甘肅省天水市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)4月學(xué)段檢測(cè)數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

甘肅省天水市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月學(xué)段檢測(cè)數(shù)學(xué)

模擬試題

、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.在空間直角坐標(biāo)系。一孫z中，點(diǎn)G，一45）關(guān)于平面xOy對(duì)稱的點(diǎn)為（）

A.（一3,4,-5）B（3,-4,-5）c_（3,4,-5）D（-3,-4,-5）

lim/&+2AxA/&-2Ax）

2.若函數(shù)V=在'=不處的導(dǎo)數(shù)等于“，則'％Ax的值為（）

A.aB.2aC.3aD.4a

3.若"Be在空間直角坐標(biāo)系中的位置及坐標(biāo)如圖所示，則8C邊上的中線的長(zhǎng)是（）

A.6B.2C.百D.3

4.函數(shù)/（”）=/一3忖-1的圖象大致為（

)

「1

D.

5.函數(shù)/G）-e比一e的單調(diào)遞減區(qū)間為（

)

A,0，+°°）B.（°，+8）C.(-汨°)D.S)

6.如圖1,現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為l°cm高為25cm的圓錐容器，以2cm的速度向該容器內(nèi)注

入溶液，隨著時(shí)間，（單位：S）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，

忽略容器的厚度，則當(dāng)，=兀時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為（）

圖1圖2

V300^/300V150.V150.

—cm/s-------cm/zs-------cm/s-------cm/s

A.6兀B.5兀C.3兀D.2兀

ln471ln3

a=~T，b=—,c=——,

7.已知4e3,則見伍c大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

x]lwc2-x^wcy〉2

8.若對(duì)任意的西以2?°，加），且花＜工2,都有9-玉成立，則加的最大值為（）

]_

-2

A.eB.1C.eD.e

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知向量7=（1/，-2）3=（1廠3,-3）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.?+ft=（2,-2,-5）B5-^=（0,-2,1）

Ca-b=4D.同=6

10.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.-2是函數(shù)/（X）的極大值點(diǎn)，一1是函數(shù)/（X）的極小值點(diǎn)

B.0是函數(shù)/（X）的極小值點(diǎn)

C.函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（支+8）

D.函數(shù),（X）的單調(diào)遞減區(qū)間是（一2，-1）

/（x）=[叫戶（。,6）,

11.已知函數(shù)6Txe[6,+司,存在〃（心3）個(gè)不同的正數(shù)占，01,2,…川，使得

/（占）_小2）_f（X,）

再無2X”,則下列說法正確的是（）

A.〃的最大值為5B.，的最大值為4

/（再）/（七）1

C.再的最大值為eD.玉的最大值為e

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量a=（2，T）石=（2』，一4）,若&,則4=.

13.對(duì)R上可導(dǎo)的函數(shù)”x）,若滿足/3+/'3>°,且/（T）=°,則e"G）>°的解集

是.

14.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)“X）,對(duì)/eR,若存在b>0,對(duì)任意的

zw-/（x0）<m）

xe（X0-5,Xo）Ua）,X0+5）,有x-x0恒成立，則稱%為函數(shù),⑴的“特異點(diǎn)”.函數(shù)

“、f-xe^,x<0

[x-2x,x>0在其定義域上的，，特異點(diǎn)，，個(gè)數(shù)是個(gè).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，已知平行六面體/8c0-4404中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，

AAX=AD；AAXAB=AAXAD=120°

（1）求線段4c的長(zhǎng)度;

⑵求異面直線A'D與A'c所成角的余弦值.

16.已知函數(shù)/(x)=lnx+ax“aeR),且/⑴=4.

(1)求。的值；

(2)設(shè)8⑴=/(X)-In…,求kg(x)過點(diǎn)(1,0)的切線方程.

f(x}=ax----(?+l)lnx(aeR)

17.已知函數(shù).

⑴求證：當(dāng)。=°時(shí)，曲線，=/(x)與直線)=T只有一個(gè)交點(diǎn)：

(2)若/(X)既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.二十大報(bào)告中提出：全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，堅(jiān)持農(nóng)業(yè)農(nóng)村優(yōu)先發(fā)展.小王大學(xué)畢業(yè)后決定利

用所學(xué)專業(yè)回鄉(xiāng)自主創(chuàng)業(yè)，生產(chǎn)某農(nóng)副產(chǎn)品.經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)該產(chǎn)品需投入年固定成本4

萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動(dòng)成本“(X)萬元.已知在年產(chǎn)量不足6萬件時(shí)，

164

F,，丫)、一=3丫3-L4Y，在年產(chǎn)量不小于6萬件時(shí)，F(xiàn)(,,_一Qy_|___x_____0Q.每件產(chǎn)品售價(jià)8元.通過市

場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.

(1)寫出年利潤(rùn)尸(X)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量無(萬件)的函數(shù)解析式.(年利潤(rùn)=年銷售收入-年

固定成本-流動(dòng)成本)

(2)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？

19.若x=，"時(shí)，函數(shù)/(X)取得極大值或極小值，則稱優(yōu)為函數(shù)/(X)的極值點(diǎn).已知函數(shù)

f(x)=luxH——--,g(x)=J~ax

x，其中。為正實(shí)數(shù).

(1)若函數(shù)/(X)有極值點(diǎn)，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)無2>%>°戶2和占的幾何平均數(shù)為‘馬玉，算術(shù)平均數(shù)為2.

x2-xl

①判斷與/和多的幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的大小關(guān)系，并加以證明；

②當(dāng)。加時(shí)，證明./G)"g(x)

1.B

【分析】結(jié)合空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱性計(jì)算即可得.

【詳解】設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為&人?

根據(jù)關(guān)于平面x°y對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)互為相反數(shù),

x=3

<y=-4

則有卜=-5,故該點(diǎn)為(3,-4,-5).

故選：B.

2.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算作答.

lim/6+2.)--2盤)=彳Hm/6+2?)-/6-2盤)

［詳解］由已知得.旬Z2。4Ax

=4/'(%)=4。

故選：D.

3.C

【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出8C中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式即可得出中線

長(zhǎng).

【詳解】由圖可知：‘?'"(°，°l)，2(2,。,0),C(0,2,0),

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得3c的中點(diǎn)坐標(biāo)為(11，°),

根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式得BC邊上的中線的長(zhǎng)為jF+F+(-If=V3.

故選：C

4.C

【分析】根據(jù)題意，求得/(X)為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù),(X)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合選項(xiàng),

即可求解.

【詳解】由函數(shù)/6)=陰一3國(guó)-1的定義域?yàn)镽,

Fx1111

^/(-%)=e-31-x|-1=e-3|x|-1=/(x)；所以函數(shù)為偶函數(shù)，

T

當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，/(x)=e-3x-l>貝"'(x)=e*-3,

當(dāng)x￡（0,ln3）時(shí)/，（x）＜0.當(dāng)XE（ln3,+8）時(shí),/?（x）＞0

所以"x）在色儂）上單調(diào)遞減，在（卜3,+oo）上單調(diào)遞增.

故選：C.

5.A

【分析】直接求導(dǎo)，再令'解出不等式即可.

【詳解】/'（x）=e-e，，令_f（x）＜0,解得x＞l,

所以/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為&+00）,

故選：A.

6.C

【分析】先根據(jù)圓錐的體積公式列出等式得出;再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算得出

最后令》=兀即可求解.

【詳解】設(shè)注入溶液的時(shí)間為，（單位：s）時(shí)，溶液的高為〃cm,

,,1150

因?yàn)?Tit1

,,11150V150

n=一力一了=----

所以當(dāng)f=兀時(shí)，3\n3兀，

V150.

----cm/s

即圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為3兀

故選：C

7.D

【分析】構(gòu)造函數(shù)'"）一丁，研究其在（3+°°）上的單調(diào)性即可得.

【詳解】令x,則/（）/,

當(dāng)x＞e時(shí)，/故，（x）在&+°°）上單調(diào)遞減，

故/(e)</(3)</(4),即6>c>q

故選：D.

8.A

+工〉1nxi?2Inx2

【分析】將己知不等式變形為3/網(wǎng)%，令g")一"十"將問題轉(zhuǎn)化為g(x)在

(0,加)上單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，由此可得加的最大值.

xi\nx2-x^nx1

>2可得x^wc-x\wc>2(x-x^

【詳解】由馬-王22i2

lnx1叫22lnx21nxi2

z、---2------〉--------------2-1---->-------1----

由X],/且X|所以x2X1占％,即％%再再

/、_Inx2/、_I11r2

令gXx+x,則gXX+彳在相(°，加)上單調(diào)遞增，

，/、1—lux2—1—Inx1

所以g")一/X2"X2，令一1一lnx=0,則

/x)>0g(x)=—+-(°，2]

當(dāng)I斗時(shí)，g(町〉U,此時(shí)xx在Iej上單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(e，+刃時(shí)，g，(x)<0,此時(shí)g("A7噎在le"叼上單調(diào)遞減；

(0,/?)c|0,-|m^-

所以Ie人故e.

故選：A.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是將恒成立的不等式變形為同一函數(shù)不同函數(shù)值之間大小關(guān)系的

比較問題，通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)的問題.

9.AC

【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?=(1廿2)/=。,-3,-3),

則々+3=(2,-2,-5),故人正確；

力=(0,4,1),故B錯(cuò)誤；

?.K=lxl+lx(-3)+(-2)x(-3)=4；故c正確;

同=J1+1+4=S故D錯(cuò)誤;

故選：AC

10.BC

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值，得出正確選項(xiàng).

【詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)x>0時(shí)，*

所以函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（一鞏°）,單調(diào)遞增區(qū)間是?+"）,

所以0是函數(shù)/（“）的極小值點(diǎn)，所以B,C正確，A,D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.BD

/（%）

【分析】作出/（“）的圖象，利用丁的幾何意義是過原點(diǎn)的直線依與"x）相交點(diǎn)的斜

率，結(jié)合圖象進(jìn)行求解即可.

/（X）

【詳解】丁的幾何意義為過點(diǎn)（°'°）的直線的斜率.如圖所示,

/.3」孫14（0,6）,

易知直線尸履與正"Txe[6，+"）的圖象最多只有4個(gè)交點(diǎn),

故〃的最大值為4,故A錯(cuò)誤，B正確.

/（再）

當(dāng)直線歹=點(diǎn)與曲線>相切時(shí)，再取得最大值，

設(shè)切點(diǎn)為“（看』政°）,則該直線的斜率為看,

lnx0_1

所以X。龍。，解得/=e，得"（e,l）,

所以故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：BD.

加)

16x

12.-8

【分析】由空間向量數(shù)量積垂直的坐標(biāo)表示列出方程即可求解.

【詳解】已知向量1=(2，47)3=(2，1，一4),若,4,則鼠分=4+彳+4=0,解得力=-8

故答案為.一8

13.(T+°°)

【分析】依據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再解不等式即可.

[詳解]令g(x)=e"(x),g'(x)=e"[/(x)+/'(x)],而/(x)+/，(x)>0,

易知e，>0,故g'(x)=eT"x)+/'(x)]>0,則g。)在R上單調(diào)遞增,

而g(T)=e-V(-l)=O,若e"(x)>0,則g(x)>g(-l),則xe(-l,+oo)

故(T+°°)

14.1

【分析】根據(jù)題意知"特異點(diǎn)''為''(X)的極大值點(diǎn)，所以通過分析/'(X)的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)即可

得解.

【詳解】由題意知“特異點(diǎn)”為了‘(X)的極大值點(diǎn),

-xex+1,x<0

因?yàn)?

2

X-2X,X>0；所以"°)=°,

當(dāng)X<0時(shí)，/'(x)=-町+(-x)e-=一(x+l)e[

當(dāng)x>0時(shí)，/'(X)=2X-2,

/W-/(O)-xe-1

lim—----=lim--------=-e

又XT(Tx—0x->。-x,

lim=lim*-2尤=同(x—2)=-2

Xf0+X—0XT。+XXfo+、

故/'(°)不存在.

J-(x+l)ex+1,x<0

[2x-2,x>0

又因?yàn)?/p>

易知：當(dāng)x>0時(shí)，/'（X）單調(diào)遞增，故不可能有“特異點(diǎn)”,

當(dāng)尤<0時(shí)，設(shè)g(x)=/'(x),則g'(x)=-e、'M+[-(x+l)e"[=-(x+2)e、[

令g'（x）>。，貝口<一2；g'（x）<。，則-2<x<0；

所以/'（x）在（一-一2）上單調(diào)遞增，在（一2，0）上單調(diào)遞減，

故x=-2為/'（無）的極大值點(diǎn)，即為了CO的“特異點(diǎn)”.

綜上所述，/（*）在其定義域內(nèi)僅有一個(gè)“特異點(diǎn)”.

故1.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解“特異點(diǎn)”的意義，發(fā)現(xiàn)其為/'（X）的極大值點(diǎn)，從而得

解.

15.⑴⑹

7小

⑵30

【分析】（1）利用向量對(duì)應(yīng)線段位置關(guān)系，應(yīng)用向量加減法幾何意義用萬三，AD=b,

表示出4°,再應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求模長(zhǎng)即可；

（2）應(yīng)用向量加減幾何意義和數(shù)量積的運(yùn)算律求從“、再利用夾角公式求異面

直線4D與4c所成角的余弦值.

一一1一一1

----.一-?Jt———?—?CL'C-b'C-

【詳解】（1）設(shè)AD=b,貝匠6=0,2,2,

vA^C=a+b-c固|40|=｛（"+6-c）=\a+b+c+2a-b-2a-c-2b-c=y/5

，人'J?

1-2---2r-

⑵由40=5-C,則b-2b-c+c=V3

=_

AXD-AyCc^a+b-c^=a-b-a-c-lb-C+b+c=—

7

2_7V15

M而

V3x^530

7小

故異面直線4。與4c所成角的余弦值為萬聯(lián).

16.（1）1

⑵y=2x-2

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)即可.

（2）先設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)表示斜率，建立方程求出參數(shù)，再寫切線方程即可.

【詳解】（1）定義域?yàn)閤e（0，+°°）,x,

而/'（1）=1+3。，而已知/⑴=%可得1+30=4,

解得。=1,故。的值為1,

3

（2）g（x）=/（x）-lnx-x=x-x）設(shè)切點(diǎn)為（%,/3一/），設(shè)切線斜率為七

32

而g'（x）=3x?-1,故切線方程為y-（x0-x0）=（3x0-l）（x-%）,

將（1，°）代入方程中，可得°-（/37。）=（3%2-1）（17。），解得%=1（負(fù)根舍去）,

故切線方程為k2x-2,

17.（1）證明見解析；

（2）（0，l）u（l，+°°）,

【分析】（1）當(dāng)。=°時(shí)，對(duì)/（X）求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性，確定了（X）圖象，可證明曲線

V=/（X）與直線V=T只有一個(gè)交點(diǎn).

（2）將/（X）既存在極大值，又存在極小值，轉(zhuǎn)換為了'（X）有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)問題，討論零點(diǎn)

位置可得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

］1—X

［詳解］（1）當(dāng)口=0時(shí)，函數(shù)"x）__^Tnx,求導(dǎo)得：/f（X）-丁

令鞏x）＞0,得0＜》＜1；令/'（x）＜0,得x＞l；

則函數(shù)"X）在（0,1）上遞增,在（1，+8）上遞減,

故/'（QaM/aX-l,

所以曲線V=/（x）與直線>=T只有一個(gè)交點(diǎn).

f(x)=ax------+])lnx

(2)函數(shù)X的定義域?yàn)椋ā悖?8）,

f(x)=a+\-Q+1ax2一(a+l)x+1

求導(dǎo)得工Xx2

設(shè)gOO-辦2-(q+V)x+1=(ax-l)(x-1)

令g(x)=0,解得“「a,x2=l

因?yàn)?（X）既存在極大值，又存在極小值，即8（0在（°，+°°）有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),

->0

a

Li

則，解得a>°且"1,

綜上所述：。的取值范圍為（01）口（1，+8）.

—-x，+4x-4,0<%<6

尸（X）=V

25-x--,x>6

18.(1)x

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時(shí)，所獲年利潤(rùn)最大，為9萬元.

【分析】（1）分0<x<6和X26討論計(jì)算即可；

⑵當(dāng)0<x<6時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最值，時(shí)，利用基本不等式求出其最值，比較大

小即可.

尸1,〃

(x)=8x-4-7+?=.-x3+4x-4

【詳解】（1）由題意，當(dāng)0。<6時(shí),3

尸(無)=8x-4-19x+2-29二25--竺

當(dāng)無26時(shí),X

--X。+4x-4,0vx<6

尸(x)=<

25-x--,x>6

所以x

(2)當(dāng)0<x<6時(shí)，尸'0)=-'2+4,令P(x)=0,解得％=2

當(dāng)xe(O,2),p(x)>0,當(dāng)xe(2,6),p(x)<0.

則P(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,6)上單調(diào)遞減,

4

所以當(dāng)?！?時(shí)，小一⑵不

P(x)=25-fx+—K25-2L—=9x=—

當(dāng)x26時(shí)，Ix)Nx,當(dāng)且僅當(dāng)x,即x=8時(shí)取等號(hào).

綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時(shí)，所獲年利潤(rùn)最大，為9萬元.

19.(1)°4

(2)①答案見解析；②證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)之后構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，利用對(duì)稱軸，判別式，特殊值討論

即可；

2(x-Xj)

In迤>2

x2+玉

(2)①證明右邊時(shí)先將不等式變形為再，令占,構(gòu)造函數(shù),

21n

求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性和極值即可證明；再將左邊變形為,令

同樣構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性和極值即可證明.②恒成立問題，作差之后利用一問

的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，分析單調(diào)性，再求最大值小于零即可.

r(X)△-2=(無+4-.=o

【詳解】(1)X(x+a)2Mx+a)2在(&+8)上有變號(hào)零點(diǎn)，

即g(x)=x2+(2a-2)x+/=0在(0,+功上有變號(hào)零點(diǎn).

①若1-屋0,即。卻時(shí)，只需g(°)="<°矛盾，

A=(2a—2)~—4/=4—8a>0a<—

②若即0<。<1時(shí)，只需