湖北省黃岡市浠水縣某中學(xué)2024屆高三年級下冊第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

淹水一中2024年春高三年級第二次高考模擬

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

A=(-2,-1,0,1,21,B=[x\y=Vx+log(3-x)l人口

1,已知集合I，，…，II7卻3?則ApB=()

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-1,0}D.{0,1}

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)根式與對數(shù)的定義域，結(jié)合交集的定義求解即可.

x>0x>0

【詳解叫3200=^>0<x<3,

x<3

所以5=[巾=?+k)g3(3—x)[={M0?%<3},

故AB={0,l,2},

故選：A

/7—i

2.已知復(fù)數(shù)一在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在虛軸上，則實數(shù)。=()

1+i5

A.-1B.OC.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算和幾何意義分析求解.

ci—1a—1(a-i)。-i)a—1a+1.

【詳解】由題意可得:--------------1

i+i5-7+7(I+i)")22

Z7—1。—1

因為復(fù)數(shù)一在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在虛軸上，則——=0,解得a=l.

1+i52

故選：C.

3.“存2”是“直線/i：尤-ay+3=0與氏ax-4y+5=0相交”的()

A充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】先計算若直線乙，平行，可得，的值，然后根據(jù)充分條件、必要條件的概念進行判斷可得結(jié)果.

【詳解】由題可知：直線/i：x-〃y+3=0,直線/2：ox-4y+5=0

當直線4,4平行時：lx（T）—（―a）xa=O且1x5—3awO,

則。=±2

所以當aW±2時，直線/i：尤-ay+3=0與b：ar-4y+5=0相交

故“存2”是“直線/1：x-ay+3^0與Z2：ax-4y+5=0相交”的必要不充分條件

故選：B

【點睛】本題考查直線相交的計算以及充分不必要條件的判斷，本題關(guān)鍵在于說明兩直線平行，正所謂正

難則反，屬基礎(chǔ)題.

4.古印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在《莉拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個人布施，初日4德拉瑪（古印

度貨幣單位），其后日增5德拉瑪.朋友啊，請馬上告訴我，半個月中，他總共布施多少德拉瑪？在這個問

題中，這人15天的最后7天布施的德拉瑪總數(shù)為（）

A.413B.427C.308D.133

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，初日4德拉瑪，以后每日等量增加5德拉瑪，故每日德拉瑪數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列{4},

利用等差的通項公式和前n項和公式求解.

【詳解】由題知，每日德拉瑪數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列{4},設(shè)數(shù)列首項為%,公差為d,則6=4,d=5.

則通項公式%=4+（八一1）義5=5〃-1,《5=74,/=39,

則這人15天的最后7天布施的德拉瑪總數(shù)為：

Sy5-Ss="（4+74）_8（4+劃=585_172=413.

15822

故選：A

5.已知圓O：x2+y2=1,尸為直線/：x+y—4=0上的一個動點，過尸作圓。的切線，切點分別為A、

B,若直線以、尸2關(guān)于直線/對稱，則cos/APB=（）

A.且B.3C."D."

7434

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得8,/,ZAPO=NBPO,求出再結(jié)合二倍角公式即可得解.

【詳解】由題知Q4、依關(guān)于直線/：x+y—4=0對稱，知

_|0+0-4|

則|。耳=2何。4|=1,

記ZAP3=2a,則ZAPOMNHPOna,

則sin。=,所以cosZAPB=cos2(z=1-2sin2(z=—.

\OP\44

6.我們將服從二項分布的隨機變量稱為二項隨機變量，服從正態(tài)分布的隨機變量稱為正態(tài)隨機變量.概率

論中有一個重要的結(jié)論：若隨機變量y?3(〃,“)，當〃充分大時，二項隨機變量F可以由正態(tài)隨機變量

X來近似地替代，且正態(tài)隨機變量X的期望和方差與二項隨機變量Y的期望和方差相同.法國數(shù)學(xué)家棣莫

弗(1667-1754)在1733年證明了p=g時這個結(jié)論是成立的，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家拉普拉斯(1749-

1827)在1812年證明了這個結(jié)論對任意的實數(shù)pe(O,l］都成立，因此人們把這個結(jié)論稱為棣莫弗一拉普

拉斯極限定理.現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2500次，利用正態(tài)分布估算硬幣正面向上次數(shù)不少于1200次的

概率為()

(附：若X則P(〃一crWXW〃+cr)kO.6827,P(〃-2crWXW〃+2cr)a0.9545,

P(〃一3crVXV〃+3cr)y0.9973)

A0.99865B.0.97725C.0.84135D.0.65865

【答案】B

【解析】

【分析】正態(tài)隨機變量X的均值方差可由二項分布的均值方差公式來近似，根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)運算即可得

解.

【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2500次，設(shè)硬幣正面向上的次數(shù)為X,

貝Ijx?42500,g；E（X）=〃2=2500xg=1250,D（X）="°（l—p）=2500xgx口=625.

由題意XN.,6,且〃=￡(X)=1250,4=0(x)=625=252,

因為尸(〃一2cr<XW〃+2cr)“0.9545,即P(1250—2x25<X<1250+2x25)^0.9545,

所以利用正態(tài)分布估算硬幣正面向上次數(shù)不少于1200次的概率為

09545

尸（X>1200）=尸（X>1250-2x25）—+0.5=0.97725.

故選：B.

22

7.已知雙曲線c：A-2=i?>o,b>o)的左、右焦點分別為耳，居，過耳的直線與y軸相交于/點，與

a"b

雙曲線。在第一象限的交點為尸，若片M=2VP,?&P=0,則雙曲線C的離心率為()

A.V2B.73。.孚D-V3+1

【答案】D

【解析】

3c

【分析】設(shè)NP￡B=。，。為銳角，依題意可得尸耳,尸乙，|「片|=—|河耳|,再由|人園=-得

2cose

至小明|=/)，又|PQ|=2csind,利用勾股定理得到方程，即可求出COS。，從而求出。，最后求出離

2cos

心率即可.

設(shè)。為銳角，

3

因為片"=2"P,FpF2P=0，所以瑪，|「制=5|“4I，

：.\MF,\=-^,:\PFl\=-\MFl\=^^,又|P￡|=2csin。，

cos。22cos6^

：.\PF1f+\PF2^F1F2f,

2

-------+4c2sin6=4。2,

4cos2e

9+16sin20cos20=16cos20，

.*.9+16(1-cos26)COS28=16cos20,

.,.9—16cos4^=0,

.?.cos2^=^,：.cose=B(負值舍去)，.?.6=30°,

42

33cL

:\PF.\=-\MF|=--------=&,\PF\=2csin0=c

212cos。2f

雙曲線。的離心率e=||2c

W月I=A/3+1

|尸耳|-|「瑪|

故選：D.

【點睛】方法點睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍）,

常見有兩種方法：

①求出。，c,代入公式6=二；

a

②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于b,。的齊次式，結(jié)合〃=°2—/轉(zhuǎn)化為.，c的齊次式，然后等式

（不等式）兩邊分別除以?；?轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

JT

8.已知在四面體ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD,二面角A—BD—C的大小為一，且點A,

3

B,C,。都在球。的球面上，■為棱AC上一點，N為棱5。的中點.若MO=尢CN，則4=（）

1452

A.-B.-C.—D.一

3993

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意和幾何關(guān)系，并在△ACN所在平面內(nèi)建立平面直角坐標系，確定點的位置和坐標,

即可求解.

【詳解】由題意知ZVlBr）與△BCD均為等邊三角形，連接AN,CN,則CN1BD,

N/WC是二面角A—血―C的平面角，

A

C

TT

所以NANC=—,又易知AN=CN,所以"QV是等邊三角形.

3

設(shè)尸為△BCD的外心，。為CN的中點，連接ORON,AQ,則點。，P,。都在平面ACN內(nèi)，建立平

面直角坐標系如圖.

2n

設(shè)AN=NC=AC=2,則NP=—,ZONP=~,所以。p=工

369

易知CM=2CA,

9

.0M5

,“——

CN9

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是結(jié)合幾何關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標系，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知方，豆分別為隨機事件46的對立事件，P（A）＞0,P（B）＞0,貝I（）

A.P（B|A）+P（B|A）=1B.P（B|A）+P（B|A）=P（A）

C.若A,B獨立,則P（A|3）=P（A）D.若A,8互斥，則P（A|5）=尸（6|A）

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)條件概率、獨立事件、互斥事件的基本概念，以及對應(yīng)的概率計算公式可以得到答案.

【詳解】因為P（3|A）+P（月|A）=°（號/（“）=累^=1,A正確，B錯誤;

,、P（AB]/、

由獨立事件定義，若43獨立，則P（A5）=P（A）P（5）,P（A|B）=-^^=P（A）,c正確;

/、/、P（AB）/、P（AB）

若A,8互斥，則P（AB）=O,P（A|B）=-^=O,P（5|A）=-^=0,DM.

故選：ACD

10.已知。為坐標原點，點尸為拋物線C：丁=4%的焦點，點尸（4,4）,直線八%=根丁+1交拋物線C

于A,B兩點（不與P點重合），則以下說法正確的是（）

A.\FA\>1

7T

B.存在實數(shù)加，使得NAOB〈一

2

C.若AF=2FB，則m=土二一

4

D.若直線巴4與尸5的傾斜角互補，則m=-2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線和直線方程可知直線過拋物線焦點，利用焦半徑公式可判斷A正確；聯(lián)立直線和拋物

7T

線方程利用向量數(shù)量積公式可知，NAOB〉]恒成立，所以B錯誤；根據(jù)4b=2五6可知A，3兩點的縱

坐標關(guān)系，解得其交點坐標代入直線方程可得加=土注，即C正確；由直線外與PB的傾斜角互補，可

4

知即A+^B=0,利用韋達定理聯(lián)立方程即可求出租=-2,即D正確.

【詳解】由已知，拋物線C：/二以，2=2,^=1,焦點/（1,0）,

不妨設(shè)為4（%,%）,S（x2,y2）,設(shè)A,8到準線的距離分別為〃，dB,

對于A,..?由標準方程知，拋物線頂點在原點，開口向右，X1>0,

直線/：x=my+l過焦點廠（1,0）,

,由拋物線的定義用=弘=玉+言=玉+121,故選項A正確；

y2-4%

對于B,H消去X,化簡得V—4根>—4=0（顯然A>0）,

x=my+1

則%+為=4加，%%=-4，

222

"?>>2=4%,菁x,="%一=1,

■41-16

OA=（菁,％）,OB=（九2,%），,OA?OB=h/+%為=1-4=—3<0>

cosZAOB=cosOA,OB=1°：<。，；.ZAOB>-,

\OA\-\OB\2

7T

???不存在實數(shù)加，使得/AQB<—,選項B錯誤；

2

f

對于C,AF*=（1-％,）,FB—（x2—1,y2）

???通=2而,，（1-/-％）=2（%2-1,%）=（2%2-2,2%）?,?-%=2%,

?

又??由選項B判斷過程知%+%=4加，y{y2=-4,

?,

「解得％=2A/^,y2=—V2,加或％=—,y2=V2,m=~~~~

歷

?,?若AF=2尸B，則加=±—，選項C正確；

對于D,由題意，玉。4,%2。4,%。4,%。4,

直線與PB的傾斜角互補時，斜率均存在，且kpA=—kpB，

—

V,4y—4丫2丫2

9，代入石=為，%=&,化簡得％+為+8=0,

再-4%-444

由選項B的判斷知，%+%=4根，

4m+8=0,m=-2,故選項D正確.

故選：ACD.

2

11.已知函數(shù)/(x)=e*與函數(shù)g(x)=1+---的圖象相交于A(%,%),5a2,%)兩點，且％%數(shù)lie

x-1

%1

A.乂%=1B.=-

e

C.―——>1D.x2y2=1

尤2一苞,一

【答案】AC

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)利用奇偶性和單調(diào)性得出西+%=°，結(jié)合選項逐項驗證即可.

2V+1V-I-1

【詳解】由題意e'=l+——有兩個不等的實數(shù)根，eA=--，x=ln^—,

X—1X—1X—1

-yI-1_-V-1

令/z(x)=x—In---,則/z(-x)=-x-ln—---=-/z(x),即為(%)為奇函數(shù)；

x-1-X-1

r24-1

當x〉l時，一>0,//(%)為增函數(shù)；

x2-l

若丸(xj=o,貝1]/2(—西)=0,又〃(％)=。，所以西+%2=0.

對于A,%%=e*e*=9+雁=1,正確.

對于B,若丁『=9巧=』成立，則有王羽=—1,與%+々=0矛盾，所以B不正確.

e

A^2X]%]+^2-.X]vU

對于c,由指數(shù)均值不等式一—>e丁可得一一>1,所以3^〉1,C正確.

%2—%工2—玉工2一再

對于D,令F(x)=xe*,Ff(x)=(%+1)eY,當尤>1時，F(xiàn)r(x)>0,E(x)為增函數(shù)，

所以歹(X2)〉P(l)=e,即X2%〉e,D不正確.

故選：AC.

/-----x-xX+x

92±9

【點睛】結(jié)論點睛：均值不等式的拓展：(1)對數(shù)型均值不等式：7^2<.-1-<-v^,

InXj-lnx22

“1+"^2?「尤2

其中石w%，X1〉O,X,〉O；(2)指數(shù)型均值不等式：e2<---------<----------,其中%彳%,.

%一菁2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

7

12.已知一組數(shù)據(jù)點(%.,y)(i=l,2,,7),用最小二乘法得到其線性回歸方程為y=—2》+4,若\>，=7,

.Z=1

7

則SX-=-

1=1

【答案】14

【解析】

【分析】根據(jù)回歸方程必過樣本中心點(.亍)，即可得到答案.

-17

【詳解】根據(jù)題意可知該組數(shù)據(jù)點％=亍23=1，

7i=i

所以y=-2x+4=2,

7_

所以=7y=14,

i=l

故答案為：14

13.在」RC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,cosC=-,c=8,則當a+b取得最大值

3

時，sin.

【答案】亞

3

【解析】

【分析】由正弦定理可求出的外接圓半徑，借助于正弦定理進行邊化角運算可得

a+b=2R(sinA+sin3),在_43。中，sinB=sin(A+C),由兩角和的正弦公式展開代入/C的正余

弦值計算，由輔助角公式即可求出結(jié)果.

1/-GDc812A

【詳解】解：cos。：，.?.sinC=2，設(shè),ABC外接圓半徑為R.則碇=而=五

33亍

得尺=3萬

則a+b=2R(sinA+sinB)=6后[sinA+sin(A+C)]=6后(sinA+sinAcosC+sinCcosA)

=6及gsinA+2fcosA)=6^2xsinA+

其中，cos9=g，sine=g

jr

當sin(A+°)=l.即A+e=5時，a+b取得最大值,

此時A=1—0.所以sinA=sin(]-(p)=cos(p=.

故答案為Y

14.設(shè)nwN*,an為(2x+3)"—(x+1)”的展開式的各項系數(shù)之和，c=2t—3,feR,

2=年］+號］++瞪］(網(wǎng)表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù))，則("—I+電+c)2的最小值為

【答案】1##02

【解析】

【分析】賦值法求出。"=5"-2",結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷”-1〈;六〈”，確定=〃-1.結(jié)合等差數(shù)列求和公

式得口，將(“T)2+(，+C)2轉(zhuǎn)化為點點距的平方進而求解.

【詳解】令*=1可得，??=5"-2",黑="—,

設(shè)〃x)=g(x21),則廣=

X

令/'(%)=。，得*=0

當xe(l,e)時，/'(%)>0,函數(shù)/⑺單調(diào)遞增；

當xe(e,+8)時，/'(九)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減.

rJnx,l1,廠,5

則-----<—<—=lnve<In—.

xe22

一?s<Inni5

故對任意的H21,——<ln-.

n2

故<i,故〃一1<華〈”，即警=〃一1.

⑴5"3」

\n1—n

=1+2++(〃-1)=--,

則(”—t)2+(2+c)2的幾何意義為點(〃,47)(〃eN*)到點?,3—2。的距離的平方,

最小值即點(外石井)(〃eN*)到y(tǒng)=3-2x的距離的平方,

/、2-31

且點(1,0)到直線y=3-2%的距離4=——L=-=,

V22+l2V5

/、|4+1-3|2

點(2,1)到直線y=3-2x的距離d2=―J=存，

.?.(“T)2+(d+C)2的最小值為、

故答案為：

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)最值及點點距的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)判斷出

n-l<-^-<n,進而確定么.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.設(shè)函數(shù)〃%)=機(％+1)6”,加>0.

(1)求”力的極值；

(2)若對任意XG(T,-H?),有W(x)W2e*恒成立，求機的最大值.

【答案】15.極小值-無極大值；

e

16.e2-

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性即可確定極值；

(2)分離參數(shù)并構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可求解.

【小問1詳解】

/'(x)=m(x+2)ex,m>0.

令r(x)>0,得x>-2,令r(x)<0,得x<-2.

故/(%)在一2)單調(diào)遞減，在(—2,+“)單調(diào)遞增.

???/(尤)在x=—2處取得極小值/(-2)=-^-,無極大值.

e

小問2詳解】

Inf(x)<2e*對X/xe(-1,+oo)恒成立，即InmW2e*—In(x+1)—x對X/xe(-1,+oo)恒成立.

￥

4g(x)=2e-In(x+1)-%,xe(-1,+oo),則只需Inm<g(x)min即可.

gf(x)=2ex---

JiIJ-

易知y=2e*,y=——'—1，均在(—1,+")上單調(diào)遞增，

故g'(x)在(―1,+8)上單調(diào)遞增且g'(0)=0.

??，當xe(—1,0)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當xe(0,+oo)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

，g(x)min=8(°)=2.故1:1根<2=11162,,0<m<62,故加的最大值為『?

16.11分制乒乓球比賽規(guī)則如下：在一局比賽中，每兩球交換發(fā)球權(quán)，每贏一球得1分，先得11分且至少

領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束；當某局比分打成10：10后，每球交換發(fā)球權(quán)，領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)

束.現(xiàn)有甲、乙兩人進行一場五局三勝、每局11分制的乒乓球比賽，比賽開始前通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的

硬幣來確定誰先發(fā)球.假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為乙發(fā)球時甲得分的概率為:，各球的比賽結(jié)果相互

獨立，且各局的比賽結(jié)果也相互獨立.已知第一局目前比分為10：10.

(I)求再打兩個球甲新增的得分X的分布列和均值；

(2)求第一局比賽甲獲勝的概率P。；

(3)現(xiàn)用估計每局比賽甲獲勝的概率，求該場比賽甲獲勝的概率.

7

【答案】(1)分布列見解析，均值一

6

,、2

⑵P。=§

【解析】

【分析】（1）易知X的所有可能取值為0,1,2,根據(jù)條件概率公式可求得對應(yīng)概率取值可得分布列和均值；

（2）根據(jù)獲勝規(guī)則求出第一局比賽甲獲勝概率的表達式，解得po=g；

（3）由五局三勝制的規(guī)則，可知y的所有可能取值為3,4,5,求出對應(yīng)概率相加即可求得甲獲勝的概率為

64

81,

【小問1詳解】

依題意，X的所有可能取值為0』,2

-1

設(shè)打成io：io后甲先發(fā)球為事件A,則乙先發(fā)球為事件無，且P（A）=P（A）=5，

--1111111

所以P（X=0）=P（A）-P（X=0|A）+P（A）?P（X=0|A）=—x—><—+—x—x—=—,

2322236

>

P(X=l)=P(A).P(X=l|A)+Pa)-P(X=l|A)=|xflx|+|x|L|xf|x1+1x||

2

--1211121

P(X=2)=P(A)?P(X=2|A)+P(A)?P(X=2|A)=—x—x—+—x—x—.

333

所以X的分布列為

X012

J_I

P

623

1117

故X的均值為￡(乂)=0*%+1X5+2><3=%.

【小問2詳解】

設(shè)第一局比賽甲獲勝為事件8,則P（51X=0）=0,P（61X=1）=P（5）,P（51X=2）=L

由（1）知，P（X=0）=1,P（X=l）=1,P（X=2）=|,

由全概率公式，得P（B）=P（X=0）P（B|X=0）+P（X=l）P（B|X=1）+P（X=2）P（6|X=2）

=-xO+-P（，B）+-,

62''3

2?

解得P⑻=§，即第一局比賽甲獲勝的概率p0=~.

【小問3詳解】

由（2）知p（）=g，故估計甲每局獲勝的概率均為|,根據(jù)五局三勝制的規(guī)則,

設(shè)甲獲勝時的比賽總局數(shù)為y,因為每局的比賽結(jié)果相互獨立，

所以F的所有可能取值為3,4,5,

因此可得卡=3）=白3=*至=4）=小白飛=*至=5）=盤義白3義白、工

Wz/Jz/jjoi

故該場比賽甲獲勝的概率P=p(y=3)+p(y=4)+p(y=5)=—.

81

17.在四棱錐P—ABC。中，已知AB〃CE),ABA.AD,BC±PA,AB=2AD=2CD=2,

PA=R，PC=2,E是線段PB上的點.

（1）求證：PC,底面ABCD；

（2）是否存在點E使得24與平面E4c所成角的余弦值為逝？若存在，求出些的值；若不存在，請

3BP

說明理由.

【答案】（1）證明見解析

BE1

(2)存在，---

BP3

【解析】

【分析】（1）首先證明平面PAC,可得出BCLPC,利用勾股定理的逆定理可證得PCJ_AC,再

結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證明PC,底面ABCD；

（2）以A為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)BE=；LBP，且0W2W1,求平面￡AC的法向量〃，利用

|cosAP,n|=|,即可求得九的值，即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

在AADC中，AD=DC=1,ZADC=90°,

所以AC=JA￡>2+DC2=7571=0.

在，ABC中，AC=41,AB=2,ABAC=45°-

由余弦定理有：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cos450=4+2-2x2xV2x—=2.

2

所以，AB2=AC2+BC2,所以/4CB=90。，

所以BC±AC,

又因為PAAC=A,PA，ACu平面PAC,所以，6C1平面Q4C,

因為PCu平面F4C,所以，BC±PC,

在AB4c中：AC=4i,PC=2,PA=瓜,則PA?=人。2+,

所以，PCLAC,

因為ACBC=C,AC,5Cu平面ABC。，

所以PC上面ABCD.

【小問2詳解】

因為PC,平面A3CD,ABYAD,以點A為坐標原點,

A。、AB、CP的方向分別為x、丁、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則有4(0,0,0)、8(020)、C(LLO)、皿(1,0,0)、尸(1,1,2),

^BE=ABP=2(1,-1,2)=(2,-2,2Z),其中0W/W1,

則AE=AB+BE=(42-2,22),AC=(1,1,O),AP=(1,1,2),

n-AE=2x+(2—2)y+22z=0

設(shè)〃=(匹yz)為面E4C法向量，則有'7

n-AC=%+y=0

取光二-a,貝!ly=4，2=2-1,

所以，平面石4。的一個法向量為〃=（—九Z%—1）,

設(shè)與平面E4c所成的角為

逐..2

cosa=—,??sina=—

33

II\AP-n|22-2|2

rH旦百舍*口」＜旦lr?ncAPril—J----------------!------!........-—，

|AP|-|HV6X^22+22+(2-1)2

可得3萬+22-1=0，因為0W4W1,所以;1=；.

因此，存在點E使得E4與平面E4c所成角的余弦值為逝,「BE1

且=_.

BP3

18.已知橢圓石：，+營=1（?！?〉0）離心率為?，橢圓上的點到焦點的最遠距離是2+6.

（1）求橢圓E的方程；

（2）橢圓上有四個動點A,B,C,D,且與相交于點P.

①若點尸的坐標為（4,2）,A為橢圓的上頂點，8為橢圓的右頂點，求CD的斜率；

②若直線A3與CD的斜率均為-g時，求直線0P的斜率.

丫2

【答案】18.—+y2=l

4-

13

19.①；②一

24

【解析】

【分析】（1）根據(jù)離心率及橢圓上的點到焦點的最遠距離計算即可得；

（2）①由橢圓方程可得A、瓦點的坐標，即可得兒與鼠：的解析式，聯(lián)立曲線計算即可得C，。兩點坐標，

即可得CD的斜率；②由A3與CD的斜率均為-g，可得A5//CD,設(shè)PD=；LDA，則有PC=；ICB，

結(jié)合向量共線滿足的坐標運算，代入橢圓方程中，可得2根力玉+8川1%+7〃2+4"2=8/1+1,同理可得

2222

2m20+8n2y2+m+4n=82+1,即可得乙呂：2m2x+8nAy+m+4n=82+1,結(jié)合AB的斜率值,

71

即可得一，即可得直線0P的斜率.

m

【小問1詳解】

由橢圓E的離心率為也，故￡=走，

2a2

由橢圓上的點到焦點的最遠距離是2+6，故a+c=2+省,

解得。=2,c=百，故萬!二/—（?2=1，

即橢圓E的方程為工+>2=1;

4

【小問2詳解】

2

①由橢圓E的方程為工+>2=1,則4（0,1）,5（2,0）,

2-11

則岫：即/AD：y=z*+i'

2—0

IBC?y~-2），即，3cy=x—2

4—2f

,11

y=—x+l

4

聯(lián)立直線AD與橢圓方程，有｛2，消去y可得5/+8X=0,

X1

——+y2=1

14/

OQQ

解得x=0或x=_2,由A（0,l）,故了。=一二，則即。

y=x-2

聯(lián)立直線與橢圓方程，有X221消去y可得5/一16尤+12=0,

—+V=1

14'

豈.4

解得x=［或x=2,由5（2,0）,故%=g，則,c=_1，故則％—§—

~5~5

②設(shè)A&,yJ,B（x2,y2）,。（毛,為），。（孫％），尸（見”）,

設(shè)P￡>=/LD4（XwO）,

_4百+m

%-m=Ax-2X2+1

則有《i4即《

/一〃=孫一彳/_4M+n

2+1

由A在橢圓E上，故土+靖=1,

41

22

化簡得丸2%；+2根4演+加2+4丸2?。?+4n—4A+8A+1,

丫2

由》+3=1,即有22%；+442＞；=4；12,

22

則有2根2演+8nAyt+m+4n=82+1,

由直線A3與的斜率均為-g,故A5//CD,

2

則有PC=2CB（2豐0）,同理可得2租24+8nAy2+m+W=82+1,

22

故直線lAB'2mAx+8〃4y+m+4n=82+1,

BPW--=--=即0=3,

38zz24〃m4

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二小問的最后一問的解題關(guān)鍵點在于由直線AB與CD的斜率相等，得到

AB//CD,從而可設(shè)出產(chǎn)。=%DA，得到PC=2C3,結(jié)合向量坐標運算得到

2