陜西省菁師聯(lián)盟2024屆高三年級下冊5月高考適應性考試理科數(shù)學試卷(含答案)

理科數(shù)學

考試滿分：150分考試時間：120分鐘

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。

2.全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效。

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案用0.5mm黑色筆跡簽

字筆寫在答題卡上。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.復數(shù)一匚+（1-i）2的虛部為（）

1-i

3n3.「-2D.」

A.—B.—iC.

2

={x|lnx>0},則圖中陰影部分表示的集合為()

A.{x|x<l}B.C.{x[0<x<l}D.1x|0<x<1}

3.已知兩個向量4=（2,—1）,b=^y/3,nij,且則加的值為（）

A.±1B.±&C.±2D.±273

4.已知廠為拋物線C：/=2px(p>0)的焦點，第一象限的點4(9")在拋物線上，且AF=10,則/=()

A.1B.3C.6D.9

5.已知等差數(shù)列{4}的公差為d,前“項和為S”，且a2”=2%+10(“eN*),品=$6,則d的值為()

,2020,

A.1B.—C：—D.—1

1921

6.已知函數(shù)/(x)=e*—er+加，若〃〃)=1,M,其中〃為‘^+tan2%的最小值，則用的

值為()

A.2B.3C.4D.5

1

7.已知函數(shù)/（x）=2cos.cos［x—；J,則y=/（x）的圖象（）

2冗5冗

A.關于直線》=三對稱B.關于直線％=三對稱

36

C.關于［丘■,［中心對稱D.關于［-歷,。］中心對稱

22

8.已知雙曲線C：5一當=1（a>0,b>0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn),,以耳心為直徑的圓在第一

a"1）一

4

象限與雙曲線C交于一點P,且月的面積為4,若雙曲線上一點到兩條漸近線的距離之積為一，則該

雙曲線的離心率為（）

A.2A/2B.C.D.V2

9.函數(shù)“九）=，匚￡+房的最大值為（）

A.1B.72C.A/3D.2

10.已知如圖所示的幾何體中，底面ABC是邊長為4的正三角形，側面A&GC是正方形，平面A41G。，平

1

面ABC,。為棱CG上一點，8=，且5耳=3CD,則與。與平面A&GC所成角的正弦值為（）

V3A/10275A/15

A.----B.-----C.------D.-----

5555

sinB強二L則八45。面積

11.在38。中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知。=6,

sinAb

的最大值為()

1921

A.——B.——C.12D.15

22

12.當x>0時，/工標―21nx2ax+l恒成立，則實數(shù)。最大值為（)

44

A.-B.4C.—D.8

ee

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

2

13.各位數(shù)字之積為8的三位數(shù)的個數(shù)為.

14.已知實數(shù)x,y滿足約束條件1,則由可行域圍成區(qū)域的面積為________.

-4<2%-y<4

15.如圖，正三棱錐O—ABC的三條側棱Q4,OB,0C兩兩垂直，且側棱長。4=08=OC=也，以

點。為球心作一個半徑為友的球，則該球被平面ABC所截的圓面面積為.

3

16.已知數(shù)列｛4｝的前幾項和為S“，且S“=2a〃—2,則數(shù)列｛"a/的幾項和7；=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.（12分）某公司新研發(fā)了一款智能燈，此燈有拍照搜題功能，學生遇到疑難問題，通過拍照搜題后，會在

顯示屏上顯示該題的解答過程以及該題考查的知識點與相應的解題方法，該產(chǎn)品投入市場三個月后，公司對部

分用戶做了調研：抽取了200位使用者，每人填寫一份評分表（滿分為100分）.現(xiàn)從200份評分表中，隨機

抽取40份（其中男、女使用者的評分表各20份）作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計得到如下的數(shù)據(jù)：

女生使用者評分:67,71,72,75,80,83,83,83,84,84,85,86,88,90,90,91,92,92,92,92

男生使用者評分：67,68,69,69,70,72,72,73,74,75,76,76,77,78,79,82,84,84,89,92

記該樣本的中位數(shù)為河，按評分情況將使用者對該智能燈的態(tài)度分為兩種類型：評分不小于M的稱為“滿

意型”，其余的都稱為“不滿意型”.

（1）求M的值，填寫如下2X2列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為滿意與性別有關？

女生評分男生評分合計

“滿意型”人數(shù)

“不滿意型”人數(shù)

合計

（2）為了改進服務，公司對不大于（"-10）的評分定義為“極不滿意型”，并對該類型使用者進行了回訪,

根據(jù)回訪意見改進后，再從“極不滿意型”使用者中隨機抽取3人進行第二次調查，記這3人中的女生使用者

人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

3

n^ad-bc^

參考公式與數(shù)據(jù)：K2=-

Q+b)(c+d)(a+c)(0+d)

P(K2H0.10.050.0250.01

k02.7063.8415.0246.635

i——II

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知。=4,b=2,CA?C3=—.點

2

r)在線段AB上，且CD平分NACfi.

CAAD

(1)求證:

CB—DB

(2)求CO的長度.

19.(12分)在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD,A3,平面？AO,

AB=AD=PD=2,CD=3,E為？8的中點.

(1)求證：取面？平面CDE；

(2)若R4=2,求二面角P—CE—D的余弦值.

20.(12分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C過點A|l,

(1)求橢圓的標準方程；

(2)設橢圓C上一動點加(機力，從原點。向圓M：(%-m)2+(y-n)2=r2(O<r<l),設兩條切線的

斜率分別為左1，左2(左左2。°)，是否存在實數(shù)廣，使得火色為定值，若存在，求出「值，若不存在，請說明理

由.

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=2x-xln%.

(1)求曲線y=在x=e2處的切線方程;

4

2

(2)若/(%)=/(%,),且X<々.求證：X1+x2<e.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

22.在平面直角坐標系中，已知直線/的參數(shù)方程為-2+'C為參數(shù)，左為常數(shù))，以坐標原點。為

、y=kt

極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系；圓C的極坐標方程為：夕4夕cos9-4=0.

(1)求直線/恒過的定點的坐標，以及圓C在平面直角坐標系下的標準方程；

(2)若直線/與圓C交于A,8兩點，且八鉆。為等腰直角三角形，求左的值.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知函數(shù)/(%)=,一切|

(1)當加=2時，求不等式“同25的解集；

(2)若/(x)N2加恒成立，求機的取值范圍.

理科數(shù)學參考答案

1.【答案】C

ii(l+i7)i-111/、。

［解析］——=z=—=+-i,(1-iV=-2i

1-i(l-i)(l+i)222v7

io1113

所以復數(shù)一L+(l—i)=_±+±i—2i---i.故選C.

1-iv72222

2.【答案】D

【解析】由條件可得A={x|0<x<2},3={才%>1},則A3={x［l<x<2},所以圖中陰影部分為

6(AB)={x|0<x<l).故選D.

3.【答案】B

【解析】由(a+b),(a—沙)，得(a+b)?(a—人)=0,即所以同=忖，所以根=土故選B.

4.【答案】C

【解析】由AE=10,得點4(91)到拋物線準線的距離為10,故^=10—9=1,°=2,將點4(9")代入

拋物線方程得r=4x9=36.因為點4(9,。在第一象限，所以f=6.故選C.

5.【答案】A

5

【解析】因為的“=2a”+10（"eN*）,令”=1,則2=2%+10,所以％+d=2。］+10,故％=d-10.因

為S13=S6，所以S13-S6=0,即%+。8+。9+。1（）+知+62+&=0，由等差數(shù)列的性質可得

%+%3=。8+卬2=佝+%i=2。1（）,所以即勾+9d=0,解得d=l.故選A.

6.【答案】A

【解析】由條件得了（—力=0—e*+m,故/（x）+/（—》）=2相,

所以/(a)+/(-a)=2m=1+M,

又

.2?22?22?2

1I21Isinxsinx+cos%sinx,cosxsinx

—?T/—+tan-x=-?T/—+———/=-----?-；/------+——廠/=1+——?—7+——廠/

sinxsinxcosxsinxcosxsinxcosx

2?22?2

J蟲fx里?=3,當且僅當骼土='?，即tan%=±l時，M=3,即機=2.故選A.

sinxcosxsinxcosx

7.【答案】A

【解析】

122.?

/(x)=2cosx-coso

2cos%?”—cosxd--2-sinx=21—2cos--2-sin%cos%

l+2x-COS2XH---sin2x

11+cos2xA/31.c'1+cos2X+A/3sin2x122

-x---------1---x—sin2x

222222

1+2cos2x—/、

I3)「。兀)1

2I32

由2x—m=E(keZ),得y=/(x)的圖象關于x=：+￡(左eZ)對稱

由2x—1E（左eZ）,得y=/（%）的圖象的對稱中心為

顯然左=1時，直線x=g為函數(shù)y=/（x）圖象的一條對稱軸.故選A.

8.【答案】B

【解析】設|助|=加，歸閭=〃，則由定義可得.―〃|=2a,即加+〃2—2加〃=4a2,

又因為耳身為直徑，所以耳尸P,得加2+”2=4,2,

6

因為△尸石工的面積為4,所以一加〃二4,即加〃=8

由以上三式可得。2=4+4,即/=4,b=2.

設雙曲線上一點”(七,%)，

則點M到漸近線y=-x的距離為坨^，

ayja2+b2

點M到另一條漸近線y=--x的距離1-：0+4回,故距離之積為'?一?%L±,

ayla2+b2a-+b-5

222i2A

因為N—甘=1,即〃片所以q=_;

ab"a+b^5

又b=2,所以a=l,c=y/5,故離心率為百.故選B.

9.【答案】D

【解析】函數(shù)=+用的定義域為[0,1],令a=J匚工，b=顯,則/+g=i(0<a<L

0<&<A/3),設。=51118,b=\/3cos0^Q<0<,可得a+6=2sin[e+m],當6=器時，a+b有

最大值為2.所以函數(shù)/(%)=，-+A的最大值為2.故選D.

10.【答案】D

【解析】因為平面A&GC是正方形，所以4&LAC.

因為平面AAGC，平面ABC,平面A&GC平面ABC=AC,所以A4_L平面ABC.

取AC的中點為M,4G的中點為N，如圖所示，連結MN,BM,NB、,則MN〃AA〃CG.

因為邸fu平面ABC,所以MNIBM.

因為底面ABC是等邊三角形，所以

因為BMLMN,MNAC=M,所以，平面441G。.

因為BB]=3CD,所以5B]〃CD,BB1//CQ,所以BBJ/MN,即8、M,N、用四點共面.

因為BMu平面BMNBl,所以平面BMNB11平面A41GC,

過點耳作gHLMN交MN于點“，連結DH,則因為平面BMNg平面

7

所以用H，平面A&GC,故NBQH就是B】D與平面A^QC所成角,

由題中邊長關系可得48=2如，0)=1,=3,所以4。=2君，所以sin/8|OH=|^=^.故

選D.

11.【答案】C

【解析】由吧0=強心，得2=效二2,即0—2a)(〃+3a)=0.因為Z?+3a>0,所以Z?=2a即

sinAbab'八)

CA=2CB；由c=6得AB=6.以線段AB中點為坐標原點，直線A3為x軸建立平面直角坐標系.則

4(—3,0),5(3,0),又設C(x,y),所以J(x+3.+(y=2而_3]+(y-0)?,化簡得

(x-5)2+r=16.所以點C軌跡是以(5,0)為圓心，4為半徑的圓(不包括和X軸的兩個交點).故ZkABC

的面積最大為工義6x4=12.故選C.

2

12.【答案】B

x2-e4x-21nx-l

【解析】因為1>0,由f-21nx之依+1,得aV

x

人，(\x2e4x-21nx-le21nx+4x-21nx-l人

令/⑺=----------------=-----------------(z%>0)

xJC

,.1/曰2in%+4x、ciA1匚匕r、ir(、、21nx+4JV+1—21nx—I

由e%'21+1,得emx+以Z21nx+4x+l,所以----------------------=4.

當且僅當21nx+4x=0時，取“=”，

此時lnx=—2九，由y=ln尤與y=-2x圖象可知三不使In/=-2%)，此時/(力皿冊二人

所以。<4,即。有最大值為4.故選B.

13.【答案】10

【解析】滿足題意的三位數(shù)有：118,181,811,124,142,214,241,222,412,421.共10個.故答案為

10.

14.【答案】8

【解析】在直角坐標系中作出其可行域，如圖，則但典=也2+42=2",

8

8-44

且2x+y=4與2x+y=8之間的距離為L

A/4+T75

所以圍成的圖形面積為

2?xA=8.故答案為8.

【解析】此正三棱錐可看作一個正方體的墻角，過點。作00］，平面ABC于點。一則。。|為正方體體對角

線的;，所以逅.作ODLAB交A3于點。，則8=1,因為球的半徑2叵＞1,故以0為球心

33

的球被平面ABC所截的圓面如圖所示，其中0E=。尸=0G=0M=0N=0T=￥，因為。已，平面

ABC,所以OIE=4OE2—OO；=,,故所求截面的面積為兀義。］石2271...27r

—.故答案為—.

33

16.【答案】2,1+1(n2-2n+3)-6

【解析】Sn=2an-2,得5用=2。用—2,

所以S“+i-Sn=2an+l-2an,化簡得an+l=2an,所以數(shù)列｛??｝是等比數(shù)列,且公比q=2,

又當〃=1時，$=2%—2得4=2,所以a"=a?T=2x2'i=2".

9

2222223

^Tn=lxai+2xa2+=1X21+2X2+3X2++/義2",①

把①X2,得：27；=12X22+22X23+32X24++n~x2n+1,②

①—②，得：一%=Fx2i+3x22+5x23+7x24++（2?-l）x2n-?2x2n+1,③

③X2,得：—27；=Fx2?+3x23+5x24+7x25++（2ra-l）x2/,+1-T?2x2n+2,④

③一④，得：7；=l2x21+2x22+2x23+2x24+2x25+.+2x2n-?2x2n+1-（2w-1）x2n+1+w2x2,8+2

=2（2'+22+23+24+25++2"）—2—"*2,,+1-（2n-l）x2,,+1+n2x2n+2

2（1-2"）,、

=2x-y^-^-2-（2?-l）x2,i+1+n2x2n+l=4x（2n-l）-2-（2n-l）x2,i+1+n2x2?I+1

=2n+2-（2n-l）x2"i+"2x2'"i—6=2"+1（n2-2H+3）-6

故答案為2〃+3）—6.

17.【答案】解：⑴將40份評分按從小到大的順序排列,67,67,68,69,69,70,71,72,72,72,

73,74,75,75,76,76,77,78,79,80,82,83,83,83,84,84,84,84,85,86,88,89,90,90,

91,92,92,92,92,92,

中位數(shù)是第20個數(shù)80與第21個數(shù)82的平均值，所以中位數(shù)等于吧±=81,所以M=81,

2

女生男生合計

“滿意型”人數(shù)15520

“不滿意型”人數(shù)51520

合計202040

,40x（15x15-5x5）-

K2=——-------------------=10>6,635

20x20x20x20

所以有99%的把握認為滿意與性別有關.

（2）“極不滿意型”共7人，其中男生5人，女生2人，

故X的所有可能的取值為0,1,2

且P（X=。）至「3手尸（X=l）=罟44尸（X=2）=冷c'C2;1

故X的分布列為

X012

24

P

777

10

所以X的數(shù)學期望石(x)=—xO+—xl+—x2=—.

7777

18.【答案】⑴證明:

CA

在八4。中,

sinZADCsinNACD

CBDB

在△5CD中,

smZBDC-sinZBCD

因為NADC+ZBDC=7i,所以sinNADC=sin/BDC；

又因為CD平分NACfi,所以sinNACO=sin/BCD,.

CAAD

①?②得:

~CBDB

(2)解：由=得|04,金卜05/4。3=萬,

BP2x4xcosZACB-一，得cosZAC3=一

216

在AABC中，AB2=a2+Z?2-2aZ?-cosZACB=42+22-2x4x2x—=9

所以AB=3,即AD+DB=3

2CAADADb2I,

由(1)得J=一,即一=-=-=所以AD=1,DB=2

CBDBDBa42

“b1+c2-a222+32-421

又cosA=--------------

2bc-2x2x3-4’

所以在AADC中，cr>2=A￡)2+AC2—2AD?AC.cosA=F+22—2xlx2x1—(]=6,BPCD=76

19.【答案】(1)證明：取叢的中點為M,連結DM,ME,如圖所示，因為AD=?D,所以DAf_LK4

因為A3,平面B4。，￡>Mu平面？AD,所以

因為M,E分別為中點，所以"石〃A5,

由底面ABCD為梯形，AB//CD,所以加石〃CD,

所以M,E,C,。四點共面.

因為DM±AB,PAAB=A,PA,ABu平面PA3,所以DM,平面？A3.

因為DMu平面CDE,所以平面CDS,平面石鉆，即平面K461,平面CDE.

(2)解：由血=2可知/\24。是等邊三角形，

取AO的中點為。，連結OP,則OPLAD,取BC的中點為尸，連結。尸，

因為A3,平面B4。，ABu平面ABCD,所以平面Q4O,平面ABCD,

11

因為平面PA。）平面ABCD=AD,OPLAD,所以OP,平面ABCD.

因為。，尸為中點，所以OE〃A3,所以OELAO.

以。為坐標原點，以Q4,OF,OP方向分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

P（0,0,Q）,C（-l,3,0）,仇—1,0,0），5（1,2,0）,E；」,半，

則CE=℃=（0,3,0）,

/、n.CE=0lv-2v+走2=0

設平面CDE的法向量為勺=（%,%,zj,貝乂"，即2%42*1

n{-DC=0

所以％=0,令4=6,則%=—1,所以々=卜1,0,6）

,、n7-CE=0—%,—2y9=0

設平面尸CE的法向量為%=（%,%，22），則■，即《22%22

〃2PC=0/?A

I[-x2+3y2-y/3z2=o

所以令々=1,則％=2,?2=千-,所以〃2=12千一.

屈

設二面角尸—CE—D的大小為凡則cos（4，%lo-

觀察可知二面角P—CE—D為銳角，所以cos。=—.

10

故二面角P-CE-D的余弦值為^—

10

20.【答案】解：（1）設橢圓方程為：px2+qy2=1Cp,q〉0）

12

31

y=i，i

則，解得p=_,q=1,

14

32+己=1

尤2

故橢圓標準方程為a+v=i

（2）依題意，兩條切線方程分別為＞=%好，y=k2xf

,\km-n\

由?/?r,化簡得（“一戶居2—2＞叫一戶=0,

[1+k；

22

同理(蘇_d),2_2rlmk?+n—r=0.

2_2

所以左，左,是方程（機2—r）上2—2m“左+“2—r=。的兩個不相等的實數(shù)根，故左=",一'.

''m—r

22

又因為巴+〃2=1,所以〃2=1—絲，

44

22122

1---r-l(m+4r-4)

所以人人=—v-^=—――5----，顯然當4/—4=—/時，左色為定值一工.

m—rm—r4

此時由4產(chǎn)—4=―產(chǎn)，解得r=半.

即存在實數(shù)廠=竽，使