數(shù)學(xué)-河北省邯鄲市2024屆高三年級(jí)下學(xué)期5月保溫試題和答案

邯鄲市2024屆高三年級(jí)第四次調(diào)研監(jiān)測(cè)

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的

A=-3x-4<0^,B='xy=-

1.已知集合〔J,則(

A.(0,1]B.[0,4]C.(0,4]D.[0,1]

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z2=.l,則卜？+2Z|=()

A.1B.V3C.3D.V5

3.已知Q,￡是兩個(gè)平面，掰，〃是兩條直線，且a_L萬,muU/3,則“加1是“加_L萬”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設(shè)函數(shù)/(x)=x+'■的圖像與x軸相交于點(diǎn)尸，則該曲線在點(diǎn)尸處的切線方程為()

Xi，

A.B.y=-x-lC.y=0D.y=x-l

5.由動(dòng)點(diǎn)P向圓M:(x+2)2+(y+3)2=1引兩條切線切點(diǎn)分別為48,若四邊形4PBM為正

方形，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程為()

A.(X+2)2+(J+3)2=4B.(x+2)2+(y+3)2=2

22

C.(x-2>+(y-3)2=4D.(%-2)+(J-3)=2

6.某班聯(lián)歡會(huì)原定5個(gè)節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個(gè)節(jié)目，現(xiàn)將這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中,

要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數(shù)為()

A.12B.18C.20D.60.

第1頁/共4頁

22

7.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別是雙曲線。:餐-2=13>04>0)的左、右焦點(diǎn)，尸是雙曲線。上一點(diǎn),

ab"

3

若直線屏;和OP的傾斜角分別為a和2Q,且tana=—,則雙曲線。的離心率為()

4

「7

A.V3B.5C.2D.y

--ra-b7a-b

8.對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量?和B,定義：°十6=門2門2,==.若平面向量2石滿足

H+\b\\b\

|?|>|^|>0,且Z十石和ZoB都在集合｛￡|〃eZ,0<"w4｝中，則￡十石+ZoB=()

3,7,5

A.1B.—C.1或一D.1或一

244

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=Msin(sx+0)(M>O,s>O,O<0<7i)的部分圖像如圖所示，A,B為/(x)的圖像

與x軸的交點(diǎn)，。為/(x)圖像上的最高點(diǎn)，/BC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，=貝U()

13

B.直線x=2是/(x)圖像的一條對(duì)稱軸

6

/⑴的單調(diào)遞減區(qū)間為(：+2左1+2。(左eZ)

C.

的單調(diào)遞增區(qū)間為(―,+2械Qe1(左二)

D.

10.設(shè)拋物線￡:*=2m(夕>0)的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸(0,3)的直線與拋物線￡相交于點(diǎn)4瓦與x軸相

交于點(diǎn)C|/R|=2,|M|=10,則()

A.E的準(zhǔn)線方程為y=—2B.P的值為2

第2頁/共4頁

C.\AB\=A42D.△AFC的面積與△4FC的面積之比為9

11.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為/'(x),若函數(shù)/(2x-3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，

/(2+x)-/(2-x)=4x,且/(0)=0,貝()

A./(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱B./(x+4)=/(x)

50

C./'(1026)=2D,￡/(z)=2499

Z=1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上

12.已知6>0,函數(shù)/(#=哼二是奇函數(shù)，則。=,b=.

13.正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的五角星中，以

為頂點(diǎn)的多邊形為正邊邊形,設(shè)NC4D=a，則cosa+cos2a+cos3a+cos4a=,

cosacos2acos3acos4a=.

14.在長(zhǎng)方體4SCD—44GA中，AB=5,AD=3,AA1=4,平面a//平面//8與，則a截四面體

ACDXBX所得截面面積的最大值為________.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，四棱錐P-45CD的底面是正方形，設(shè)平面與平面必。相交于直線/.

(1)證明:IHAD.

⑵若平面「48，平面/5。。,/>/=必=6,48=2,求直線PC與平面尸4D所成角的正弦值.

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16.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為s”，4=3,且￡[=￡+店.

(1)求｛%,｝的通項(xiàng)公式；

4s

(2)若r=——求數(shù)列帆｝的前〃項(xiàng)和7；.

anan+\

17.假設(shè)某同學(xué)每次投籃命中的概率均為。.

(1)若該同學(xué)投籃4次，求恰好投中2次的概率.

(2)該同學(xué)參加投籃訓(xùn)練，訓(xùn)練計(jì)劃如下：先投〃(〃eN+，〃w33)個(gè)球，若這〃個(gè)球都投進(jìn)，則訓(xùn)練結(jié)束,

否則額外再投100-3〃個(gè).試問〃為何值時(shí)，該同學(xué)投籃次數(shù)的期望值最大？

18.已知橢圓。的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、V軸，且過M(2,0),N1,--兩點(diǎn).

I27

(1)求。的方程.

(2)48是。上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。為。的上頂點(diǎn)，是否存在以。為頂點(diǎn)，48為底邊的等腰直角三角形？若

存在，求出滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.已知函數(shù)/(x)=e',-加x,g(x)=x-7〃lnx.

(1)是否存在實(shí)數(shù)加，使得“X)和g(x)在(0,+。)上的單調(diào)區(qū)間相同？若存在，求出加的取值范圍；

若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2)已知不,馬是/(X)的零點(diǎn)，是g(x)的零點(diǎn).

①證明：m>e,

3

②證明：1<X[X2X3<e.

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邯鄲市2024屆高三年級(jí)第四次調(diào)研監(jiān)測(cè)

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的

A=^x\x2-3x-4<0j,B=xy=■

1.已知集合[J,貝（）

A.（0,1]B.[0,4]C.（0,4]D.[0,1]

【答案】B

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)兩個(gè)集合，再利用交集運(yùn)算可得答案.

【詳解】由/-3x-4v0得-16W4,即2=打卜16"},

5={x|x>0），所以208=[0,4].

故選：B

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z2=_i,貝I“Z2+2Z|=（）

A.1B.V3C.3D.75

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)2=。+歷（a,beR）,根據(jù)條件得到a=0,6=±1,再利用模長(zhǎng)的計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.

2—1

【詳解】令2=。+4（生人€及），則z?="+2疝—〃=一1,所以《a—b~=,解得。=0/=±1,

2ab=0

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所以z=±i,故卜2+2z|=|-l±2i|=&\

故選：D.

3.已知Q,￡是兩個(gè)平面，掰，〃是兩條直線，且a_Luu萬，則“加1是“加_L2”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】用平面2。也代表平面a,平面45CD代表平面產(chǎn)，

當(dāng)加1”如圖所示時(shí)顯然m與平面/3不垂直，

反之，當(dāng)加，萬時(shí)，又nuB,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有加1n,

所以“加1〃”是“加1/5”的必要不充分條件，

故選：A.

4.設(shè)函數(shù)/(耳=》+\的圖像與x軸相交于點(diǎn)尸，則該曲線在點(diǎn)尸處的切線方程為()

Xi，

A.y~~xB.y=-x-\C.y=0D.y=x-l

【答案】C

【解析】

【分析】令/(x)=0可計(jì)算出切點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，即可得解.

1

【詳解】令X+——=0,即x(x+2)+l=0,即(x+l)92=0,解得x=—1,

x+2

故尸(—1,0),/‘(x)=i—(x+2)則/'(T)=1，(—1二+2亓)=°，

則其切線方程為：j-/(l)=r(-l)(x+l),即y=0.

故選：C.

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5.由動(dòng)點(diǎn)尸向圓M:(x+2)2+(y+3)2=1引兩條切線尸4P8,切點(diǎn)分別為48,若四邊形4PBM為正

方形，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()

A.(X+2)2+(J+3)2=4B.(X+2)2+(J+3)2=2

22

C.(x-2>+(y-3)2=4D.(x-2)+(y-3)=2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正方形可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M為圓心，行為半徑的圓，求出方程即可.

【詳解】因?yàn)樗倪呅?P8/為正方形，且叱二九必二匕所以/尸;班,

故動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以M為圓心，、石為半徑的圓，其方程為(x+2y+(y+3)2=2.

6.某班聯(lián)歡會(huì)原定5個(gè)節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個(gè)節(jié)目，現(xiàn)將這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中,

要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數(shù)為()

A.12B.18C.20D.60.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分為當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的一個(gè)和新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的兩個(gè),

結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，可分為兩類：

①當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的一個(gè)時(shí)，有=4x2=8種方法；

②當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的兩個(gè)時(shí)，有Aj=4x3=12種方法，

由分類計(jì)數(shù)原理得，共有8+12=20種不同的差法.

故選：C.

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22

7.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，片，鳥分別是雙曲線C：0-A=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，尸是雙曲線。上一點(diǎn),

ab

3

若直線屏;和OP的傾斜角分別為a和2Q,且tana=—,則雙曲線。的離心率為（）

4

「7

A.V3B.5C.2D.y

【答案】B

【解析】

324

【分析】由已知計(jì)算可得所以直線產(chǎn)大的斜率為tana直線OP的斜率為設(shè)尸（》/）,由

47

V3v247c24c

二^二：,上二一,解得工=生/二J，代入雙曲線方程計(jì)算即可求得結(jié)果.

x+c4x72525

2x-

.c2?tana424

【詳解】由題意得tan2。=Jrar?a==亍,

4

324

所以直線平的斜率為tan”“直線。。的斜率為亍

3Z24./白7c24c

設(shè)尸（X/）,則有上y>解得x=w，y

x+c4,x~25

（7c丫（生丫

代入雙曲線方程，得（25）（25）_

又/=c2-a2

化簡(jiǎn)可得：（2）c4-2a2c2+a4=0,e=-,

（25Ja

所以（W）e4-2e2+1=0,解得e=5或e=，e>l,舍）.

故選：B

--ra-bTci-b

8.對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量Z和坂，定義：。十」=門2門2,可.若平面向量滿足

a+bb

|?|>|^|>0,且Z十B和ZoB都在集合｛4〃eZ,0<〃中，^\a?b+aQb=()

375

A.1B.-C.I或一D.1或一

244

【答案】D

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【解析】

【分析】根據(jù)同>W>0,得到同2+W?>2同W,再利用題設(shè)中的定義及向量夾角的范圍,得到］十3<；,

一一1

aQb>~,再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.

2

【詳解】因?yàn)椋Α╡Z,0<〃w4)=,

設(shè)向量Z和B的夾角為e,因?yàn)橥?gt;歸|>0,所以同2+麻>2同陣

得到/十B=「二曲*<皿黑=2

同2+W同2+網(wǎng)2\a\-\b\2

又840,兀］,所以包士工，

22

又￡十B在集合［j〃eZ,0<〃s4］中，所以咨>［，即cosd>L得到Z十1=

14J2424

團(tuán)JBcos。a1

一】a-b---L-L---=—cos^>cos8>—--3

又因?yàn)閍Qb=-y所以a。/?=一或1,

\b\同b24

所以a十B+a?B=l或

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=Msin(sx+0)(M>O,G>O,O<0<7i)的部分圖像如圖所示，A,B為/(x)的圖像

與x軸的交點(diǎn)，。為/(x)圖像上的最高點(diǎn)，AASC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，=貝U()

A./（0）=—

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13

B,直線X=一是/（x）圖像的一條對(duì)稱軸

6

C./（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為+2左,:+2,（左eZ）

D./（%）的單調(diào)遞增區(qū)間為（—：+2版，!+2E］（左€2）

【答案】BC

【解析】

【分析】由圖可得/（#=?5也（欣+三），再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析各個(gè)選項(xiàng)即可.

27r

【詳解】對(duì)于A,由圖可得：/（x）的最小正周期為2,所以——=2,即切=兀，

3

易得M=,所以/（x）=1^sin（7ix+0）,

因?yàn)?|=2|。4所以嗚,0），C%字，

由五點(diǎn)作圖法可得：巳+0=^，即0=1，所以/（#=55也（m+三），

所以/（O）=W，故A不正確；

對(duì)于B,由于/（!!）=與皿￡+方=近,為最大值，

62632

1Q

所以直線工=上是/（x）圖象的一條對(duì)稱軸，故B正確;

ijr>rr47T17

對(duì)于C,令2阮+—w7EX+—w2E+——（左EZ）,解得；一+2左wxw—+2左（左￡Z）

23266

所以單調(diào)遞減區(qū)間為（：+2左,：+2左）（左eZ）,故C正確；

ITTTTT1

對(duì)于D,令2kliw7LT+—w2標(biāo)+—（左￡Z）,解得；——+2左wXw—+2左（左￡Z

23266

所以/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為「：+2左,1+2/信eZ）,故D不正確，

故選：BC,

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10.設(shè)拋物線E：Y=2〃y（p>0）的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸（0,3）的直線與拋物線￡相交于點(diǎn)43,與X軸相

交于點(diǎn)C,|N司=2,忸可=10,則（）

A.E的準(zhǔn)線方程為y=-2B.P的值為2

C.\AB\=442D.△8RC的面積與△4FC的面積之比為9

【答案】BD

【解析】

【分析】設(shè)直線48的方程為^=依+3,/（七,必）,5（X2/2）,利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的性質(zhì)進(jìn)行

計(jì)算，從而判定各選項(xiàng).

【詳解】設(shè)直線48的方程為川=狂+3,4（再,％）,3（%2，%），

y=kx+3c

聯(lián)立｛2C，可得一—2夕京一60=0,

x=2py

所以再+x2=2pk,xrx2=-6p,

222々度2

E、12X-rXiX3opc

因?yàn)閤=2py,所以歹二丁，故=7V?=/2=9，

2p4P4p

因?yàn)閨4F|=2,忸廠|=10,由拋物線定義可得，%=2-，%=10-《，

則（2-^）（10一看）=9,解得夕=2或夕=22,

因?yàn)椋?2，>0,所以0=2,則E的準(zhǔn)線方程為I,故B正確，A錯(cuò)誤；

又E的方程為f=4y,Ji=2-1=1,J2=10-1=9,

把％=1代入/=4y可得X；=4%=4,%2=4y2=36,

不妨設(shè)，（-2,1）,3（6,9）,則|48|=8五，故C錯(cuò)誤;

設(shè)廠到直線48的距離為d,

△加心的面積5口0=：8。M，△為?6的面積S"c=；|ZC|d,

S歷

則XBFC的面積與AAFC的面積之比衿二=1—4=及=9,故D正確.

S.AFC\AC\必

故選：BD.

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y.

11.已知函數(shù)/("的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為/'("，若函數(shù)/(2x-3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，

f[2+x)-f[2-x)=4x,且/⑼=0,則()

A./(X)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱B./(X+4)=/(%)

50

C.r(1026)=2D,2/1)=2499

Z=1

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象變換及其對(duì)稱性，可得判定A正確；結(jié)合/(x)+/(2-x)=2和

〃2+x)-〃2-x)=4x,化簡(jiǎn)得到/(x)=/(x+4)-8,可判定B不正確;令g(x)=/(x)-2x,得

到g(x)=g(x+4),得到函數(shù)g(x)和g'(x)是以4為周期的周期函數(shù)，結(jié)合

,,

g(1026)=g(2)=/'(2)-2,可判定C正確；結(jié)合/⑴=1,/(2)=2,/(3)=5,/(4)=8,得到

50

g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=-4,結(jié)合g(x)=-2x是以4為周期的周期函數(shù),進(jìn)而求得Z/(z)的

i=\

值，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，設(shè)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于(m6)對(duì)稱，

則＞=/(%-3)關(guān)于(a+3,Z?)對(duì)稱，可得y=/(2x—3)關(guān)于(一^―,/?)對(duì)稱，

因?yàn)楹瘮?shù)/(2x—3)的圖像關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，可得；—=2,6=1,解得a=1,6=1,

所以函數(shù)〉=/("的圖象關(guān)于(1』)對(duì)稱，所以A正確；

對(duì)于B中，由函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于(1,1)對(duì)稱，可得/(x)+/(2—x)=2,

因?yàn)?(2+x)-/(2-x)=4x,可得/(x)+/(x+2)=4x+2,

貝i]/(x+2)+/(x+4)=4(x+2)+2=4x+10,

第8頁/共20頁

兩式相減得了(x)-〃x+4)=-8,即/(x)=/(x+4)-8,所以B不正確；

對(duì)于C中，令g(x)=/(x)-2x,

可得g(x+4)=/(x+4)-2(x+4)=/(x+4)-2x-8,

因?yàn)?(x)=/(x+4)-8,所以g(x)=g(x+4),

所以函數(shù)g(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

由g(x)=/(x)-2x,可得g1x)=/1x)—2,所以g，(1026)=1f(1026)-2,

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是以4為周期的周期函數(shù)，則g'(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

所以g'(1026)=g'(2)=/'(2)—2,

由/(2+x)_/(2—x)=4x,可得/'(2+x)xl_/'(2_x)x(_l)=4,

即/'(2+x)+/'(2—x)=4,令x=0,可得/'⑵+/'⑵=4,所以/'(2)=2,

所以g'⑵=0,所以/'。026)=/'(1026)+2=八2)+2=2,所以C正確；

對(duì)于D中，因?yàn)?(0)=0,且函數(shù)/⑴關(guān)于(1,1)對(duì)稱，可得/⑴=1,/(2)=2,

又因?yàn)?(2+x)—〃2—x)=4x,令x=l,可得/⑶—/⑴=4,所以〃3)=5,

再令x=2,可得〃4)_/(0)=8,所以〃4)=8,

由g(x)=/(x)-2x,可得g(l)=-l,g(2)=—2,g(3)=—l,g(4)=0,

可得g⑴+g(2)+g⑶+g(4)=-4

又由函數(shù)g(x)=/(x)—2x是以4為周期的周期函數(shù)，且/(x)=g(x)+2x,

50

所以￡/■([?)=_/■⑴+〃2)+…+〃50)=g(l)+g(2)+-+g(50)+2(l+2+-+50)

Z=1

=12-[g⑴+g(2)+g(3)+g(4)]+g⑴+g(2)+2(l+2+…+50)

=12x(-4)-l-2+2x50(1^50)=2499,所以D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】知識(shí)結(jié)論拓展：有關(guān)函數(shù)圖象的對(duì)稱性的有關(guān)結(jié)論

(1)對(duì)于函數(shù)N=/(x),若其圖象關(guān)于直線x=。對(duì)稱(a=0時(shí)，/(x)為偶函數(shù))，

第9頁/共20頁

則①/(a+x)=/(a—x)；②/(2a+x)=/(—x)；③/(2a—x)=/(x).

(2)對(duì)于函數(shù)歹=/(x),若其圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(a=0時(shí)，/(x)為奇函數(shù))，

則①/(a+x)=-/("h；②/(2a+x)=—/(—x)；③—=

(3)對(duì)于函數(shù)>=/(x),若其圖象關(guān)于點(diǎn)(a,6)對(duì)稱，

則①/(a+x)+/(a-x)=26；②/(2a+x)+/(-x)=26；③/(2a-x)+/(x)=26.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上

12.已知6>0,函數(shù)/(#=哼匕是奇函數(shù)，則。=,b=.

【答案】①.-1②.1

【解析】

【分析】由/(O)=a+l=O,可求a,由/(x)=2(2J)X—2一二結(jié)合奇函數(shù)可求6.

【詳解】由/(0)=a+l=0,解得a=-l,所以/(x)==

又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為奇函數(shù)，所以/(x)=—/(x),

所以2（2&T）X_2r=_（2-（2J）X_2-'）,

所以(2.)，『2「2陽卜.(21I2=2陽卜一2工,

所以（2（2Jb.2工-1）（2儂山-2）=0,

所以2所1區(qū)2、-1=0或2儂m—2*=0，

所以2b—1=1或26—1=—1,解得6=1,6=0(舍去).

故答案為：①-1；②1.

13.正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的五角星中，以

4瓦。,。,￡為頂點(diǎn)的多邊形為正邊邊形,設(shè)NC4D=q，則cos。+cos2a+cos3a+cos4q=

cosqcos2acos34cos4a=.

第10頁/共20頁

B

【答案】①.0②.—##0.0625

16

【解析】

【分析】由正五角星的性質(zhì)，求得NC4￡>=a=36。，進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算即可.

【詳解】正五角星可分割成5個(gè)3角形和1個(gè)正五邊形，五個(gè)3角形各自角度之和180°

正五邊形的內(nèi)角和180°x（5—2）=180°x3=540°；每個(gè)角為鄴匚=108°,

5

三角形是等腰三角形，底角是五邊形的外角，即底角為180°-108°=72°,

三角形內(nèi)角和為180°,那么三角形頂角，即五角星尖角180°-72。x2=36°,

即NC4D=a=36°.

cos(7+cos2q+cos3q+cos4<?=cos36°+cos72°+cosl08°+cosl44°

=cos36°+cos720+cos(180°-72°)+cos(180°-36°)

=cos36°+cos72°-cos72°-cos36°=0;

cosqcos24cos3qcos4a=cos36°cos72°cosl08°cosl44°=(cos36°cos72°『

m4M2sin36°-cos36°cos72°sin72°-cos72°sin144°1

2sin362sin364sin364

所以COSQCOS24cos3&cos4a=—.

16

故答案為：0；^―.

16

14.在長(zhǎng)方體48CO—481GA中，AB=5,AD=3,AA1=4,平面q//平面//夕耳，則4截四面體

ACDXBX所得截面面積的最大值為.

【答案】10

【解析】

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B.TTRTMVNVS

【分析】結(jié)合題意畫出對(duì)應(yīng)圖形后，設(shè)及=a，則有一=——=——=—=a，則有

BGTWTUVUVW

S平行四邊形=S平行四邊形CTW7—"ANVS—"AS領(lǐng),借助人表不出面積,結(jié)合一■次函數(shù)的性質(zhì)即可得.

【詳解】平面a截四面體ZCDMi的截面如圖所示,

B.TTRTMVNVS

設(shè)及=久，則-=—=一=—=九所以四邊形NSRM為平行四邊形,

B￡TWTUVUVW

豆MRI/UW,MN//TV,

在矩形U巾T中，UV=A,VW=5,TM=5A,MU=77?=4兒及/=4(1—/l),

=

則S平行四邊形NSRWS平行四邊形"F7一為aNVS—"AS叼?

=20—20矛+(1—久)2=20—2020-g)+1<20-20x1=10當(dāng)且僅當(dāng)久=4時(shí)，等號(hào)成立.

2

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是得到所得截面后，借助割補(bǔ)法表示出該截面面積，并結(jié)合二次函數(shù)的

性質(zhì)求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，四棱錐P-48CD的底面是正方形，設(shè)平面尸4D與平面心。相交于直線/.

(1)證明：IHAD.

(2)若平面「451平面ABCD,PA=PB=45,AB=2,求直線PC與平面PAD所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

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475

⑵

15

【解析】

【分析】(1)利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理即可證明；

(2)利用面面平行的性質(zhì)確定尸。/平面/BCD,建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法結(jié)合線面角公式即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)樗睦忮FP-48CD的底面是正方形，所以BC//4D,

又BCu平面必C,平面必C,

所以40//平面必C,

因?yàn)?Du平面尸40,平面PBCc平面P4D=/,

所以1//AD；

【小問2詳解】

因?yàn)槭?=尸8,取48的中點(diǎn)。，連接P。，則

因?yàn)槠矫鍼AB1平面ABCD,平面PABn平面ABCD=AB,

則平面48CD,所以以。坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，

因?yàn)镻A=PB=4i,AB=2,45CD是正方形，所以P0=2,

則P(0,0,2),^(1,0,0),C(-l,2,0).r>(l,2,o),

方=(—1,0,2),亞=(0,2,0),PC=(-1,2,-2),

設(shè)平面PAD的法向量為n=(x,y,z),

貝n-AP=-x+2z=0,n-AD=2y=0,

取x=2,y=0,z=l,即萬=(2,0,1),

設(shè)直線PC與平面PAD所成角為9,

-|cosPCH|-E^-tM.4V5

則sin9T'卜“同一3x廠15

第13頁/共20頁

所以直線PC與平面PAD所成角的正弦值為

15

16.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=3,且

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

4s

(2)若〃=--,求數(shù)歹U｛〃｝的前〃項(xiàng)和T?.

anan+\

【答案】⑴an=2n-l

17

⑵T=n+-~7

n2〃+1

【解析】

【分析】(D首先求出q=1,可證明數(shù)列｛忖｝為首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，得到S“=/,利用

4=S“一Si得到m｝的通項(xiàng)公式;

4S“4〃2化簡(jiǎn)可得包=1+￥」—二)，利用分組求和以

(2)由(1)知，b“=

44+1(2〃一1)(2〃+1)212〃-12n+\)

及裂項(xiàng)相消即可求出數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和Tn.

【小問1詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，由#7=+,即Jq+?=2,解得：?i=1,

所以JS1-后=后=1，則數(shù)列｛向｝為首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列;

所以瘋=〃，則5“=/,

2

當(dāng)“二2時(shí)，an=Sn-=n~-｛n-1)=2n-\,

當(dāng)〃=1時(shí)，%=2x1-1=1滿足條件,

所以｛4｝的通項(xiàng)公式為an=2〃—1(〃eN*)

【小問2詳解】

r,4S“4z?

由(1)知，bn==————，

a?an+x(2n-l)(2n+i)

由皿_4/11_If11

所以“=5---=14--------=1-1--------------=11-1—------------

4n2-14n2-1(2〃-1)(2〃+1)2\2n-l2n+l

第14頁/共20頁

」—――q=〃+#i——

故(=n+—\1—

33――丁…丁2n-l2n+l)2(2n+l)2幾+1

n

即北二〃+

2〃+1

17.假設(shè)某同學(xué)每次投籃命中的概率均為］

(1)若該同學(xué)投籃4次，求恰好投中2次的概率.

(2)該同學(xué)參加投籃訓(xùn)練，訓(xùn)練計(jì)劃如下：先投〃(〃eN+，〃w33)個(gè)球，若這〃個(gè)球都投進(jìn)，則訓(xùn)練結(jié)束,

否則額外再投100-3〃個(gè).試問〃為何值時(shí)，該同學(xué)投籃次數(shù)的期望值最大？

【答案】⑴/3

O

(2)n=5.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算即得.

(2)該同學(xué)投籃的次數(shù)為X,求出X的可能值及對(duì)應(yīng)的概率，求出期望的函數(shù)關(guān)系，作差結(jié)合數(shù)列單調(diào)

性推理即得.

【小問1詳解】

113

依題意，該同學(xué)投籃4次，恰好投中2次的概率夕=C：Q)2(1-彳)2=：

228

【小問2詳解】

設(shè)該同學(xué)投籃的次數(shù)為X,貝IJX的可能值為〃,"+100-3"=100-2〃，ne^+,n<33,

于是P(X=〃)=g,P(X=100-2〃)=1-5，

數(shù)學(xué)期望E(X)=〃?g+(100—2n)-(1--)="”。―2〃+100,

372-100377-97

令/(〃)=——一2〃+100,〃￡N+,則/(〃+1)=--271+98,

/(〃+1)-/(?)=103-"2"+2,顯然數(shù)列｛103—3〃-2m｝是遞減的,

當(dāng)〃54時(shí)，103—3〃—2計(jì)2>0,/(?+1)>/(?),當(dāng)“之5時(shí)，103-3?-2"+2<0,/(?+!)</(?),

即有/(I)</(2)</(3)</(4)</(5)>/(6)>/(7)>…，因此/(5)最大,

所以當(dāng)〃=5時(shí)，該同學(xué)投籃次數(shù)的期望值最大.

(也、

18.已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為x軸、V軸，且過M(2,0),NI,"兩點(diǎn).

I2)

(1)求。的方程.

第15頁/共20頁

(2)48是C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。為。的上頂點(diǎn)，是否存在以。為頂點(diǎn)，48為底邊的等腰直角三角形？若

存在，求出滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴—+y2=1

4.

(2)存在，3個(gè)

【解析】

4m=1

【分析】⑴設(shè)橢圓。的方程為加一+町2=i(加>0,”>o,加力〃)，根據(jù)條件得到｛3,即可求

m+—n=1

4

出結(jié)果;

(2)設(shè)直線。2為了=丘+1,直線D8為y=-4》+1,當(dāng)后=1時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性知滿足題意；當(dāng)左2二1

時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出48的坐標(biāo)，進(jìn)而求出48中垂線方程，根據(jù)條件中垂線直經(jīng)過點(diǎn)。(0/),

從而將問題轉(zhuǎn)化成方程左4_7左2+1=0解的個(gè)數(shù)，即可解決問題.

【小問1詳解】

由題設(shè)橢圓C的方程為mx1+ny2=l(m>0,”>0,mwn),

因?yàn)闄E圓過M(2,0),N〔L—方-J兩點(diǎn)，

4m=1.

12

所以3得到7〃=—,〃=1,所以橢圓C的方程為土+/=1.

m+—n=l

4

【小問2詳解】

由(1)知。(0,1),易知直線的斜率均存在且不為0,

不妨設(shè)左.=左(左>0),kDB直線。2為了=丘+1,直線。8為y=-工》+1,

kk

由橢圓的對(duì)稱性知，當(dāng)左=1時(shí)，顯然有，%|=|。冏，滿足題意，

y=kx+\

當(dāng)左2￡1時(shí)，由，消了得到(一+/)/+26=0,

所以.=-

1+4左2'為一］+412

第16頁/共20頁

-2—41—4-2

（左2—4）（1+4左2）_（后2+4）q_4左2）達(dá)一1

同理可得8（為,V）,所以如=晨11拼2

k+4k'+43k+8k（l+4k2+k2+4）―5k

左2+41+4左2