2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)高三年級下冊期末練習(xí)（高考二模）數(shù)學(xué)試卷含詳解

海淀區(qū)2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末練習(xí)

局二數(shù)學(xué)

2024.05

本試卷共6頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)

束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一

項(xiàng).

1.已知集合"={-1‘°'1'2}再={3""》<3},若4。8,則"的最大值為（）

A2B.0C.-1D.-2

2.在（x—2）5的展開式中，X的系數(shù)為（）

X

A.40B.10

C.-40D.-10

3\x<0,

3.函數(shù)/（%）="1丫是（）

A.偶函數(shù)，且沒有極值點(diǎn)B.偶函數(shù)，且有一個(gè)極值點(diǎn)

C.奇函數(shù)，且沒有極值點(diǎn)D.奇函數(shù)，且有一個(gè)極值點(diǎn)

4.已知拋物線爐=4y的焦點(diǎn)為產(chǎn)，點(diǎn)A在拋物線上，|48=6,則線段A廠的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）

57

A.-B.-C.3D.4

22

3

5.在ABC中，AB=4,AC=5,cosC=—,則BC的長為（)

4

-3

A.6或一B.6c.3+3J2D.3

2

6.設(shè)w0,且則（）

baba

A.—<—B.—+—>2

abab

Csin(a-b)va-Z?D.3a>26

7.在中，NC=m，C4=C8=2攻，點(diǎn)尸滿足CP=2C4+(1—且CP.AB=4，則丸=

8.設(shè)｛4｝是公比為q(q2—l)的無窮等比數(shù)列，S“為其前幾項(xiàng)和，4〉0.則“q>0”是“S“存在最小值”的

()

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.設(shè)函數(shù)“X)的定義域?yàn)镈,對于函數(shù)〃％)圖象上一點(diǎn)(%為)，若集合

｛keRiMx-5)+為</(%)，▼%w。｝只有1個(gè)元素，則稱函數(shù)/(%)具有性質(zhì)P-下列函數(shù)中具有性質(zhì)［的是

()

A./(x)=|x-l|B./(x)=lgx

C./(x)=x3D./(%)=-sin^%

10.設(shè)數(shù)列｛4,｝的各項(xiàng)均為非零的整數(shù)，其前〃項(xiàng)和為S,.若為正偶數(shù)，均有/22q,且

$2=0,則品)的最小值為()

A.0B.22C.26D.31

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.若(x+i)?=2i(xwR),則％=.

丫2

12.已知雙曲線C：^-—/=1,則C的離心率為；以。的一個(gè)焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線。的漸近線

4

相切的圓的方程為.(寫出一個(gè)即可)

13.已知函數(shù)/(x)=cos2x+asiiix.

(i)若。=0,則函數(shù)的最小正周期為.

(ii)若函數(shù)4%)在區(qū)間(0,兀)上的最小值為—2,則實(shí)數(shù)。=.

14.二維碼是一種利用黑、白方塊記錄數(shù)據(jù)符號信息的平面圖形.某公司計(jì)劃使用一款由*(neN*)個(gè)黑白方塊構(gòu)

成的“X〃二維碼門禁，現(xiàn)用一款破譯器對其進(jìn)行安全性測試，已知該破譯器每秒能隨機(jī)生成2*個(gè)不重復(fù)的二維

碼，為確保一個(gè)"X"二維碼在1分鐘內(nèi)被破譯的概率不高于則〃的最小值為.

15.如圖，在正方體ABC。-aqGR中，P為棱A5上的動(dòng)點(diǎn)，DQ，平面RPCQ為垂足.給出下列四個(gè)結(jié)

論:

①。iQ=CQ；

②線段。。的長隨線段AP的長增大而增大；

③存在點(diǎn)P,使得42,；

④存在點(diǎn)尸，使得PQ//平面AD4.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)/（x）=2cos2曹+J§sinox（0＞0）,從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,

使函數(shù)一（X）存在且唯一確定.

（1）求0的值；

（2）若不等式〃尤）＜2在區(qū)間（0,m）內(nèi)有解，求加的取值范圍.

條件①：/（y）=2；

條件②：＞=/（尤）的圖象可由y=2cos2x的圖象平移得到；

條件③：A》）在區(qū)間（―四,白內(nèi)無極值點(diǎn)，且八二）—2=/（—￡）+2.

3663

注：如果選擇的條件不符合要求，得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.在三棱錐尸一A5C中，AB=PB=2,M為AP中點(diǎn).

（1）如圖1,若N為棱PC上一點(diǎn)、,且MNLAP,求證：平面物平面PAC；

（2）如圖2,若。為C4延長線上一點(diǎn)，且尸01平面A3C,AC=0PA=2,直線PB與平面ABC所成角為

7T

一,求直線CM與平面尸5C所成角的正弦值.

p

18.圖象識別是人工智能領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向.某中學(xué)人.工智能興趣小組研發(fā)了一套根據(jù)人臉照片識別性別的

程序.在對該程序的一輪測試中，小組同學(xué)輸入了200張不同的人臉照片作為測試樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表(單位：

張)：

結(jié)果

男女無法識別

真實(shí)性別

男902010

女106010

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且該程序?qū)γ繌堈掌淖R別都是獨(dú)立的.

(1)從這200張照片中隨機(jī)抽取一張，已知這張照片的識別結(jié)果為女性，求識別正確的概率；

(2)在新一輪測試中，小組同學(xué)對3張不同的男性人臉照片依次測試，每張照片至多測一次，當(dāng)首次出現(xiàn)識別正

確或3張照片全部測試完畢，則停止測試.設(shè)X表示測試的次數(shù)，估計(jì)X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；

(3)為處理無法識別的照片，該小組同學(xué)提出上述程序修改的三個(gè)方案：

方案一：將無法識別的照片全部判定為女性；

方案二：將無法識別的照片全部判定為男性；

方案三：將無法識別的照片隨機(jī)判定為男性或女性(即判定為男性的概率為50%,判定為女性的概率為50%).

現(xiàn)從若干張不同的人臉照片(其中男性、女性照片的數(shù)量之比為1:1)中隨機(jī)抽取一張，分別用方案一、方案二、方

案三進(jìn)行識別，其識別正確的概率估計(jì)值分別記為試比較的大小.(結(jié)論不要求證明)

19.已知橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn).以E的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且

其周長為6點(diǎn).

(1)求桁圓E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)“(2,0)的直線/(不與坐標(biāo)軸垂直)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)AC,與直線x=16交于點(diǎn)尸.點(diǎn)8

在〉軸上，。為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，四邊形A3CD是菱形.求證：直線尸。過定點(diǎn).

20已知函數(shù)/(x)=ln(x—a)+2j3a-x(a>0).

(1)若。=1,

①求曲線y=/(%)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程；

②求證：函數(shù)/(%)恰有一個(gè)零點(diǎn)；

(2)若/(x)Wlna+2a對xe(a,3a)恒成立，求。的取值范圍.

21.設(shè)正整數(shù)ai,dieN*,4={x\x=ai+(k-l)di,k=l,2,},這里i=l,2,,〃.若

Ao4ooA?=N*,且4cAz=0(lWi</W力，則稱A，4,,4具有性質(zhì)尸.

(1)當(dāng)〃=3時(shí)，若4,4具有性質(zhì)。，且。i=l,4=2,%=3,令m=d]d2d3,寫出加的所有可能值;

(2)若4,4,…，4具有性質(zhì)P：

①求證：勾44(，=1,2,?,〃)；

②求￡子值.

海淀區(qū)2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末練習(xí)

局二數(shù)學(xué)

2024.05

本試卷共6頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)

束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一

項(xiàng).

1.已知集合"={-1‘°'1'2}再={3""》＜3},若4。8,則"的最大值為（）

A.2B.0C.-1D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系可得aW-1求解.

【詳解】由于所以aW—1,

故。的最大值為-1,

故選：C

2.在（X—2）5的展開式中，X的系數(shù)為（）

X

A.40B.10

C.-40D.-10

【答案】A

【解析】

【分析】利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì).

2

【詳解】設(shè)（X—了的通項(xiàng)Qi，則2=小5-（2婷丫化簡得（+1=C＞（—2戶爐口

X

令左=2,則X的系數(shù)為C；（—2）2=40,即A正確.

故選：A

'3\x＜0,

3.函數(shù)〃*=卜1丫是（）

力》〉。

A.偶函數(shù)，且沒有極值點(diǎn)B.偶函數(shù)，且有一個(gè)極值點(diǎn)

C.奇函數(shù)，且沒有極值點(diǎn)D.奇函數(shù)，且有一個(gè)極值點(diǎn)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義計(jì)算以及極值點(diǎn)定義判斷即可.

【詳解】當(dāng)尤<0時(shí)，一x>0,則/（一x）=d）-x=3x=/（x）,

當(dāng)尤>0時(shí)，-x<0,則/（—x）=3f=（；）x=/（x）,

所以函數(shù)是偶函數(shù)，由圖可知函數(shù)A》）有一個(gè)極大值點(diǎn).

4.已知拋物線好=4》的焦點(diǎn)為口，點(diǎn)A在拋物線上，|AE|=6,則線段A廠的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）

57

B.C.3D.4

2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線定義求得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，再求A尸中點(diǎn)縱坐標(biāo)即可.

【詳解】拋物線/=4》的焦點(diǎn)/（0,1）,又|AF|=l+%=6,解得%=5,

故線段A歹的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一=3.

2

故選：C.

3

5.在.ABC中，A8=4,AC=5,cosC=—，則的長為（）

4

3

A.6或萬B.6C.3+3-72D.3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.

\ACf+\CB2-\ABf52+|CB|2-42_3

【詳解】由余弦定理可得cosC=

2\AC\-BC\10|BC|~~4

93

故21cB「—15忸C|+18=0n忸C|=6或5,

故選：A

6.設(shè)a,beR,aZ?wO,且a>",則()

babac

abab

C.sin(tz-Z?)<a-Z>D.3〃>2》

【答案】C

【解析】

(分析]舉反例即可求解ABD,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求證sinx<x,xe(O,-+w)即可判斷C.

【詳解】對于A,取a=2力=—1,則2=—工〉色=—2,故A錯(cuò)誤，

a2b

ba

對于B,a=l力=—1,則—+7=2,故B錯(cuò)誤，

ab

對于C,由于y=sinx—x(x>0),y=cosx-l40,故丁=sinx—x在(0,+。)單調(diào)遞減，故sinx—x<0,因此

sinx<x,xe(0,-H?),

由于所以。一/?>0,故sin(a—Z?)<a-Z?,C正確，

對于D,a=—3力=—4,則3〃=工<2〃=1，故D錯(cuò)誤，

2716

故選：C

7.在金。中，/C=],C4=C8=2拒，點(diǎn)尸滿足CP=2C4+(1—/l)C5,且CP.AB=4，則2=

()

1133

A.----B.—C.----D.一

4444

【答案】B

【解析】

【分析】用CB，C4表示A3,根據(jù)C4-Cfi=0,結(jié)合已知條件，以及數(shù)量積的運(yùn)算律，求解即可.

【詳解】由題可知，CACB=O'

故CP.AB=[/104+(1_2)05｝(05_或)=_4€3[+(1_2)|0百『=_84+8(1_力)=_16/1+8，

故一162+8=4,解得彳=’.

4

故選：B.

8.設(shè)｛4｝是公比為q(qw—l)的無窮等比數(shù)列，J為其前〃項(xiàng)和，q>0.則“q>0”是“S“存在最小值”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定以及等比數(shù)列前九項(xiàng)和公式判斷即可

【詳解】若4〉0且公比q>0,則a〃=qq"T〉O,所以S.單調(diào)遞增，S“存在最小值故充分條件成立.

若q〉°且q=-5時(shí)，s

22

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，S,S]=q,而S”<§%,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，S.=gq1-W,S”單調(diào)遞增，故最小值為〃=2,S?*,

所以S"的最小值為gq,

即由q>0,S”存在最小值得不到公比q>0,故必要性不成立.

故q>0公比“4>0”是“5“存在最小值”的充分不必要條件.

故選：A

9.設(shè)函數(shù)/（尤）的定義域?yàn)镺,對于函數(shù)/（光）圖象上一點(diǎn)（5,用），若集合

{keRl左（%一/）+為</（%）、%￡只有1個(gè)元素，則稱函數(shù)/（%）具有性質(zhì)1.下列函數(shù)中具有性質(zhì)4的是

（）

A./(x)=|x-l|B./(x)=lgx

C./(x)=YD./(%)=-sin—%

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)性質(zhì)6的定義，結(jié)合各個(gè)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可逐一判斷各選擇.

【詳解】根據(jù)題意，要滿足性質(zhì)耳，則/（尤）的圖象不能在過點(diǎn)（1,/。））的直線的上方，且這樣的直線只有一

條；

對A：的圖象，以及過點(diǎn)。,0）的直線，如下所示：

數(shù)形結(jié)合可知，過點(diǎn)(1,0)直線有無數(shù)條都滿足題意，故A錯(cuò)誤;

對B：/(力=1次的圖象，以及過點(diǎn)(1,0)的直線，如下所示：

數(shù)形結(jié)合可知，不存在過點(diǎn)(1,0)的直線，使得/(力的圖象都在該直線的上方，故B錯(cuò)誤;

對C：/(力=三的圖象，以及過點(diǎn)(1,1)的直線，如下所示：

數(shù)形結(jié)合可知，不存在過點(diǎn)(1,1)的直線，使得/(九)的圖象都在該直線的上方，故C錯(cuò)誤;

對D：/(x)=—sin'x的圖象，以及過點(diǎn)(1,—1)的直線，如下所示：

數(shù)形結(jié)合可知，存在唯一的一條過點(diǎn)(L—1)的直線y=-1,即左=0,滿足題意，故D正確.

故選：D.

10.設(shè)數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為非零的整數(shù)，其前〃項(xiàng)和為若為正偶數(shù)，均有。戶2q,且

$2=0,則品，的最小值為()

A.0B.22C.26D.31

【答案】B

【解析】

【分析】因?yàn)橐?。1+。2=0,不妨設(shè)為>。,g<0,由題意求出%，%，%，。9的最小值，。4，。6，。8，％0的最小值，

，0=22%,令4=1時(shí)，%有最小值.

【詳解】因?yàn)橐?。1+。2=0，所以％,。2互為相反數(shù)，不妨設(shè)4>0,4<0，

為了耳。取最小值，取奇數(shù)項(xiàng)為正值，取偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)值，且各項(xiàng)盡可能小，.

由題意知：%滿足取%的最小值2%;

a、>2a,

%滿足〈c“，因?yàn)閝〉0,4q>2%,故取火的最小值4q；

a5>2a3>4tz1

%>2。1

a7滿足｛%22a324al，取火的最小值8q；

%22a§24a3?8tzi

同理，取的的最小值16q；

所以4+/+%+%+09=%+2%+4<2|+8q+16q=31%,

%滿足。422。2，取％的最小值2a2；

a,>2a

%,滿足〈c~l，因?yàn)閍，<0，所以2%〉4%,取生,的最小值2%；

a6>2a4>4a2

as>2a2

心滿足《a822a424al,因?yàn)?<0，所以2名〉4出〉8名，取肉的最小值2%；

。8N2a6>4%28%

同理，取須的最小值2%；

9

所以%+%,+〃6+。8+。10=。2+2%+2。2+2%+24=9/

所以510=31%+9a2=314—9al=22%,

因?yàn)閿?shù)列｛&｝的各項(xiàng)均為非零的整數(shù)，所以當(dāng)%=1時(shí)，I。有最小值22.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：I。有最小值的條件是確保各項(xiàng)最小，根據(jù)遞推關(guān)系4?2弓分析可得奇數(shù)項(xiàng)的最小值與偶

數(shù)項(xiàng)的最小值，從而可得Io的最小值.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.若(x+i)?=2i(xeR),則x=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)得到關(guān)于了的方程組，解之即可得解.

【詳解】因?yàn)?x+i)2=2i,

2

所以爐+2北+12=2i，BP%-l+2xi=2i，

一一1=0

所以《解得x=l.

2x=2

故答案為：1.

12.已知雙曲線C：工—,2=1,則C的離心率為；以。的一個(gè)焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線C的漸近線

4-

相切的圓的方程為.(寫出一個(gè)即可)

【答案】①.②.(X+逐產(chǎn)+/=1或((X—百y+j=1)

【解析】

【分析】根據(jù)離心率的定義求解離心率，再計(jì)算焦點(diǎn)到漸近線的距離，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可.

【詳解】C:三—丁2=1的離心率為呼1=好，又漸近線為丁=1尤，即x—2y=0,

4/2.2

|V5-2x0|

故焦點(diǎn)(、后,0)與卜百,0)到X—2y=0的距離均為=1,

則以C的一個(gè)焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線C的漸近線相切的圓的方程為(X+遙)2+/=1或(X—岔)2+/=1,

故答案為：］;(x+6y+/=1或((X—6y+y2=1)

13.已知函數(shù)/(xbcos'+asinx.

(i)若a=0,則函數(shù)了(%)的最小正周期為.

(ii)若函數(shù)了⑺在區(qū)間(0,兀)上的最小值為一2,則實(shí)數(shù)。=.

【答案】①.兀②.-2

【解析】

【分析】根據(jù)二倍角公式即可結(jié)合周期公式求解，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=cos2x=—十一,所以最小正周期為7=寸=兀，

.a|21a2

/(%)=cos2x+asiwc=一sin2%+asin%+1=sinx——+1H---，

214

當(dāng)xe(0,兀)時(shí)，sin%e(0,1],且二次函數(shù)開口向下，

要使得/(x)在區(qū)間(0,兀)上的最小值為—2,則需要1-搟-0，

且當(dāng)sin尤=1時(shí)取最小值，故—l+a+l=—2,解得。=-2,

故答案為：兀，-2

14.二維碼是一種利用黑、白方塊記錄數(shù)據(jù)符號信息的平面圖形.某公司計(jì)劃使用一款由〃2(〃wN*)個(gè)黑白方塊構(gòu)

成的“X〃二維碼門禁，現(xiàn)用一款破譯器對其進(jìn)行安全性測試，已知該破譯器每秒能隨機(jī)生成216個(gè)不重復(fù)的二維

碼，為確保一個(gè)"X"二維碼在1分鐘內(nèi)被破譯的概率不高于士，則〃的最小值為.

2

【答案】7

【解析】

916x601

【分析】根據(jù)題意可得一廠<F，即可由不等式求解?

22

【詳解】由題意可知"X〃的二維碼共有2扇個(gè)，

216x601

由一—〈還可得216義60義215<2"°n60<2"2-3i,故川-31>6=>/:2>37>

22

由于〃eN*，所以7,

故答案為：7

15.如圖，在正方體ABCD—4與62中，P為棱A5上的動(dòng)點(diǎn)，J■平面，PC,Q為垂足.給出下列四個(gè)結(jié)

論：

①2Q=CQ；

②線段的長隨線段AP的長增大而增大;

③存在點(diǎn)尸，使得AQ_LBQ；

④存在點(diǎn)P,使得產(chǎn)。//平面RD4.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)。的坐

標(biāo)，再逐一計(jì)算判斷各個(gè)命題即得答案.

【詳解】在正方體ABC。-44G2中，令A(yù)3=1,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AP=7(0W/V1),則0(0,0,0),C(0,l,0),D,(0,0,1),尸(U,0),CD>=(0,-1,1),CP=(1,1,0),

n-CD,=-y+z=0

令平面D]PC的法向量"=(x,y,z),貝!]〈',取y=l,得〃

n-CP=x+(/-l)y=0

由平面RPC于Q,得￡>Q=4〃=((1即。((1T)44%),

CQ=((1-02,2-1,2),顯然CQ-〃=(l_f)2；l+/l_]+/l=0,解得彳=；~

—1)+2

于是"(1)2+2'("1)2+2'(1)2+2)'

對于①，|RQ|=J(lT)222+22+Q_l)2=,(1_/)2%+(彳_])2+22=|磔|，①正確;

對于②，I1=?_］；+2J(1——2+1+1=忖卷石在1°，I上單調(diào)遞增，②正確;

對于③，而41,0,0),5(1,1,0),AQ=((1-02-1,2),BQ=((11,2),

若AQ?5Q=[(1-/)2-I]2+2(A-1)+外=(/_2/+3)22-(3-2。彳+1=0,

顯然八=(3—2/)2—4(產(chǎn)—2/+3)=—4-3<0,即不存在使得AQ-3Q=0,③錯(cuò)誤;

對于④，平面RD4的一個(gè)法向量DC=(0,1,0),ffiJPe=((l-02-l,2-?,2),

1

由「。?DC=/l—。=0,得％=t,即/=;,整理得產(chǎn)一2產(chǎn)+3-1=0，

(f-1)^+2

令/⑺=/—2/+3/—1,/e[0,1],顯然函數(shù)fit)在[0,1]上的圖象連續(xù)不斷，

而/(0)=—1<0,/(1)=1>0,因此存在fe(0,1),使得/。)=0,此時(shí)PQ<Z平面2D4,

因此存在點(diǎn)P,使得P。//平面ADA,④正確.

所以所有正確結(jié)論的序號是①②④.

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及探求幾何體中點(diǎn)的位置問題，可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明空間位置關(guān)系

的方法解決.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)/(x)=2cos2拳+6sin(yx(。>0),從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知,

使函數(shù)/(X)存在且唯一確定.

(1)求0的值；

(2)若不等式/?(》)<2在區(qū)間(0,m)內(nèi)有解，求機(jī)的取值范圍.

條件①：/(1)=2；

條件②：>=/(尤)的圖象可由y=2COS2%的圖象平移得到；

條件③：/⑺在區(qū)間(—二,工)內(nèi)無極值點(diǎn)，且/'(2)—2=/(—=)+2.

3663

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)條件選擇見解析，。=2；

71

(2)(-,+?)).

【解析】

TT7TI

【分析】(1)選條件①，由cos(—0--)=—的解不唯一，此條件不符合題意；選條件②，由周期求出0；選條件

332

③，由給定等式確定最大最小值條件，求出周期范圍，由給定區(qū)間內(nèi)無極值點(diǎn)求出周期即可.

(2)由(1)求出函數(shù)/(刈的解析式，再借助不等式有解列式求解即得.

【小問1詳解】

依題意，/(x)=cos?%+s/3sin(vx+1=2cos(ox--)+1,

選條件①，由f(—)=2,得2cos(—co—)+1=2,即cos(—co—)=—,

333332

JIJIJIJIJIJI

于是20—2=2+2版/6?<或上0—2=—2+2版,左6?<*,顯然0的值不唯一，

333333-

因此函數(shù)/（X）不唯一，不符合題意.

選條件②，y=/（元）的圖象可由y=2cos2%的圖象平移得到，

2兀

因此y=/（x）的最小正周期為函數(shù)y=2cos2x的最小正周期兀，而。>0,則一=兀，

（D

所以69=2.

選條件③，/⑺在區(qū)間（一烏，色）內(nèi)無極值點(diǎn)，且/'（2）—2=/（—=）+2,

3663

JTJT7TJT

則/（-）-/（--）=4,即函數(shù)〃幻分別在％=—,%=——時(shí)取得最大值、最小值，

6363

717E

于是廣⑴的最小正周期7?2義［:一（—彳）］=兀，

63

TTTTTTTT

由/⑺在區(qū)間內(nèi)無極值點(diǎn)，得了⑺的最小正周期T22x［二—（—R］=兀，

3663

因此T=兀，而①>0,

2兀

所以G=——=2.

T

【小問2詳解】

TT'Ji'JiJi

由（1）矢口/（%）=2cos（2%一］）+1,由%￡（0,加），得2九一,￡（一§,2加一,），

TT1

由不等式?/1（尤）<2在區(qū)間（0,7〃）內(nèi)有解，即cosQx—jXg在區(qū)間（0,相）內(nèi)有解，

JTTT7T

則有2根——>-,解得加〉一，

333

所以加的取值范圍是（§71,+8）.

17.在三棱錐p—ABC中，48=網(wǎng)=2,/為釬的中點(diǎn).

（1）如圖1,若N為棱尸。上一點(diǎn)，且MNLAP,求證：平面平面PAC；

（2）如圖2,若。為C4延長線上一點(diǎn)，且PO_Z平面ABC,AC=0PA=2,直線尸3與平面ABC所成角為

7T

一,求直線CM與平面尸3c所成角的正弦值.

6

【答案】（1）證明見解析

⑵—

13

【解析】

【分析】（1）根據(jù)LAP和"N可證線面垂直，即可求證面面垂直，

IF

（2）根據(jù)線面角的幾何法可得NPBO=一,建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量與方向向量的夾角即可求解.

6

【小問1詳解】

連接BM,MN,BN.

因?yàn)?為AP的中點(diǎn)，所以

又MNLAP,腦，腦V,BMu平面所以AP工平面5AW.

因?yàn)锳Pu平面「AC

所以平面RVWJ_平面PAC.

【小問2詳解】

因?yàn)槭?1平面ABC,OBu平面ABC,OCu平面ABC,

所以P。，OB,PO±OC,NPBO為直線pg與平面ABC所成的角.

TT

因?yàn)橹本€PB與平面ABC所成角為:，

6

71

所以/PBO=—.

6

因?yàn)?？B=2,所以PO=1,O3=百.

因?yàn)镴5PA=2，所以Q4=l.

又AB=2,故AB?=032+32.

所以05LQ4.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-孫Z.

則A(O』,O)，M百,0,0),c(o,3,o),p(o,o,i),

所以PC=(0,3,—1),BC=(-A/3,3,0),MC=I0,|,-1

X

設(shè)平面尸5c的法向量為〃=(x,y,z),則

n-PC=0,f3y-z=0,

<,即｛r令y=l,則”=

n-BC=0,—\3x+3y=0.

設(shè)。w與平面尸5。所成角為e,則

sind=\COSMC,H\=\MC'H\=1-----=交

13

11IH-H尸.屈?

V44

所以直線CM與平面PBC所成角的正弦值為正

13

18.圖象識別是人工智能領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向.某中學(xué)人.工智能興趣小組研發(fā)了一套根據(jù)人臉照片識別性別的

程序.在對該程序的一輪測試中，小組同學(xué)輸入了200張不同的人臉照片作為測試樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表(單位：

張)：

結(jié)果

男女無法識別

真實(shí)性別

男902010

女106010

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且該程序?qū)γ繌堈掌淖R別都是獨(dú)立的.

(1)從這200張照片中隨機(jī)抽取一張，已知這張照片的識別結(jié)果為女性，求識別正確的概率；

(2)在新一輪測試中，小組同學(xué)對3張不同的男性人臉照片依次測試，每張照片至多測一次，當(dāng)首次出現(xiàn)識別正

確或3張照片全部測試完畢，則停止測試.設(shè)X表示測試的次數(shù)，估計(jì)X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX;

(3)為處理無法識別的照片，該小組同學(xué)提出上述程序修改的三個(gè)方案：

方案一：將無法識別的照片全部判定為女性；

方案二：將無法識別的照片全部判定為男性;

方案三：將無法識別的照片隨機(jī)判定為男性或女性（即判定為男性的概率為50%,判定為女性的概率為50%）.

現(xiàn)從若干張不同的人臉照片（其中男性、女性照片的數(shù)量之比為1:1）中隨機(jī)抽取一張，分別用方案一、方案二、方

案三進(jìn)行識別，其識別正確的概率估計(jì)值分別記為?試比較Pl，P2，P3的大小.（結(jié)論不要求證明）

3

【答案】⑴W

（2）分布列見解析；E（X）=—

16

（3）p2>p3>A

【解析】

【分析】（1）利用用頻率估計(jì)概率計(jì)算即可

（2）由題意知X的所有可能取值為1,2,3,分別求出相應(yīng)的概率，然后根據(jù)期望公式求出即可

（3）分別求出方案一、方案二、方案三進(jìn)行識別正確的概率，然后比較大小可得

【小問1詳解】

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，共有20+60=80張照片被識別為女性，其中確為女性的照片有60張，所以該照片確為女性的概

與。

率d為6一=一3

804

【小問2詳解】

設(shè)事件A:輸入男性照片且識別正確.

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，P（A）可估計(jì)為言=：

由題意知X的所有可能取值為1,2,3.

P（X=l）=9，P（X=2）=；q=\,P（X=3）=：xH

所以X的分布列為

X123

331

P

41616

33121

所以E（X）=lx—+2xi-3x——二——

'）4161616

【小問3詳解】

。2>。3>B?

19.已知橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn).以E的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且

其周長為

（1）求梢圓E的方程;

（2）設(shè)過點(diǎn)M（2,0）的直線/（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)AC,與直線x=16交于點(diǎn)P.點(diǎn)8

在，軸上，。為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，四邊形A3CD是菱形.求證：直線尸。過定點(diǎn).

22

【答案】（1）—r+^v=1

86

（2）證明見解析

1

【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)三角形的周長以及等邊三角形的性質(zhì)可得2a+2c=60,且一c=—,即可求解。，仇c得解,

a2

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)

6t

可得的方程為y+,即可求解30,.進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)

3/+4

斜式求解直線尸。方程，即可求解.

【小問1詳解】

22

由題意可設(shè)橢圓E的方程為工+A=1（?！?〉0）,02="—/.

ab

因?yàn)橐訣的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且其周長為6后,

c]

所以2〃+2c=6A/2,且一二一，

a2

所以a=2c-J5.所以/=6.

22

所以橢圓E的方程為j+'=

86

【小問2詳解】

設(shè)直線/的方程為x="+2。W0）,

14（⑷

令x=16,得丁二—,即尸

由,3x+4y=24,得（3/+4）/+]2?_i2=0.

x=ty+2'7

I2t12

設(shè)A（M，K）,C（%,y2），則為+%=—^77,％%=-

設(shè)AC的中點(diǎn)為N（N，%），則為

8

所以退=03+2=另二.

因?yàn)樗倪呅蜛3CD為菱形，

所以N為a)的中點(diǎn)，AC1BD,

所以直線3。的斜率為T.

所以直線或)的方程為y+不一7-—7

3r+4I3r+4

令”=。得，=占一六=五匕?所以310,五)

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4，%)，則%=2七=肅4,%=2%—不匕=-吊鼻;，

1414/

'31,4(x-16),7

所以直線PD的方程為y-即y=L(X—4).

16，6%

3r+4

所以直線P￡)過定點(diǎn)(4,0)

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法：

(1)引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到

定點(diǎn).

(2)特殊到一般法：先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).

20.已知函數(shù)/'(九)=ln(尤—a)+2j3a-x(a>0).

(1)若a=L

①求曲線y=/(%)在點(diǎn)(2,/⑵)處的切線方程；

②求證：函數(shù)/(%)恰有一個(gè)零點(diǎn)；

(2)若/(%)Wlna+2a對xe(a,3a)恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)①y=2；②證明見解析

(2)[1,+co)

【解析】

【分析】(1)①求導(dǎo)，即可求解斜率，進(jìn)而可求直線方程，