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文檔簡介
甘肅省天水市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月學(xué)段檢測數(shù)學(xué)
模擬試題
、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項
是符合題目要求的.
1.在空間直角坐標系。一孫z中,點G,一45)關(guān)于平面xOy對稱的點為()
A.(一3,4,-5)B(3,-4,-5)c_(3,4,-5)D(-3,-4,-5)
lim/&+2AxA/&-2Ax)
2.若函數(shù)V=在'=不處的導(dǎo)數(shù)等于“,則'%Ax的值為()
A.aB.2aC.3aD.4a
3.若"Be在空間直角坐標系中的位置及坐標如圖所示,則8C邊上的中線的長是()
A.6B.2C.百D.3
4.函數(shù)/(”)=/一3忖-1的圖象大致為(
)
「1
D.
5.函數(shù)/G)-e比一e的單調(diào)遞減區(qū)間為(
)
A,0,+°°)B.(°,+8)C.(-汨°)D.S)
6.如圖1,現(xiàn)有一個底面直徑為l°cm高為25cm的圓錐容器,以2cm的速度向該容器內(nèi)注
入溶液,隨著時間,(單位:S)的增加,圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加,如圖2所示,
忽略容器的厚度,則當,=兀時,圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時變化率為()
圖1圖2
V300^/300V150.V150.
—cm/s-------cm/zs-------cm/s-------cm/s
A.6兀B.5兀C.3兀D.2兀
ln471ln3
a=~T,b=—,c=——,
7.已知4e3,則見伍c大小關(guān)系為()
A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a
x]lwc2-x^wcy〉2
8.若對任意的西以2?°,加),且花<工2,都有9-玉成立,則加的最大值為()
]_
-2
A.eB.1C.eD.e
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題
目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.已知向量7=(1/,-2)3=(1廠3,-3),則下列結(jié)論正確的是()
A.?+ft=(2,-2,-5)B5-^=(0,-2,1)
Ca-b=4D.同=6
10.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是()
A.-2是函數(shù)/(X)的極大值點,一1是函數(shù)/(X)的極小值點
B.0是函數(shù)/(X)的極小值點
C.函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(支+8)
D.函數(shù),(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一2,-1)
/(x)=[叫戶(。,6),
11.已知函數(shù)6Txe[6,+司,存在〃(心3)個不同的正數(shù)占,01,2,…川,使得
/(占)_小2)_f(X,)
再無2X”,則下列說法正確的是()
A.〃的最大值為5B.,的最大值為4
/(再)/(七)1
C.再的最大值為eD.玉的最大值為e
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.已知向量a=(2,T)石=(2』,一4),若&,則4=.
13.對R上可導(dǎo)的函數(shù)”x),若滿足/3+/'3>°,且/(T)=°,則e"G)>°的解集
是.
14.已知定義域為R的函數(shù)“X),對/eR,若存在b>0,對任意的
zw-/(x0)<m)
xe(X0-5,Xo)Ua),X0+5),有x-x0恒成立,則稱%為函數(shù),⑴的“特異點”.函數(shù)
“、f-xe^,x<0
[x-2x,x>0在其定義域上的,,特異點,,個數(shù)是個.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.如圖,已知平行六面體/8c0-4404中,底面ABCD是邊長為1的正方形,
AAX=AD;AAXAB=AAXAD=120°
(1)求線段4c的長度;
⑵求異面直線A'D與A'c所成角的余弦值.
16.已知函數(shù)/(x)=lnx+ax“aeR),且/⑴=4.
(1)求。的值;
(2)設(shè)8⑴=/(X)-In…,求kg(x)過點(1,0)的切線方程.
f(x}=ax----(?+l)lnx(aeR)
17.已知函數(shù).
⑴求證:當。=°時,曲線,=/(x)與直線)=T只有一個交點:
(2)若/(X)既存在極大值,又存在極小值,求實數(shù)。的取值范圍.
18.二十大報告中提出:全面推進鄉(xiāng)村振興,堅持農(nóng)業(yè)農(nóng)村優(yōu)先發(fā)展.小王大學(xué)畢業(yè)后決定利
用所學(xué)專業(yè)回鄉(xiāng)自主創(chuàng)業(yè),生產(chǎn)某農(nóng)副產(chǎn)品.經(jīng)過市場調(diào)研,生產(chǎn)該產(chǎn)品需投入年固定成本4
萬元,每生產(chǎn)x萬件,需另投入流動成本“(X)萬元.已知在年產(chǎn)量不足6萬件時,
164
F,,丫)、一=3丫3-L4Y,在年產(chǎn)量不小于6萬件時,F(xiàn)(,,_一Qy_|___x_____0Q.每件產(chǎn)品售價8元.通過市
場分析,小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當年能全部售完.
(1)寫出年利潤尸(X)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量無(萬件)的函數(shù)解析式.(年利潤=年銷售收入-年
固定成本-流動成本)
(2)年產(chǎn)量為多少萬件時,小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大?最大年利潤是多少?
19.若x=,"時,函數(shù)/(X)取得極大值或極小值,則稱優(yōu)為函數(shù)/(X)的極值點.已知函數(shù)
f(x)=luxH——--,g(x)=J~ax
x,其中。為正實數(shù).
(1)若函數(shù)/(X)有極值點,求。的取值范圍;
(2)當無2>%>°戶2和占的幾何平均數(shù)為‘馬玉,算術(shù)平均數(shù)為2.
x2-xl
①判斷與/和多的幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的大小關(guān)系,并加以證明;
②當。加時,證明./G)"g(x)
1.B
【分析】結(jié)合空間直角坐標系中點的對稱性計算即可得.
【詳解】設(shè)所求點的坐標為&人?
根據(jù)關(guān)于平面x°y對稱的兩個點的橫縱坐標不變,豎坐標互為相反數(shù),
x=3
<y=-4
則有卜=-5,故該點為(3,-4,-5).
故選:B.
2.D
【分析】根據(jù)給定條件,利用導(dǎo)數(shù)的定義直接計算作答.
lim/6+2.)--2盤)=彳Hm/6+2?)-/6-2盤)
[詳解]由已知得.旬Z2。4Ax
=4/'(%)=4。
故選:D.
3.C
【分析】利用中點坐標公式求出8C中點的坐標,根據(jù)空間兩點間的距離公式即可得出中線
長.
【詳解】由圖可知:‘?'"(°,°l),2(2,。,0),C(0,2,0),
由中點坐標公式可得3c的中點坐標為(11,°),
根據(jù)空間兩點間距離公式得BC邊上的中線的長為jF+F+(-If=V3.
故選:C
4.C
【分析】根據(jù)題意,求得/(X)為偶函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù),(X)的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合選項,
即可求解.
【詳解】由函數(shù)/6)=陰一3國-1的定義域為R,
Fx1111
^/(-%)=e-31-x|-1=e-3|x|-1=/(x);所以函數(shù)為偶函數(shù),
T
當xe(0,+oo)時,/(x)=e-3x-l>貝"'(x)=e*-3,
當x£(0,ln3)時/,(x)<0.當XE(ln3,+8)時,/?(x)>0
所以"x)在色儂)上單調(diào)遞減,在(卜3,+oo)上單調(diào)遞增.
故選:C.
5.A
【分析】直接求導(dǎo),再令'解出不等式即可.
【詳解】/'(x)=e-e,,令_f(x)<0,解得x>l,
所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為&+00),
故選:A.
6.C
【分析】先根據(jù)圓錐的體積公式列出等式得出;再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算得出
最后令》=兀即可求解.
【詳解】設(shè)注入溶液的時間為,(單位:s)時,溶液的高為〃cm,
,,1150
因為3Tit1
,,11150V150
n=一力一了=----
所以當f=兀時,3\n3兀,
V150.
----cm/s
即圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時變化率為3兀
故選:C
7.D
【分析】構(gòu)造函數(shù)'")一丁,研究其在(3+°°)上的單調(diào)性即可得.
【詳解】令x,則/()/,
當x>e時,/故,(x)在&+°°)上單調(diào)遞減,
故/(e)</(3)</(4),即6>c>q
故選:D.
8.A
+工〉1nxi?2Inx2
【分析】將己知不等式變形為3/網(wǎng)%,令g")一"十"將問題轉(zhuǎn)化為g(x)在
(0,加)上單調(diào)遞增,利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性,由此可得加的最大值.
xi\nx2-x^nx1
>2可得x^wc-x\wc>2(x-x^
【詳解】由馬-王22i2
lnx1叫22lnx21nxi2
z、---2------〉--------------2-1---->-------1----
由X],/且X|所以x2X1占%,即%%再再
/、_Inx2/、_I11r2
令gXx+x,則gXX+彳在相(°,加)上單調(diào)遞增,
,/、1—lux2—1—Inx1
所以g")一/X2"X2,令一1一lnx=0,則
/x)>0g(x)=—+-(°,2]
當I斗時,g(町〉U,此時xx在Iej上單調(diào)遞增;
當xe(e,+刃時,g,(x)<0,此時g("A7噎在le"叼上單調(diào)遞減;
(0,/?)c|0,-|m^-
所以Ie人故e.
故選:A.
關(guān)鍵點點睛:本題解題關(guān)鍵是將恒成立的不等式變形為同一函數(shù)不同函數(shù)值之間大小關(guān)系的
比較問題,通過構(gòu)造函數(shù)的方式,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)的問題.
9.AC
【分析】根據(jù)題意,由空間向量的坐標運算,代入計算,對選項逐一判斷,即可得到結(jié)果.
【詳解】因為'=(1廿2)/=。,-3,-3),
則々+3=(2,-2,-5),故人正確;
力=(0,4,1),故B錯誤;
?.K=lxl+lx(-3)+(-2)x(-3)=4;故c正確;
同=J1+1+4=S故D錯誤;
故選:AC
10.BC
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負,即可判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值,得出正確選項.
【詳解】由題意可得,當時,
當x>0時,*
所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一鞏°),單調(diào)遞增區(qū)間是?+"),
所以0是函數(shù)/(“)的極小值點,所以B,C正確,A,D錯誤.
故選:BC
11.BD
/(%)
【分析】作出/(“)的圖象,利用丁的幾何意義是過原點的直線依與"x)相交點的斜
率,結(jié)合圖象進行求解即可.
/(X)
【詳解】丁的幾何意義為過點(°'°)的直線的斜率.如圖所示,
/.3」孫14(0,6),
易知直線尸履與正"Txe[6,+")的圖象最多只有4個交點,
故〃的最大值為4,故A錯誤,B正確.
/(再)
當直線歹=點與曲線>相切時,再取得最大值,
設(shè)切點為“(看』政°),則該直線的斜率為看,
lnx0_1
所以X。龍。,解得/=e,得"(e,l),
所以故C錯誤,D正確.
故選:BD.
加)
16x
12.-8
【分析】由空間向量數(shù)量積垂直的坐標表示列出方程即可求解.
【詳解】已知向量1=(2,47)3=(2,1,一4),若,4,則鼠分=4+彳+4=0,解得力=-8
故答案為.一8
13.(T+°°)
【分析】依據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再解不等式即可.
[詳解]令g(x)=e"(x),g'(x)=e"[/(x)+/'(x)],而/(x)+/,(x)>0,
易知e,>0,故g'(x)=eT"x)+/'(x)]>0,則g。)在R上單調(diào)遞增,
而g(T)=e-V(-l)=O,若e"(x)>0,則g(x)>g(-l),則xe(-l,+oo)
故(T+°°)
14.1
【分析】根據(jù)題意知"特異點''為''(X)的極大值點,所以通過分析/'(X)的極大值點個數(shù)即可
得解.
【詳解】由題意知“特異點”為了‘(X)的極大值點,
-xex+1,x<0
因為5
2
X-2X,X>0;所以"°)=°,
當X<0時,/'(x)=-町+(-x)e-=一(x+l)e[
當x>0時,/'(X)=2X-2,
/W-/(O)-xe-1
lim—----=lim--------=-e
又XT(Tx—0x->。-x,
lim=lim*-2尤=同(x—2)=-2
Xf0+X—0XT。+XXfo+、
故/'(°)不存在.
J-(x+l)ex+1,x<0
[2x-2,x>0
又因為
易知:當x>0時,/'(X)單調(diào)遞增,故不可能有“特異點”,
當尤<0時,設(shè)g(x)=/'(x),則g'(x)=-e、'M+[-(x+l)e"[=-(x+2)e、[
令g'(x)>。,貝口<一2;g'(x)<。,則-2<x<0;
所以/'(x)在(一-一2)上單調(diào)遞增,在(一2,0)上單調(diào)遞減,
故x=-2為/'(無)的極大值點,即為了CO的“特異點”.
綜上所述,/(*)在其定義域內(nèi)僅有一個“特異點”.
故1.
關(guān)鍵點點睛:本題解決的關(guān)鍵是理解“特異點”的意義,發(fā)現(xiàn)其為/'(X)的極大值點,從而得
解.
15.⑴⑹
7小
⑵30
【分析】(1)利用向量對應(yīng)線段位置關(guān)系,應(yīng)用向量加減法幾何意義用萬三,AD=b,
表示出4°,再應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求模長即可;
(2)應(yīng)用向量加減幾何意義和數(shù)量積的運算律求從“、再利用夾角公式求異面
直線4D與4c所成角的余弦值.
一一1一一1
----.一-?Jt———?—?CL'C-b'C-
【詳解】(1)設(shè)AD=b,貝匠6=0,2,2,
vA^C=a+b-c固|40|={("+6-c)=\a+b+c+2a-b-2a-c-2b-c=y/5
,人'J?
1-2---2r-
⑵由40=5-C,則b-2b-c+c=V3
=_
AXD-AyCc^a+b-c^=a-b-a-c-lb-C+b+c=—
7
2_7V15
M而
V3x^530
7小
故異面直線4。與4c所成角的余弦值為萬聯(lián).
16.(1)1
⑵y=2x-2
【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)即可.
(2)先設(shè)切點,利用導(dǎo)數(shù)表示斜率,建立方程求出參數(shù),再寫切線方程即可.
【詳解】(1)定義域為xe(0,+°°),x,
而/'(1)=1+3。,而已知/⑴=%可得1+30=4,
解得。=1,故。的值為1,
3
(2)g(x)=/(x)-lnx-x=x-x)設(shè)切點為(%,/3一/),設(shè)切線斜率為七
32
而g'(x)=3x?-1,故切線方程為y-(x0-x0)=(3x0-l)(x-%),
將(1,°)代入方程中,可得°-(/37。)=(3%2-1)(17。),解得%=1(負根舍去),
故切線方程為k2x-2,
17.(1)證明見解析;
(2)(0,l)u(l,+°°),
【分析】(1)當。=°時,對/(X)求導(dǎo),分析函數(shù)單調(diào)性,確定了(X)圖象,可證明曲線
V=/(X)與直線V=T只有一個交點.
(2)將/(X)既存在極大值,又存在極小值,轉(zhuǎn)換為了'(X)有兩個變號零點問題,討論零點
位置可得實數(shù)。的取值范圍.
]1—X
[詳解](1)當口=0時,函數(shù)"x)__^Tnx,求導(dǎo)得:/f(X)-丁
令鞏x)>0,得0<》<1;令/'(x)<0,得x>l;
則函數(shù)"X)在(0,1)上遞增,在(1,+8)上遞減,
故/'(QaM/aX-l,
所以曲線V=/(x)與直線>=T只有一個交點.
f(x)=ax------+])lnx
(2)函數(shù)X的定義域為(°,+8),
f(x)=a+\-Q+1ax2一(a+l)x+1
求導(dǎo)得工Xx2
設(shè)gOO-辦2-(q+V)x+1=(ax-l)(x-1)
令g(x)=0,解得“「a,x2=l
因為/(X)既存在極大值,又存在極小值,即8(0在(°,+°°)有兩個變號零點,
->0
a
Li
則,解得a>°且"1,
綜上所述:。的取值范圍為(01)口(1,+8).
—-x,+4x-4,0<%<6
尸(X)=V
25-x--,x>6
18.(1)x
(2)當年產(chǎn)量為8萬件時,所獲年利潤最大,為9萬元.
【分析】(1)分0<x<6和X26討論計算即可;
⑵當0<x<6時,利用導(dǎo)數(shù)求出其最值,時,利用基本不等式求出其最值,比較大
小即可.
尸1,〃
(x)=8x-4-7+?=.-x3+4x-4
【詳解】(1)由題意,當0。<6時,3
尸(無)=8x-4-19x+2-29二25--竺
當無26時,X
--X。+4x-4,0vx<6
尸(x)=<
25-x--,x>6
所以x
(2)當0<x<6時,尸'0)=-'2+4,令P(x)=0,解得%=2
當xe(O,2),p(x)>0,當xe(2,6),p(x)<0.
則P(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,6)上單調(diào)遞減,
4
所以當?!?時,小一⑵不
P(x)=25-fx+—K25-2L—=9x=—
當x26時,Ix)Nx,當且僅當x,即x=8時取等號.
綜上,當年產(chǎn)量為8萬件時,所獲年利潤最大,為9萬元.
19.(1)°4
(2)①答案見解析;②證明見解析
【分析】(1)求導(dǎo)之后構(gòu)造函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì),利用對稱軸,判別式,特殊值討論
即可;
2(x-Xj)
In迤>2
x2+玉
(2)①證明右邊時先將不等式變形為再,令占,構(gòu)造函數(shù),
21n
求導(dǎo),用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性和極值即可證明;再將左邊變形為,令
同樣構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性和極值即可證明.②恒成立問題,作差之后利用一問
的結(jié)論構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),分析單調(diào)性,再求最大值小于零即可.
r(X)△-2=(無+4-.=o
【詳解】(1)X(x+a)2Mx+a)2在(&+8)上有變號零點,
即g(x)=x2+(2a-2)x+/=0在(0,+功上有變號零點.
①若1-屋0,即。卻時,只需g(°)="<°矛盾,
A=(2a—2)~—4/=4—8a>0a<—
②若即0<。<1時,只需
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