2024屆湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

2024學(xué)年湖南省長沙市廣益實驗中學(xué)中考數(shù)學(xué)五模試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.如果m的倒數(shù)是-1,那么m2oi8等于（）

A.1B.-1C.2018D.-2018

2.如圖，AB是。。的直徑，弦CDLAB,垂足為E,連接AC,若NCAB=22.5。，CD=8cm,則。O的半徑為（）

A.8cmB.4cmC.4J5cmD.5cm

3.若二次函數(shù)y=樂+。（《R0）的圖象與X軸有兩個交點，坐標(biāo)分別是（xi,0）,（X2,0）,且玉＜%?圖象上有一

點加（%，%）在X軸下方，則下列判斷正確的是（）

2

A.a>0B.Z?-4ac>0C.%/<4D.-x,)(x0-x2)<0

4.下列四個圖形分別是四屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，其中屬于中心對稱圖形的有（）

S??A

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.如圖，矩形ABCD中，AB=3,AD=4,連接BD,NDBC的角平分線BE交DC于點E,現(xiàn)把△BCE繞點B逆時

針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的ABCE為ABCE，.當(dāng)線段BE，和線段BC都與線段AD相交時，設(shè)交點分別為F,G.若△BFD

為等腰三角形，則線段DG長為（）

6.一個多邊形內(nèi)角和是外角和的2倍，它是（）

A.五邊形B.六邊形C.七邊形D.八邊形

7.如圖，直線m〃n,Zl=70°,Z2=30°,則NA等于（）

D.50°

8.某校航模小分隊年齡情況如表所示，則這12名隊員年齡的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

年齡（歲）1213141516

人數(shù)12252

A.2,14歲B.2,15歲C.19歲，20歲D.15歲，15歲

9.計算（abT的結(jié)果是（）

A.ab5B.ab6C.a3b5D.a3b6

注滿為止，表示注水量與水深的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖所示，則該容器可能是（）

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.計算：-1-2=

12.如圖，正比例函數(shù)y=kx（k>0）與反比例函數(shù)y=g的圖象相交于A、C兩點，過點A作x軸的垂線交x軸于點B,

連結(jié)BC,則△ABC的面積等于

13.小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機地停留在某塊方磚上，那么小球最終停留在黑色區(qū)域的概率是

14.一個不透明的口袋中有2個紅球，1個黃球，1個白球，每個球除顏色不同外其余均相同.小溪同學(xué)從口袋中隨機

取出兩個小球，則小溪同學(xué)取出的是一個紅球、一個白球的概率為.

k

15.如圖，已知一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=—的圖象相交于A（-2,yi）、B（1,yi）兩點，則不等式ax+b

%

〈人的解集為

X

16.規(guī)定一種新運算“*”：a*b=-a--b,則方程x*2=l*x的解為.

34

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）一輛汽車行駛時的耗油量為0.1升/千米，如圖是油箱剩余油量V（升）關(guān)于加滿油后已行駛的路程x（千

米）的函數(shù)圖象.

18.(8分)某工程隊承擔(dān)了修建長30米地下通道的任務(wù)，由于工作需要，實際施工時每周比原計劃多修1米，結(jié)果

比原計劃提前1周完成.求該工程隊原計劃每周修建多少米？

19.(8分)已知二次函數(shù)y=mx2-2mx+n的圖象經(jīng)過(0,-3).

(1)n=；

(2)若二次函數(shù)y=mx2-2mx+n的圖象與x軸有且只有一^交點，求m值；

(3)若二次函數(shù)y=mx2-2mx+n的圖象與平行于x軸的直線y=5的一個交點的橫坐標(biāo)為4,則另一個交點

的坐標(biāo)為；

(4)如圖，二次函數(shù)y=mx2-2mx+n的圖象經(jīng)過點A(3,0),連接AC,點P是拋物線位于線段AC下

方圖象上的任意一點，求小PAC面積的最大值.

20.(8分)對于平面直角坐標(biāo)系X0Y中的點Q(x,y)(xW0),將它的縱坐標(biāo)V與橫坐標(biāo)x的比上稱為點。的“理想值”,

X

⑴①若點Q。,。)在直線y=x-4上，則點。的“理想值”4等于

②如圖，C（A/3,1）,。的半徑為1.若點。在。上，則點Q的“理想值”4的取值范圍是.

（2）點。在直線丁=-gx+3上，。的半徑為1,點。在。上運動時都有0<與<6,求點。的橫坐標(biāo)程的

取值范圍；

（3）M（2,m）（/w>0）,。是以r為半徑的M上任意一點，當(dāng)0W4<2后時，畫出滿足條件的最大圓，并直接

寫出相應(yīng)的半徑r的值.（要求畫圖位置準(zhǔn)確，但不必尺規(guī)作圖）

21.（8分）某家電銷售商場電冰箱的銷售價為每臺1600元，空調(diào)的銷售價為每臺1400元，每臺電冰箱的進價比每臺

空調(diào)的進價多300元，商場用9000元購進電冰箱的數(shù)量與用7200元購進空調(diào)數(shù)量相等.

（1）求每臺電冰箱與空調(diào)的進價分別是多少？

（2）現(xiàn)在商場準(zhǔn)備一次購進這兩種家電共100臺，設(shè)購進電冰箱x臺，這100臺家電的銷售利潤為Y元，要求購進

空調(diào)數(shù)量不超過電冰箱數(shù)量的2倍，總利潤不低于16200元，請分析合理的方案共有多少種？

（3）實際進貨時，廠家對電冰箱出廠價下調(diào)K（0<K<150）元，若商場保持這兩種家電的售價不變，請你根據(jù)以上

信息及（2）中條件，設(shè)計出使這100臺家電銷售總利潤最大的進貨方案.

22.（10分）今年5月份，某校九年級學(xué)生參加了南寧市中考體育考試，為了了解該校九年級（1）班同學(xué)的中考體育

情況，對全班學(xué)生的中考體育成績進行了統(tǒng)計，并繪制以下不完整的頻數(shù)分布表（圖11-1）和扇形統(tǒng)計圖（圖11-2）,

根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：

分組分數(shù)段（分）頻數(shù)

A36<x<4122

B41<x<465

C46<x<5115

D51<x<56m

E56<x<6110

（1）求全班學(xué)生人數(shù)和m的值;

（2）直接學(xué)出該班學(xué)生的中考體育成績的中位數(shù)落在哪個分數(shù)段;

（3）該班中考體育成績滿分共有3人，其中男生2人，女生1人，現(xiàn)需從這3人中隨機選取2人到八年級進行經(jīng)驗交

流，請用“列表法”或“畫樹狀圖法”求出恰好選到一男一女的概率.

23.（12分）我市某中學(xué)舉辦“網(wǎng)絡(luò)安全知識答題競賽"，初、高中部根據(jù)初賽成績各選出5名選手組成初中代表隊和

高中代表隊參加學(xué)校決賽，兩個隊各選出的5名選手的決賽成績?nèi)鐖D所示.

平均分（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）方差（分2）

初中部a85bS初中

高中部85C100160

（1）根據(jù)圖示計算出a、b、c的值；結(jié)合兩隊成績的平均數(shù)和中位數(shù)進行分析，哪個隊的決賽成績較好？計算初中代

初中部

□

向中部

123編號

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)尸fcr+方的圖象與反比例函數(shù)y=9的圖象相交于點A（小3）、B（-6,

X

與x軸交于點C.

（1）求一次函數(shù)尸乙+方的關(guān)系式；

（2）結(jié)合圖象，直接寫出滿足h+冷9的x的取值范圍；

X

3一

⑶若點尸在"軸上'且SA4C片5s-求點尸的坐標(biāo)?

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、A

【解題分析】

因為兩個數(shù)相乘之積為1,則這兩個數(shù)互為倒數(shù)，如果m的倒數(shù)是-1,則m=-l,

然后再代入源°18計算即可.

【題目詳解】

因為m的倒數(shù)是-1,

所以m=-l,

所以，"2018=(4)2018=1,故選A.

【題目點撥】

本題主要考查倒數(shù)的概念和乘方運算，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握倒數(shù)的概念和乘方運算法則.

2、C

【解題分析】

連接OC,如圖所示，由直徑AB垂直于CD,利用垂徑定理得到E為CD的中點，即CE=DE,由OA=OC,利用等

邊對等角得到一對角相等，確定出三角形COE為等腰直角三角形，求出OC的長，即為圓的半徑.

【題目詳解】

解：連接OC,如圖所示：

；AB是。O的直徑，弦CDLAB,

ACE=DE=-CD=4cm,

2

VOA=OC,

.*.NA=NOCA=22.5。，

VZCOE為4AOC的外角，

.,.ZCOE=45°,

...△COE為等腰直角三角形，

???OC=41CE=4后cm,

故選：C.

【題目點撥】

此題考查了垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及圓周角定理，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵.

3、D

【解題分析】

根據(jù)拋物線與x軸有兩個不同的交點，根的判別式△>(),再分a>0和aVO兩種情況對C、D選項討論即可得解.

【題目詳解】

A、二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a#O)的圖象與x軸有兩個交點無法確定a的正負情況，故本選項錯誤；

B、Vxi<X2,

.*.△=b2-4ac>0,故本選項錯誤；

C、若a>0,則xi<xo<X2,

若aVO,則X0VX1VX2或xiVxzVxo,故本選項錯誤；

D、若a>0,則xo-xi>O,xo-X2<O,

所以，(XO-X1)(X0-X2)<0,

/?a(xo-xi)(xo-xz)<0,

若aVO,貝!J(xo-xi)與(xo?X2)同號，

.*.a(xo-xi)(xo-xz)<0,

綜上所述，a(xo-xi)(X0-X2)VO正確，故本選項正確.

4、B

【解題分析】

解：根據(jù)中心對稱的概念可得第一個圖形是中心對稱圖形，第二個圖形不是中心對稱圖形，第三個圖形是中心對稱圖

形，第四個圖形不是中心對稱圖形，所以，中心對稱圖有2個.

故選B.

【題目點撥】

本題考查中心對稱圖形的識別，掌握中心對稱圖形的概念是本題的解題關(guān)鍵.

5、A

【解題分析】

25257

先在RtAABD中利用勾股定理求出BD=5,在RtAABF中利用勾股定理求出BF=一,貝()AF=4--=一.再過G作

888

_25

GH〃BF,交BD于H,證明GH=GD,BH=GH,設(shè)DG=GH=BH=x,則FG=FD-GD=--x,HD=5-x,由GH〃FB,

=,

【題目詳解】

解：在RtZkABD中，,.?NA=90。，AB=3,AD=4,

/.BD=5,

在RtAABF中，?.?NA=90°,AB=3,AF=4-DF=4-BF,

.\BF2=32+(4-BF)2,

“25

解得BF=—,

8

AAF=4--=

過G作GH〃BF,交BD于H,

.\ZFBD=ZGHD,ZBGH=ZFBG,

VFB=FD,

AZFBD=ZFDB,

.\ZFDB=ZGHD,

AGH=GD,

VZFBG=ZEBC=-ZDBC=-ZADB=-ZFBD,

222

又?.?NFBG=NBGH,ZFBG=ZGBH,

ABH=GH,

VGH/7FB,

FDBD—5

??----=----，即an8=------>

GDHD—5-x

x

25

解得x=二.

13

故選A.

【題目點撥】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理，準(zhǔn)確作出輔助線是

解題關(guān)鍵.

6、B

【解題分析】

多邊形的外角和是310。，則內(nèi)角和是2x310=720。.設(shè)這個多邊形是"邊形，內(nèi)角和是(n-2)?180°,這樣就得到一

個關(guān)于“的方程，從而求出邊數(shù)〃的值.

【題目詳解】

設(shè)這個多邊形是“邊形，根據(jù)題意得：

(n-2)xl80°=2x310°

解得：“=1.

故選B.

【題目點撥】

本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記內(nèi)角和公式和外角和定理并列出方程是解題的關(guān)鍵.根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理,

求邊數(shù)的問題就可以轉(zhuǎn)化為解方程的問題來解決.

7、C

【解題分析】

試題分析：已知m〃n,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N3=N1=7O。.又因N3是△ABD的一個外角，可得N3=N2+NA.

即NA=N3-N2=70。-30。=40。.故答案選C.

考點：平行線的性質(zhì).

8、D

【解題分析】

眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不只一個；

找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)(或兩個數(shù)的平均數(shù))為中位數(shù).

【題目詳解】

解：數(shù)據(jù)1出現(xiàn)了5次，最多，故為眾數(shù)為1；

按大小排列第6和第7個數(shù)均是1,所以中位數(shù)是1.

故選。.

【題目點撥】

本題主要考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)的能力.一些學(xué)生往往對這個概念掌握不清楚，計算方法不明確而誤選

其它選項.注意找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則

正中間的數(shù)字即為所求.如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均數(shù).

9^D

【解題分析】

試題分析：根據(jù)積的乘方的性質(zhì)進行計算，然后直接選取答案即可.

試題解析：lab?)3=a3?什)3=a3bl.

故選D.

考點：塞的乘方與積的乘方.

10、D

【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的圖象和所給出的圖形分別對每一項進行判斷即可.

【題目詳解】

由函數(shù)圖象知：隨高度h的增加,y也增加，但隨h變大，每單位高度的增加，注水量h的增加量變小，圖象上升趨勢變

緩，其原因只能是水瓶平行于底面的截面的半徑由底到頂逐漸變小，故D項正確.

故選:D.

【題目點撥】

本題主要考查函數(shù)模型及其應(yīng)用.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11、-3

【解題分析】

-1-2=-1+(-2)=-(1+2)=-3,

故答案為-3.

12、1.

【解題分析】

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可判斷點A與點B關(guān)于原點對稱，則SABOC=SAAOC,再利用反比例函數(shù)k的幾何意義得到

SAAOC=3,則易得SAABC=1.

【題目詳解】

???雙曲線y=g與正比例函數(shù)y=kx的圖象交于A,B兩點，

X

點A與點B關(guān)于原點對稱，...SABOCnSAAOC,

?SAAOC=，X1=3,??SAABC=2SAAOC=1?

2

故答案為L

13、j

【解題分析】

試題分析：根據(jù)題意和圖示，可知所有的等可能性為18種，然后可知落在黑色區(qū)域的可能有4種，因此可求得小球停

留在黑色區(qū)域的概率為：

1

14、-

3

【解題分析】

先畫樹狀圖求出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再找出從口袋中隨機摸出2個球，摸到的兩個球是一紅一白的結(jié)果數(shù)，然后根

據(jù)概率公式求解.

【題目詳解】

解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中從口袋中隨機摸出2個球，摸到的一個紅球、一個白球的結(jié)果數(shù)為4,

41

所以從口袋中隨機摸出2個球，則摸到的兩個球是一白一黃的概率為不=；.

123

故答案為g.

【題目點撥】

此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件;

樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率=

所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

15、-2<x<0或x>l

【解題分析】

根據(jù)一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點坐標(biāo)，即可得出不等式的解集.

【題目詳解】

觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)-2<x<0或x>l時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，

k

,不等式ax+b<—的解集是-2<x<0或x>l.

x

【題目點撥】

本題主要考查一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合思想是關(guān)鍵.

10

16、—

7

【解題分析】

根據(jù)題中的新定義化簡所求方程，求出方程的解即可.

【題目詳解】

根據(jù)題意得：—X——x2=—xl——x,

3434

75

—x=—,

126

解得：

故答案為

【題目點撥】

此題的關(guān)鍵是掌握新運算規(guī)則，轉(zhuǎn)化成一元一元一次方程，再解這個一元一次方程即可.

三、解答題（共8題，共72分）

17、（1）汽車行駛400千米，剩余油量30升，加滿油時，油量為70升；（2）已行駛的路程為650千米.

【解題分析】

（1）觀察圖象，即可得到油箱內(nèi)的剩余油量，根據(jù)耗油量計算出加滿油時油箱的油量；

（2）用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再代入進行運算即可.

【題目詳解】

（1）汽車行駛400千米，剩余油量30升，

30+400x0.1=70.

即加滿油時，油量為70升.

⑵設(shè)丁=米+6（左。0）,把點（0,70）,（400,30）坐標(biāo)分別代入得）=70,左=-0.1,

y=-0.5+70,當(dāng)y=5時，x=650,即已行駛的路程為650千米.

【題目點撥】

本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征等，關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析

式.

18、該工程隊原計劃每周修建5米.

【解題分析】

找出等量關(guān)系是工作時間=工作總量+工作效率，可根據(jù)實際施工用的時間+1周=原計劃用的時間，來列方程求解.

【題目詳解】

設(shè)該工程隊原計劃每周修建x米.

…上」-3030

由題意得：—=-----Hl.

xx+1

整理得:-32=2.

解得：X1=5,X2=-6(不合題意舍去).

經(jīng)檢驗：￡=5是原方程的解.

答：該工程隊原計劃每周修建5米.

【題目點撥】

本題考查了分式方程的應(yīng)用，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.本題用到的等量關(guān)系為：工作時間=工作總量+

工作效率，可根據(jù)題意列出方程，判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.

327

19、(2)-2；(2)m=-2；(2)(-2,5)；(4)當(dāng)@=一時，△PAC的面積取最大值，最大值為一

28

【解題分析】

(2)將(0,-2)代入二次函數(shù)解析式中即可求出n值；

(2)由二次函數(shù)圖象與x軸只有一個交點，利用根的判別式△=(),即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其非零

值即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的解析式利用二次函數(shù)的性質(zhì)可找出二次函數(shù)圖象的對稱軸，利用二次函數(shù)圖象的對稱性即可找出

另一個交點的坐標(biāo)；

(4)將點A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中可求出m值，由此可得出二次函數(shù)解析式，由點A、C的坐標(biāo)，利用待定

系數(shù)法可求出直線AC的解析式，過點P作PDLx軸于點D,交AC于點Q,設(shè)點P的坐標(biāo)為(a,a2-2a-2),則點Q

的坐標(biāo)為(a,a-2),點D的坐標(biāo)為(a,0),根據(jù)三角形的面積公式可找出SAACP關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，配方后即可

得出△PAC面積的最大值.

【題目詳解】

解：(2)二,二次函數(shù)y=mx2-2mx+n的圖象經(jīng)過(0,-2),

,\n=-2.

故答案為-2.

(2)，??二次函數(shù)y=mx2-2mx-2的圖象與x軸有且只有一個交點，

/.△=(-2m)2-4x(-2)m=4m2+22m=0,

解得：m2=0,mi=-2.

Vm^O,

m=-2.

(2);二次函數(shù)解析式為y=mx2-2mx-2,

-2m

...二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線X=--------=2.

2m

?.?該二次函數(shù)圖象與平行于x軸的直線y=5的一個交點的橫坐標(biāo)為4,

,另一交點的橫坐標(biāo)為2x2-4=-2,

,另一個交點的坐標(biāo)為(-2,5).

故答案為(-2,5).

(4),二次函數(shù)y=mx2-2mx-2的圖象經(jīng)過點A(2,0),

0=9m-6m-2,

??m=2,

二次函數(shù)解析式為y=x2-2x-2.

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k^O),

將A(2,0)、C(0,-2)代入y=kx+b,得:

3k+b=0k=l

{b=-3解得:{b=-3

二直線AC的解析式為y=x-2.

過點P作PD_Lx軸于點D,交AC于點Q,如圖所示.

設(shè)點P的坐標(biāo)為(a,a2-2a-2),則點Q的坐標(biāo)為(a,a-2),點D的坐標(biāo)為(a,0),

PQ=a-2-(a2-2a-2)=2a-a2,

2

:.SAACP=SAAPQ+SACPQ=—PQ*ODH—PQ*AD=--an—a=-—（a-—）2H------,

2222228

327

.,?當(dāng)@=刀時，APAC的面積取最大值，最大值為飛-.

【題目點撥】

本題考查了待定系數(shù)法求一次（二次）函數(shù)解析式、拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值，解

題的關(guān)鍵是：（2）代入點的坐標(biāo)求出n值；（2）牢記當(dāng)△=bJ4ac=0時拋物線與x軸只有一個交點；（2）利用二次函數(shù)

的對稱軸求出另一交點的坐標(biāo)；（4）利用三角形的面積公式找出SAACP關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式.

20、⑴①-3；②GWLQW瓜⑵孚<%?42代；（3）V2

【解題分析】

（1）①把Q（1,a）代入y=x-4,可求出a值，根據(jù)理想值定義即可得答案；②由理想值越大，點與原點連線與犬軸夾

角越大，可得直線。。與。相切時理想值最大，。與x中相切時，理想值最小，即可得答案；（2）根據(jù)題意，討

論。與x軸及直線y=gx相切時，LQ取最小值和最大值，求出。點橫坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)題意將點〃轉(zhuǎn)化為直

線％=2,。點理想值最大時點。在y=2缶上，分析圖形即可.

【題目詳解】

（1）①??,點Q。,。）在直線y=x—4上，

a=1-4=—3,

點Q的“理想值"L=—=-3,

o1

故答案為：-3.

②當(dāng)點。在。與x軸切點時，點Q的“理想值”最小為0.

當(dāng)點?？v坐標(biāo)與橫坐標(biāo)比值最大時，。的“理想值”最大，此時直線。。與。切于點Q,

設(shè)點Q（x,y）,。與x軸切于A,與OQ切于Q,

VC（6，1）,

CAJ3

/.tanZCOA=---=,

OA3

AZCOA=30°,

VOQ>OA是C的切線，

:.ZQOA=2ZCOA=60°,

—=tanZQOA=tan60°^^/3，

x

，點。的“理想值”為白，

故答案為：GWLQW瓜

(2)設(shè)直線與X軸、y軸的交點分別為點4,苴B,

當(dāng)x=0時，y=3,

當(dāng)y=0時，-x+3=0,解得:x=35/39

AA(3A/3,0),5(0,3).

AOA=3A/3,05=3,

**/CAR_OB_y/3

??tan^^OAB-------=,

OA3

，NQAB=30°.

?：0<LQ<S/3,

...①如圖，作直線y=

當(dāng)。與x軸相切時，LQ=0,相應(yīng)的圓心2滿足題意，其橫坐標(biāo)取到最大值.

作2月，了軸于點用，

D[E[POB,

?[Ei_AE]

"BOAO'

V：。的半徑為1,

D[E[-1.

:.AE\=6

：.OEl=OA-AE1=2A/3.

當(dāng)。與直線〉=百工相切時，LQ=g,相應(yīng)的圓心2滿足題意，其橫坐標(biāo)取到最小值.

作軸于點,則

D2E2LxE2D2E21OA.

設(shè)直線y=Gx與直線y=-*x+3的交點為P.

直線y-y[3x中，k=拒,

ZAOF=60°，

/.OFLAB,點F與Q重合，

則AF=OA-cosNOAF=義是="

22

?；。的半徑為1,

:.D?F=1.

7

:.AD2=AF-D2F=-.

：.AE2=AD2.cosZOAF=1^=^,

5J3

^OE2=OA-AE2-

由①②可得，X。的取值范圍是<2百.

(3)VM(2,m),

點在直線x=2上，

V0<L2<2A/2,

.,.LQ取最大值時，工=2起，

作直線y=2&x,與x=2交于點N,

當(dāng)M與ON和x軸同時相切時，半徑r最大，

根據(jù)題意作圖如下：M與ON相切于Q,與x軸相切于E,

把x=2代入y=2垃x得：y=4V2>

:.NE=472，OE=2,ON=7A?2+OE2=6，

.".ZMQN=ZNEO=90°,

又?.?/ONE=NMNQ,

:.NNQM:^NEO,

.MQMNNE—MEr4V2-r

??—■—9民--------

OEONON26

解得：r=0.

???最大半徑為0.

【題目點撥】

本題是一次函數(shù)和圓的綜合題，主要考查了一次函數(shù)和圓的切線的性質(zhì)，解答時要注意做好數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圖形進行

分類討論.

21、(1)每臺空調(diào)的進價為1200元，每臺電冰箱的進價為1500元；(2)共有5種方案;

(3)當(dāng)100VkV150時，購進電冰箱38臺，空調(diào)62臺，總利潤最大；當(dāng)0<kV100時，購進電冰箱34臺，空調(diào)66

臺，總利潤最大，當(dāng)k=100時，無論采取哪種方案，yi恒為20000元.

【解題分析】

(1)用“用9000元購進電冰箱的數(shù)量與用7200元購進空調(diào)數(shù)量相等”建立方程即可；(2)建立不等式組求出x的范圍,

代入即可得出結(jié)論；(3)建立yi=(k-100)x+20000,分三種情況討論即可.

【題目詳解】

(1)設(shè)每臺空調(diào)的進價為m元，則每臺電冰箱的進價(m+300)元,

口口90007200

由題意得，——=-----

m+300m

.\m=1200,

經(jīng)檢驗，m=1200是原分式方程的解，也符合題意,

m+300=1500元,

答：每臺空調(diào)的進價為1200元，每臺電冰箱的進價為1500元;

(2)由題意，y=(1600-1500)x+(1400-1200)(100-x)=-100x+20000,

f-100x+20000>16200

100-x<2

1

.,.33-<x<38,

3

：x為正整數(shù),

Ax=34,35,36,37,38,

即：共有5種方案；

(3)設(shè)廠家對電冰箱出廠價下調(diào)k(0<k<150)元后，這100臺家電的銷售總利潤為yi元，

/.yi=(1600-1500+k)x+(1400-1200)(100-x)=(k-100)x+20000,

當(dāng)100VkV150時，yi隨x的最大而增大，

.,.x=38時，yi取得最大值，

即：購進電冰箱38臺，空調(diào)62臺，總利潤最大，

當(dāng)0Vk<100時，yi隨x的最大而減小，

.*.x=34時，yi取得最大值，

即：購進電冰箱34臺，空調(diào)66臺，總利潤最大，

當(dāng)k=100時，無論采取哪種方案，yi恒為20000元.

【題目點撥】

本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2

22、(1)50,18；(2)中位數(shù)落在51-56分數(shù)段；(3)

3

【解題分析】

(1)利用C分數(shù)段所占比例以及其頻數(shù)求出總數(shù)即可，進而得出m的值；

(2)利用中位數(shù)的定義得出中位數(shù)的位置；

(3)利用列表或畫樹狀圖列舉出所有的可能，再根據(jù)概率公式計算即可得解.

【題目詳解】

解：(1)由題意可得：全班學(xué)生人數(shù)：15+30%=50(人)；

m=50-2-5-15-10=18(人)；

(2)?..全班學(xué)生人數(shù)：50人,

.?.第25和第26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)，

???中位數(shù)落在51-56分數(shù)段；

(3)如圖所示:

將男生分別標(biāo)記為Ai,A2,女生標(biāo)記為BI

AiAzBi

Ai(Ai,Az)(Ai,Bi)

A2(Az,Ai)(A2,BI)

Bi(Bi,Ai)