安徽省滁州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（教師版）

2023年滁州市高二教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在等比數(shù)列中，已知，，則（）A. B.27 C. D.64【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知公比所以，故選：B2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則的極小值點(diǎn)為（）A. B. C. D.和【答案】C【解析】【分析】根據(jù)極小值點(diǎn)的定義結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象求解【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，故選：C3.在四面體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計算可得.【詳解】依題意.故選：D4.若函數(shù)，則（）A.0 B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，再代入計算可得.【詳解】因為，所以，則，解得.故選：B5.拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，P為拋物線上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用拋物線定義，結(jié)合圖形可解.【詳解】如圖，過點(diǎn)P作PH垂直于準(zhǔn)線，垂直為H，根據(jù)拋物線的定義，所以當(dāng)A，P，H三點(diǎn)共線時最小，此時.故選：A．6.甲、乙兩人向同一目標(biāo)各射擊次，已知甲命中目標(biāo)的概率為，乙命中目標(biāo)的概率為.在目標(biāo)被擊中的情況下，甲、乙同時擊中目標(biāo)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)事件“甲命中目標(biāo)”，“甲命中目標(biāo)”，“目標(biāo)被擊中”，求解和，由條件概率公式計算可得.【詳解】由題意，設(shè)事件“甲命中目標(biāo)”，“甲命中目標(biāo)”，“目標(biāo)被擊中”，則，，在目標(biāo)被擊中的情況下，甲、乙同時擊中目標(biāo)的概率為.故選：C7.已知存在唯一極小值點(diǎn)，則的范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)得，分兩種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，分析的符號，的單調(diào)性，極值，即可得出答案．【詳解】由，，，當(dāng)時，恒成立，所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以沒有極小值點(diǎn)，只有極大值點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時，令，，，令得，所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，，，當(dāng)時，且當(dāng)時，，①若，則存在，，使得，即，所以在上，，，，單調(diào)遞減，在上，，，，單調(diào)遞減，在上，，，，單調(diào)遞減，在上，，，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有兩個極小值點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時，，即，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以有唯一極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時，有唯一極小值點(diǎn)．故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．8.習(xí)近平總書記在“十九大”報告中指出：堅定文化自信，推動社會主義文化繁榮興盛．“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)．歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晩近四百年．“楊輝三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛好者的探究欲望．如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（）A.B.第2023行中從左往右第1013個數(shù)與第1014個數(shù)相等C.記第n行的第個數(shù)為，則D.第20行中第8個數(shù)與第9個數(shù)之比為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，歸納可得：第行的第個數(shù)為，由組合數(shù)的性質(zhì)依次分析選項是否正確，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，由數(shù)表可得：第行的第個數(shù)為，由此分析選項：對于A，，A錯誤；對于B，第2023行中從左往右第1013個數(shù)為，第1014個數(shù)為，兩者不相等，B錯誤；對于C，記第行的第個數(shù)為，則，則，C錯誤；對于D，第20行中第8個數(shù)為，第9個數(shù)為，則兩個數(shù)的比為，D正確．故選：D．二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，下列說法中正確的是（）A.函數(shù)過點(diǎn)的切線有3條 B.函數(shù)的極大值是2C.函數(shù)在上有2個零點(diǎn) D.點(diǎn)是函數(shù)的對稱中心【答案】BD【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，分和討論即可判斷A，對B，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)極值的關(guān)系即可判斷B，對C，直接令，因式分解解出即可；對D，計算化簡即可判斷.【詳解】對A，，，設(shè)切點(diǎn)為，斜率為，則切線方程為，因為在切線上，代入上述切線方程得，化簡得，解得，代入得切線方程為，則函數(shù)過點(diǎn)的切線只有1條，故A錯誤.所以切線方程是，即，A錯誤；對B，令，解得或，令，解得，所以在和上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此是極大值點(diǎn)，且，則函數(shù)的極大值是2，故B正確；對C，令，解得或或，故函數(shù)在上有3個零點(diǎn)，故C錯誤；對D，，且定義域為，關(guān)于原點(diǎn)對稱，故關(guān)于原點(diǎn)對稱，故D正確.故選：BD.10.下列說法錯誤的是（）A.是用來判斷兩個分類變量是否相關(guān)的隨機(jī)變量，當(dāng)?shù)闹岛苄r可以推斷兩個變量相關(guān)性比較小B.在殘差圖中，殘差圖的橫坐標(biāo)可以是編號、解釋變量和預(yù)報變量C.殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，殘差平方和越大D.已知一組樣本點(diǎn)，其中，根據(jù)最小二乘法求得的回歸直線方程是，若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量間相關(guān)系數(shù)為1【答案】CD【解析】【分析】由獨(dú)立性檢驗判斷A，由殘差概念判斷B、C，由線性回歸系數(shù)概念判斷D.【詳解】是用來判斷兩個分類變量是否相關(guān)的隨機(jī)變量，當(dāng)?shù)闹岛苄r可以推斷兩個變量相關(guān)性比較小，故A正確；在殘差圖中，殘差圖的橫坐標(biāo)可以是編號、解釋變量和預(yù)報變量，故B正確；殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，殘差平方和越小，說明模型的擬合精度越高，故C錯誤；已知一組樣本點(diǎn)，其中，根據(jù)最小二乘法求得的回歸直線方程是，若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量間相關(guān)系數(shù)為，故D錯誤.故選：CD11.隨機(jī)變量X的分布列如下：X012a則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】對于A，根據(jù)所有概率和為1，可求出，對于B，由求解，對于C，利用期望公式求解，對于D，利用方差公式求解.【詳解】對于A，由題意得，得，所以A錯誤，對于B，，所以B正確，對于C，，所以C正確，對于D，，所以D錯誤，故選：BC12.下列命題中，真命題是（）A.有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若表示取得次品的件數(shù)，則B.已知隨機(jī)變量，滿足，若，，則，C.某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為，則時概率最大D.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，則5次傳球后球在甲手中的概率是【答案】ACD【解析】【分析】由題意，得到，求出相對應(yīng)的概率，進(jìn)而可判斷選項A；結(jié)合期望公式和方差公式即可判斷選項B；根據(jù)所給信息，利用二項分布的概率公式即可判斷選項C；記事件為“經(jīng)過次傳球后，球再次回到甲手中”，設(shè)次傳球后，球再次回到甲手中的概率為，得到，，對進(jìn)行整理，結(jié)合等比數(shù)列的定義和前項和即可判斷選項D．【詳解】對于A：若有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，則的所有取值為0，1，2，此時，故A正確；對于B：已知隨機(jī)變量，滿足，若，，此時，，故B錯誤；對于C：因為某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為，所以，（且），所以，，令，解得，因為，所以，所以當(dāng)時概率最大，故C正確；對于D：記事件為“經(jīng)過次傳球后，球再次回到甲手中”，不妨設(shè)次傳球后，球再次回到甲手中的概率為，易知，，所以，所以，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，此時，即，當(dāng)時，，故D正確.故選：ACD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若隨機(jī)變量，，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意知，，，所以，，故答案為：14.已知數(shù)列滿足，，若表示不超過x的最大整數(shù)，則________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)迭代法可得利用裂項求和結(jié)合的定義即可求解.【詳解】由得時，，當(dāng)時，也符合，所以，故，，故答案為：115.四大名亭是我國古代因文人雅士的詩歌文章而聞名的景點(diǎn)，它們分別是滁州的醉翁亭、北京的陶然亭、長沙的愛晩亭、杭州的湖心亭．某高二學(xué)生計劃三年內(nèi)不重復(fù)的游覽完中國四大名亭，若該同學(xué)每年最多游覽兩個景點(diǎn)，且同一年游覽的兩個景點(diǎn)不分先后順序，則該同學(xué)共有________種不同的游覽方案．（用數(shù)字作答）【答案】54【解析】【分析】分兩年游覽完4個景點(diǎn)和三年游覽完4個景點(diǎn)討論即可.【詳解】①如果兩年游覽完4個景點(diǎn)，則選取的年份有種方法，選取的兩年中每年各玩2個景點(diǎn)，有種方法，故共有種游覽方案；②若三年游覽完4個景點(diǎn)，則只有一年游覽2個景點(diǎn)，另外兩年各游覽1個景點(diǎn)，故有種方法分為三組（一組2人，另兩組各1人），再將這三組在3年中排序則有種，故此時共有種游覽方案；綜上所述共有種不同的游覽方案，故答案為：54.16.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心且與雙曲線漸近線相切的圓與該雙曲線在第一象限交于點(diǎn)A，若的中點(diǎn)為B，且，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離求得圓的半徑為，利用雙曲線的定義及中位線的性質(zhì)得，由余弦定理建立方程求得，從而解出離心率.【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線為，則點(diǎn)到漸近線的距離，即圓的半徑為，連接，則，由雙曲線的定義知，所以，在中，為的中點(diǎn)，B為的中點(diǎn)，所以，在中，，在中，，因為，所以，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，然后把等式(不等式)轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍).四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.“綠色出行，低碳環(huán)保”已成為新的時尚，近幾年國家相繼出臺了一系列的環(huán)保政策，在汽車行業(yè)提出了重點(diǎn)扶持新能源汽車的政策，為新能源汽車行業(yè)的發(fā)展開辟了廣闊的前景．某公司對電動汽車進(jìn)行生產(chǎn)投資，所獲得的利潤有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年代2016201720182019202020212022年份代碼1234567利潤（單位：百萬元）29333644485259（1）請用相關(guān)系數(shù)說明：能用線性回歸模型擬合與的關(guān)系（精確到0.01）；（2）建立關(guān)于的回歸方程，預(yù)測2024年該公司所獲得的利潤．參考數(shù)據(jù)：；；；；．參考公式：相關(guān)系數(shù)；回歸方程中，，．【答案】（1）答案見解析（2），百萬元【解析】【分析】（1）首先求出，，再結(jié)合所給參考數(shù)據(jù)求出相關(guān)系數(shù)，即可得解；（2）求出、即可得到回歸直線方程，再將代入計算可得.【小問1詳解】已知，，所以，，所以，所以說明與的線性相關(guān)程度很強(qiáng)，則能用線性回歸模型模擬與的關(guān)系；【小問2詳解】由（1）知，所以，則，因為當(dāng)時，其表示2016年，所以當(dāng)時，其表示年，則（百萬元），即預(yù)計年該公司所獲得的利潤為百萬元．18.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．（1）求的值；（2）在區(qū)間上，試求函數(shù)的最大值和最小值．參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1）（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）由題意，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)所給信息可得，列出等式求出的值，再將所求出的值代入函數(shù)解析式中進(jìn)行檢驗，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)（1）中所得信息得到函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合端點(diǎn)值進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】已知定義域為，可得，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值，此時，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，符合題意，故；【小問2詳解】由（1）知，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值也最大值，最大值，又，，因為，所以，則當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值．綜上可得在區(qū)間上的最大值為，最小值為.19.如圖，已知四棱錐的底面為菱形，，，．（1）證明：平面平面；（2）是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且平面，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，即可得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得到平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，設(shè)，即可得到，由求出，再根據(jù)空間向量法計算可得.【小問1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接、，因為，，則，即，所以，，又為菱形且，所以為等邊三角形，所以，且，又，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）可知，，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，，因為是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且平面，顯然與不平行，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因為，設(shè)，則，因為，即，解得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，又平面的法向量可以為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.20.某社區(qū)舉行第二屆全民運(yùn)動會，運(yùn)動會包括少年組、青年組、中年組與老年組四個組別比賽．本屆運(yùn)動會老年組比賽新增了圍棋比賽項目．甲、乙兩名選手通過“3局2勝制”爭奪冠軍．為了增加趣味性，每次比賽前通過摸球方法決定誰先執(zhí)黑，規(guī)則如下：裁判員從裝有n個紅球和3個白球的口袋中不放回地依次摸出2球，若2球的顏色不同，則甲執(zhí)黑，否則乙執(zhí)黑（每次執(zhí)黑確定后，再將取出的兩個球放回袋中）．（1）求選手甲執(zhí)黑的概率；（結(jié)果用n表示）（2）當(dāng)口袋中放入紅球的個數(shù)n為多少時，選手甲執(zhí)黑概率最大；（3）假設(shè)甲每場比賽獲勝概率為，求甲獲得冠軍的概率．【答案】（1）（2）或3（3）【解析】【分析】1）由古典概型的概率求法直接可得；（2）將概率看成關(guān)于的函數(shù)，利用對勾函數(shù)單調(diào)性求得最值；（3）根據(jù)甲獲勝的局?jǐn)?shù)服從二項分布直接求解．【小問1詳解】由題意，從裝有個紅球和3個白球的口袋中不放回地依次摸出2球，則2球顏色不同即甲執(zhí)黑的概率為；【小問2詳解】由（1）可知，選手甲執(zhí)黑的概率，記，由及對勾函數(shù)的單調(diào)性可知：或3時，，所以當(dāng)口袋中放入紅球的個數(shù)為2或3時，選手甲執(zhí)黑概率最大；【小問3詳解】由題意，甲獲得冠軍即前兩局比賽甲勝，或者前兩局甲乙各勝一局，第三局甲勝，則甲獲勝的概率為．21.如圖，已知平行四邊形ABCD與橢圓相切，且，，，.（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)是橢圓上位于第一象限一動點(diǎn)，且點(diǎn)處的切線與AB，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn).證明：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用直線與圓相切求出方程中的即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)求得橢圓過點(diǎn)的切線的方程為，再分別和直線與聯(lián)立，得到點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)后，即可證明為定值.【小問1詳解】因為，，，，所以直線方程為：，直線方程：，即，由題意直線與橢圓相切，所以，即橢圓方程為，聯(lián)立消去y得，由題意，，解得，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，則，由題意知，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，依題意，直線與橢圓相切，則，即，再整理可得，因為點(diǎn)在橢圓上，所以，代入可得，則切線的方程為，令得，所以，由得，所以，所以，為定值，得證.22.已知，．