的直線/,使得

【詳解】(1)過點(diǎn)A作/垂足為E.

???平面_L平面8。，兩平面交線為AD,/￡u平面A8￡>,

/E_L平面3cD,

由BD^^IAB2+AET-=4以及4B-AD=BD-AE可得/￡=6-

答案第7頁，共12頁

V=—S.?rn-AE=—x—x2x2-\/3XA/3=2?

332

(2)①在平面8co上存在經(jīng)過點(diǎn)C的直線/,使得

證明：過點(diǎn)C作CFLBD,垂足為尸.

QAE'5FffiBCD,CFu平面BCD,

AE1CF,

又/Ep|8D=E,8。u平面,

CV_L平面NBD,

40u平面A8￡>,故可得C尸_L4D,

即存在/_L/D；

②在平面BCD上不存在經(jīng)過點(diǎn)C的直線/,使得///4D,

證明：假設(shè)存在///4D,

:4。不在平面BCD內(nèi)，/在平面BCD內(nèi)，則40//平面BCD,

與4Dc平面矛盾.

不存在///4D.

20.(1)答案見解析

(2)答案見解析

(3)答案見解析

【分析】(1)解法1；以線段的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求得圓。的方

程，得到了=夫聯(lián)立方程組,求得1020萬

(x+30),E,設(shè)圓河的半徑為「，求得圓

M的方程為/+(y+40)2=502,進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；解法2：以線段⑷?的中點(diǎn)。為坐

標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圓M的半徑為，求得圓N的方程為

(x-30)2+(y-40)2=402,得到G(6,8),,進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；

答案第8頁，共12頁

(2)解法1：求得圓弧"的長(zhǎng)為10《-arctan2亞,得到圓弧ED的長(zhǎng)為50arctan；,進(jìn)

而求得過橋道路的總長(zhǎng)度；解法2：根據(jù)題意，求得〈醞，而〉=arccos-、；二,得到圓弧EG

的長(zhǎng)，求得圓弧GD的長(zhǎng)為40|^_arctanf|,進(jìn)而得到過橋道路的總長(zhǎng)度；

(3)設(shè)計(jì)讓橋的側(cè)面所在平面垂直于地平面，提出問題，結(jié)合面積公式，分別求得鋪設(shè)過

橋路需要混凝土的值.

【詳解】(1)解法1、如圖所示，以線段的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,

則，圓。的方程為/+y2=ioo,

由tanC=4^,OE=10得CE=20亞，CO=30,

1其方程為>=擊。+30),

過點(diǎn)C作圓。的切線DE,切點(diǎn)為E,直線CE的斜率為

272

所以直線OE的斜率為一20，其方程為了=-2亞x,將其代入f+Vwoo,

1020?、

得點(diǎn)￡的坐標(biāo)為

經(jīng)過點(diǎn)。作圓”與圓。切于點(diǎn)尸(圓O與y軸的交點(diǎn))，設(shè)圓河的半徑為「，

貝|］?！?2+。河2=?！?,即3。2+&-10)2=/,解得r=50,

作圓N與x軸相切于點(diǎn)D,并和圓。切于點(diǎn)G,

設(shè)圓M的半徑為「，則0。2+。"2=0"2,BP302+r2=(r+10)2,解得，=40,

所以圓N的方程為(x-30)2+(y-40)2=4()2,

答案第9頁，共12頁

將直線OG的方程代入X?+/=io。得，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（6,8）,

金(x+30),一30。<一？

2

所以用函數(shù)表示過橋道路為y=V100—%,——?x<0

A/2500-X2-40,0<X<30

--arctan2后,

2

3

由點(diǎn)。的坐標(biāo)為（30,0）,點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,-40）,得/“呼=arctan“

3

所以圓弧即的長(zhǎng)為50arctan-?32.175,

4

3

所以過橋道路的總長(zhǎng)度為20后+10^|-arctan2+50arctan—?63.9m,

4

解法2：因?yàn)槌?竽

，OG=(6,8),

\7

OEOG-3+872-3+8后

則cos〈OE,OG〉=石一,BP(OE,OG)=arccos

OE\\OG~15~

所以圓弧EG的長(zhǎng)為10arccos3+8.

Q9.833,

15

jr4

又由點(diǎn)G的坐標(biāo)為(6,8),得NOND=-—arctan-,

23

所以圓弧GO的長(zhǎng)為40生arctang卜25.740,

所以過橋道路的總長(zhǎng)度為20后+lOarccos三箸714、

+40——arctan—263.9m.

23

（3）解：設(shè)計(jì)讓橋的側(cè)面所在平面垂直于地平面，則橋拱左側(cè)鋪設(shè)的是以曲邊形為底

面，

高為10米的柱體；橋拱右側(cè)鋪設(shè)的是以曲邊形BDF（&）G）為底面，高為10米的柱體,

提問：鋪設(shè)坡道共需要混凝土多少立方米？

答案第10頁，共12頁

方案1：S曲邊形4CE-S^COE—S扇形/QE—S曲邊形5OF二S扇形?！癋一^DOM—S扇形臺(tái)口？，

3

所以，鋪設(shè)過橋路需要混凝土10(S&COD~S扇形40c+S扇形。出一S^DOM—S扇形)m-

方案2：S曲邊形4CE=S^COES扇形ZOE-S曲邊形BQG=SAODN~S扇形0NG一扇形30G，

3

所以，鋪設(shè)過橋路需要混凝土10(Sic。。一$扇形zee+SAO”V-S扇形￡＞MG-S扇形BO/)m■

21.(1)詳見解析;

(2)詳見解析;

(3)①當(dāng)左＜0時(shí)，函數(shù)了=〃x)有對(duì)稱中心(fog,理由見解析；②答案見解析.

【分析】(1)當(dāng)a=e時(shí)，求得/(x)=e，-he-",分發(fā)40和后＞0,兩種情況討論，分別求

得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最值；

(2)根據(jù)題意,分別結(jié)合〃-x)=/(x)和〃r)=-/a)