2025高考幫備考教案數(shù)學(xué)第四章　三角函數(shù)第3講　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式與二倍角公式含答案

2025高考幫備考教案數(shù)學(xué)第四章三角函數(shù)第3講兩角和與差的正弦、余弦、正切公式與二倍角公式課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測1.知道兩角差余弦公式的意義.2.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.和、差、倍角公式的直接應(yīng)用2023新高考卷ⅠT8；2021全國卷甲T9；2020全國卷ⅠT9；2020全國卷ⅢT9；2019全國卷ⅡT10本講每年必考，主要考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的正用、逆用、變形用，主要體現(xiàn)在三角函數(shù)式的化簡和求值中.題型以選擇題、填空題為主，有時(shí)在解答題中也有應(yīng)用，難度中等偏易.預(yù)計(jì)2025年高考命題趨勢變化不大，在復(fù)習(xí)備考時(shí)要掌握公式及其變形，并能靈活應(yīng)用，應(yīng)用時(shí)注意角和函數(shù)名的變換.和、差、倍角公式的逆用與變形用2023新高考卷ⅡT7；2022新高考卷ⅡT6；2022北京T13；2021全國卷乙T6；2020全國卷ⅢT5角的變換問題2022浙江T13；2019江蘇T13學(xué)生用書P0771.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式S（α±β）：sin（α±β）＝①sinαcosβ±cosαsinβ.C（α±β）：cos（α±β）＝②cosαcosβ?sinαsinβ.T（α±β）：tan（α±β）＝③tanα±tanβ1?tanαtanβ（α，注意在公式T（α±β）中，α，β，α±β都不等于kπ＋π2（k∈Z），即保證tanαtanβ，tan（α±β）都有意義.2.二倍角公式S2α：sin2α＝④2sinαcosα.C2α：cos2α＝⑤cos2α－sin2α＝⑥2cos2α－1＝⑦1－2sin2α.T2α：tan2α＝⑧2tanα1-tan2α（α≠kπ＋π2且α≠k（1）對于兩角和的正弦、余弦、正切公式，分別令β＝α，可得二倍角的正弦、余弦、正切公式.（2）二倍角是相對的，如α2是α4的2倍，3α是3α2的3.輔助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin（α＋φ）（其中a≠0，sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝a規(guī)律總結(jié)1.兩角和與差的正切公式的變形tanα±tanβ＝tan（α±β）（1?tanαtanβ）；tanα·tanβ＝1－tanα＋tanβtan（α2.降冪公式：sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1+cos2α2；sinαcosα3.升冪公式：cos2α＝2cos2α－1；cos2α＝1－2sin2α.4.其他常用變式sin2α＝2tanα1+tan2α；cos2α＝1－tan2α1+tan2α；tanα2＝sinα1+cosα＝1－cosαsinα；1＋sin2α＝（規(guī)律總結(jié)1.積化和差cosα·cosβ＝12[cos（α＋β）＋cos（α－β）]；sinα·sinβ＝－12[cos（α＋β）－cos（α－sinα·cosβ＝12[sin（α＋β）＋sin（α－β）]；cosα·sinβ＝12[sin（α＋β）－sin（α－β2.和差化積sinα＋sinβ＝2sinα＋β2cosα－β2；sinα－sinβcosα＋cosβ＝2cosα＋β2cosα－β2；cosα－cosβ注意和差化積和積化和差公式不要求記憶，可借助推導(dǎo)過程找規(guī)律，先得到積化和差的公式，再通過換元得到和差化積的公式.1.[2023北京海淀區(qū)月考]若tan（α－5π12）＝12，則tan（α－π6）的值為（A.3 B.13 C.－3 D.－解析因?yàn)閠an（α－5π12）＝tan[（α－π6）－π4]＝tan（α－π6）－11+tan（2.已知sinα＝1517，α∈（π2，π），則cos（π4－α）的值為解析∵sinα＝1517，α∈（π2，π），∴cosα＝－1－sin2∴cos（π4－α）＝cosπ4cosα＋sinπ4sinα＝22×（－817）＋23.[全國卷Ⅱ]若sinx＝－23，則cos2x＝19解析cos2x＝1－2sin2x＝1－2×（－23）2＝14.[易錯(cuò)題]1+tan15°1－ta解析1+tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－t5.若sinx－3cosx＝2sin（x－φ），φ＞0，則φ的最小值為π3解析因?yàn)閟inx－3cosx＝2（12sinx－32cosx）＝2（sinxcosφ－cosxsinφ），所以cosφ＝12，sinφ＝32.因?yàn)棣眨?，所以6.[積化和差]函數(shù)f（x）＝sin（x＋π3）cosx的最小值為－12＋3解析因?yàn)閒（x）＝12[sin（x＋π3＋x）＋sin（x＋π3－x）]＝12sin（2x＋πf（x）的最小值為－12＋37.[和差化積]在△ABC中，sinA＝cosB＋cosC，則△ABC的形狀是直角三角形.解析cosB＋cosC＝2cosB＋C2·cosB－C2因?yàn)閟inA＝cosB＋cosC，所以2sinA2cosA2＝2sinA2因?yàn)閟inA2≠0，所以cosA2＝cosB－C2，易得A2與｜B－C｜2均小于π2，所以所以A＋C＝B或A＋B＝C，即π－B＝B或π－C＝C，即B＝π2或C＝π2，所以△ABC學(xué)生用書P078命題點(diǎn)1和、差、倍角公式的直接應(yīng)用例1（1）[2023新高考卷Ⅰ]已知sin（α－β）＝13，cosαsinβ＝16，則cos（2α＋2β）＝（BA.79 B.19 C.－19 解析依題意，得sinαcosβ－cosαsinβ＝13，cosαsinβ＝1sinαcosβ＋cosαsinβ＝12＋16＝23，所以cos（2α＋2β）＝1－2sin2（α＋β）＝1－2×（23）2（2）[全國卷Ⅲ]已知2tanθ－tan（θ＋π4）＝7，則tanθ＝（DA.－2 B.－1 C.1 D.2解析由已知得2tanθ－tanθ+11－tanθ＝7方法技巧應(yīng)用和、差、倍角公式化簡求值的策略（1）首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)變化規(guī)律，例如兩角和與差的余弦公式可簡記為“同名相乘，符號(hào)反”；（2）注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用；（3）注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用.訓(xùn)練1（1）[全國卷Ⅰ]已知α∈（0，π），且3cos2α－8cosα＝5，則sinα＝（A）A.53 B.23 C.13 解析∵3cos2α－8cosα＝5，∴3（2cos2α－1）－8cosα＝5，∴6cos2α－8cosα－8＝0，∴3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝2（舍去）或cosα＝－23.∵α∈（0，π），∴sinα＝1－cos2α（2）[2024廣西玉林市聯(lián)考]已知cos（α＋β）＝13，cosαcosβ＝12，則cos（2α－2β）＝（BA.－79 B.－19 C.19 解析由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ，即13＝12－sinαsinβ，可得sinα·sinβ＝16，則cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝12＋16＝23，所以cos（2α－2β）＝2cos2（α－β）－1＝2×（23）2命題點(diǎn)2和、差、倍角公式的逆用與變形用例2（1）[2023新高考卷Ⅱ]已知α為銳角，cosα＝1+54，則sinα2＝（A.3－58 B.－1+58 C.解析cosα＝1+54＝1－2sin2α2，得sin2α2＝3－58＝6－2516＝（5－14）2（2）[2021全國卷乙]cos2π12－cos25π12＝（A.12 B.33 C.22 解析解法一原式＝1+cosπ62－1+解法二因?yàn)閏os5π12＝sin（π2－5π12）＝sinπ12，所以cos2π12－cos25π12cos（2×π12）＝cosπ6＝32（3）[2022新高考卷Ⅱ]若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝22cos（α＋π4）sinβ，則（CA.tan（α－β）＝1 B.tan（α＋β）＝1C.tan（α－β）＝－1 D.tan（α＋β）＝－1解析sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝2sin（α＋β＋π4）＝22sinβcos（α＋πsin（α＋π4）cosβ＋sinβcos（α＋π4）＝2sinβcos（α＋π4），整理得sin（α＋π4sinβcos（α＋π4）＝0，即sin（α＋π4－β）＝0，所以α－β＋π4＝kπ，k∈Z，所以tan（α－β）＝tan（kπ－π方法技巧1.運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，要熟悉公式的正用、逆用及變形用，如tanα＋tanβ＝tan（α＋β）·（1－tanαtanβ）和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形用更能拓展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.2.對asinx＋bcosx化簡時(shí)，輔助角φ的值如何求要清楚.訓(xùn)練2（1）在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，則tanAtanB的值為（BA.14 B.13 C.12 解析解法一由題意得tan（A＋B）＝－tanC＝－tan120°＝3，所以tan（A＋B）＝tanA＋tanB1－tanAtan解法二由已知，可取A＝B＝30°，則tanAtanB＝33×33＝1（2）[2022北京高考]若函數(shù)f（x）＝Asinx－3cosx的一個(gè)零點(diǎn)為π3，則A＝1f（π12）＝－2解析依題意得f（π3）＝A×32－3×12＝0，解得A＝1，所以f（x）＝sinx－32sin（x－π3），所以f（π12）＝2sin（π12－π3命題點(diǎn)3角的變換問題例3（1）[2024山東省部分學(xué)校聯(lián)考]已知sin（x＋π12）＝－14，則cos（5π6－2x）＝（A.78 B.18 C.－78 解析因?yàn)閟in（x＋π12）＝－14，所以cos（5π6－2x）＝cos（π－π6－2x）＝－cos（π6＋2x）＝－[1－2sin2（x＋π12）]＝－[1－2×（－14（2）若tan（α＋2β）＝2，tanβ＝－3，則tan（α＋β）＝－1，tanα＝12解析因?yàn)閠an（α＋2β）＝2，tanβ＝－3，所以tan（α＋β）＝tan（α＋2β－β）＝tan（α+2β）－tanβ1+tan（α+2β）tanβ＝2方法技巧角的變換問題的解題思路1.當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和差倍半的形式.2.當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和差倍半的關(guān)系，注意換元思想的應(yīng)用.3.常見的配角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－（π4－訓(xùn)練3（1）[2024江蘇省南通市學(xué)情檢測]已知sin（α＋π6）＝63，則sin（π6－2α）＝（A.－223 B.223 C.－1解析設(shè)α＋π6＝t，則α＝t－π6，sint＝63，∴sin（π6－2α）＝sin[π6－2（t－π6）]＝sin（π2－2t）＝cos2t＝1－2sin2t＝1－2×（（2）[2024遼寧省遼東南協(xié)作體聯(lián)考]已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos（π4－α）＝35，sin（3π4＋β）＝513，則sin解析∵π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，∴－π2＜π4－α＜0，3π4＜3π4＋β－1－cos2（π4－α）＝－45，cos（3π4＋β）＝－1－sin2（3π4＋β）＝－1213，∴sin（α＋β）＝－cos[π2＋（α＋β）]＝－cos[（3π4＋β）－（π4－α）]＝－cos（3π4＋β）cos（π41.[命題點(diǎn)1/2024河北石家莊模擬]已知tan（α＋β），tan（α－β）是方程x2＋4x－3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則sin2αcos2β＝（A.－2 B.－1 C.33 解析因?yàn)閠an（α＋β），tan（α－β）是方程x2＋4x－3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以tan（α＋β）＋tan（α－β）＝－4，tan（α＋β）·tan（α－β）＝－3，所以sin2αcos2β＝sin[(α＋β）＋（α2.[命題點(diǎn)1/2023河北滄州部分學(xué)校聯(lián)考]1796年，年僅19歲的高斯發(fā)現(xiàn)了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，要用尺規(guī)作圖作出正十七邊形就要將圓十七等分，如圖所示.設(shè)將圓十七等分后每等份圓弧所對的圓心角為α，則cos（π－α）cos2αcos4αcos8α的值為116.解析cos（π－α）cos2αcos4αcos8α＝－sin2α2sinα·sin4α2sin2α·sin8α2sin4α·sin16α2sin8α＝－sin16α16sinα，易知α＝2π17，所以cos（π－3.[命題點(diǎn)2]已知sin2α＝23，則cos2（α＋π4）＝（AA.16 B.13 C.12 解析解法一cos2（α＋π4）＝12[1＋cos（2α＋π2）]＝12（1－sin2α解法二cos（α＋π4）＝22cosα－22sinα，所以cos2（α＋π4）＝12（cosα－12（1－2sinαcosα）＝12（1－sin2α）＝4.[命題點(diǎn)3]已知角α，β∈（0，π），cosα＝－33，sin（α＋β）＝14，則tanβ＝16解析因?yàn)棣粒隆剩?，π），cosα＝－33，sin（α＋β）＝14，所以α∈（π2，π），α＋β∈（π2，π），可得sinα＝63，cos（α＋β）＝－154，所以tanα＝－2，tan－1515.tanβ＝tan[（α＋β）－α]＝tan（α＋β）－tan5.[命題點(diǎn)3/2023烏魯木齊質(zhì)監(jiān)]已知3sinα＋cosα＝23，則cos（2π3－2α）＝（A.－1718 B.－89 C.89 解析3sinα＋cosα＝2sin（α＋π6）＝23，設(shè)θ1＝α＋π6，則sinθ1＝26，設(shè)θ2α，則θ2＝π－2θ1，所以cosθ2＝cos（π－2θ1）＝－cos2θ1＝2sin2θ1－1＝－89，故選學(xué)生用書·練習(xí)幫P2931.已知cosx＝－14，x為第二象限角，則sin2x＝（CA.－154 B.154 C.－158 解析因?yàn)閏osx＝－14，x為第二象限角，所以sinx＝154，所以sin2x＝2sinxcosx＝2×154×（－14）2.[2024重慶渝北中學(xué)模擬]sin47°sin103°＋sin43°·cos77°＝（B）A.－32 B.32 C.－12解析sin47°sin103°＋sin43°cos77°＝cos43°sin77°＋sin43°·cos77°＝sin（77°＋43°）＝sin120°＝323.[2024河北石家莊模擬]若tanθ＝5，則cos2θ＝（B）A.－35 B.－23 C.35 解析cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos4.已知sin2α＝23，則cos2（α＋π4）＝（AA.16 B.13 C.12 解析解法一cos2（α＋π4）＝12[1＋cos（2α＋π2）]＝12（1－sin2α解法二cos（α＋π4）＝22cosα－22sinα，所以cos2（α＋π4）＝12（cosα－12（1－2sinαcosα）＝12（1－sin2α）＝5.[2024廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)模擬]已知sin（α＋π6）－cosα＝45，則sin（2α＋π6）＝（A.－725 B.725 C.－2425 解析由已知sin（α＋π6）－cosα＝sinαcosπ6＋cosα·sinπ6－cosα＝32sinα－12cosα＝sin（α－π6）＝45，則sin（2α＋π6）＝cos（2α－π3）＝1－2sin2（α－π6）＝1－6.[2024安徽六校聯(lián)考]已知cos（α＋β）＝13，tanα·tanβ＝13，則cos（α－β）＝（DA.－16 B.16 C.－23 解析因?yàn)閠anαtanβ＝13＝sinαsinβcosαcosβ，所以cosαcosβ＝3sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβ，所以sinαsinβ＝16，cosαcosβ＝12，所以cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝237.已知α，β為銳角，且tanα＝17，cos（α＋β）＝255，則cos2β＝（A.35 B.23 C.45 解析由已知α為銳角，且tanα＝17，得到sinα＝210，cosα＝7210.由cos（α＋β）＝255且α，β為銳角，得到sin（α＋β）＝55，所以cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝255×7210＋55×210＝31010，所以cos2β＝8.[2023高三名校聯(lián)考]已知π4≤α≤π，π≤β≤3π2，sin2α＝45，cos（α＋β）＝－210，則β－αA.π4或3π4 B.π4 C.3解析解法一因?yàn)棣?≤α≤π，所以π2≤2α≤2π，又sin2α＝45＞0，所以π2≤2α≤π，可得π4≤α≤π2，所以cos2因?yàn)棣小堞隆?π2，所以π2≤β－α≤5π4，5π4≤α＋β≤2π，所以sin（α＋所以sin（β－α）＝sin[（α＋β）－2α]＝sin（α＋β）cos2α－cos（α＋β）sin2α＝－7210×（－35）－（－210）×45＝22，所以β解法二由題意，易得2α∈（π2，π），α＋β∈（5π4，2π），β－α∈（0，5π4），（提示：由sin2α＝45，π4≤α≤π得β－α＝（α＋β）－2α∈（π4，3π2），所以β－α∈（π49.[2023東北三省三校聯(lián)考]若sin（2α＋π6）＋cos2α＝3，則tanα＝（CA.33 B.1 C.2－3 D.2＋解析由sin（2α＋π6）＋cos2α＝3，可得sin2αcosπ6＋cos2αsinπ6＋cos2α＝3，所以3（12sin2α＋32cos2α）＝3，即sin（2α＋π3）＝1，解得2α＋π3＝π2＋2kπ，k∈Z，即α＝π12＋kπ，k∈Z，則tanα＝tan（π12＋kπ）＝tanπ12＝tan（π3－π10.[2024山東泰安模擬]銳角α，β滿足tanα＝cosβ1－sinβ，則（A.2α＋β＝π2 B.2α－β＝C.2α＋β＝3π4 D.2α－β解析tanα＝cosβ1－sinβ＝cos2β2－sin2β2cos2β2＋sin2β2－2sinβ2·cosβ2＝（cosβ2－sinβ2)(cosβ2＋sinβ2）（cosβ2－sinβ211.[2024陜西咸陽模擬]已知a＝2sin13，b＝3sin14，c＝4sin16，則（A.a＜c，a＋c＞2b B.a＜c，a＋c＜2bC.a＞c，a＋c＞2b D.a＞c，a＋c＜2b解析∵0＜16＜π2，∴0＜cos16＜1，∴2sin13＝2sin（2×16）＝4sin16cos16＜4sin∵0＜112＜16＜13＜π2，∴0＜cos112＜1，sin16＜sin13，即sin16－sin13＜0，∴a＋c＝2sin13＋4sin16＝3sin13＋3sin16＋（sin16－sin13）＜3sin13＋3sin16＝3sin（14＋112）＋3sin（14－112）＝12.點(diǎn)P0（45，35）為銳角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，OP0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3得OP1，則點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為解析根據(jù)三角函數(shù)的定義可得sinα＝35，cosα＝45.由于OP0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3得OP1，所以點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為cos（α＋π3）＝cosαcosπ3－sinαsinπ3＝45×113.如圖1，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)M為線段CD的中點(diǎn)，現(xiàn)把正方形紙按照圖2進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)M重合，折痕與AD交于點(diǎn)E，與BC交于點(diǎn)F.記∠MEF＝θ，則sin（θ＋π4）＝310圖1 圖2解析設(shè)DE＝x，則DM＝1，EM＝EA＝2－x，在Rt△DEM中，∠D＝90°，∴DE2＋DM2＝EM2，即x2＋12＝（2－x）2，x＝34，∴EM＝54，∴在Rt△DEM中，sin∠DEM＝DMEM＝45，則sin2θ＝sin（π－∠DEM）＝sin∠DEM＝45，sinθ＋cosθ＝（sinθ＋cosθ）2＝1+2sinθcosθ＝1+sin2θ＝355，∴sin（θ＋π4cosθ）＝22×35514.[條件創(chuàng)新]設(shè)函數(shù)y＝cos2x（x≥0）和函數(shù)y＝cos10x（x≥0）的圖象公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為x1，x2，x3，…，xn，若tan（x3－α）＝cosx4，則tan2α的值為（B）A.13 B.34 C.43解析令cos2x＝cos10x（x≥0），則有10x＝2x＋2kπ或10x＋2x＝2nπ，k，n∈N，解得x＝kπ4或x＝nπ6，k，n∈N，又函數(shù)y＝cos2x（x≥0）和函數(shù)y＝cos10x（x≥0）的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為x1，x2，x3，…，xn，所以x＝0，π6，π4，π3，π2，2π3，…，故x3＝π4，x4＝π3，所以tan（x3－α）＝cosx4，即tan（π4－α）＝cosπ3＝12，即115.[角度創(chuàng)新]已知函數(shù)f（x）＝2cos（x＋π4）cos（x－π4）＋sinx，若對任意的實(shí)數(shù)x，恒有f（α1）≤f（x）≤f（α2），則cos（α1－α2）＝－1解析因?yàn)閒（x）＝2（22cosx－22sinx）（22cosx＋22sinx）＋sinx＝2（12cos2x－12sin2x）＋sinx＝1－2sin2x＋sinx＝－2（sinx－14）2＋98，且f（x）對任意實(shí)數(shù)f（x）≤f（α2），所以sinα1＝－1，sinα2＝14.則cosα1＝0，cos（α1－α2）cosα1cosα2＋sinα1sinα2＝－sinα2＝－14.課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測能運(yùn)用和、差、倍角公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶）.三角函數(shù)式的化簡2021新高考卷ⅠT6；2021全國卷甲T9本講每年必考，主要考查利用三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及和、差、倍角公式進(jìn)行化簡求值.題型以選擇題、填空題為主，有時(shí)在解答題中也有應(yīng)用，難度中等偏易.預(yù)計(jì)2025年高考命題趨勢變化不大，在復(fù)習(xí)備考時(shí)要掌握公式及其變形，并能靈活應(yīng)用，應(yīng)用時(shí)注意角和函數(shù)名的變換.三角函數(shù)式的求值2022浙江T13；2021新高考卷ⅠT6；2021全國卷乙T6；2020全國卷ⅠT9；2020全國卷ⅢT9；2019全國卷ⅡT10學(xué)生用書P079命題點(diǎn)1三角函數(shù)式的化簡例1（1）[2021全國卷甲]若α∈（0，π2），tan2α＝cosα2－sinα，則tanαA.1515 B.55 C.53 解析因?yàn)閠an2α＝sin2αcos2α＝2sinαcosα1－2sin2α，且tan2α＝cosα2－sinα，所以2sinαcosα1－2sin2α＝cosα2－sinα，由（2）化簡：2cos2α－解析原式＝cos2α2tan（π4－α）co方法技巧化簡三角函數(shù)式的方法與技巧1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)特征.2.化簡時(shí)要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系（和、差、倍、互余、互補(bǔ)等），尋找式子與三角函數(shù)公式間的聯(lián)系，找到變形方向.訓(xùn)練1[2021新高考卷Ⅰ]若tanθ＝－2，則sinθ（1+sin2θ）sinA.－65 B.－25 C.25 解析解法一因?yàn)閠anθ＝－2，所以sinθ（1+sin2θ）sinθ＋cosθ＝cosθ）＝sin2θ＋sinθcosθsin解法二因?yàn)閠anθ＝－2，所以角θ的終邊在第二或第四象限，所以sinθ＝25，cosθ＝－15或sinθ＝－cosθ）＝sin2θ＋sinθcosθ＝45－25＝25命題點(diǎn)2三角函數(shù)式的求值角度1給角求值例2（1）sin50°（1＋3tan10°）＝1.解析sin50°（1＋3tan10°）＝sin50°（1＋tan60°tan10°）＝sin50°×cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°×cos（60°－10°）cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°（2）sin10°·sin30°·sin50°·sin70°＝116解析原式＝12cos20°·cos40°·cos80°＝sin20°·cos20°·cos40°·方法技巧給角求值問題的解題策略一般給出的角都是非特殊角，求解時(shí)要觀察所給角與特殊角的關(guān)系及三角函數(shù)名稱，然后進(jìn)行角的變換和式子結(jié)構(gòu)的變換，通過公式的正用、逆用及變形化簡求值.注意當(dāng)式子中出現(xiàn)12，1，32，3角度2給值求值例3（1）[2022浙江高考]若3sinα－sinβ＝10，α＋β＝π2，則sinα＝31010，cos2β＝解析因?yàn)棣粒拢溅?，所以β＝π2－α，所以3sinα－sinβ＝3sinα－sin（π2－α）＝3sinα－cosα＝10sin（α－φ）＝10，其中sinφ＝1010，cosφ＝31010，所以α－φ＝π2＋2kπ，k∈Z，所以α＝π2＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sinα＝sin（π2＋φ＋2kπ）＝cosφ＝31010，k∈Z.因?yàn)閟inβ＝3sinα－10＝－1010，所以cos2β＝（2）[江蘇高考]已知tanαtan（α＋π4）＝－23解析解法一tanαtan（α＋π4）＝tanαt當(dāng)tanα＝2時(shí)，sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α+1＝45，cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2αtan2α＋1＝－35，此時(shí)sin2α＋cos2α＝15.同理當(dāng)tanα解法二tanαtan（α＋π4）＝sinαcos（α＋π4）cosαsin（α＋π4）＝－23，則sinαcos（α＋π4）＝－23cosαsin（α＋π4），又22＝sin[（α＋π4）－α]＝sin（α＋π4）cosα－cos（α＋π4）·sinα＝53sin（α＋π4）cosα，則sin（α＋π4）cosα＝3210，則sin（2α＋π4）＝sin[（方法技巧給值求值問題的解題策略1.將待求式子化簡整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)已知條件和角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.2.把已知角與未知角建立聯(lián)系求解.求解時(shí)要注意，角的范圍不確定時(shí)應(yīng)分類討論.角度3給值求角例4（1）若sin2α＝55，sin（β－α）＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，則α＋βA.7π4 C.5π4或7π4 解析因?yàn)棣痢蔥π4，π]，所以2α∈[π2，2π].又sin2α＝55，所以2α∈（π2，π），α∈（π4，π2），所以cos2α＝－1－sin22α＝－255.因?yàn)棣隆蔥π，3π2]，所以α＋β∈（54π，2π），β－α∈（π2，5π4），所以cos（β－α）＝－1－sin2（β－α）＝－31010，所以cos（α＋β）＝cos[2α＋（β－α）]＝cos2αcos（β－α）－sin2α·sin（β－α）＝－2（2）已知α，β為銳角，且（1－3tanα）（1－3tanβ）＝4，則α＋β＝2π3解析將（1－3tanα）（1－3tanβ）＝4展開，得－3（tanα＋tanβ）＝3（1－tanα·tanβ），即tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tan（α＋β）＝－3，由于α，β為銳角，所以0＜α＋β＜方法技巧給值求角問題的解題策略1.給值求角問題可轉(zhuǎn)化為給值求值問題，通過求角的某個(gè)三角函數(shù)值來求角（注意角的范圍），在選取函數(shù)時(shí)，遵循以下原則.（1）已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù).（2）已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是（0，π2），選正、余弦函數(shù)皆可；若角的范圍是（0，π），選余弦函數(shù)較好；若角的范圍為（－π2，π注意所選函數(shù)盡量在確定的角的范圍內(nèi)單調(diào)，即一個(gè)函數(shù)值只對應(yīng)一個(gè)角，避免產(chǎn)生多解.2.準(zhǔn)確縮小角的范圍也是求解的關(guān)鍵.常見的縮小角范圍的方法：一是靈活運(yùn)用條件中角的取值范圍，運(yùn)用不等式的性質(zhì)（如“同向可加性”）求解；二是可以根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)縮小角的范圍；三是可以把已知三角函數(shù)值與特殊角的三角函數(shù)值比較，縮到更小的范圍.訓(xùn)練2（1）[2024湖南省長沙市第一中學(xué)模擬]已知0＜β＜α＜π2，且cos（α－β）＝1213，cos2β＝35，則cos（α＋β）＝（A.1665 B.3365 C.5665 解析由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2，又cos（α－β）＝1213，所以sin（α－β）＝1－（1213）2＝513，因?yàn)?＜2β＜π，cos2β＝cos（α＋β）＝cos[（α－β）＋2β]＝cos（α－β）cos2β－sin（α－β）sin2β＝1213×35－513×45＝（2）[2024河南省南陽市第一中學(xué)質(zhì)量評(píng)估]已知tanα＝17，sinβ＝1010，α，β∈（0，π2），則α＋2β＝解析因?yàn)閠anα＝17，α是銳角，所以0＜α＜π4，因?yàn)閟inβ＝1010，β為銳角，所以0＜β＜π4，0＜α＋2β＜3π4，因?yàn)閟inβ＝1010，所以cosβ＝31010，tanβ＝13，則tan2β＝2tanβ1－tan2β＝2×131－（13）（3）（1＋tan20°）（1＋tan25°）＝2.解析由題意知，（1＋tan20°）（1＋tan25°）＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°.因?yàn)閠an20°＋tan25°＝tan45°（1－tan20°tan25°）＝1－tan20°tan25°，所以（1＋tan20°）（1＋tan25°）＝1＋1－tan20°tan25°＋tan20°tan25°＝2.1.[命題點(diǎn)1]化簡：2－2－2+2+2cosα（3π＜α＜4π解析∵3π＜α＜4π，∴3π2＜α2＜2π，3π4＜α4＜π，3π8＜α8∴原式＝2－2－2+2cosα2＝22.[命題點(diǎn)1/2023河南省安陽部分重點(diǎn)高中模擬]若cosα2＝12sinα2，則1+sinα＋cosA.1 B.12 C.22 解析由已知得tanα2＝2，故sinα＝2sinα2cosα2cos2α2＋si－35，所以1+sinα＋cosα1－23.[命題點(diǎn)2角度2/2023湖南省株洲市素質(zhì)檢測]已知cos（π4＋x）＝35，17π12＜x＜7π4，則sin2解析sin2x+2sin2x1－tanx＝sin2x×1+sinxcosx1－tanx＝因?yàn)閏os（π4＋x）＝35，17π12＜x＜7π4，所以5π3＜π4＋x＜－1－cos2所以tan（π4＋x）＝sin（π4又sin2x＝sin[2（π4＋x）－π2]＝－cos2（π4＋－[1－2sin2（π4＋x）]＝725，所以sin2x+2sin2x1－tanx＝sin2x×tan（π4＋x4.[命題點(diǎn)2角度3/2023廣州市調(diào)研]若α，β∈（π2，π），且（1－cos2α）（1＋sinβ）＝sin2αcosβ，則下列結(jié)論正確的是（AA.2α＋β＝5π2 B.2α－βC.α＋β＝7π4 D.α－β解析由題意可得[1－（1－2sin2α）]（1＋sinβ）＝2sinαcosα·cosβ，因?yàn)閟inα≠0，所以sinα＋sinαsinβ＝cosαcosβ，即sinα＝cos（α＋β）.因?yàn)棣?，β∈（?，π），所以α＋β∈（π，2π），52π－α∈（3π2，2π），易得sinα＞0，所以cos（α＋β）＞0，所以α＋β∈（3π2，2π），sinα＝cos（α＋β）可變形為cos（52π－α）＝cos（α＋β）.因?yàn)閥＝cosx在區(qū)間（3π2，2π）上單調(diào)遞增，所以52π－α＝α＋學(xué)生用書·練習(xí)幫P2941.[2023黑龍江鶴崗一中模擬]已知tan（π－α）＝－2，則11+cos2α＝（A.23 B.34 C.45 解析因?yàn)閠an（π－α）＝－2，所以tanα＝2，則11+cos2α＝sin2α＋co2.若θ為銳角，cos（θ＋π4）＝－210，則tanθ＋1tanθ＝（A.1225 B.2512 C.247 解析因?yàn)閏os（θ＋π4）＝cosθcosπ4－sinθsinπ4＝22（cosθ－sinθ）＝－2sinθ＝－15解法一因?yàn)閟in2θ＋cos2θ＝1且有0＜θ＜π2，所以sinθ＝45，cosθ＝35，所以tanθ＝sinθcosθ＝43，所以tanθ＋1tan解法二將cosθ－sinθ＝－15兩邊平方，整理得1－2sinθcosθ＝125，所以sinθcosθ＝1225，所以tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cos3.[2024四川成都新都一中模擬]sin50°1－cos80°3cos10°的值為（A.63 B.64 C.66 解析sin50°1－cos80°3cos10°＝2sin50°·sin40°3cos10°＝4.[數(shù)學(xué)文化]魏晉南北朝時(shí)期，祖沖之利用割圓術(shù)以正24576邊形，求出圓周率π約等于355113，和真正的值相比，其誤差小于八億分之一，這個(gè)記錄在一千年后才被打破.若已知π的近似值還可以表示成4sin52°，則1－2cosA.－18 B.－8 C.8 D.解析將π≈4sin52°代入1－2cos27°π16－π－cos14°8sin（90°+14°）＝－cos14°8cos14°5.[浙江高考]若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos（π4＋α）＝13，cos（π4－β2）＝33，則cos（αA.33 B.－33 C.539 解析不難發(fā)現(xiàn)α＋β2＝（π4＋α）－（π4－β2）.注意到0＜α＜π2，則π4＜α＋π4＜3π4，所以sin（又－π2＜β＜0，所以0＜－β2＜π4，所以π4＜π4－β2＜π2，所以sin（π4－β2）＝1－（33）2＝63，從而cos（α＋β2）＝cos[（π4＋α）－（π4－β2）]＝cos（π4＋α）cos（π4－β2）＋sin6.[2024浙江聯(lián)考]已知2sinα－sinβ＝3，2cosα－cosβ＝1，則cos（2α－2β）＝（D）A.－18 B.154 C.14 解析由題可得，（2sinα－sinβ）2＝3，（2cosα－cosβ）2＝1，即4sin2α－4sinαsinβ＋sin2β＝3，4cos2α－4cosαcosβ＋cos2β＝1，兩式相加可得4－4sinαsinβ－4cosαcosβ＋1＝4，即cosαcosβ＋sinαsinβ＝14，故cos（α－β）＝14，cos（2α－2β）＝2cos2（α－β）－1＝2×116－1＝－77.[2024廣東陽江模擬]已知α∈（0，π），若3（sinα＋sin2α）＋cosα－cos2α＝0，則sin（α－π12）＝（CA.22 B.32 C.6＋2解析∵3（sinα＋sin2α）＋cosα－cos2α＝0，∴3sinα＋cosα＝cos2α－3sin2α，∴sin（α＋π6）＝sin（π6－2α），∴α＋π6＝π6－2α＋2kπ或α＋π6＋π6－2α＝2kπ＋π，k∈Z，即α＝2kπ3或α＝－（6k+2）π3，k∈Z，又α∈（0，π），∴α＝2π3，∴sin（α－π12）＝sin（2π3－π12）＝sin7π12＝sin8.已知cos4α－sin4α＝23，且α∈（0，π2），則sin2α＝53，cos（2α＋π3）＝解析∵cos4α－sin4α＝（sin2α＋cos2α）（cos2α－sin2α）＝cos2α＝23，又α∈（0，π2），∴2α∈（0，π），∴sin2α＝1－cos22α＝53，cos（2α＋π3）＝12cos2α－32sin29.[2023湖南張家界模擬]已知銳角α滿足1＋3tan80°＝1sinα，則α解析1＋3tan80°＝sin80°＋3cos80°sin80°＝2sin（80°+60°）sin80°＝2sin140°2sin40°cos40°＝2sin40°2sin40°cos40°＝110.化簡并求值.（1）3－4sin20°+8si（2）（1cos280°解析（1）原式＝3－4sin20°（1－2sin220°）2sin20°sin480°＝3－4sin20°cos40°2sin20°sin480°＝（2）原式＝（cos10°－3cos80°)(cos10°＋3cos80°）cos280°11.設(shè)θ∈R，則“0＜θ＜π3”是“3sinθ＋cos2θ＞1”的（AA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析3sinθ＋cos2θ＞1?3sinθ＞1－cos2θ＝2sin2θ?（2sinθ－3）sinθ＜0?0＜sinθ＜32.當(dāng)0＜θ＜π3時(shí)，0＜sinθ＜32；當(dāng)0＜sinθ＜32時(shí)，2kπ＜θ＜π3＋2kπ，k∈Z或2π3＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z.所以0＜θ＜π3是3sinθ＋12.已知tanα＝13，tanβ＝－17，且α，β∈（0，π），則2α－β＝（CA.π4 B.π4C.－3π4 D.π4或解析∵tanα＝13＞0，且α∈（0，π），∴α∈（0，π2），2α∈（0，π），∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－（13）2＝34＞0，∴2α∈（0，π2）.∵tanβ＝－1