山東省青島市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)

山東省青島市2024屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：___________考號(hào)：

一'選擇題

1.已知集合4={%履+2>0},5={%|尤2—%—2<0卜則AB=()

A.{%|-2<x<l}B.{X|-2<%<2}C.{X|-1<%<1}D.{X|-1<X<2}

22

2.已知雙曲線C：2L—±=1的一條漸近線方程為y=2x,則m=()

4m

A.lB.2C.8D.16

3.已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P^cos-1-,sin^，^1]cos^cu--^=()

A.OB.lC.正D正

222

4.對(duì)數(shù)螺線廣泛應(yīng)用于科技領(lǐng)域.某種對(duì)數(shù)螺線可以用°一〃/表達(dá)，其中a為正實(shí)

P一(JLC

數(shù),夕是極角，。是極徑.若夕每增加|■個(gè)單位，則。變?yōu)樵瓉?lái)的()

A.(倍B.1倍C/倍D?倍

eee

5.己知平面向量a=(-1,1)乃=(2,0),則a在/，上的投影向量為()

A.(-1,0)B.(l,0)C.(-72,0)D.(A/2,0)

6.已知圓柱的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2,它的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上，則

該球的表面積為()

A.4TIB.6兀C.8兀D.10兀

7.已知復(fù)數(shù)21,Z2,Z尸Z2,若2],同時(shí)滿足|Z1=1和Iz-l|=|Z-iI,則卜-221為()

A.1B，73C.2D.273

8.在△ABC中,ZAC5=120。，5C=2AC,。為△ABC內(nèi)一點(diǎn),AD，C。，ZBDC=120。,

則tanZACD=()

A.2V2B.空C.屈D.2

22

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知兩個(gè)變量y與x對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:

X12345

y5m8910.5

若y與x滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為￡=1.25X+4.25，則()

A.y與x正相關(guān)B.m=7

C.樣本數(shù)據(jù)y的第60百分位數(shù)為8D.各組數(shù)據(jù)的殘差和為0

10.若函數(shù)y(x)=ln(l+x)-111(1一力+2,則()

A./G)的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱B./G)在o￥上單調(diào)遞增

I2)

C./(x)的極小值點(diǎn)為4有兩個(gè)零點(diǎn)

11.已知正方體ABC。-43GzJ1的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)MN分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為

四邊形4片。12(含邊界)內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且上代>=2,則()

A.4B〃平面AWB.點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為1兀

2

C.存在點(diǎn)P,使得平面AAWD.點(diǎn)尸到平面4WN距離的最大值為正上Z

3

三、填空題

12.寫(xiě)出函數(shù)/(%)=sinxcosx+1圖象的一條對(duì)稱軸方程.

13.某人上樓梯,每步上1階的概率為3,每步上2階的概率為L(zhǎng)設(shè)該人從第1階臺(tái)階出

44

發(fā),到達(dá)第3階臺(tái)階的概率為.

四、雙空題

14.設(shè)《修乂卜網(wǎng)々,%)為平面上兩點(diǎn)，定義2(45)=忖-々|+|%-%卜已知點(diǎn)尸為拋

物線C:x2=2py(p>0)上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。(3,0),d(P,Q)的最小值為2,則p=;若斜

率為3的直線/過(guò)點(diǎn)。，點(diǎn)“是直線/上一動(dòng)點(diǎn)，則d(P,M)的最小值為.

2

五、解答題

15.如圖,四棱臺(tái)ABCD-44G2的底面為菱形,45=4,=3,//M力=60。點(diǎn)E為

BC中點(diǎn),DE上BC,D]E=y/^i-

（1）證明：DD]_L平面ABCD；

（2）若AR=2,求平面與平面ABCD夾角的余弦值.

221

16.已知橢圓E：工+匕=1（。＞[＞0）的左,右焦點(diǎn)分別為4,F2，橢圓E的離心率為工橢

a2Z?22

圓E上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小距離為1.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若過(guò)右焦點(diǎn)工的直線/與橢圓E交于兩點(diǎn),E的右頂點(diǎn)記為A,A3//CK，求直線

/的方程.

17.在一個(gè)袋子中有若干紅球和白球（除顏色外均相同），袋中紅球數(shù)占總球數(shù)的比例

為p.

（1）若有放回摸球，摸到紅球時(shí)停止.在第2次沒(méi)有摸到紅球的條件下，求第3次也沒(méi)

有摸到紅球的概率；

（2）某同學(xué)不知道比例2,為估計(jì)p的值，設(shè)計(jì)了如下兩種方案：

方案一：從袋中進(jìn)行有放回摸球，摸出紅球或摸球5次停止.

方案二：從袋中進(jìn)行有放回摸球5次.

分別求兩個(gè)方案紅球出現(xiàn)頻率的數(shù)學(xué)期望，并以數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，分析哪個(gè)方案估計(jì)P的

值更合理.

18.已知函數(shù)/（x）=e.x-ax2-x,（x）為/（x）的導(dǎo)數(shù)

（1）討論了‘（X）的單調(diào)性；

（2）若％=0是/（x）的極大值點(diǎn)，求。的取值范圍；

（3）若，卜正明：e"110-1+e00^-1+ln（sin0cos0）＜1-

19.若數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù),對(duì)任意〃eN*，有Nan+2an，則稱數(shù)列｛%｝為“對(duì)數(shù)凹

性”數(shù)列.

（1）已知數(shù)列1,3,2,4和數(shù)歹U1,2,4,3,2，判斷它們是否為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列，并說(shuō)明理由；

2

（2）若函數(shù)外幻=…尤+b3x+有三個(gè)零點(diǎn)淇中乙〉0（i=1,2,3,4）.

證明：數(shù)列［也,4,b4為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列；

（3）若數(shù)列匕｝的各項(xiàng)均為正數(shù),0?>q，記｛噌的前〃項(xiàng)和為Sn,Wn=』S〃,對(duì)任意三個(gè)

n

不相等正整數(shù)p,q,r,存在常數(shù)/,使得（p-q）叱+（4-廠）%+（廠-0）叫=t.

證明：數(shù)列｛S,,｝為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列.

參考答案

1.答案：D

解析：由爐一%—2<o,即(％+l)(x—2)<0,解得—l<x<2,

所以3={尤|尤2-尤一2<0}={尤|—1<尤<2},

XA=1x|x+2>0}=1x|x>一2}，所以4B=1x|-l<x<2}.

故選：D.

2.答案：A

解析：依題意，得加>0，

22°n

令匕-土=Ony=±二x,即C的漸近線方程為丁=土捻

X,

4my/m

2

所以.=2=>加=1.

yjm

故選：A.

3.答案：D

解析：因?yàn)閜"g,s嗚)即電

即角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)p,,等j,所以sin￡=孝,cosa=g,

crpl(兀)兀..兀1君君16

rfTcosa—|=cosacos—+sinasm—=—x---1----x—=----

6J6622222

故選：D.

4.答案：B

解析：設(shè)9。所對(duì)應(yīng)的極徑為0。,則見(jiàn)=g4，

71

兀鈍+5+】

則夕=0+工所對(duì)應(yīng)的極徑為匕,所以「「ae丁與

=

102A=?e71-一丈

故夕每增加1個(gè)單位，則。變?yōu)樵瓉?lái)的￡倍.

故選：B.

5.答案：A

解析：a=(—l,l),b=(2,0)

a必=-2,W=2'

百.卜b_9

在b上的投影向量為工p,鬲=丁(2,0)=(-1,0).

M\b\4

故選：A.

6.答案：C

解析：由題意可知該球?yàn)閳A柱的外切球，所以球心為圓柱的中心，設(shè)球半徑為r,

則「=卜+直=72，故該球的表面積為4+=8兀.

故選：C.

7.答案：C

解析：設(shè)2=%+何(蒼丁￡區(qū)),則z-l=(x-l)+)i,z-i=x+(y-l)i,

由|z|=l和Iz—l|=|z—i|,

所以％2+=1且—+y2=(y_])2+%2,

[立四

X=---一2

即％2+y2=]且工=>解得<乙或<

也

V2

2

斫以A/2A/2.A/2y/2.(成_近V2._V2A/2.)

//T"Zi-----1------i、z、=-------------ikZ-.--------------i、----1------1'，

1222222222

則Z「Z2=^+^i/-立-巫i]=3+"(或Z「Z2=-0-后)，

所以憶一Z2I=J(女)+(0)=2,

故選：C.

8.答案：B

解析：在Rt^ADC中，設(shè)/48=8,<6<5]，令4?=](龍〉0)，

c

貝1JCB=2x,CD=xcos6,

在△5CD中，可得NBCD=120。—9,NCBD二夕—60。,

CD

由正弦定理———

sinZCDBsinZCBD

2x_xcosOxcos3

所以看―sin（6>—60。）

-sin61--cos^

22

41

所以存.、百，

—tan6/------

22

可得tan，=^，即tan/ACD=空?

22

故選：B.

9.答案：AD

解析：由回歸直線方程知：1.25＞0,所以y與X正相關(guān)，即A正確；

由表格數(shù)據(jù)及回歸方程易知于=3,9=1.25x3+4.25=必5+”?n%=7.5,即B錯(cuò)誤;

5

易知5x60%=3,所以樣本數(shù)據(jù)V的第60百分位數(shù)為邑2=8.5,即C錯(cuò)誤；

2

由回歸直線方程知尤=1,2,3,4,5時(shí)對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值分別為$=5.5,6.75,8,9.25,10.5,

對(duì)應(yīng)殘差分別為-0.5,,075,0,-025,0,顯然殘差之和為0,即D正確.

故選：AD.

10.答案：AC

解析:對(duì)于函數(shù)/(x)=ln(l+x)-ln(l-x)+2,

X

1+x＞0

令＜1-》〉0,解得-1＜兀＜0或0＜兀＜1,

xw0

所以函數(shù)的定義域?yàn)?-1,0)(0,1),

、、2、2

X/(-zx)=ln(l-x)-ln(l+x)——=一In(1+x)-In(1-x)+—=—/(%),

所以/（力為奇函數(shù),函數(shù)圖象關(guān)于（0,0）對(duì)稱，故A正確;

1-121-12-22

又廣（%）=---------1----------------2

1+x1-xX21+xx-1XX2-1X2

-2--2(f—1)_2-4/

(x2-l)x2--(x2-l)x2

當(dāng)xe時(shí)，/'（%）＜0，即/CO在jo,。上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤;

當(dāng)XG時(shí),r（%）＞0,即/（%）在上單調(diào)遞增,

根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性可知/（X）在［-1,-正］上單調(diào)遞增，在、變,o］上單調(diào)遞減,

、2JI2,

所以“力的極小值點(diǎn)為4,極大值點(diǎn)為故C正確;

又/⑴極小值=/V=ln（3+20）+2庭〉0,

且當(dāng)X趨近于1時(shí),/（x）趨近于無(wú)窮大，當(dāng)X趨近于0時(shí),/。）趨近于無(wú)窮大,

所以/（%）在（0,1）上無(wú)零點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可知/（同在（-1,0）上無(wú)零點(diǎn)，

故f（x）無(wú)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.答案：ABD

解析：對(duì)于A,在正方體中易知MNHCD、,CDJAB=＞NM//A^B

又43a平面AW,肱Vu平面AAW,所以A3〃平面AAW,即A正確；

對(duì)于B,因?yàn)辄c(diǎn)P為四邊形4與。12（含邊界）內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且必＞=2，"。=1,

則=QMP?-R”=G,所以P點(diǎn)軌跡為以0為圓心，石為半徑的圓與正方形相交

的部分，

所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為工乂2”6=正兀，故B正確；

42

對(duì)于C,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則A(2,0,0),M(0,0,1),N(0,1,0),尸(Heosa石sin0,2

所以AM=(一2,0,1),AiV=(-2,1,0)，〃P=(Gcos括sin1)

AMMP=l-2y/3cos3=0

若存在點(diǎn)P,使得MP,面4的，則＜

AN-MP=Gsin，—26cos，=0'

解之得sin6=」,cos"」^,顯然不滿足同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,

V32V3

即不存在點(diǎn)P,使得"P,面40V，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量為〃=(x,%z),則=一2》+z=0

AN?n=—2x+y=0

取x=1=>y=z=2,即〃=(1,2,2),

則點(diǎn)P到平面AMN的距離

MPy/3cos0+2—sin6+2A/1L5sin(^+^)+2(1

.r\tan(p=_,(pe

33、2

顯然《+夕=2時(shí)取得最大值d=姮+2，故D正確.

'2max3

故選：ABD.

12.答案：=-（答案不唯一）

x4

解析：易知/(x)=gsin2x+l,所以2x=]+bi(keZ)=>x=?+^■(左eZ),

不妨取左=0,貝H

4

故答案為：x=-（答案不唯一）.

4

13.答案：—

16

解析：到達(dá)第3臺(tái)階方法有兩種:

第一種：每步上一個(gè)臺(tái)階,上兩步，則概率為3x^=2；第二種:

4416

只上一步且上兩個(gè)臺(tái)階，則概率為L(zhǎng)

4

所以到達(dá)第3階臺(tái)階的概率為2+工=巨,

16416

故答案：—

16

14.答案：①.2②.3

2

2,2

m、-0>———m-h3=^—(m-p]32+3--,

解析：設(shè)尸m,——,K'Jj(P,e)=|m-3|+—

2p)2P2P2p2D2P2

=3-3=2,即P=2,P="2時(shí)取得最小值;

2

39、、

易知/:丁=5%—5，。：%2=4丁，聯(lián)立有%2一6工+18=0,

顯然無(wú)解，即直線與拋物線無(wú)交點(diǎn),如下圖所示,

過(guò)P作PN//X交I于N,過(guò)M作ME,PN，

則d（P,M）=|PE|+|EM閆尸國(guó)+|EN|=|PN|（MN重合時(shí)取得等號(hào)），

,2、/2,，2、

2

設(shè)尸n=，則N—+3,—，所以|PN|=￡—〃+3=!(〃一3)+ia,

I464

47\766'22

V

故答案為：2,1.

2

15.答案：(1)證明見(jiàn)解析

⑵亞

13

解析：(1)連接DE、DB，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,NB4D=60。

所以△3DC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，

因?yàn)镋為中點(diǎn)，所以。E，,DE=2劣，

又因?yàn)镽E1BC,D,EDE=E,D*,￡)Eu平面?DE，所以BC,平面QDE,

又。Ru平面"DE,

所以

又DiE=E，DD[=3，DE=26,

所以DD；+DE2=,所以DD[±DE,

又因?yàn)镈E5C=E，DE，BCu平面ABC。，

所以DR，平面ABCD-

(2)因?yàn)橹本€94，。石,。2兩兩垂直,以。為原點(diǎn),￡、4，￡)￡；,。。1所在直線為％軸,＞軸,2

軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則￡>(0,0,0)M(4,0,0),E(0,2^,0),C(-2,2^,0),4(2,0,3)

所以4G=口。=卜3,6,0),馬=(2,—26,3)

設(shè)平面AGE的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

則9?AG=-3%+百y=0即<y=6x

n-E\=2x-2y/3y+3z=04x=3z

令x=3,得y=36，z=4,所以〃=(3,36,4),

由題意知，加=(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量，

設(shè)平面4GE與平面ABCD的夾角為。，

八\m-n\42而

IJIIIcos0—■：；~~；~~(■-—]-

H?同收3河+4213，

所以平面ACE與平面ABCD夾角的余弦值為馬叵.

22

16.答案：(1)土+2L=i

43

(2)2小門(mén)或2非?

mx-\-------y-1=0改Xy-1=0

解析：(1)設(shè)焦距為2c，由橢圓對(duì)稱性不妨設(shè)橢圓上一點(diǎn)

易知月(c,0),則|尸用=QU=J(x。-c『+"「片

22

所以橢圓C方程為工+匕=1；

43

（2）設(shè)

因?yàn)锳5〃C%所以閉:\AB\=寓閭:優(yōu)A=2:1

所以H=-2%①

[22

設(shè)直線/的方程為％=加,+1,聯(lián)立得v43，整理得（3病+4）9+6玖y-9=0,

x=my

6m

y+%=一欠2>

?一、i、Eg3m+4

由韋達(dá)定理倚v9,

?%二一—2八

（3根+4）

6m

36m29

把①式代入上式得3加2+4，得必=

2(2)9

-24=-^^3m+423m+4

2-3m2+4

解得於土竽,

所以直線/的方程為：升型y-1=0或尤-區(qū)5y-1=0-

55

17.答案：(1)1—p

（2）答案見(jiàn)解析

解析：（1）設(shè)事件A="第2次沒(méi)有摸到紅球"，事件5="第3次也沒(méi)有摸到紅球”,

則P（A）=（l-p）2,P（5）=（l—p）3,

P(AB)P(B)(1-p)3

所以P（B|A）P(A)P(A)(1-p)2，

（2）“方案一”中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機(jī)變量X表示,

則x的可能取值為：

5432

543

5.P(x=o)=(i-jp),pfx=|L(i-jp)jp,pG=11=(i-jp)jP,

P(x=+(i_#2p,p[x=；]=(i_0p,p(x=i)=p,

所以X的分布列為：

￡1j_

X01

5432

p(1-p)5(l-p)4p(l-p)3p(1-P)2P(1-p)pp

則E(X)=0x(l-p)5+gx(l-p)4p+；x(l-p)3"+gx(1_p)2p+；><(l_p)p+l><p

_(1-P)4P,(1-，)3P,(I-PYP,(1-P)P,

=-------------1---------------1---------------1--------------rD，

5432

“方案二”中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機(jī)變量y表示，因?yàn)?y?5(5,p),

所以5y的分布列為：P(5y=yt)=C*/(l-p)5-k，左=0,1,2,3,4,5,

即y的分布列為：

234

Y01

5557

P(1-p)55(1-p)4/?10(1-P)3P210(1-夕)2/5(1—p)p4p5

所以E(5N)=5p,則磯V)=p,

因?yàn)镋(X)>p,E(Y)=p，所以“方案二”估計(jì)p的值更合理.

18.答案：(1)答案見(jiàn)解析

⑵a>-

2

(3)證明見(jiàn)解析

解析：(1)由題知r(x)=e“—2依—1,

々gabrabe'-Zor-lW」=ev-2a,

當(dāng)aW0時(shí),g'(x)>0,/'(%)在區(qū)間(TO,+co)單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時(shí)，令g'(x)=。解得％=ln2a，

當(dāng)xe(-co,ln2a)時(shí),g'(x)<0,當(dāng)xe(ln2a,+so)時(shí),g'(x)>0,

所以r(x)在區(qū)間(fo,ln2a)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(ln2a,+oo)上單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)a<0時(shí),/'(x)在區(qū)間(《,+oo)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí),/'(x)在區(qū)間(-co,ln2a)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(ln2a,+co)上單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)aWO時(shí),/'(0)=0,

由(1)知，當(dāng)XG(-OO,0)時(shí),r(x)<0J(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)XG(0,-H?)時(shí),/'(x)>0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

所以％=0是函數(shù)/(力的極小值點(diǎn),不符合題意；

當(dāng)0<a<g時(shí),In2a<0,且/'(0)=0,

由(1)知，當(dāng)％￡(ln2a,0)時(shí),/在(ln2〃,0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(0,+oo)時(shí),尸⑴在(0,+“)上單調(diào)遞增；

所以1=0是函數(shù)外力的極小值點(diǎn),不符合題意；

當(dāng)a=；時(shí),ln2a=0,則當(dāng)X￡(YO,+OO)時(shí),/'(x)N0J(x)在(fo,+oo)上單調(diào)遞增,

所以/(%)無(wú)極值點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)〃〉g時(shí),ln2a>0,且/r(0)=0；

當(dāng)X￡(7D,0)時(shí)在(-8,0)上單調(diào)遞增；

當(dāng)％w(0,ln2a)時(shí),/'(%)<0J(x)在(0,ln2a)上單調(diào)遞減；

所以1=0是函數(shù)/(力的極大值點(diǎn)，符合題意；

綜上所述，。的取值范圍是a〉L

2

(3)要證esmi+鏟田+In(sin6?cos6>)<1,

只要證e&e+e00^-1+In(sin6>)+In(cos6>)<sin26?+cos26?,

sin022

只要證e-'+Insin6<sin仇e^T+Ineos0<cos6?，

因?yàn)?則sin6￡(0,l),cose￡(0,l),

所以只要證對(duì)任意有e，T+lnx<%2,

只要證對(duì)任意一1cx<0,有e"+ln(l+x)<(l+x)2(派),

因?yàn)橛?2)知：當(dāng)々=1時(shí)，若％<0,則“力<”0)=1,

所以?！耙?2一]<1，即e'vV+x+i①，

令函數(shù)/?(%)=In(1+—1<XV0),貝1J/z'(x)=----1=——,

1+X1+X

所以當(dāng)—l<x<0時(shí)”