寧夏吳忠市2024屆高三年級下冊高考模擬聯(lián)考試卷（二）理科數(shù)學試題（含答案與解析）

吳忠市2024屆高考模擬聯(lián)考試卷（二）

數(shù)學（理科）

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.已知復數(shù)z滿足。―i）z=2,則z在復平面內對應的點位于（）

A第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.已知集合A={1,3,4},集合3={2,3,4,6},則如圖中的陰影部分表示（

A,{3,4}B.{1}C.{2,6}D.{1,2,3,4,6}

3.某公交車上有6位乘客，沿途4個車站，乘客下車的可能方式有（）

A.64種B.46種C.24種D.360種

e光

4.已知/(%)二—募是奇函數(shù)，則。=()

1e

A.-2B.-1C.2D.1

5.直線/：xcos6+ysin。-2=0與圓/=i的位置關系為（）

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

6.已知平面向量a與人的夾角為60。，a=（2,0）,|6|=1,則,+2可=（）

A.73B.2A/3

C.4D.12

7.己知函數(shù)/■（x）=hix—依在區(qū)間［1,3］上單調遞減，則實數(shù)。的取值范圍為（）

11

A.a>lB.a>lC.a>—D.a>一

33

71171

8.已知sin(-----0)=—,則sin(——上20)=()

646

7715_15

A.——B.—C.D.

881616

若數(shù)歹!]{4}滿足％=1,log24+1=1。82an+1(“廣），

9.它的前幾項和為S,n，則S'=()

A.2,,+1-lB.2"-lC.2"T—1D.2"-2_I

10.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的表面積（單位：cm2)是()

A.24B.28C.32D.36

11.已知函數(shù)/（%）=Acos（ox+°“A>O,0〉O,|d<|J的部分圖象如圖所示，將函數(shù)/（龍）圖象上所有

的點向左平移2個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）的解析式為（）

6

A.g(%)=cosI2x—B.g(x)=2cosl2%--^-

I3

C.g(x)=2cos4x+—D.g(x)=

2cosI4x+—6

12.如圖所示，已知拋物線。］：/=2內過點（2,4）,圓4x+3=0.過圓心。2的直線/與拋

物線G和圓G分別交于P，Q，MN,則|尸M|+4|QN|的最小值為（）

B.42C.12D.13

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.寫出一個與雙曲線爐一21=1有相同漸近線，且焦點在y軸上的雙曲線方程為.

2

2020

14.若（l—2x）2°2°=%+4%+4工2+?+Z?2020x（%e7?）,則g+*++需的值為一■

x+y>2

15.若無，y滿足約束條件（x+2y<4,則z=2x—y的最小值是.

y>Q

16.若關于x的方程x（ae、+x）=e2”存在三個不等的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是.

三、解答題（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）

（一）必考題（共60分）

17.為研究兒童性別是否與患某種疾病有關，某兒童醫(yī)院采用簡單隨機抽樣方法抽取了66名兒童.其

中：男童36人中有18人患病，女童30人中有6人患病.

n(ad-bc)

附：K~=7-------~r7——--------------7，n-a+b+c+d

(6Z+/?)((?++(?)(/?+

尸（K隈龜）0.10.050.0100050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

(1)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為兒童性別與患病有關?

是否患病

性別合計

是否

男

女

合計

(2)給患病女童服用某種藥物，治愈的概率為。(0<"<1),則恰有3名被治愈的概率為了(夕)，求

f(P)的最大值和最大值點Po的值.

18.已知函數(shù)/(x)=++-l.

(1)求函數(shù)/(x)的單調遞增區(qū)間；

(2)在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若/(A)=l,a=7,c=8,求..ABC的面積.

19.如圖，在直三棱柱ABC-ABC1中，/43。=90,48=3。=3g=2,及口分別為4瓦用。］的中

點.

(1)求證：EF平面AC￡A；

(2)若點P是棱5月上一點，且直線AP與平面5跖所成角的正弦值為g，求線段5P的長.

20.已知橢圓C：=+與=1(?！等恕?)的右焦點是尸，上頂點4是拋物線必=4〉的焦點，直線AF的斜

a"b’

率為—?

2

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)直線/:丁=丘+m(加21)與橢圓C交于尸、0兩點，P。的中點為當NPM4=2/尸0A時，證

明：直線/過定點.

21.已知/(x)=(x+l)eh,左/0.

⑴若％=1,求"％)在(0"(0))處的切線方程；

(2)設g(x)=/'(x),求g(x)的單調區(qū)間；

⑶求證：當3>0時,Vm,ne(O,+(z?),/(m+n)+l>/(m)+/(n).

(二)選考題(共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做.則按所做的

第一題計分.)

【選修4—4：坐標系與參數(shù)方程】

22.在直角坐標系九0y中，已知曲線G的參數(shù)方程為〈.(。為參數(shù)，。￡[0,兀)，以坐標原點。

y=sincr

為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線。2的極坐標方程為夕cos[e+m]=4.

(1)寫出曲線G的普通方程，。2的直角坐標方程；

(2)過曲線C1上任意一點P作與。2夾角為60°的直線，交G于點A,求IR4I的最大值.

【選修4—5：不等式選講】

23.已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)/(x)=|x+a|+|x—2],不等式/(%)25的解集為{x|x<-2或x?3}.

(1)求實數(shù)。值；

⑵若"％)的最小值為=求證：+

參考答案

一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的)

1.已知復數(shù)z滿足（2—1）Z=2,貝也在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

4+2i

【分析】利用復數(shù)的除法法則得到z=^一,得到z在復平面內對應的點坐標，得到答案.

2_2（2+i）_4+2i_4+2i

【詳解】

2^i-（2-i）（2+i）-4-i2-5

故z在復平面內對應的點坐標為，位于第一象限.

故選：A

2.已知集合A={1,3,4},集合5={2,3,4,6},則如圖中的陰影部分表示（）

A,{3,4}B.{1}C,{2,6}D,{1,2,3,4,6}

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圖形所表示的含義再結合交集和補集的定義即可.

【詳解】因為韋恩圖中的陰影部分表示的是屬于8不屬于A的元素組成的集合,

又A={1,3,4},5={2,3,4,6）,所以韋恩圖中的陰影部分表示的集合是&（Ac3）={2,6}.

故選：C.

3.某公交車上有6位乘客，沿途4個車站，乘客下車的可能方式有（）

A.64種B.46種C.24種D.360種

【答案】B

【解析】

【分析】對于每一位乘客都有4種下車可能，即可求6位乘客的可能下車情況數(shù).

【詳解】由題意，每一位乘客都有4種選擇，故乘客下車的可能方式有4x4x4x4x4x4=46種,

故選：B.

e工

4.已知/(%)=二—是奇函數(shù)，則。=()

l-eOT

A.-2B.-1C.2D.1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)/(T)=-"X)得到方程，求出a=2.

【詳解】由題意得，(-0=一/(耳，即上—=一_J,

1—e"l-em

所以以-x=x,解得q=2.

故選：C

5.直線/:xcos6+ysine—2=0與圓。：犬+丁=i的位置關系為()

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

【答案】A

【解析】

【分析】求圓心到直線的距離d與半徑廠比較即可判斷直線與圓的位置關系.

【詳解】由題意知，圓心(0,0),半徑r=1,

所以圓心。到直線I的距離d=/,==2>r=l,故圓。與直線/相離.

Vcos26>+sin26)

故選：A.

6.已知平面向量a與人的夾角為60°,a=(2,0),|*|=1,則卜+2,=()

A.6B.273

C.4D.12

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式及模長公式直接求解.

【詳解】由a=（2,0）,得向=2,

又忖=1,

所以=|a|-|z?|-cos600=2xlx^-=l,

所以（a+26『=。2+4。0+4）2=4+4+4=12,

所以卜+2q=2^/3,

故選：B.

7.已知函數(shù)/（x）=lux—g：在區(qū)間［1,3］上單調遞減，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.tz>1B.<2>1C.tz>—D.a>—

33

【答案】A

【解析】

【分析】利用導數(shù)與函數(shù)的關系將問題轉化為。2,恒成立問題，從而得解.

【詳解】因為/（x）=lnx—G：,所以尸（無）=g—a,

因為?、旁趨^(qū)間［1,3］上單調遞減，

所以〃力<0,即工—aWO,則a2工在［1,3］上恒成立，

犬JC

因為y在［1,3］上單調遞減，所以ymax=l，故aNl.

故選：A.

TT1TT

8.已知sin（-0）=—,則sin（—卜28）=（）

646

771515

A.——B.—C.—D.---

881616

【答案】B

【解析】

【分析】利用誘導公式及二倍角余弦公式求解可得答案.

TT17r

【詳解】令^=——o,故sin/=—,0=——t,

646

jrjr17

故sin(—+2。)=sin(—-2t);cos2r=l-2sin2t=l-2x(—)2=—.

故選：B.

9.若數(shù)列｛a“｝滿足%=1,log24+i=log2a〃+l(〃eN*),它的前幾項和為S“，則=()

A2,!+1-1B.2"-1C.2'T—1D.2"-2-1

【答案】B

【解析】

【分析】依題意可得Iog24+i-log2a〃=l，則｛log24｝是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列，從而得到

log2a?=n-l,即可求出｛4｝的通項公式，再由等比數(shù)列求和公式計算可得.

【詳解】因為log2%+i=log24+l(〃eN*),gplog2<2?+1-log2tz,1=1,

又4=1,即log2%=0,所以｛log2%,｝是以。為首項，1為公差的等差數(shù)列，

所以log2。""1,則a.=2"T,

1-2"

所以S〃=

1-2

故選：B

10.某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的表面積(單位：cm?)是()

A.24B.28C.32D.36

【答案】C

【解析】

【分析】借助三視圖得到幾何體的直觀圖后計算即可得.

【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示，

貝！J表面積為S=—x3x4H—x5x44—x3x4H—x4x5=6+10+6+10=32cm2.

11.已知函數(shù)/(x)=Acos(0x+°“A>O,0>O,|d<|J的部分圖象如圖所示，將函數(shù)/(x)圖象上所有

的點向左平移工個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)的解析式為()

A.g(x)=cosI2x—(x)=2cos12x-聿

I3B.g

C.g(x)=2cos[4x+]

D.g(x)=2cos4x+—

I6

【答案】C

【解析】

【分析】由/(九)的部分圖象可求得其解析式為f(x)=2cosM-],再根據(jù)平移規(guī)則可求得

g(x)=2cos4x+—

【詳解】根據(jù)圖象可知A=2,

I兀兀1丁兀―r*4HA

由------=—T,可得口=4,

3122。

71/JI\兀71

又/2cosl4x—+^>I=2,可得夕=一§+2而，左eZ；

123

由冏可知夕=_1,oT^/(x)=2cosl4x--1I；

23

將函數(shù)“X）圖象上所有的點向左平移卷個單位長度可得g（X）=2cos141+"三］=2cos,x+鼻J.

故選：C

12.如圖所示，已知拋物線。］：/=2可過點（2,4）,圓。2：/+產(chǎn)-4x+3=0.過圓心G的直線/與拋

物線C1和圓。2分別交于P,Q,MN,則1PM+川。2的最小值為（）

【答案】D

【解析】

112

【分析】由點在拋物線上求出p,焦半徑的幾何性質有西+西=},再將目標式轉化為

\PF\U\QF\-5,應用基本不等式“1”的代換求最值即可，注意等號成立條件.

【詳解】由題設，16=2px2,則2P=8,故拋物線的標準方程：：/=8x,則焦點歹（2,0）,

1121

由直線尸。過拋物線的焦點，則叵廠麻廠萬=5，

圓C2：(x—2)2+y2=1圓心為(2,0),半徑1,

1

\PM\+4\QN\=|PF|-1+4(|QF|-1)=|P尸|+431—5=2(|PF|+4|QFI)(-+^-)-5

\PF4|Q刊

=2x(-）+5"+5=13,

價猾卜\QF.\PF\

當且僅當IP/1=21Qb|時等號成立，故pM|+4|QV|的最小值為13.

故選：D

112

【點睛】關鍵點點睛：由焦半徑的傾斜角式得到西+而FT=—，并將目標式轉化為

\QF\p

\PF\U\QF\-5,結合基本不等式求最值.

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

2

13.寫出一個與雙曲線必―21=1有相同漸近線，且焦點在y軸上的雙曲線方程為

2

2

【答案】乙-必=1（答案不唯一）

2

【解析】

2

【分析】設所求雙曲線的方程為好-、=2（2wo）,再根據(jù)焦點在＞軸上，可得2＜o,即可得解.

2

【詳解】設所求雙曲線的方程為］=2（2/0）,

因為所求雙曲線的焦點在y軸上，所以，＜o,

則可取x=—1,

2

所以所求雙曲線的方程為乙-V=1

2

2

故答案為：---V=1.（答案不唯一）

2

14.若(1-2x)2必=%+4無+32++%20尤2°20(xeR),則g+*+…+的值為

【答案】-1

【解析】

【分析】令x=0得，1=4；再令x=；，化簡即得解.

【詳解】令》=0得，1=為；

令202022020(尤中=；得，

(1—2%)=4+bxx+b2x++Z?2020xeR)x

(1—2、口血-1+乞+%++—,

1122)?2+22++22020，

所以且+包_++%20=7

故答案為：-1

【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，考查利用二項式定理求系數(shù)和，意在考查學生對這些知識的理

解掌握水平.

x+y>2

15.若無，y滿足約束條件<x+2yW4,則z=2x-y的最小值是.

y>0

【答案】—2

【解析】

【分析】作出可行域，即可求目標函數(shù)的最小值.

作出可行域如上圖，根據(jù)幾何意義可知，

當目標函數(shù)z=2x—y的圖象經(jīng)過點(0,2)時，

2=2工-,有最小值為2疝11=-2,

故答案為：-2.

16.若關于x的方程x(ae*+x)=e2x存在三個不等的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是

【答案】(e—L+e]

【解析】

【分析】x=0不是方程的根，當xwO時，變形為。=J—三，構造/(司=土一三,*0,求導得到函

XCXC

數(shù)單調性，進而畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結合得到答案.

2j:

【詳解】當九=0時，x(ae*+x)=0,e=l.兩者不等式，故0不是方程的根，

exr

當xwO時，a=-,

xe"

令g(x)=J,"O,則g[x)=e(:1),

x%

當x<0,0<x<l時，g'(x)<0,g(x)單調遞減，

當%>1時，g'(x)>0,g(x)單調遞增，

且當x<0時，g(尤)<0,當x>0時，g(x)>0,

x

e

畫出g(x)=—,xwO的圖象如下:

令丸(％)=鼻，xwO,

則/(x)=Y，當％<0,0<x<l時，〃(x)>0,&(x)單調遞增,

C

當x〉l時，//(x)<0,單調遞減,

且當％<0時，h(x)<0,當x>0時，/z(x)>0,

畫出〃(可二三，xwO的函數(shù)圖象，如下：

exx￡,(、ex(x-l)1-xz.(ex1'

丁丁"0,則nl小)--『(1)5+/J

由于;+工＞0在(―8,o)u(o,”)上恒成立,

xex

故當x<0,0<x<l時，r(x)<。，f(x)=-二單調遞減,

xex

當％>1時，用勾>0,/(》)=《—三單調遞增，

xe

其中y(l)=e—，，

e

從g(x),/z(x)的函數(shù)圖象，可以看出當尤f-8時，/(%)—8,

當％<0且x—0時，/(%)——8,

畫出函數(shù)圖象如下，

e*x(1

要想a=J-三有三個不同的根，貝Uaee——,+”

xe*Ie

故答案為：［e—,+coj

【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題或函數(shù)零點，一般有三個方法，

一是分離參數(shù)法，使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的

研究確定含參式子滿足的條件.

二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，

三是數(shù)形結合法，將不等式轉化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.

三、解答題（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）

（-）必考題（共60分）

17.為研究兒童性別是否與患某種疾病有關，某兒童醫(yī)院采用簡單隨機抽樣的方法抽取了66名兒童.其

中：男童36人中有18人患病，女童30人中有6人患病.

n(ad-bc\,

附：K?=/、/n=a+bT+c+d

尸（一"0）0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

k0

（1）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%把握認為兒童性別與患病有關?

是否患病

性別合計

是否

男

女

合計

（2）給患病的女童服用某種藥物，治愈的概率為P（0＜。＜1）,則恰有3名被治愈的概率為了（夕），求

于（P）的最大值和最大值點Po的值.

【答案】（1）列聯(lián)表見解析，沒有

（2）最大值為之，po=!

162

【解析】

【分析】（1）完善列聯(lián)表，計算出卡方，即可判斷；

(2)解法一：依題意可得/(p)=20/(i—03,利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，從而求出函數(shù)的最大值；解

法二：依題意可得/(°)=20/(1—必3,利用二次函數(shù)的性質計算可得.

【小問1詳解】

根據(jù)所給數(shù)據(jù)進行整理，得到如下2x2列聯(lián)表，

是否患病

性別合計

是否

男181836

女62430

合計244266

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到K?=66*(24-8)-工6.36<6.635,

24x42x30x36

所以沒有99%得把握認為兒童性別與患病有關；

【小問2詳解】

解法一：依題意可得了(P)=C券3(l=p)3=20p3(l—。)3

則八。)=60/(1—2)2(1-20，

當o<p<g時，/'(p)>o，八夕)在區(qū)間[o,萬

上單調遞增;

當;<p<l時，f'(p)<o,/(7)在區(qū)間U

上單調遞減，

故/(?)在Po=；處取得最大值，最大值為fQ'磊

3

解法二：因為/(p)=C^(l-p)3=2003(1—2)3

-2-|3

=20[p(l—p)T=20+[<20x^-邛工

X)16

當且僅當p時，/(p)有最大值二，

216

即/（夕）在Po=；處取得最大值，最大值為fI

18.已知函數(shù)/⑴=Gsin(兀-％)+sinrT1-

（1）求函數(shù)〃x）的單調遞增區(qū)間;

（2）在4ABe中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若/（A）=l,a=7,c=8,求一ABC的面積.

27r7t

【答案】(1)——+2^71,—+2^71(kEZ)

（2）6如或10世

【解析】

【分析】（1）利用誘導公式和輔助角公式得到/（x）=2sinx+：-1,整體法求出函數(shù)單調遞增區(qū)間;

（2）根據(jù)/（A）=l求出A=]7T,由誘導公式得到6=3或3=5,分兩種情況，結合三角形面積公式求出答

案.

【小問1詳解】

n

因為/(%)=A/3sinx+cosx-1=2sin|x+—|-1

6

令--+2kji<x+—<—+2kn,kZ,

262

2兀兀

解得-----1-2左兀<x<—+2左兀,keZ,

33

2兀7T

所以了（九）的單調遞增區(qū)間為——+2kjt,—+2kjt（左￡Z）.

【小問2詳解】

由(1)可得/(A)=2sin[A+aJ—l=1,所以sin[A+7T=1,

6

jr兀7兀

因為Aw（。,兀），所以A+

6~6'~6

所以A+'=巴，故4=火,

623

因為〃2=人2+/—2bccosA，且〃=7,C=8,

所以8人+15=0,解得》=3或b=5,經(jīng)檢驗，均符合要求，

當6=3時，SAABC=1z7csinA=1x3x8x^=6T3，

當Z?=5時，SAABC=|Z?csinA=8?*106.

19.如圖，在直三棱柱ABC-A^G中,ZABC=90,AB=BC=BBX=2,E,F分別為AB,31cl的中

點.

（1）求證：EF平面ACCiA；

（2）若點P是棱5月上一點，且直線"與平面5跖所成角的正弦值為：，求線段5P的長.

【答案】（1）證明見解析

（2）1

【解析】

【分析】（1）通過取的中點〃構建平面麗//平面ACG4即得；

（2）由題設易于建系，運用空間向量的夾角公式表示出直線”與平面5環(huán)所成角的正弦值，解方程即得.

【小問1詳解】

如圖，取線段5C的中點X,連接"/，即,因瓦廠分別為A54cl的中點，故有EH//ACW//CG，

又因為AC,CGu平面ACCiA,EH,W平面ACGA，故即//平面ACG4，切//平面

ACC^,

又EH切=笈,則平面麗//平面4。。14，因所<=平面￡?小，則收，平面ACGA-

【小問2詳解】

如圖，分別以BC,BA,BB,為蒼Xz軸的正方向建立空間直角坐標系3一孫z.

則A(0,2,0),5(0,0,0),Bi(0,0,2),E(0,l,0),F(l,0,2),設點尸(0,0,z),BP=,則0W4W1,代入坐標

得：(0,0,z)=〃0,0,2),即尸(0,0,24),

于是AP=(0,-2,22),EB=(0,—1,0),EF=(1,-1,2)，設平面BEF的法向量為〃=3,4c),則有

n-EB=-b=0

<，故可取〃=(一2,0,1),

n-EF=a-b+2c=Q

221i

依題意得，|COS〈〃,AP〉|=|T——p^=l=-,解得：2=-,即線段5F的長為L

V5X2V22+152

22

20.已知橢圓C:=+二=l(a〉6〉0)的右焦點是E上頂點A是拋物線d=4y的焦點，直線A廠的斜

ab

率為■-彳.

2

(1)求橢圓C標準方程；

(2)直線/:y=丘+根0#1)與橢圓C交于產(chǎn)、。兩點，PQ的中點為當/PM4=2/尸QA時，證

明：直線/過定點.

【答案】(1)土+丁=1

5

(2)證明見解析

【解析】

【分析】（1）由拋物線焦點坐標可得Z>=1,再由左AF=—；，c=2,可解橢圓方程；

（2）由題意中角度分析可得加A=MQ=gpQ,:.AP，A。，聯(lián)立方程組，利用韋達定理可解加.

【小問1詳解】

由題意知40,1）,即Z?=l,

F（c,0）,k=—=——:.c=2.

AFc2

從而a2=b2+c2=5,

故橢圓C:工+y2=i；

5-

【小問2詳解】

在△AMQ中，ZPMA=ZMQA+ZMAQ,

§LZPMA=2ZPQA

：.ZMQA=NM4Q,從而=MQ=gPQ,：.AP±AQ

y=kx+m

由<J2得（5左2+l）d+］0^^+5（根2_］）=0,

=

設尸（七,%）、

\Qkm5（m2-l）

x,+XT=-----：——=-^―；，

1-55+1%25/+1

則AP-AQ=（x1,y1-l）-（x2,y2-1）=xYx2+（何+m-l）（Ax,+m-l）

=（左2+］）/為2+k（m-1）（尤1+尤2）+（"?—I）?

_5（/+1乂后—1）10k2m（m-l）_2

—5k2+15k2+1-+（"一）

_6m2-2m-4_2（m-l）（3m+2）

=0,

5k2+15k2+1

2

解得：m=一一或根=1(舍去)，

3

所以直線/過定點g].

21.已知=女wO.

⑴若k=l,求/(%)在(O,/(O))處的切線方程；

(2)設g(x)=/'(x)，求g(x)的單調區(qū)間；

(3)求證:當3>0時,Vm,ne(0,+oo),/(m+n)+l>/(m)+/(n).

【答案】⑴2x-y+l=0；

(2)左W0時，單調遞減區(qū)間單調遞增區(qū)間為(一1一j+g)；

(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求得答案；

(2)求出函數(shù)g(x)=/'(x)的導數(shù)，討論左的取值范圍，確定導數(shù)的正負，即可求得g(x)的單調區(qū)間；

(3)由于不等式f(m+n)+l>f(77?)+/(?)可變?yōu)?所以可構造函數(shù)

h(x)=f(x+m)-f(x),利用(2)的結論可證明故該函數(shù)為(0,+“)上的增函數(shù)，利用函數(shù)的單調性，即

可證明結論.

【小問1詳解】

當％=1時，/(x)=(x+l)e、.\/'(x)=(x+2)e”，

故在(0"(0))處的切線斜率為/'⑼=(O+2)e°=2,而〃O)=(O+l)e°=l,

所以/(%)在(o,7(o))處的切線方程為y—l=2(x—0),即2x—y+l=0.

【小問2詳解】

由題意得g(x)=/'(x)=(日+Z+l)e",則g'(x)=(左21+左2+2左)/，

令g'(x)=(左2%+左2+2左)e"<0,即lex+k2+2k<0,:.x

k

令g'(%)=(左2%+左2+2左)e&>0,即k2x+k2+2Z:>0,/.x>-l-—,

k

22

左。0時，單調遞減區(qū)間為(—8,—1——)，單調遞增區(qū)間為(—1——,+8).

kk

【小問3詳解】

證明：由⑵可知，當左>0時，g(%)=/'(x)在(0,+8)上單調遞增，而g(o)=/'(o)=左+1>0,

即/'(%)>0在(0,+8)上恒成立，故/(%)在(0,+8)上單調遞增，

設h(x)=f(x+m)~/(%),則h'(x)=f'(x+tn)-f'(x),

因為加e(0,+oo),貝!Jx+%>x>0,故尸(x+?)>/'(%),，〃'(x)>0,

所以〃(x)=_/'(%+m)一了(無)在(0,+8)上單調遞增，而〃e(0,+8),

則h(n)>〃(0),即/(n+m)-f(n)>f(m)-/(O),而/⑼=1,

故f(n+m)~f(n)>即/(m+n)+l>/(m)+/(n).

【點睛】關鍵點點睛：證明不等式/(加+用+1>/(加)+/(〃)時，關鍵是構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性

進行證明；因為+/⑺可變形為/(〃+刈)一/(")>/(7〃)-1,由此可構造函數(shù)

h(x)=f(x+m)-f(x),從而利用(2)的結論證明該函數(shù)為遞增函數(shù)，從而利用函數(shù)的單調性證明不等

式.

(二)選考題(共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做.則按所做的

第一題計分.)

【選修4一4：坐標系與參數(shù)方程】

X=COS6Zr1

22.在直角坐標系中，已知曲線G的參數(shù)方程為｛.(。為參數(shù)，0,71),以坐標原點。

y=sma

為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線。2的極坐標方程為夕cos6+1=4.

（1）寫出曲線G的普通方程，G的直角坐標方程;

（2）過曲線G