河南省部分學(xué)校2024屆高三5月份大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

2024屆高三年級5月份大聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試題

卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡

上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.若zi3=l—&i，則目=（）

A.lB，76c.V7D.3

2.某市2024年5月份第一周的每日最高氣溫（單位：C）分別為25,27,31,29,33,28,26,則這周的日最高

氣溫的第30百分位數(shù)為（）

A.31.5B.29C.28.5D.27

3.若方程+（1—加）/=1_〃表示焦點在彳軸上的橢圓，則（）

A.-l<m<lB.0<m<l

C.-l<m<0D.-1<切<0或Ovnzvl

4.已知｛%,｝為正項等比數(shù)列，若想出,聯(lián)12023是函數(shù)/（x）=3f—12X+9的兩個零點，則6%024=（）

A.10B.104C.108D.1012

5.袋子中裝有5個形狀和大小相同的球，其中3個標(biāo)有字母2個標(biāo)有字母。.甲先從袋中隨機摸一個球，摸出

的球不再放回，然后乙從袋中隨機摸一個球，若甲、乙兩人摸到標(biāo)有字母。的球的概率分別為Pi，P2,貝1H）

A.Pi=P2B.2Pl=3P2

C.P］=3p2D.2P1=。2

6.若函數(shù)的定義域均為［a,。］,且則"叫??加2"是句，/（%）.遇（》）"的

1

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

7.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知質(zhì)點A從點（1,0）處出發(fā)以Irad/s沿著單位圓逆時針方向運動，后質(zhì)點B也

從點（1,0）處出發(fā)以2rad/s沿著單位圓順時針運動.設(shè)在8運動fs后，質(zhì)點分別位于人,穌處，若第二次

出現(xiàn)。^，。穌，貝"=（）

兀5兀3兀11

A.—B.C.—D.—71

1212412

8.在四棱錐V—ABCD中，若ABfBC=叵CD=BDA=l，其中.VBD是邊長為2的正三角形，則

73

四棱錐V-ABGD外接球表面積的最小值為（）

“326兀n16兀16兀

2793

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.己知｛。,可口｛1,2,3｝,（。,，）€｛（%,?。﹟丁=%+1｝,貝1|2。"的值可以為（）

A.2B.64C.256D.1024

io.關(guān)于（J7-%）7的展開式，下列判斷正確的是（）

A.展開式共有7項

B.展開式的各二項式系數(shù)的和為128

C.展開式中含了5的項的系數(shù)為-49

D.展開式的常數(shù)項為3

n.已知函數(shù)/（X）=11?心（%）為〃%）的反函數(shù)，若/（x）、g（x）的圖象與直線y=T交點的橫坐標(biāo)分別為

，則（）

A.%2>1叫B.西+%2=0

D.%-元2G[L；+ln2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若aw[0,逋），且cosa+

yfisina=4sinacosa，則sina=

2

v2

13.已知雙曲線c：?！?1（。〉0,。〉0）的左、右焦點分別為耳,心，過耳的直線與C的兩條漸近線分別交

a

于1軸上方的A5兩點，。為原點，若直線Q4垂直平分5耳，則

7T

14.在“C中，已知ASC的對邊分別為〃，"c,A=—乃=2。=2,。為區(qū)4延長線上一點，直線/平分

6

NCAD,且與直線交于E,貝U|AE『=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

某大型公司進(jìn)行了新員工的招聘，共有10000人參與.招聘規(guī)則為：前兩關(guān)中的每一關(guān)最多可參與兩次測試，

只要有一次通過，就自動進(jìn)入下一關(guān)的測試，否則過關(guān)失敗.若連續(xù)通過三關(guān)且第三關(guān)一次性通過，則成功競

聘，已知各關(guān)通過與否相互獨立.

543

（1）若小李在第一關(guān)、第二關(guān)及第三關(guān)通過測試的概率分別為一,一,一，求小李成功競聘的概率P；

654

（2）統(tǒng)計得10000名競聘者的得分X~N（420.5,10.752）,試估計得分在442分以上的競聘者有多少人.（四

舍五人取整）

附：若隨機變量X~N（〃,cr2）,則？（〃—成人〃+70.6827,2（〃—2扇渡//+2cr）?0.9545

16.（本小題滿分15分）

如圖，在正四棱柱ABC?！狝4G2中，E為BCD的重心，棱Ad上的點/滿足4尸=

（1）求證：4E〃平面5￡甲；

（2）若A3=AE=3,求EQ與平面3D尸所成角的正弦值.

17.（本小題滿分15分）

在/ABC-中，角A,3,C的對邊分別為〃、Z?、c,且。cos5+2acosA+灰x）sC=0.

3

(1)求A；

7T

(2)如圖所示，。為平面上一點，與A3C構(gòu)成一個四邊形A3QC,且/5DC=—,若c=2b=2,求AD

3

的最大值.

18.(本小題滿分17分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知a=(4,y),/?=(x,—y),且a.b=0.

(1)求點v(x,y)的軌跡r的方程;

(2)由圓好+V=爐上任一點N(%,為)處的切線方程為/x+%>=R?，類比其推導(dǎo)思想可得拋物線

2

C:y=2Px(p>0)上任一點N5,為)處的切線方程為為y=p(x0+x).現(xiàn)過直線x=—3上一點P(不在

s

X軸上)作r的兩條切線，切點分別為Q,A,若P。,PR分別與X軸交于與，求70的取值范圍.

>PQR

19.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)g(x)=lnx+/nx+l.

(1)當(dāng)根<0時，求g(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)加=1時，設(shè)正項數(shù)列｛七｝滿足：菁=L當(dāng)+i=g(%)，

①求證：1;

2

n(J、

②求證：￡ln1H--<1.

◎I%"

2024屆高三年級5月份大聯(lián)考

數(shù)學(xué)參考答案及解析

一、選擇題

4

1.B【解析】依題意，2=二但=匕叵=上乎=/?+1,則忖=布.故選B.

1—1—1

2.D【解析】將七日的氣溫數(shù)據(jù)從小到大排序為25,26,27,28,29,31,33,7x0.3=2.1,則第30百分位數(shù)為

第3個數(shù)27.故選D.

2222

3.C【解析】橢圓(加+1)/+(1—加)/=1—機2,即橢圓=匚+二二=1,所以方程^_+二」=1表

1—mm+11—mm+1

示焦點在x軸上的橢圓等價于1一機＞加+1＞0,解得，一1＜根＜0.故選C.

4.B【解析】因為坨出，坨。2023是/(x)=3f—12x+9的兩個零點，所以坨。2+坨。2023=4，所以

lg(a2a2023)=4，所以a2a2023=1°4，故。1。2024=104,故選B.

3

5.A【解析】設(shè)A為“甲摸到標(biāo)有字母。的球"，8為"乙摸到標(biāo)有字母。的球"，則Pl=P(A)=g,

___32233

而P2=P(B)=P(BA)+P(BA)=P(B\A)P(A)+P(劇A)P(A)--x-+-x-=-,故2=必.故選A.

6.A【解析】由已知得，/(x)叫m,?g(x),所以/(x)..g(x),所以充分性成立；

/(x)=-2x(x-2),g(x)=-x(x-2),xe[0,2],則X/xe[0,2],/(%)..g(x)成立，當(dāng)/(%)..0,

g(X),,1,即班=0,m2=1，不滿足明.?祖2，所以必要性不成立.故選A.

7.B【解析】由已知得，B運動fs后4,穌的坐標(biāo)分別為卜ost+a],sin)+,(cos(-2/),sin(-2。)，

0+cos(-2?)+sin[/+T

因為。'，。穌，所以cossin(-2f)=0,所以cosl3z+-^-1=0,所以

jrjrjrl{TT5冗

3/H—=—I■防[(左eN),所以1=1(左wN),取左=1得方=—.故選B.

4212312

8.C【解析】因為43=同。=巫0)="。4=1,所以A3=1,3C=受,CD=巫,2X4=6，

7322

所以?2+")2=302+82=3。2,所以ABLAD.BCLCD,所以四邊形A5CD必存在一個外接圓,

且圓心為的中點設(shè)為。-設(shè)外接球的球心為。，則。。1，平面A5CD,設(shè)。。1=x,過。作與平面

的垂線，垂足設(shè)為E，則E為r.HBD的中心，且。必位于底面A5CD的上方，設(shè)OE=y,外接球的半徑為

r,則廠2=12+x2=[j]+/,所以所以X*,當(dāng)且僅當(dāng)y=0時，即。與后重合

5

4167c

時，外接球表面積取得最小值為4兀產(chǎn)=4X—TI=——.故選c.

33

二、多選題

9.AC【解析】當(dāng)a=l時，由(a,，)w{(x,y)|y=x+”得b=2,滿足丘{1,2,3},所以2“"=21=2；當(dāng)。=2

時，由(a,b)w{(x,y)|y=x+l}得3=3,滿足be{1,2,3},所以2『=28=256，當(dāng)a=3時，由

(a,h)e{(x,y)|y=x+l}得〃=4,不滿足{1,2,3},綜上，則嚴(yán)=2或256.故選AC.

10.BD【解析】展開式共有7+1=8項，故A錯誤；展開式的各二項式系數(shù)的和為27=128,故B正確；展

開式的通項公式為4+]=C；(J7)7f(―幻，=C；(—1).(、斤)7一，/,則含了5的項的系數(shù)為

C；(—1)5(近廣5=—147,故C錯誤；展開式的常數(shù)項為(#_0)7=7上故D正確.故選BD.

11.BCD【解析】由題意得％+1叫=0,廿+々=0,十+々=0可變形為e巧+lne巧=0，又為+111^=0,

令/z(x)=x+lnx,則,又/z(x)=x+lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，故儼=再，所以々=1叫，

所以A錯誤；由e”2+9=0可得，%+元2=0,所以B正確；由于

h{-}=—+ln—=--ln2=Inyfe-ln2<0,/z(l)=l>0,結(jié)合/z(x)=x+lnx在(0,+a)上單調(diào)遞增，由零

1J222

點存在性定理得!<%<1,故C正確；%一%2=%T%，令r(x)=xTnY，則/(x)=l-L因為工<石<1，

2九2

所以<0,所以r(玉)在;<西

<1時單調(diào)遞減，所以廣。)<r(西)<，所以1<r(xj<；+ln2,即1<玉—x2<%+ln2,所以D正確.

故選BCD.

三、填空題

12.；【解析】已知cosa+Qsina=4sinacosa，所以2sin[tz+=2sin2a,即sin[(z+%]=sin2a,

因為a€(0,1^],所以&+56(5，萼]，2[€(0,^^]，所以a+殳=2a,故1=工,sina=1.故答案為

[18)61^69；19；6622

13.且【解析】因為。4垂直平分8耳，所以/A0K=/A03,又NAOg/BOF2,所以

3-

IT7T

ZAOFX=ZAOB=ZB0F2=-,故/A/O=—,因為Q4〃5鳥，所以5耳，58，所以

6

耨=tan/"°=ta嗎=].故答案為當(dāng)

X^7-T1

14.8-473【解析】因為b>c,所以E點位于射線CB的延長線上，由平面幾何知識得，——=—=2,

BEc

所以AE=AC+CE=AC+2C5=AC+2(AB—AC)=2AB—AC,所以

\AE『=44笈+4。2—4A3?AC=4+4—4xlx2x#=8—4行故答案為8—4收

四、解答題

15.解：（1）設(shè)4：第，次通過第一關(guān)測試，Bj：第，次通過第二關(guān)測試，C：一次性通過第三關(guān)測試，（1分）

因為各關(guān)通過與否相互獨立，

所以p=+P（A44。）+P（4

+p（A//修。）=尸（A）P（5JP（C）+P（A）尸（4）尸（6）尸?+尸（4）尸（瓦）尸（四）尸（。）

+尸（即尸（4）尸（瓦）尸（四）尸（。

?54315435143151437

654665465546655410

（2）由題意可知，X~N（420.5,10.75）,

則b=10.75,442-420.5=21.5=2b,

1-P(〃-2或?〃+2b)

尸(X〉〃+2cr)=

2

1-0.9545

=0.02275,

2

10000x0.02275=227.5。228，

所以得分在442分以上的競聘者約有228人.

16.解：（1）設(shè)ACcBD=O,連接EO,如圖,

因為底面A5CD為正方形，EeAC,且E為.BCD的重心,

7

所以EO=，QA,

3

因為所以9=￡2=!，

“3FAOA3

所以AE//FO,

因為\E<z平面BDF,FOu平面BDF,

所以4E〃平面BDE.

(2)以直線AB,AD,A&分別為x,%z軸建立空間坐標(biāo)系,

由已知得，5(3,0,0),D(0,3,0),F(0,0,3),

所以6。=(-3,3,0),BF=(-3,0,3),

設(shè)平面BDF的一個法向量為n=(%,y,z),

—3x+3y=0,

所以《~c八令X=L則y=l,z=l,

—3光+3z=0,

所以“=(1,1,1),

由題意可知AR=1，則A(0,3,4),￡(2,2,0),

所以硝=(—2,1,4),

設(shè)ED］與平面BDF所成的角為9,

\n-ED\|3|不

所以sin￡=—I----r=—1==--.

\n\\ED{\V3xV217

所以ED,與平面BDF所成角的正弦值為立

7

8

17.解：（1）因為久os5+%zcosA+灰x）sC=O,

由正弦定理得，sinCcosB+2sinAcosA+sinBcosC=0,

所以2sinAcosA+sin（5+C）=0,

所以2sinAcosA+sinA=0,

因為sinAwO,

所以cosA二一工,

2

因為A￡（0,兀）,

2兀

所以4二下.

3

（2）在一A5c中，由余弦定理得，

a=ylc2+尸-2cbcosA

=,+仔―2x2xlx[—J

2兀71

因為/區(qū)4。+/80。=——+—=兀，

33

所以四邊形A3OC存在一個外接圓0,

°R=a=幣=2?

所以圓。的直徑為而——充一二-,

sin——

3

因為AD,,2R,即A。,，

3

故AO的最大值為拽L

3

18.解：（1）因為無6=0，所以4x—y2=0,

整理得y2=4x,所以點〃的軌跡r的方程為＞2=4x.

（2）設(shè)P（-3,r）（r本0）,。（石,％）,我（孫%）,

由題可知，PQ方程為xy=2（x+xJ,當(dāng)y=0時，x=,所以2（—七,0）,

將點P（-3,r）帶入yy=2（x+石）,得見=2（-3+XJ,

同理可得月（―9，°），=2（-3+9），

9

所以。(石,乂),尺(孫％)的坐標(biāo)均滿足方程W=2(-3+X),

所以直線QR的方程為yt=2(-3+x),

即2%=Zy+6,

由卜=4%，整理得，丁―2(y—12=0,

2%=9+6,

1=4(產(chǎn)+12)>0,且%+%=2/,%%=T2,

所以磔|=，+(￡)bi-y2|

=和2+4)(/+12)，

—6—r—6t2+12

點P到直線QR的距離為d=I,I

VW"+4

所以s+12)J『+12,

因為0(-七,。),4(一%2，°)，

所以|。內(nèi)|=歸—X2I=—2x2|

SPQ內(nèi)=。國IW=+12,

2

sPQAt_12

所以/+12——廣+12,

VPQR

產(chǎn)12

因為two,所以——e(o,l),所以1—F——e(o,l).

t2+12v'r+12v7

19.解：(1)g(x)=lnx+mx+l的定義域為(0,+。),

,(、1mx+1

g(%)=—+m=-----,

xx

當(dāng)m<0時，令g'(%)=0,可得％=,

m

10

當(dāng)0<x<—上時，g'(x)>O,g(x)單調(diào)