計數(shù)原理講義-2024屆高考數(shù)學三輪復習沖刺

2024年高考數(shù)學三輪沖刺之計數(shù)原理

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

【知識梳理】

1、一般地，有如下分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中

有陽種不同的方法，在第2類方案中有幾種不同的方法，那么完成這件事共有

N=7"+〃種不同的方法.

2、一般地，有如下分步乘法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中

有加種不同的方法，在第2類方案中有〃種不同的方法，那么完成這件事共有

N=種不同的方法.

3、一般地，我們有：幾元集合A={4,a2,}的不同子集有2"個.

【針對性訓練】

1.從A地到3地要經過C地，已知從A地到C地有三條路，從C地到3地有四條路，則

從A地到8地不同的走法種數(shù)是（）

A.7B.9C.12D.16

2.給一些書編號，準備用3個字符，其中首字符用A,B,后兩個字符用a,b,c（允

許重復），則不同編號的書共有（）

A.8本B.9本C.12本D.18本

3.在如圖1所示的電路中，只合上一個開關可以接通電路，有一種不同的方法；在

如圖2所示的電路中，合上兩個開關可以接通電路，有一種不同的方法.

圖1圖2

4.有不同的語文書9本，不同的數(shù)學書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同一學

科的書2本，則不同的選法有（）種.

A.21B.315C.143D.153

5.（多選）下列說法中正確的有（）

A.4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有4?種報名方法

B.4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有34種報名方法

C.4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍（每項冠軍只允許一人獲得），共有43種可

能結果

D.4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍（每項冠軍只允許一人獲得），共有34種可

能結果

6.如圖所示，某地有南北街道5條，東西街道6條，一郵電員從該地東北角的郵局A出

發(fā)，送信到西南角的5地，且經過C地，要求所走的路程最短，共有多少種不同的走法？

7.立德幼兒園王老師和李老師給小朋友發(fā)水果.王老師的果籃有草莓，蘋果，芒果3種水

果.李老師的果籃里有蘋果，櫻桃，香蕉，卿猴桃4種水果.小華可以在兩個老師的果籃

里分別選一個水果.小華拿到兩種不同的水果的情況有（）

A.6種B.7種C.11種D.12種

8.某校教學大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，一學生由一層到五層的走法有（）

A.10種B.2,種C.5?種D.24種

9.用0,1,2,3,9十個數(shù)字可組成多少個不同的.

（1）三位數(shù)？

(2)無重復數(shù)字的三位數(shù)？

(3)小于500且沒有重復數(shù)字的自然數(shù)？

10.某電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告、兩個不同的宣傳廣告、一個

公益廣告，要求最后播放的不能是商業(yè)廣告，且宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放，兩個

宣傳廣告也不能連續(xù)播放，則有多少種不同的播放方式？

二.排列與組合

【知識梳理】

4、一般地，從九個不同元素中取出加(加《〃)個元素，并按照一定的順序排成一列，

叫做從〃個不同元素中取出帆個元素的一個排列.

5、我們把從九個不同元素中取出加(加＜〃)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從九

個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示.

6、排列數(shù)公式：/￡="("一1)("-2).(77-m+1),其中n&N*,并且加＜〃.特

別地，我們把九個不同元素全部取出的一個排列，叫做〃個元素的一個全排列.這時排

列數(shù)公式中m=〃，即有="(〃-1)(”-2)xx3x2xl.也就是說，將〃個不同的元

素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到九的連乘積.正整數(shù)1至IJ〃的連乘積，叫做"的

階乘，用加表示.于是，九個元素的全排列數(shù)公式可以寫成當=加.另外，我們規(guī)定，

0!=1.

7、排列數(shù)公式還可以寫成=—J,它還有另一個變形A：=.

8、一般地，從幾個不同元素中取出加(加＜〃)個元素作為一組，叫做從〃個不同元素

中取出m個元素的一個組合.

9、從九個不同元素中取出加（加＜"）個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從幾個不同

元素中取出機個元素的組合數(shù)，用符號表示.

10、根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有

因此，組合數(shù)公式：丁=里=〃（〃-1）（〃-2）6-〃z+1）,這里加，n?N*,

"A：m\

并且加＜〃.

n、因為些=-兒nI，所以上面的組合數(shù)公式可以寫成c；=nI.另外，我們

規(guī)定《=1.

12、常見排列組合變形公式:

rrj1

⑴(2)C：=C；m;

⑶―1⑷筌-號="鏟與3

【針對性訓練】

11.從甲、乙、丙三人中選出兩人并站成一排的所有站法為（）

A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲

B.甲乙丙，乙丙甲

C.甲乙，甲丙，乙丙，乙甲，丙甲，丙乙

D.甲乙，甲丙，乙丙

12.下列問題中，是排列問題的為（）

A.從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數(shù)學、物理興趣小組

B.從甲、乙、丙三名同學中選出兩人參加一項活動

C.從a,b,c,d中選出3個字母

D.從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)

13.下列各式中等于〃！的是（）

A.娼B.A：+IC.C：D.端

14.從5人中選派2人去參加某個會議，則不同的選派方法的種數(shù)為（）

A.9B.10C.20D.25

15.計算2露+3&的值是（）

A.72B.102C.5070D.5100

16.兩人進行乒乓球比賽，先贏三局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人

輸贏局次的不同視為不同情形）共有（）

A.10種B.15種C.20種D.30種

17.在含有3件次品的50件產品中，任取2件，則下列說法正確的是（）

A.恰好取到一件次品有C；C：7不同取法

B.至少取到一件次品有C；C：7不同取法

C.兩名顧客恰好一人買到一件次品一人買到一件正品有反不同取法

D.把取出的產品送到檢驗機構檢查能檢驗出有次品的有不同種方式

18.從1,2,3,4,7,9中任取不相同的兩個數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，能得到多

少個對數(shù)值？

19.如圖，一環(huán)形花壇分成A,B,C,。四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊

里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（)

A.96B.84C.60D.48

20.用紅、黃、藍三種顏色給如圖所示的六個相連的圓涂色，若每種顏色只能涂兩個圓,

且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是（）

A.12B.24C.30D.36

三.二項式定理

【知識梳理】

13、二項式定理：（a+”'=C；a"+C"”++Cy-kbk++C?",nwN*.右

邊的多項式叫做（。+與"的二項展開式，其中各項的系數(shù)G（左=0,1,2,n）

叫做二項式系數(shù).式中的叫做二項展開式的通項，用，+i表示，即通項為展開

kk

式的第4+1項:Tk+l=Cy-b.

14、二項式系數(shù)有以下性質：

（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等；這一性質可以直接由

C：=得到.直線r=］將函數(shù)/（廠）=C：的圖象分成對稱的兩部分，它是圖象的對

稱軸.

（2）增減性與最大值：因為。：=如工(n—k)(n—k+l)n—%+1

*即

（左一1）!左k

1nk-I-1V1-I-1

/=,所以當。>1時,即左<匕時，C隨人的增加而增大；由

Cnkk2

對稱性知，當左〉歲時，C：隨左的增加而減小.當〃是偶數(shù)時，中間的一項取得

n-\n+1

最大值；當九是奇數(shù)時，中間的兩項C/與c/相等，且同時取得最大值.

（3）各二項式系數(shù)的和：若令二項式的a=l,b=l,得

2"=C：+C：+C；++C；.這就是說，（。+6）"的展開式的各二項式系數(shù)的和等于

2".

（4）奇數(shù)項和偶數(shù)項：奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.

15、楊輝三角的特征：三角形的兩個腰都是由數(shù)字1組成的，其余的數(shù)都等于它肩上

的兩個數(shù)相加.楊輝三角的第九行的第r個數(shù)可以表示為Cl,第九行就是（a+與”的展

開式的二項式系數(shù).把上述特征用公式表示，有C：=C：［；+C：_i.

【針對性訓練】

21.（1-2x）6的展開式的第3項為（）

A.-120B.-120x2C.60D.60x2

22.二項式（x+l）"（〃eN*）的展開式中/項的系數(shù)為15,則〃=（）

A.4B.5C.6D.7

23.若（1+3了）"（“€/）的展開式中，第三項的二項式系數(shù)為6,則第四項的系數(shù)為（）

A.4B.27C.36D.108

24.（l+x+f）（l-x尸的展開式中含丁的項為（）

A.-85B.175C.一85fD.175%3

25.（尤+匕）（x+y）5的展開式中?。?？的系數(shù)為（）

X

A.5B.10C.15D.20

26.在3+勾”的展開式中，第2項與第6項的二項式系數(shù)相等，則〃=（）

A.6B.7C.8D.9

27.已知二項式（如,-A"的展開式中各項的二項式系數(shù)和為512,且展開式中的常數(shù)項為

X

27C；，則。=（）

A.1B.2C.3D.4

28.在二項式（浮-gx）"的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的第4項

為（）

1235—7

A.7x6B.-7x3C.—x3D.--x1

84

29.（6+工）9的展開式中的常數(shù)項為—.

X

30.右(2+X)"=Cl。+q(1+X)+4(1+X)2+...+"17(1+%)"，則

%+%+/+/+—+%6=?

2024年高考數(shù)學三輪沖刺之計數(shù)原理

參考答案與試題解析

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

1.從A地到3地要經過C地，已知從A地到C地有三條路，從C地到3地有四條路，則

從A地到B地不同的走法種數(shù)是（）

A.7B.9C.12D.16

【考點】03：計數(shù)原理的應用

【專題】11：計算題；34：方程思想；35：轉化思想；50：排列組合；65：數(shù)學運算；

49：綜合法

【分析】根據(jù)題意，依次分析從A到C和從C到3的走法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得

答案.

【解答】解：根據(jù)題意，從A地到3地要經過C地，已知從A地到C地有三條路，則從A

到C有3種不同的走法，

從C地到3地有四條路，則從C到3有4種不同的走法，

則從A地到3地不同的走法種數(shù)有3x4=12種；

故選：C.

【點評】本題考查分步計數(shù)原理的應用，注意分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理的不同，屬于基

礎題.

2.給一些書編號，準備用3個字符，其中首字符用A,B,后兩個字符用a,6,c（允

許重復），則不同編號的書共有（）

A.8本B.9本C.12本D.18本

【考點】D2：分步乘法計數(shù)原理

【專題】11：計算題

【分析】首先確定首字符，不重復，然后再確定第二和第三個字符，允許重復，最后利用分

布乘法原理求值.

【解答】解：分兩步：

第一步：選定首字符，有2種可能；

第二步：選后兩個字符，又分兩小步：第二字符，有3種可能，第三個字符，也有3種可

能，

所以利用乘法原理，最終就有2x3x3=18種不同的組合情況，也就是說可以編18本書.

故選：D.

【點評】本題考查了分步乘法原理，解答的關鍵是明確首字符不重復，后兩個字符允許重

復，是基礎題也是易錯題.

3.在如圖1所示的電路中，只合上一個開關可以接通電路，有5種不同的方法;在

如圖2所示的電路中，合上兩個開關可以接通電路，有一種不同的方法.

【答案】5；6.

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學運算

【分析】利用計數(shù)原理，求解結果即可.

【解答】解：如圖1所示的電路中，只合上一個開關可以接通電路，有5種不同的方法；

在如圖2所示的電路中，合上兩個開關可以接通電路，有3x2=6種不同的方法.

故答案為：5；6.

【點評】本題考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的應用，是基礎題.

4.有不同的語文書9本，不同的數(shù)學書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同一學

科的書2本，則不同的選法有（）種.

A.21B.315C.143D.153

【考點】03：計數(shù)原理的應用

【專題】50：排列組合

【分析】根據(jù)題意，從中選出不屬于同一學科的書2本，包括3種情況：①一本語文、一本

數(shù)學，②一本語文、一本英語，③一本數(shù)學、一本英語，分別計算各種情況下對的取法

數(shù)目，再由分類計數(shù)原理計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，從中選出不屬于同一學科的書2本，包括3種情況：

①一本語文、一本數(shù)學，有9x7=63種取法，

②一本語文、一本英語，有9x5=45種取法，

③一本數(shù)學、一本英語，有7x5=35種取法，

則不同的選法有63+45+35=143種；

故選：C.

【點評】本題考查分類計數(shù)原理的運用，是簡單的題目；解題時需要注意準確計算即可.

5.（多選）下列說法中正確的有（）

A.4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有4?種報名方法

B.4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有34種報名方法

C.4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍（每項冠軍只允許一人獲得），共有43種可

能結果

D.4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍（每項冠軍只允許一人獲得），共有34種可

能結果

【答案】BC

【考點】計數(shù)原理的應用

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學運算

【分析】利用計算原理，轉化求解判斷選項的正誤即可.

【解答】解：對于A、B,4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，每人都

有3種選擇，共有34種報名方法，所以A錯誤；3正確；

對于C、D,4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍（每項冠軍只允許一人獲得），每個

冠軍有4種可能，共有43種可能結果，所以C正確，。錯誤.

故選：BC.

【點評】本題考查計數(shù)原理以及排列組合的簡單應用，是中檔題.

6.如圖所示，某地有南北街道5條，東西街道6條，一郵電員從該地東北角的郵局A出

發(fā)，送信到西南角的3地，且經過C地，要求所走的路程最短，共有多少種不同的走法？

B

【考點】計數(shù)原理的應用

【專題】計算題；轉化思想；數(shù)學模型法；排列組合

【分析】根據(jù)題意，從A經C到5的最短路程，只能向左、向下運動，將原問題轉化為排

列、組合問題，分別討論計算從A到C與從C到3的最短路程的情況數(shù)目，由分類計數(shù)原

理，計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，從A經C到3的最短路程，只能向左、向下運動；

從A到C,最短的路程需要向下走3次，向左走2次，即從5次中任取2次向左，剩下3

次向下，有點=10種情況,

從C到3,最短的路程需要向下走2次，向左走2次，即從4次中任取2次向左，剩下2

次向下，有C：=6種情況，

則從A經C到3的最短路程，共有10x6=60種.

【點評】本題考查排列、組合的應用，解題的關鍵將圓問題轉化為排列、組合問題，由分步

計數(shù)原理計算得到答案.

7.立德幼兒園王老師和李老師給小朋友發(fā)水果.王老師的果籃有草莓，蘋果，芒果3種水

果.李老師的果籃里有蘋果，櫻桃，香蕉，舜猴桃4種水果.小華可以在兩個老師的果籃

里分別選一個水果.小華拿到兩種不同的水果的情況有（）

A.6種B.7種C.11種D.12種

【答案】C

【考點】分類加法計數(shù)原理

【專題】分類討論；綜合法；排列組合；數(shù)學運算

【分析】分兩種情況：①小華拿到的水果里沒有蘋果，②小華拿到的水果里有蘋果，再結合

分步乘法和分類加法計數(shù)原理，得解.

【解答】解：分兩種情況：

①小華拿到的水果里沒有蘋果，則在王老師的果籃里有2種選法，在李老師的果籃里有3

種選法，共有2x3=6種選法；

②小華拿到的水果里有蘋果，再分蘋果來自王老師還是李老師的果籃，共有l(wèi)x3+2xl=5

種選法，

由分類加法計數(shù)原理知，共有6+5=11種選法.

故選：C.

【點評】本題考查計數(shù)原理的應用，熟練掌握分步乘法和分類加法計數(shù)原理是解題的關鍵，

考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題.

8.某校教學大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，一學生由一層到五層的走法有()

A.10種B.2、種C.52種D.2,種

【答案】D

【考點】分步乘法計數(shù)原理

【專題】計算題

【分析】通過層與層之間的走法，利用分步計數(shù)原理求解一層到五層的走法.

【解答】解：共分4步：■層到二層2種，二層到三層2種，三層到四層2種，四層到五

層2種,一共2"=16種.

故選：D.

【點評】本題主要考查分步計數(shù)原理的應用，理解好題意，從一層到五層共分四步.

9.用0,1,2,3,9十個數(shù)字可組成多少個不同的.

(1)三位數(shù)？

(2)無重復數(shù)字的三位數(shù)？

(3)小于500且沒有重復數(shù)字的自然數(shù)？

【答案】(1)900個.

(2)648個.

(3)379個.

【考點】分類加法計數(shù)原理

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學運算

【分析】分別根據(jù)分步計數(shù)原理可求出(1),(2),根據(jù)分類計數(shù)原理可可求出(5).

【解答】解：(1)百位不能為0,有9種選法，十位和個位各有10種選法，

故有9x10x10=900種，.

(2)百位上的數(shù)字有9種選法，

十位上的數(shù)字有除百位上的數(shù)字以外的9種選法，

個位上的數(shù)字應從剩余8個數(shù)字中選取，

所以共有9x9x8=648個無重復數(shù)字的三位數(shù).

(3)滿足條件的一位自然數(shù)有10個，

兩位自然數(shù)有9x9=81個，

三位自然數(shù)有4x9x8=288個，

由加法計數(shù)原理知共有10+81+288=379個小于500且無重復數(shù)字的自然數(shù).

【點評】本題考查排列組合以及簡單計數(shù)原理的應用，考查計算能力，屬于基礎題.

10.某電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告、兩個不同的宣傳廣告、一個

公益廣告，要求最后播放的不能是商業(yè)廣告，且宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放，兩個

宣傳廣告也不能連續(xù)播放，則有多少種不同的播放方式？

【考點】D3：計數(shù)原理的應用

【專題】11：計算題；5（9：排列組合

【分析】首先排列3個商業(yè)廣告，有國種結果，再在三個商業(yè)廣告形成的四個空中排列三

個元素，注意最后一個位置一定要有廣告共有種結果，根據(jù)乘法原理得到結果.

【解答】解：由題意知，這里是元素不相鄰的問題，

首先排列3個商業(yè)廣告，有禺=6種結果，

再在三個商業(yè)廣告形成的四個空中排列三個元素，注意最后一個位置一定要有廣告，

共有小=18種結果，

根據(jù)分步計數(shù)原理知共有6x18=108種結果，

【點評】本題考查分步計數(shù)原理，注意題目中對于元素要不同的限制條件，一是有不相鄰，

二是有一個位置不能是一種元素，并且還不能空著，注意這幾種不同要求要同時滿足.

二.排列與組合

11.從甲、乙、丙三人中選出兩人并站成一排的所有站法為（）

A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲

B.甲乙丙，乙丙甲

C.甲乙，甲丙，乙丙，乙甲，丙甲，丙乙

D.甲乙，甲丙，乙丙

【答案】C

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】轉化思想；綜合法；排列組合；邏輯推理

【分析】利用排列組合的性質即可求解.

【解答】解：從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法列舉如下：

甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙，共6種，

故C正確，

故選：C.

【點評】本題考查了排列組合的簡單計數(shù)問題，屬于基礎題.

12.下列問題中，是排列問題的為()

A.從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數(shù)學、物理興趣小組

B.從甲、乙、丙三名同學中選出兩人參加一項活動

C.從a,b,c,d中選出3個字母

D.從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成?個兩位數(shù)

【答案】AD

【考點】排列及排列數(shù)公式

【專題】應用題；轉化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學抽象

【分析】根據(jù)排列組合定義分析即可.

【解答】解：A中3名同學不同，參加興趣小組科目也不同，可知是排列問題，對；

3中從甲、乙、丙三名同學中選出兩人只參加一項活動，可知和選人順序無關，.13錯；

C中從a,b,c,d中選出3個字母沒說干啥，可知選字母與順序無關，錯；

。中從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)，可知選出的兩位數(shù)在

十位還是個位結果是不同的是排列問題，。對.

故選：AD.

【點評】本題考查排列組合定義，考查數(shù)學抽象能力，屬于基礎題.

13.下列各式中等于〃！的是()

A.娼B.心C.喝二;D.端

【答案】C

【考點】排列及排列數(shù)公式

【專題】對應思想；轉化法；排列組合；數(shù)學運算

【分析】根據(jù)排列數(shù)的公式，進行化簡，逐一判斷即可.

【解答】解：^=(?-l)x(n-2)x...x2xl=(n-l)!,故A錯誤；

A^+1=(n+1)xz?x(n-1)x...x3x2=(?+1)!,故3錯誤;

研：二；=〃x(w-l)x(〃-2)x...x2xl=〃！，故C正確;

砍：=（〃+l）x〃x（〃-l）x...x3x2xl=（〃+l）!,故Z）錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了排列數(shù)公式的應用問題，是基礎題目.

14.從5人中選派2人去參加某個會議，則不同的選派方法的種數(shù)為（）

A.9B.10C.20D.25

【答案】B

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】計算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算

【分析】利用排列組合知識求解.

【解答】解：由題意可知，不同的選派方法的種數(shù)為C；=10,

故選：B.

【點評】本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎題.

15.計算2露+3號的值是（）

A.72B.102C.5070D.5100

【考點】D5：組合及組合數(shù)公式；ZM：排列及排列數(shù)公式

【專題】11：計算題；49：綜合法；35：轉化思想；50：排列組合

【分析】利用排列以及組合數(shù)公式求解即可.

【解答】解：2C：+3&=2x23+3x5x4=102.

2x1

故選：B.

【點評】本題考查排列數(shù)以及組合式公式的應用，是基本知識的考查.

16.兩人進行乒乓球比賽，先贏三局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人

輸贏局次的不同視為不同情形）共有（）

A.10種B.15種C.20種D.30種

【答案】C

【考點】計數(shù)原理的應用；排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】計算題

【分析】根據(jù)分類計數(shù)原理，所有可能情形可分為三類，在每一類中可利用組合數(shù)公式計

數(shù)，最后三類求和即可得結果

【解答】解：第一類：三局為止，共有2種情形；

第二類：四局為止，共有2xC；=6種情形；

第三類：五局為止，共有2xC：=12種情形；

故所有可能出現(xiàn)的情形共有2+6+12=20種情形

故選：C.

【點評】本題主要考查了分類和分步計數(shù)原理的運用，組合數(shù)公式的運用，分類討論的思想

方法，屬基礎題

17.在含有3件次品的50件產品中，任取2件，則下列說法正確的是（）

A.恰好取到一件次品有C；C%不同取法

B.至少取到一件次品有C；C：7不同取法

C.兩名顧客恰好一人買到一件次品一人買到一件正品有息不同取法

D.把取出的產品送到檢驗機構檢查能檢驗出有次品的有不同種方式

【答案】AC

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學運算

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，綜合即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A：在含有3件次品的10件產品中，任取2件，

恰好取到1件次品包含的基本事件個數(shù)為GC%,A正確，

對于B：至少取到1件次品包括兩種情況：

只抽到一件次品，抽到兩件次品，

所以共有至少取到一件次品有C；-C*7+Cl-Cl,3錯誤，

對于C：兩名顧客恰好一人買到一件次品一人買到一件正品有7M不同取法，C正

確，

對于。：有次品即可，所以把取出的產品送到檢驗機構檢查能檢驗出有次品的有

C^C^+Cf-Cl，Z）錯誤，

故選：AC.

【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.

18.從1,2,3,4,7,9中任取不相同的兩個數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，能得到多

少個對數(shù)值？

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】分類討論；定義法；排列組合；數(shù)據(jù)分析

【分析】根據(jù)對數(shù)的定義，分別討論真數(shù)為1時，以及排除對數(shù)值相同的兩個對數(shù)值即可.

【解答】解：若真數(shù)為1,此時對數(shù)值為0,此時有一個，

2,3,4,7,9,任取兩個不同的數(shù)有若=20個對數(shù)值，其中l(wèi)og；=log；=2,

log；=logg=1,log；=log；,log；=log；,對數(shù)重復4個，

故總共有1+20-4=17個不同的對數(shù)值.

【點評】本題主要考查簡單的計數(shù)問題，對應要進行分類討論，去掉重復的是解決本題的關

鍵.比較基礎.

19.如圖，一環(huán)形花壇分成A,B,C,。四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊

【答案】B

【考點】等可能事件和等可能事件的概率

【專題】壓軸題

【分析】這道題比起前幾年出的高考題要簡單些，只要分類清楚沒有問題，分為三類：分別

種兩種花、三種花、四種花，分這三類來列出結果.

【解答】解：分三類：種兩種花有種種法；

種三種花有2禺種種法；

種四種花有用種種法.

共有式+2A：+￡=84.

故選：B.

【點評】本題也可以這樣解：按。順序種花，可分A、C同色與不同色有

4x3x(lx3+2x2)=84.

20.用紅、黃、藍三種顏色給如圖所示的六個相連的圓涂色，若每種顏色只能涂兩個圓，

且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是()

(XXDCXDO

A.12B.24C.30D.36

【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】50：排列組合

【分析】先涂前三個圓，再涂后三個圓.若涂前三個圓用3種顏色，求出不同的涂法種

數(shù).若涂前三個圓用2種顏色，再求出涂法種數(shù)，把這兩類涂法的種數(shù)相加，即得所

求.

【解答】解：先涂前三個圓，再涂后三個圓.

因為每種顏色只能涂兩個圓，且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，

分兩類，

第一類，前三個圓用3種顏色，后三個圓也用3種顏色，

若涂前三個圓用3種顏色，有用=6種方法；則涂后三個圓也用3種顏色，有C；C；=4種方

法，

此時，故不同的涂法有6x4=24種.

第二類，前三個圓用2種顏色，后三個圓也用2種顏色，

若涂前三個圓用2種顏色，則涂后三個圓也用2種顏色，共有C；C；=6種方法.

綜上可得，所有的涂法共有24+6=30種.

故選：C.

【點評】本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題.

三.二項式定理

21.(1-2x)6的展開式的第3項為()

A.-120B.-120x2C.60D.60x2

【答案】D

【考點】二項式定理

【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學運算

【分析】由題意，利用二項式展開式的通項公式，求出(l-2x)6的展開式的第3項.

【解答】解：(l-2x)6的展開式的第3項為4=*?(-24=60f,

故選：D.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題.

22.二項式(x+1)"(〃eN*)的展開式中犬項的系數(shù)為15,則〃=()

A.4B.5C.6D.7

【考點】DA：二項式定理

【專題】34：方程思想；40：定義法；5P：二項式定理

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，列出方程求出〃的值.

【解答】解：二項式(x+l)"(aeN*)的展開式中/項的系數(shù)為15,

C；=15,

即"("1)=15,

2

解得〃=6或，=一5(不合題意，舍去),

n的值是6.

故選：C.

【點評】本題考查了二項式定理的應用問題，是基礎題.

23.若(1+3幻"("€乂)的展開式中，第三項的二項式系數(shù)為6,則第四項的系數(shù)為()

A.4B.27C.36D.108

【答案】D

【考點】二項式定理

【專題】方程思想；分析法；計算題；二項式定理；數(shù)學運算

【分析】利用C；=6求出〃，再利用展開式求出第四項.

【解答】解：展開式的第左+1項為幾|=C>(3x)\

因為第三項的二項式系數(shù)為6,所以C；=6,解得〃=4.

所以第四項為C[(3無彳=108/.

故選：D.

【點評】本題考查二項式定理的展開式，屬于基礎題.

24.(l+x+x2)(i_x)i。的展開式中含丁的項為()

A.-85B.175C.-85x3D.175?

【答案】C

【考點】二項式定理

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學運算

【分析】將條件式子變形為(1-W°+尤(1-無尸+人(1-方。,求出(1-x尸的展開式，進一步

計算可得含有丁的項.

【解答】解：(1+X+X2)(1-X)10=(1-X)10+%(1-X)10+X2(1-%)10,

210

又(1-方°=Go+C；O(T)+Cf0(-x)++C1(T)9+C；：(―x),

3333

所以含%的項為1X(-x)+x?C*(-尤)2+尤2,c10(-%)=(-120+45-10)%=-85%.

故選：C.

【點評】本題考查了二項式定理中求指定項的問題，屬于基礎題.

2

25.(x+上)(x+y)5的展開式中的系數(shù)為()

x

A.5B.10C.15D.20

【答案】C

【考點】二項式定理

【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學運算

【分析】先把條件整理轉化為求(/+>2)(x+丫彳展開式中//的系數(shù)，再結合二項式的展開

式的特點即可求解.

【解答】解：因為(X+L)(尤+y)5="+—+爐；

XX

要求展開式中X3/的系數(shù)即為求(X2+/)(%+y)5展開式中X4/的系數(shù)；

324

（丁+丁2）（芯+?。?展開式含了4,3的項為:%2.窗/,y+y..y=15%/；

2

故（彳+*）。+〉）5的展開式中V了3的系數(shù)為15；

X

故選：C.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，

屬基礎題.

26.在（4+切”的展開式中，第2項與第6項的二項式系數(shù)相等，則〃=（）

A.6B.7C.8D.9

【考點】ZM：二項式定理

【專題】11：計算題；38：對應思想；4A：數(shù)學模型法；5P：二項式定理

【分析】直接由題意得到C：=C；,再由組合數(shù)公式的性質得到〃值.

【解答】解：由（。+6）”的展開式中，第2項與第6項的二項式系數(shù)相等，

得C：=C；,即“=1+5=6.

故選：A.

【點評】本題考查二項式系數(shù)的性質，考查了組合數(shù)公式的應用，是基礎題.

27.已知二項