2025高考幫備考教案數(shù)學(xué)第五章數(shù)列突破2　數(shù)列中的構(gòu)造問題含答案

2025高考幫備考教案數(shù)學(xué)第五章數(shù)列突破2數(shù)列中的構(gòu)造問題命題點1形如an＋1＝pan＋f（n）（p≠1）例1（1）在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an－2n－1，則an＝2n－1.解析因為an＋1＝3an－2n－1，所以an+12n+1＝3即an+12n+1－12＝32（an2n－12）.因為a121－12＝0（2）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝3an－4n，則an＝2n＋1.解析由已知可得an＋1－（2n＋3）＝3[an－（2n＋1）]，an－（2n＋1）＝3[an－1－（2n－1）]，…，a2－5＝3（a1－3）.因為a1＝3，所以an＝2n＋1.命題拓展[變條件]若例1（2）中的a1＝4，則an＝3n－1＋2n＋1.解析設(shè)an＋1＋x（n＋1）＋y＝3（an＋xn＋y），則展開利用對應(yīng)項系數(shù)相等可得出x＝－2，y＝－1，所以{an－2n－1}是以a1－2－1＝1為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an－2n－1＝3n－1，所以an＝3n－1＋2n＋1.方法技巧形如an＋1＝pan＋f（n）（p≠1）的遞推式，一般采用構(gòu)造法求通項：（1）若f（n）為非零常數(shù)，則一般湊配成an＋1＋x＝p（an＋x）的形式（利用待定系數(shù)法求x），構(gòu)造等比數(shù)列；（2）若f（n）為關(guān)于n的一次函數(shù)，則一般湊配成an＋1＋x（n＋1）＋y＝p（an＋xn＋y）的形式（利用待定系數(shù)法求x，y），構(gòu)造等比數(shù)列；（3）若f（n）為指數(shù)冪（如qn）的形式，則一般兩邊同時除以pn＋1或qn＋1，再利用累加法或構(gòu)造法求通項.訓(xùn)練1在數(shù)列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，則an＝3n＋2.解析由an＋1＝3an－4，可得an＋1－2＝3（an－2），又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an－2＝3n，所以an＝3n＋2.命題點2形如an＋1＝p例2[多選/2023江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)5月考前模擬]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an2+3an，則下列結(jié)論正確的有（A.{1an＋B.{an}的通項公式為an＝1C.{an}為遞增數(shù)列D.{1an}的前n項和Tn＝2n＋2－3n解析因為a1＝1，an＋1＝an2+3an，所以1an+1＝2+3anan＝2an＋又1a1＋3＝4，所以數(shù)列{1an＋3}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以1an＋3＝42n＋1，即an＝12n+1－3，故A，B正確.因為an＋1－an＝12n+2－3－12n+1－3＝（2n+1－3）－（2n+2－3）（2n+2－3)(2n+1－3）＝－2n+1（2n+2－3)(2n+1－3），n≥1，所以2n＋2－3＞0，2n＋1－3＞0，－2n＋1＜0，所以an＋1－an＜0，所以{an}為遞減數(shù)列，故C方法技巧形如an＋1＝panqan＋r的遞推式，一般采用取倒數(shù)法求通項，先變形為1a訓(xùn)練2（1）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝anan+2，則a10＝（A.11021 B.11022 解析由an＋1＝anan+2，兩邊同時取倒數(shù)得1an+1＝an+2an＝2an＋1，則1an+1＋1＝2（1an＋1），所以數(shù)列{1an＋1}是以2為公比的等比數(shù)列，則1an＋1＝（1a1＋（2）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2anan+2，則an解析依題意知an≠0，由an＋1＝2anan+2可得1an+1＝an+22an＝12＋1an，即1an+1－1an＝12，又a1＝1，可知數(shù)列{1an}是以命題點3形如an＋1＝pan＋qan－1（n≥2）例3已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝5an－6an－1（n≥2），且a1＝1，a2＝4，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝2×3n－1－2n－1.解析解法一當(dāng)n≥2時，令an＋1－xan＝y(tǒng)（an－xan－1），即an＋1＝（x＋y）an－xyan－1.于是得x＋y=5，－xy＝－6，解得x=2，y=3或x=3，y=2.當(dāng)x＝2，y＝3時，an＋1－2an＝3（an－2an－1）（n≥2）.由于a2－2a1＝2≠0，所以數(shù)列{an＋1－2an}是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，即an＋1－2an＝2×3n－1①.當(dāng)x＝3，y＝2時，an＋1－3an＝2（an－3an－1）（n≥2）.由于a2－3a1＝1≠0，所以數(shù)列{an＋1－3an}是以2n－1②.由①－②得an＝2×3n－1－2n－1.解法二當(dāng)n≥2時，由an＋1＝5an－6an－1得an＋1－2an＝3an－6an－1，即an＋1－2an＝3（an－2an－1），因為a2－2a1＝2≠0，所以數(shù)列{an＋1－2an}是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an＋1－2an＝2×3n－1，兩邊同除以2n＋1，得an+12n+1－an2n＝1所以an2n＝（an2n－an－12n－1）＋（an－12n－1－an－22n－2）＋…＋（a222－a121）＋a121＝12×（32）n－2＋12×（32）n－3＋…＋方法技巧形如an＋1＝pan＋qan－1（n≥2）的遞推式，一般采用構(gòu)造法求通項，將原式變形為an＋1＋λan＝μ（an＋λan－1）（n≥2），由待定系數(shù)法求出λ，μ，再依據(jù)相鄰兩項的遞推關(guān)系求通項.訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且對任意n∈N*，都有an＋2＝3an＋1－2an.則{an}的通項公式為an＝2n－1.解析由an＋2＝3an＋1－2an，得an＋2－an＋1＝2（an＋1－an），又a2－a1＝1，易知an＋1－an≠0，所以an+2－an+1an+1－an＝2，所以數(shù)列{anan＋1－an＝2n－1，所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝2n－2＋2n－3＋…＋21＋20＋1＝20＋21＋…＋2n－3＋2n－2＋1＝20×2n－1－12－1＋1＝2n－1，所以{an}的通項公式為思維幫·提升思維快速解題用“不動點法”求數(shù)列的通項公式例4已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝an－1+22an－1+1（n≥2），則數(shù)列{解析令x＝x+22x+1，解得x＝1或x令an+1－1an由a1＝2，an＝an－1+22a令①式中的n＝1，可得c＝－13∴數(shù)列{an－1an+1}是以a∴an－1an+1＝13·（∴an＝3n方法技巧利用不動點法求數(shù)列通項的步驟對于一個函數(shù)f（x），我們把滿足f（m）＝m的值m稱為函數(shù)f（x）的“不動點”.利用“不動點法”可以構(gòu)造新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式.設(shè)f（x）＝ax＋bcx＋d（c≠0，ad－bc≠0），數(shù)列{an}滿足an＋1＝f（an），a1≠f（1）若f（x）有兩個相異的不動點p，q，則an+1－pan+1－q＝步驟如下：i.令x＝ax＋bcx＋dii.構(gòu)造新數(shù)列{an+1－pan+1－q}，并將已知遞推關(guān)系an＋1＝f（aniii.解方程得出an.（2）若f（x）有兩個相同的不動點p，則1an+1－p＝1an－訓(xùn)練4已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝7an－2an+4，則該數(shù)列的通項公式為解析由方程x＝7x－2x+4，得數(shù)列{an}的不動點為1和2，則an+1－1an+1－2＝7an－2an+4－17an－2an+4－2＝7學(xué)生用書·練習(xí)幫P3141.數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝anan+1n（n+1）（n∈N*A.0 B.12 C.1 解析由an－an＋1＝anan+1n（n+1）（n∈N*），易知an≠0，兩邊同時除以anan＋1，得1a所以當(dāng)n≥2時，1an＝（1an－1an－1）＋（1an－1－1an－2）＋…＋（1a2－1a1）＋1a1＝（1n－1－1n）＋（1n－2－1n－1）＋…＋（12－13）＋（1－12.[多選/2023云南玉溪一中7月模擬]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an1+3an（n∈N*），則（A.{1an}為等比數(shù)列 B.anC.{an}為遞減數(shù)列 D.{1an}的前n項和Tn解析因為1an+1＝1+3anan＝1an＋3因為1an＝1＋3（n－1）＝3n－2，所以an＝13n因為函數(shù)y＝3x－2在[1，＋∞）上單調(diào)遞增，且3x－2＞0，所以函數(shù)y＝13x－2在[1，＋∞）上單調(diào)遞減，所以數(shù)列{an{1an}的前n項和Tn＝n（3n－1）23.[2024河南焦作統(tǒng)考]已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an＋2，a3＋a2＝22，則滿足an＞160的最小正整數(shù)n＝5.解析由a3=3a2+2，a3＋a2=22，解得a2=5，a3=17，又a2＝3a1＋2，所以a1＝1.又由an＋1＝3an＋2，可得an＋1＋1＝3（an＋1），所以{an＋1}是首項為a1＋1＝2，公比為3的等比數(shù)列，所以an＝2×3n－1－1，易知{an}是遞增數(shù)列，又a4＝2×27－1＝53，4.[2023合肥六中三模]已知在數(shù)列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2（n≥3），則數(shù)列{an}的通項公式為an＝74×3n－1＋134×（－1）n－1解析∵an＝2an－1＋3an－2（n≥3），∴an＋an－1＝3（an－1＋an－2）（n≥3），又a1＋a2＝7，∴{an＋1＋an}是首項為7，公比為3的等比數(shù)列，則an＋1＋an＝7×3n－1①，又an－3an－1＝－（an－1－3an－2）（n≥3），a2－3a1＝－13，∴{an＋1－3an}是首項為－13，公比為－1的等比數(shù)列，則an＋1－3an＝（－13）×（－1）n－1②，由①－②得，4an＝7×3n－1＋13×（－1）n－1，∴an＝74×3n－1＋134×（－1）n－5.[2023廈門雙十中學(xué)三模改編]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+12＝10an（an＞0），則{an}的通項公式為an＝10×（解析已知an+12＝10an，等式兩邊取以10為底的對數(shù)可得2lgan＋1＝lgan＋1，即lgan＋1－1＝12（lgan－1），所以數(shù)列{lgan－1}是以lga1－1＝－1為首項，12為公比的等比數(shù)列，所以lgan－1＝（－1）×（12）n－1＝－（12）n－1，即lgan＝1－（12）n－1，即6.[2023山東威海三模]已知數(shù)列{an}中，a1＝56，an＋1＝13an＋（12）n＋1，則{an}的通項公式為an＝32解析解法一（待定系數(shù)法）令an＋1＋λ（12）n＋1＝13[an＋λ（12即an＋1＝13an－λ3（12）n＋1，由對應(yīng)項系數(shù)相等得λ設(shè)bn＝an－3×（12）n，則b1＝a1－3×（12）1＝－23，bn＋1＝1則數(shù)列{bn}是以－23為首項，13為公比的等比數(shù)列，則bn＝－23×（13）所以an＝32n－解法二（變形轉(zhuǎn)化＋待定系數(shù)法）將an＋1＝13an＋（12）n＋1兩邊同時乘以2n＋1，得2n＋1an＋1＝23×（2nan）＋1.令cn＝2nan，則cn＋1＝23cn＋1，可得cn＋1－3＝23（cn－3），所以數(shù)列{cn－3}是首項為c1－3＝2×56－3＝－43，公比為23的等比數(shù)列，所以cn－3＝－43×（23）n－1，即cn＝3－2×（23）解法三（累加法）將an＋1＝13an＋（12）n＋1兩邊同時除以（13）n＋1，得3n＋1an＋1＝3n（32）n＋1.令tn＝3nan，則tn＋1＝tn＋（32）n＋1，所以當(dāng)n≥2時，tn－tn－1＝（32）n，…，t3－t2＝（32）3，t2－t1＝（32）2.將以上各式相加，得tn－t1＝（32）2＋（32）3＋…＋（32）n（n≥2）.又t1＝3a1＝3×56＝52＝1＋32，所以tn＝1＋32＋（32）2＋…＋（32）n＝2×（32）n＋1－2（n≥2），當(dāng)n＝1時也符合上式，故tn＝2×（327.[2024名師原創(chuàng)]設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1（n∈N*），且a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列.（1）求a1的值；（2）求數(shù)列{an}的通項公式.解析（1）2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，令n＝2得2S2＝a3－23＋1，即2a1＋2a2＝a3－7①.因為a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列，所以2（a2＋5）＝a1＋a3，即a3＝2（a2＋5）－a1②，將②代入①可得2a1＋2a2＝2（a2＋5）－a1－7，解得a1＝1，故a1的值為1.（2）因為2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，當(dāng)n≥2時，2Sn－1＝an－2n＋1，兩式作差可得an＋1＝3an＋2n，所以an＋1＋2n＋1＝3（an＋2n），n≥2，（原式難以配湊時，不妨先將原等式變形為an+12n+1＝32·an2n＋12，再令an+12易知a2＝5，所以an＋2n＝（a2＋22）×3n－2＝（5＋4）×3n－2＝3n，即an＝3n－2n，n≥2，將n＝1代入an＝3n－2n得a1＝31－21＝1，符合題意.故數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－2n.8.[2024浙江寧波模擬]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對任意正整數(shù)m，n都有am＋n＝an＋am＋2mn.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{（－1）nan}的前n項和Sn.解析（1）對任意正整數(shù)m，n都有am＋n＝an＋am＋2mn，取m＝1，得an＋1＝an＋1＋2n，所以an＋1－an＝2n＋1.當(dāng)n≥2時，an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋3＋5＋…＋2n－1＝n（1+2n－1當(dāng)n＝1時，a1＝1，符合上式，所以an＝n2.（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝（－12＋22）＋（－32＋42）＋…＋[－（n－1）2＋n2]＝3＋7＋11＋…＋（2n－1）＝n2（3+2n－1當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝Sn－1＋（－1）nan＝Sn－1－an＝（n－1）n2綜上所述，Sn＝n2命題點1數(shù)學(xué)文化情境下的數(shù)列應(yīng)用例1[2021新高考卷Ⅰ]某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1＝240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2＝180dm2，以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5；如果對折n次，那么∑nk=1Sk＝240（3－n+32解析依題意得，S1＝120×2＝240（dm2）；S2＝60×3＝180（dm2）；當(dāng)n＝3時，共可以得到5dm×6dm，52dm×12dm，10dm×3dm，20dm×32dm四種規(guī)格的圖形，且面積均為30dm2，所以S3＝30×4＝120（dm當(dāng)n＝4時，共可以得到5dm×3dm，52dm×6dm，54dm×12dm，10dm×320dm×34dm五種規(guī)格的圖形，所以對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5，且面積均為15dm2，所以S4＝15×5＝75（dm2……所以可歸納Sk＝2402k×（k＋1）＝所以∑k=1nSk＝240（1＋322＋423＋…＋所以12×∑k=1nSk＝240（222＋323＋424由①－②得，12×∑k=1nSk＝240（1＋122＋123＋124＋…＋12n－n+12n+1）＝240{1＋122[1－（12）方法技巧通過數(shù)學(xué)建模解決數(shù)學(xué)文化問題的步驟讀懂題意會“脫去”題目中的背景，提取關(guān)鍵信息.構(gòu)造模型由題意構(gòu)建等差數(shù)列、等比數(shù)列或遞推關(guān)系式的模型.“解?！卑褑栴}轉(zhuǎn)化為與數(shù)列有關(guān)的問題，如求指定項、公差（或公比）、項數(shù)、通項公式或前n項和等.訓(xùn)練1[2023安徽名校聯(lián)考]“物不知數(shù)”原載于《孫子算經(jīng)》，它的系統(tǒng)解法是南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章·大衍求一術(shù)》中給出的.“大衍求一術(shù)”是中國古算中最具獨創(chuàng)性的成就之一，屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題.現(xiàn)有一道同余式組問題：將正整數(shù)中，被4除余1且被6除余3的數(shù)，按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，記{an}的前n項和為Sn，則S10＝（C）A.495 B.522 C.630 D.730解析由題知，被4除余1且被6除余3的數(shù)中，最小的正整數(shù)是9，則滿足條件的數(shù)列{an}是以9為首項，12為公差的等差數(shù)列，則an＝12n－3（n∈N*），所以S10＝10×（9+117）2＝630.命題點2現(xiàn)代生活情境下的數(shù)列應(yīng)用例2某市抗洪指揮部接到最新雨情預(yù)報，未來24h城區(qū)攔洪壩外洪水將超過警戒水位，因此需要緊急抽調(diào)工程機械加高加固攔洪壩.經(jīng)測算，加高加固攔洪壩工程需要調(diào)用20輛某型號翻斗車，平均每輛翻斗車需要工作24h.而抗洪指揮部目前只有一輛翻斗車可立即投入施工，其余翻斗車需要從其他施工現(xiàn)場抽調(diào).若抽調(diào)的翻斗車每隔20min才有一輛到達施工現(xiàn)場投入工作，要在24h內(nèi)完成攔洪壩加高加固工程，指揮部至少還需要抽調(diào)這種型號翻斗車（C）A.25輛 B.24輛 C.23輛 D.22輛解析由題意可知，一輛翻斗車需要20×24＝480（h）才能完成攔洪壩的加高加固工程，設(shè)至少需要n輛這種型號的翻斗車才能在24h內(nèi)完成該工程，這n輛翻斗車的工作時間（單位：h）按從大到小排列依次記為a1，a2，…，an，則數(shù)列{an}是公差為－13的等差數(shù)列，所以a1＝24，記{an}的前n項和為Sn，則Sn＝na1＋n（n－1）2×（－13）＝24n－16n（n－1），當(dāng)n＝23時，Sn≈467.7＜480，當(dāng)n＝24時，Sn＝484＞480，故訓(xùn)練2[多選]如圖所示，這是小朋友們喜歡玩的彩虹塔疊疊樂玩具.某數(shù)學(xué)興趣小組利用該玩具制訂如下玩法：在2號桿中自下而上串有由大到小的n（n∈N*）個彩虹圈，將2號桿中的彩虹圈全部移動到1號桿中，3號桿可以作為過渡使用；每次只能移動一個彩虹圈，且無論在哪個桿中，小的彩虹圈必須放置在大的上方；將一個彩虹圈從一個桿移動到另一個桿中記為移動1次，記an為2號桿中n個彩虹圈全部移動到1號桿所需要的最少移動次數(shù)，設(shè)bn＝an＋1－n，則下面結(jié)論正確的是（ABD）A.a3＝7B.an＋1＝2an＋1C.bn＝2n＋n－1D.∑i=1nb解析由題意易得，a1＝1，a2＝3.易知將n＋1個彩虹圈全部移動到1號桿中所需要的最少次數(shù)為an＋1，若要將2號桿中的n＋1個彩虹圈全部移動到1號桿中，則第一步，將除了最大的彩虹圈的n個彩虹圈全部移動到3號桿中，所需要移動的最少次數(shù)為an；第二步，將最大的彩虹圈移動到1號桿中，最少需要移動1次；第三步，將3號桿中的n個彩虹圈全部移動到1號桿中，需要移動的最少次數(shù)為an，所以an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2（an＋1）.又a1＋1＝2，所以數(shù)列{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＋1＝2n，an＝2n－1，a3＝7，所以選項A，B均正確；因為bn＝an＋1－n，所以bn＝2n＋1－1－n，所以選項C錯誤；因為bn＋nbnbn+1＝1bn－1bn+1，所以∑i=1nbi＋ibibi+1＝1b1－1b2＋命題點3數(shù)列中的新定義問題例3我們把形如Fn＝22n＋1（n∈N）的數(shù)叫做“費馬數(shù)”，設(shè)an＝log2（Fn－1），n∈N*，Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，則使不等式22S1S2＋23S2S3＋A.5 B.6 C.7 D.8解析因為Fn＝22n＋1（n∈N），所以當(dāng)n∈N*時，an＝log2（Fn－1）＝log2（22n＋1－1）＝2n，所以Sn＝2×（1－2n）1－2＝2n＋1－2.而2n+1SnSn+1＝2n+1（2n+1－2)(2n+2－2）＝12n+1－2－12n+2－2，所以22S1訓(xùn)練3函數(shù)y＝[x]稱為高斯函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.已知數(shù)列{an}滿足a3＝3，且an＝n（an＋1－an），若bn＝[lgan]，則數(shù)列{bn}的前2025項和為4968.解析由an＝n（an＋1－an），得（n＋1）an＝nan＋1，即an+1an＝n+1n，利用累乘法（或an+1n+1＝ann＝a33＝1），可得an＝n.記{bn}的前n項和為Tn，當(dāng)1≤n≤9時，0≤lgan＜1，bn＝[lgan]＝0；當(dāng)10≤n≤99時，1≤lgan＜2，bn＝1；當(dāng)100≤n≤999當(dāng)1000≤n≤2025時，3≤lgan＜4，bn＝3.所以T2025＝（b1＋…＋b9）＋（b10＋…＋b99）＋（b100＋…＋b999）＋（b1000＋…＋b2025）＝9×0＋90×1＋900×2＋1026×3＝4968.1.[命題點1/2023河南鄭州一模]我國古代有這樣一個數(shù)學(xué)問題：今有男子善走，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何？其大意是：現(xiàn)有一個善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他一共行走了一千二百六十里，求d的值.關(guān)于該問題，下列結(jié)論錯誤的是（A）A.d＝15B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天一共行走了九百一十里D.此人前八天一共行走了一千零八十里解析設(shè)此人第n（n∈N*）天走an里，則數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，由題意可得a1=100，S9=9a1+36d=1260，解得d＝10，A錯.a3＝a1＋2d＝120，B對.S7＝7a1＋6×72d＝910，C對.S2.[命題點2/2023江西清江中學(xué)期末]現(xiàn)某藥廠打算投入一條新的藥品生產(chǎn)線，已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計年產(chǎn)量（單位：萬件）為T（n）＝14n（n＋1）（n＋3），如果年產(chǎn)量超過60萬件，可能出現(xiàn)產(chǎn)量過剩，產(chǎn)生藥物浪費.從避免藥物浪費和環(huán)境保護的角度出發(fā)，這條生產(chǎn)線的最大生產(chǎn)期限應(yīng)擬定為（BA.7年 B.8年 C.9年 D.10年解析設(shè)第n年年產(chǎn)量為an，則第一年年產(chǎn)量為a1＝T1＝2，以后各年年產(chǎn)量為an＝T（n）－T（n－1）＝14n（3n＋5）（n≥2，n∈N*a1＝2也符合上式，所以an＝14n（3n＋5）（n∈N*）令14n（3n＋5）≤60，得3n2＋5n－240≤設(shè)f（x）＝3x2＋5x－240，其圖象的對稱軸為直線x＝－56，則當(dāng)x＞0時，f（x）單調(diào)遞增又f（8）＝3×82＋5×8－240＝－8＜0，f（9）＝3×92＋5×9－240＝48＞0，所以3n2＋5n－240≤0的最大正整數(shù)解為8，則這條生產(chǎn)線的最大生產(chǎn)期限應(yīng)擬定為8年.故選B.3.[命題點3/多選/2023北京師范大學(xué)第二附屬中學(xué)期中]若一個數(shù)列的第m項等于這個數(shù)列的前m項的乘積，則稱這個數(shù)列為“m積特征列”，若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}為“6積特征列”，且a1＞1，則當(dāng){an}的前n項之積最大時，n的值為（CD）A.5 B.4 C.3 D.2解析由{an}是等比數(shù)列，得an＝a1qn－1，其中q為數(shù)列{an}的公比.因為數(shù)列{an}是“6積特征列”，所以a6＝a1a2a3a4a5a6，所以a15q10＝1，所以a1q2＝1，所以a1＝q－因為數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，a1＞1，所以0＜q＜1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項之積為Pn，則有Pn＝a1a2…an＝a1nq1＋2＋3＋…＋（n－1）＝因為0＜q＜1，所以當(dāng)n2－5n2結(jié)合二次函數(shù)的圖象及n∈N*知當(dāng)n＝2或n＝3時，n2－5n2最小，P學(xué)生用書·練習(xí)幫P3151.[2023武漢市5月模擬]將1，2，…，n按照某種順序排成一列得到數(shù)列{an}，對任意1≤i＜j≤n，如果ai＞aj，那么稱數(shù)對（ai，aj）構(gòu)成數(shù)列{an}的一個逆序?qū)?若n＝4，則恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列{an}的個數(shù)為（B）A.4 B.5 C.6 D.7解析由題知數(shù)列{an}中的項都是正整數(shù)，當(dāng)n＝4時，1≤i＜j≤4，將1，2，3，4按照某種順序排成一列，則用列舉法列出所有恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列的組合為{1，4，2，3}，{1，3，4，2}，{2，1，4，3}，{2，3，1，4}，{3，1，2，4}，共5個，故選B.2.[2024湖南名校聯(lián)考]南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個數(shù)列{an}本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列{an}中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列{bn}（稱數(shù)列{an}為一階等差數(shù)列），或者{bn}仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列{bn}中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列{cn}（稱數(shù)列{an}為二階等差數(shù)列）……以此類推，得到高階等差數(shù)列.類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}：1，1，3，27，729，…是一階等比數(shù)列，則∑n=110log3an的值為（參考公式：12＋22＋…＋n2＝n6（n＋1）（2n＋1））（A.60 B.120 C.240 D.480解析由題意知，數(shù)列{an}為一階等比數(shù)列.設(shè)bn＝an+1an，則{bn}為等比數(shù)列，其中b1＝1，b2＝3，公比為q＝b2b1＝3，所以bn＝3n－1.故an＝bn－1bn－2…b1·a1＝31＋2＋3＋…＋（n－2）＝3（n－1)(n－2）2，n≥212（n2－3n＋2）.所以∑n=110log3an＝log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝12×[（12＋22＋…＋102）－3×（1＋2＋…＋10）＋2×10]＝12×[（16×10×11×21）－3×（1+10）×102＋3.[2023昆明市模擬]Farey序列是指把在0到1之間的所有分母不超過n（n∈N*）的最簡分數(shù)及0（視為01）和1（視為11）按從小到大的順序排列起來所形成的數(shù)列，記作F－n，例如F－4就是01，14，13，12，23，34，11.解析F－7中分子為1的有17，16，15，14，13，12；分子為2的有27，25，23；分子為3的有37，35，34；分子為4的有47，45；分子為5的有54.對于數(shù)列{an}，使數(shù)列{an}的前k項和為正整數(shù)的k的值叫做“幸福數(shù)”.已知an＝log4n+1n，則數(shù)列{an}在區(qū)間[1，2025]內(nèi)的所有“幸福數(shù)”的個數(shù)為5解析an＝log4n+1n＝log4（n＋1）－log4n，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn＝log42－log41＋log43－log42＋…＋log4（n＋1）－log4n＝log4（n＋1根據(jù)題意得Sk為正整數(shù)，設(shè)Sk＝m（m∈N*），則log4（k＋1）＝m，所以k＋1＝4m，令1≤k≤2025，則1≤4m－1≤2025，故m可取1，2，3，4，5，共5個數(shù)，所以所求“幸福數(shù)”有5個，故答案為5.5.我國古人將一年分為二十四個節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，冬至的晷長最長，夏至的晷長最短，周而復(fù)始.已知冬至的晷長為13.5尺，芒種的晷長為2.5尺，則一年中夏至到大雪的晷長的和為84尺.解析依題意