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廣東省河源市重點(diǎn)中學(xué)高三第一次模擬考試新高考數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線的離心率為,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,若,則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.2.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),且當(dāng)時,函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),則,,的大小關(guān)系是()A. B.C. D.3.已知集合,,則集合的真子集的個數(shù)是()A.8 B.7 C.4 D.34.已知實(shí)數(shù)、滿足約束條件,則的最大值為()A. B. C. D.5.閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出的結(jié)果為()A. B.6 C. D.6.如圖,在平行四邊形中,對角線與交于點(diǎn),且,則()A. B.C. D.7.若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為()A. B. C. D.9.方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,如果函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么滿足()A. B. C. D.10.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則()A. B.6 C.4 D.511.根據(jù)散點(diǎn)圖,對兩個具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x,y進(jìn)行回歸分析,設(shè)u=lny,v=(x-4)2,利用最小二乘法,得到線性回歸方程為=0.5v+2,則變量y的最大值的估計(jì)值是()A.e B.e2 C.ln2 D.2ln212.函數(shù)在的圖象大致為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若方程有兩個不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.14.過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,則的最小值是______.15.若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組x+y-4≤0,2x-3y-8≤0,x≥1,則目標(biāo)函數(shù)16.如果函數(shù)(,且,)在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,,函數(shù)的最小值為.(1)求證:;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),α為直線的傾斜角).(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點(diǎn),求角α的大?。?9.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè),過點(diǎn)的直線與圓相切,且與拋物線相交于兩點(diǎn).(1)當(dāng)在區(qū)間上變動時,求中點(diǎn)的軌跡;(2)設(shè)拋物線焦點(diǎn)為,求的周長(用表示),并寫出時該周長的具體取值.20.(12分)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是:(是參數(shù)).(1)若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),且,試求實(shí)數(shù)m值.(2)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn),求的取值范圍.21.(12分)已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,焦距為2,且經(jīng)過點(diǎn),斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn),與橢圓交于,兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)在軸上是否存在點(diǎn),使得以,為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出的取值范圍,如果不存在,請說明理由.22.(10分)在中,角所對的邊分別是,且.(1)求角的大?。唬?)若,求邊長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),得到雙曲線的離心率,然后求解a,b關(guān)系,即可得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則p=2,又e=p,所以e2,可得c2=4a2=a2+b2,可得:ba,所以雙曲線的漸近線方程為:y=±.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法,涉及拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.2、D【解析】
利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,再根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,,?又,故.因?yàn)楫?dāng)時,函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),所以.因?yàn)闉榕己瘮?shù),故,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應(yīng)用,比較大小時注意選擇合適的中間數(shù)來傳遞不等關(guān)系,本題屬于中檔題.3、D【解析】
轉(zhuǎn)化條件得,利用元素個數(shù)為n的集合真子集個數(shù)為個即可得解.【詳解】由題意得,,集合的真子集的個數(shù)為個.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的化簡和運(yùn)算,考查了集合真子集個數(shù)問題,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
作出不等式組表示的平面區(qū)域,作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線,結(jié)合圖象知當(dāng)直線過點(diǎn)時,取得最大值.【詳解】解:作出約束條件表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部,如下圖表示:當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時,取得最大值,最大值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識,屬于中檔題.5、D【解析】
用列舉法,通過循環(huán)過程直接得出與的值,得到時退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖,可得,,滿足條件,,,滿足條件,,,滿足條件,,,由題意,此時應(yīng)該不滿足條件,退出循環(huán),輸出S的值為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關(guān)鍵,難度較易.6、C【解析】
畫出圖形,以為基底將向量進(jìn)行分解后可得結(jié)果.【詳解】畫出圖形,如下圖.選取為基底,則,∴.故選C.【點(diǎn)睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題(1)只要兩個向量不共線,就可以作為平面的一組基底,基底可以有無窮多組,在解決具體問題時,合理選擇基底會給解題帶來方便.(2)利用已知向量表示未知向量,實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算.7、B【解析】
求得的導(dǎo)函數(shù),由此構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題意可知在上有變號零點(diǎn).由此令,利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法,求得的取值范圍.【詳解】,設(shè),要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),即在上有變號零點(diǎn),令,則,令,則問題即在上有零點(diǎn),由于在上遞增,所以的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查方程零點(diǎn)問題的求解策略,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.8、D【解析】
利用列舉法,從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況,由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.記這5部專著分別為,其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有共10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有,共9種情況,所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時,找準(zhǔn)基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時,一定要按順序逐個寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.9、D【解析】
由題設(shè)中所給的定義,方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可求出的大致范圍【詳解】解:由題意方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,對于函數(shù),由于,,設(shè),該函數(shù)在為增函數(shù),,,在上有零點(diǎn),故函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么故選:.【點(diǎn)睛】本題是一個新定義的題,理解定義,分別建立方程解出存在范圍是解題的關(guān)鍵,本題考查了推理判斷的能力,屬于基礎(chǔ)題..10、D【解析】
由對數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.【詳解】由題意.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對數(shù)的運(yùn)算法則.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.11、B【解析】
將u=lny,v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2,利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計(jì)值.【詳解】解:將u=lny,v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得:,即,當(dāng)時,取到最大值2,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,則取到最大值.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題,考查復(fù)合型指數(shù)函數(shù)的最值,是基礎(chǔ)題,.12、C【解析】
先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B,再根據(jù)函數(shù)極值排除A;結(jié)合特殊值即可排除D,即可得解.【詳解】函數(shù),則,所以為奇函數(shù),排除B選項(xiàng);當(dāng)時,,所以排除A選項(xiàng);當(dāng)時,,排除D選項(xiàng);綜上可知,C為正確選項(xiàng),故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像,注意奇偶性、單調(diào)性、極值與特殊值的使用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由知x>0,故.令,則.當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以在(0,e)上遞增,在(e,+)上遞減.故,即.14、【解析】
由切線的性質(zhì),可知,切由直角三角形PAO,PBO,即可設(shè),進(jìn)而表示,由圖像觀察可知進(jìn)而求出x的范圍,再用的式子表示,整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.【詳解】由題可知,,設(shè),由切線的性質(zhì)可知,則顯然,則或(舍去)因?yàn)榱?,則,由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知其在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查在以直線與圓的位置關(guān)系為背景下求向量數(shù)量積的最值問題,應(yīng)用函數(shù)形式表示所求式子,進(jìn)而利用分析函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求得最值,屬于較難題.15、12【解析】
畫出約束條件的可行域,求出最優(yōu)解,即可求解目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域,如下圖,由x+y-4=02x-3y-8=0,解得目標(biāo)函數(shù)y=3x-z,當(dāng)y=3x-z過點(diǎn)(4,0)時,z有最大值,且最大值為12.故答案為:12.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、18【解析】
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),分一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【詳解】解:①當(dāng)時,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,即,則.②當(dāng)時,,函數(shù)開口向上,對稱軸為,因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減,則,因?yàn)?則,整理得,又因?yàn)?則.所以即,所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.綜上所述,的最大值為18.故答案為:18【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)最大值為.【解析】
(1)將函數(shù)表示為分段函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)的最小值,進(jìn)而可證得結(jié)論成立;(2)由可得出,并將代數(shù)式與相乘,展開后利用基本不等式可求得的最小值,進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】(1).當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減,則;當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,則;當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,則.綜上所述,,所以;(2)因?yàn)楹愠闪ⅲ?,,所以恒成立,?因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,實(shí)數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對值函數(shù)最值的求解,同時也考查了利用基本不等式恒成立求參數(shù),考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.18、(1)當(dāng)時,直線l方程為x=-1;當(dāng)時,直線l方程為y=(x+1)tanα;x2+y2=2x(2)或.【解析】
(1)對直線l的傾斜角分類討論,消去參數(shù)即可求出其普通方程;由,即可求出曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)條件Δ=0,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時,直線l的普通方程為x=-1;當(dāng)時,消去參數(shù)得直線l的普通方程為y=(x+1)tanα.由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2=2x,即為曲線C的直角坐標(biāo)方程.(2)把x=-1+tcosα,y=tsinα代入x2+y2=2x,整理得t2-4tcosα+3=0.由Δ=16cos2α-12=0,得cos2α=,所以cosα=或cosα=,故直線l的傾斜角α為或.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程,考查直線與曲線的關(guān)系,屬于中檔題.19、(1).(2)的周長為,時,的周長為【解析】
(1)設(shè)的方程為,根據(jù)題意由點(diǎn)到直線的距離公式可得,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得,設(shè)?坐標(biāo)分別是?,利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式消參即可求解.(2)根據(jù)拋物線的定義可得,由(1)可得,再利用弦長公式即可求解.【詳解】(1)設(shè)的方程為于是聯(lián)立設(shè)?坐標(biāo)分別是?則設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則消去參數(shù)得:(2)設(shè),,由拋物線定義知,,∴由(1)知∴,,的周長為時,的周長為【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)的軌跡方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的定義、弦長公式,考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.20、(1)或;(2).【解析】
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,在直角坐標(biāo)條件下求出曲線的圓心坐標(biāo)和半徑,將直線的參數(shù)方程化為普通方程,由勾股定理列出等式可求的值;(2)將圓
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